Bài tập thể tích khối đa diện

BÀI TẬP THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN
I . TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC
Bài 1
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo
với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Bài giải
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy
S

A
B
E

D

C

Khi đó
2
3

AE= AD=

a 3
3

Ta có  SAD=600 nên SE=AE.tan600=a


SABC=

a2 3
4

1
3

Do đó VSABC= SE.SABC=

a3 3
12

BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên
SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp
Bài giải
Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy
Ta có p=

AB  BC  CA
=9a Nên SABC= p( p  a)( p  b)( p  c) =6a2. 6
2
S
p

2
3

mặt khác SABC=pr  r= = a 6
SD=KDtan600 = r.tan600= 2a. 2

trong  SDK có
1
3

Do đó VSABC= SD.SABC=8a3. 3

S

B

A
D
k

C

Bài 3
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là
tam giác cân AB=AC=a và  BAC=1200 .Tính thể tích khối chóp đó.


Bài giải
S

A

C
O

B

O

Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Có SO chính là đường cao
SABC=1/2.AB.AC.sin1200=
OA=R=

a2 3
và BC=2BD=2.ABsin600=a. 3
4

a.b.c
=a  SO=OA.tan600=a. 3
4s
1
3

Do vậy VSABC= SO.SABC=1/4a3.

Bài 4
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và
mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy
tính thể tích khối chóp SBMDN.


Bài giải
S

D

A
H
M

B

N

C

Hạ SH  AB tại H thì SH chính là đường cao
SADM=1/2AD.AM=a2
SCDN=1/2.CD.CN=.a2
Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.
mặt khác
do đó

a 3
SA 2 .SB 2
1
1
1
SH=
=



2
2

2
2
2
2
SA  SB
SH
SA
SB
a3 3
1
VSBMDN= .SH.SBMDN=
3
3

Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D;
AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm
của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.


Bài giải
S

B

J

A

H

I

C

D

Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI  mpABCD
IC= ID 2  DC 2 =a 2
IB= IA2  AB 2

=a 5 và BC= CJ 2  JB 2 =a 5

SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2
SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2  SIBC=SABCD-SIABSDIC=

3a 2
2

1
2

mặt khác SIBC= .IH.BC nên IH =

SI=IH.tan600=

9. 3
a.

5

1
3

Do đó VABCD= SI.SABCD=

3 15 3
a
5

2S IBC 3 3

a
BC
5


Bài 6
Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a,  ASB= 600,  CSB=900,  CSA=1200
CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
S

C

E

A

D

B

Gọi E,D lần lượt là AC,BC

 SAB đều AB=a,  SBC Vuông BC=a. 2
0

 SAC có AE=SA.sin60 =
  ABC

1
2

a 3
0 1
 AC=a 3 và SE=SAcos60 = a.
2
2

có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy  ABC vuông tại B

Có SABC= .BA.BC=

a2 2
2

 SBE có BE=

a 3
1
AC=
2
2

SB2=BE2+SE2=a2 nên BE  SE
AC  SE
Do đó SE chính là đường cao


VSABC=

2
1
SE.SABC= a 3
12
3

Bài 7
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,
 ACB=60

0

Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải

A

B

C

A1

B1

C1

Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a 3
AB  AC và AB  A1A
Nên AB  mp(ACC1A) do đó  AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.
Á.D pitago cho tam giác ACC1 :
1
2

CC1= AC12  AC 2 =2a 2

Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a 2 . .a.a 3 =a3. 6


Bài 8
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách
đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ
đó.
Bài giải
B1

A1

C1

A

B
G

I

H

C

Ta có

a2 3
tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=
4

mặt khác A1A= A1B= A1C

 A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=
0

A1G=AG.tan60 =a.

a 3
và  A1AG=600
3

a3. 3
vậy VLT=A1G.SABC=
4


Bài 9
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với
cạnh huyền AB= 2 .Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A= 3 ,Góc A1AB
nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ.
Bài giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB= 2 và cân nên CA=CB=1;
SABC=1/2.CA.CA=1/2.
. MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G  AB tại G.
A1G chính là đường cao
Từ G hạ GH  AC tại H
Gt 

góc A1HG=600

Đặt AH=x(x>0)
Do  AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x 2
0

 HGA1 có A1G=HG.tan60 =x. 3

 A1AG có

Do đó A1G=

A1A2=AG2+A1G2  3=2x2+3x2 hay x=
3 5
5

vậy VLT=A1G.SABC=

3 5
10

15
5


A1

B1

C1

A

B

G
H
C

Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7 . Các mặt
bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể
tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.

giải
F
B1

A1

D1

A

B

N
M

C1

H
C

D

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD
Từ H hạ HM  AD tại M và

HN  AB tại N

Theo gt   A1MH=600 và  A1NH=450


Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M=

2x
x
=
0
sin 60
3

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
Nên HN=AM mà AM= AA  A1 M
2
1

3  4x 2
=
3

2

Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450
Suy ra

3  4x 2

x =
3

hay x=

3
7

vậy VHH=AB.AD.x= 3.

