ÔN THI CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

CÁC PHƯƠNG PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñược ứng dụng rộng rãi như ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ
hai trong chương trình học ðại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tảng
trong những năm học ðại cương của ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số,
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích

phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Nhân dịp
này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 1


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

MỤC LỤC
Lời nói ñầu

1

Mục lục

2

I.

Nguyên hàm:

I.1.

ðịnh nghĩa nguyên hàm

3

I.2.

ðịnh lý

3

I.3.

Các tính chất của nguyên hàm

3

I.4.

Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung

4

II.

Tích phân:

II.1. ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh

5

II.2. Các tính chất của tích phân

5

II.3

Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

5

Bài tập ñề nghị 1

9

Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số

10

II.4

II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1
ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1

13

Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1

14

Bài tập ñề nghị số 2

14

Bài tập ñề nghị số 3

15

Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

16

II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2

16

Bài tập ñề nghị số 5

21

Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông

22

Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

22

II.5. Phương pháp tích phân từng phần
Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

III.

10

23
28

Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS

29

Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân

30

Phụ lục

36

Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 2


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I. NGUYÊN HÀM:

I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi
x∈(a;b):

F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và
ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh)
Vậy:

∫ f(x)dx = F(x)+C

VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 + C

b) ∫ sinxdx = - cosx + C

c)

1

∫ cos x dx = tgx +C
2

I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:
1)

'

( ∫ f(x)dx ) = f(x)

2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx

(a ≠ 0 )

3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C
VD3: a)

∫ (5x

4

-6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C

b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C

Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 3


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP

1/ ∫ du = u + C

1/ ∫ dx = x + C
2/ ∫ x α dx =
3/ ∫

x α +1
+C
α +1

dx
= ln x + C
x

2/ ∫ uα du =

( α ≠ -1)

3/ ∫

(x ≠ 0)

4/ ∫ e x dx = e x + C
5/ ∫ a x dx =

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP

uα +1
+C
α +1

( α ≠ -1)

du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u

4/ ∫ eu du = eu + C

ax
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

5/ ∫ au du =

au
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

6/ ∫ cosx dx = sinx + C

6/ ∫ cosu du = sinu + C

7/ ∫ sinx dx = -cosx + C

7/ ∫ sinu du = - cosu + C

dx
π
= (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π )
cos 2 x ∫
2
dx
= (1+ cotg 2 x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π )
9/ ∫
sin 2 x ∫
8/ ∫

π
du
= (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ )
cos2u ∫
2

du
9/ ∫
= (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ )
sin2u ∫
8/ ∫

CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP:

1/

∫

1
dx = 2 x + C
x

2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α

1/ a m . a n = a m+n

(x ≠ 0)

1 ( ax + b )
α +1
a

α +1

+ C (a ≠ 0)

2/

am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a

3/

m

1

1
1
3/ ∫
dx = ln ax + b + C (a ≠ 0)
ax + b
a
1 ax +b
ax+b
4/ ∫ e
dx = e
+ C (a ≠ 0)
a
a kx

+ C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1)
5/ ∫ a kx dx =
k.lna
1
6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
1
7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
8 / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠

CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA:

π
2

+ kπ )

9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )

a = am ;

n
m

an = a m

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:

1/ sin2 x =

1
(1- cos2x )
2

2/ cos2 x =

1
(1+cos2x )
2

b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1
cos ( a - b ) + cos ( a +b ) 
2
1
2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 
2
1
3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 
2

1/ cosa.cosb =

Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 4

CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

NHẬN XÉT
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 38


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 39


CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................

Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 40