II. TÍNH GIÁN TIẾP
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp
dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ
diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm
A1,B1,C1 khác với S thì

V A1B1C11
V ABC



SA1 SB1 SC1
SA SB SC

Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)


A
A1

B

B1

H

E

S

C1
C

Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC
 AH / / A1E nên  SAH và  SA1E đồng dạng
AH
SA

A1 E SA1

Khi đó VSABC= 1 AH.SSBC= 1 AH.SB.SC.sinBSC.
3

3

VSA 1 B 1 C 1 = 1 A1E.SSB 1 C 1 = 1 A1E.SB1.SC1.sinBSC.
3

Do vậy

Nên

VSABC
VSA1B1C1

V A1B1C11
V ABC

3

1
. AH .SB.SC. sin BSC
AH SB SC
3


.
.
1
A1 E SB1 SC1
. A1 E.SB1 .SC1 . sin BSC
3


SA1 SB1 SC1
SA SB SC

Bài 1
Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và  BSA=600,  ASC=1200, 

CSB=900. Hãy tính thể tích chóp


Bài giải
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó
nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I
Vây ta có lời giải sau

C

C1
A
S
B1
B

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,
Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,
Ta có VSAB C 
1 1

Mà VSABC 

a3. 2
(theo bài 6)
12

a3. 2
SA SB SC
.

.
.V SAB1C1 . =
2
SA SB1 SC1

Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a
và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.


Bài giải
A1

C1

B1

A

C
H
K
B

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC
Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. 3
a 2 . 3 3a 3

Mà VLT=A1H.SABC= a. 3.
4
4

nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
1
3

khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = VLT
1 1 1

1
3

khối chóp B1ABC có VB ABC = VLT
1

1
3

Khối chóp A1B1CA do đó VA B AC = VLT =
1 1

a3
4

Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F
lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai
phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó


Bài giải
A

D

B

C
K

D1

A1

J

H
F

B1

DDF

E

C1

I

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc

nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình
chóp AIJA1
Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”
Theo TA-LET

HB1 IB1 1

 Và
AA1 IA1 3

KD1 JD1 1


AA1
JA1 3

1
1 1 a b c abc
VHIEB1  .HB1 .B1 E.B1 I  . . . . 
 VKFJD1
3
3 2 2 2 3 72
1
1
1 1 3a 3b
3abc
V AAJ JI  . AA1 . . AI .JA  . . . .c 
3
2
3 2 2 2

8


V1= V AA JI -2. VHIEB =
J

V2= Vhh-V1=

1

3abc
abc 25abc
 2.

8
72
72

V
47abc
25
do vậy 1 
72
V2 47

III. BÀI TOÁN ÔN TẬP
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra
cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối
chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp
Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.
b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy
tính thể tích chóp C.A1B1FE.
Giải
a) Cách 1 tính trực tiếp
1
3

1 a. 3 a 2 a 3 . 3
.

3 2
2
12

gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd= . A1 H .S BCB  .
1


A

C

K

B

C1

A1
H

B1

Tương tự gọi K là trung điểm AB
1
3

Cách 2 VCA B C  V A ABC  .VLT
1 1 1

1

1
3

1
3

Nên VBCA B1  .VLT  .a.
1

a2. 3 a3. 3

4
12

b) cách 1 Tính trực tiếp
gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC  d và F=BC  d
MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE
Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE

Ta có

CK 

a 3
a 3
a2
13
, GK 
 QG  KQ 2  KG 2  a 2 
 a.
2
6
12
12


S CQG 

2
2 1
1 a. 3 a 2 . 3
S CQK  . .CK .QK  .a.

3
3 2

3
2
6

Mặt khác

S CQG

2.S CQG 2a 2 3 13
1
2a 13
 .QG.d (C , QG )  d (C , QG ) 

.

2
QG
6
13
a 12

1
1 2a 13 1
3a
13 5a 3 . 3
 VC . FEA1B1  .d (C , QG ).S FEA1B1  .
. .(a  ).a.

3
3 13 2

2
12
54

Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )

A

E

C
C2
G

K
F
B

C1

A1
Q

B1

VCFEA1B1  2VCGQB1  2.

CG CF
2 2 1 1 a. 3 a 2 a 3 . 3
.

VCKQB1B  2. . . .
.

CK CB
3 3 3 2 2
2
54


Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3 ,SA=2a và
SA  ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại
H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
Bài giải
Cách 1 tính trực tiếp
Ta có
AC 2  AD 2  CD 2  3a 2  a 2  4a 2  AC  2a

Nên SAC  cân tại A mà AI  SC nên I là trung điểm SC
1
2

AI=SI= SC 

2a 2
 a. 2
2

BC  AB, BC  SA( SA  ABCD)
 BC  SAB

Mà

AH  SC cho nên ABC

1
1
1


 AH 
2
2
AH
AB
AS 2

SA.BA
SA  AB
2

2



2a
5

Trong tam giác vuông HAI có HI  AI 2  AH 2  2a 2 

4a 2 a 6


5
5


S

I

K

H

D

A

Tương tự ta có
AK=

B

C

a 14
7

1
1
1

1
1
VSAHIK  VSIHA  VSIKA  .SI . . AH .HI  .SI . AK.KI  SI .( AH .HI  AK.KI )
3
2
3
2
6
3
1
2a a 6 2a 3 a 14
8a . 3
 VSAHIK  .a 2 ( .

.
)
6
7
35
5
5
7

Cách 2 tính gián tiếp
Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH  SB, AK  SD
VSAHI

SH .SI
1 SA 2
1 4a 2 1

4a 3 . 3

.VSABC  . 2 .VSABC  . 2 .. .2a.a. 3 
SB.SC.
2 SB
2 5a 3
35

Tương tự VSAIK 
Do đó VSAHIK=

4a 3 . 3
35

8a 3 . 3
35


Bài 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt
trên x,

đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi

giải
nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x
và y
đặt (x,y)=  và

d(x,y)=d

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)
Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao
lăng trụ
1
2

1
2

VLT= d.SCDE=d. CD .CE.sin  = d.b.a.sin 
mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm
1
3

1
3

Tứ diện BCDE có VBCDE= .d(B,CDE).SCDE= .VLT
Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
1
3

1
6

Do vậy VABCD= .VLT= .d.a.b.sin  = hằng số


B

A
F
E

C
D

l
Cách 2 Dựng hình hộp,

cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”
D

B

H

G

A

E

C

E

C

A

F

B

D

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị
Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c.
Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh
BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho
VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó


Bài giải
S

K
M

G
N
A

D

O

B

C

Gọi O Là tâm hcn ABCD
2
3

Ta có SG= .SO và K=A G  SC và K là trung điểm SC

VSMAK SM SA SK
1 SM
1 SM
1 SM

. .
 VSMAK  .
.VSBAC  .
.VSABCD 
.a.b.c
VSBAC
SB SA SC
2 SB
4 SB
12 SB

Tương tự VSNAK 
Do đó VSAMKN

1 SN
.

.a.b.c
12 SC

1 SM SN
.(

).a.b.c
12 SB SC


S

H
M

G

N
D

O

Trong mpSBD

B

S SMN SM SN S SMG  S SGN
S
S
SG.SM

SG.SN

.

 SGM  SGN 

S SBD
SB SC
2 S SBO
2 S SBO 2 S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC


SM .SN 1 SM SN
 (

)
SB.SC 3 SB SC

Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên

Đặt t=

SB
1 SM
 SM  SB  
1
2
2 SB

1

SN 1
SN
SN
t
SM
(  t  1 ) thì t.
 (t 
)

2
SC 3
SC
SC 3t  1
SN

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=
Ta có f (t )  1 

SM SN
t
1
với  t  1

t
SB SC
3t  1
2

1
9t 2  6t


(3t  1) 2 (3t  1) 2
2
3

Nên f (t )  0  t  , t  0 (loại)
f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
do vậy VSAMKN =
VSAMKN =

abc
là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
8

abc
là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB
9


IV. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và
vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc
với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA
vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600. Gọi H,K lần lượt là
hình chiếu của A lên SB,SC. Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối
chóp S.ABC
Bài 3
Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC
biết

a) MpSBA vuông góc với mpSCA
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC
Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1và
mpABC bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu
vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể
tích khối tứ diện A1ABC theo a
Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ
tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng

a
.hãy tính thể tích khối trụ đó
6