Tom tat kien thuc toan THPT

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
1. Bất đẳng thức Cauchy
• a, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab , dấu “=” xảy ra  a = b
• a1,a2 ,...,an ≥ 0 thì a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an , dấu “=” xảy ra  a1 = ... = an

2. Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
a − b ≤ a+b ≤ a + b

3. Bất đẳng thức Bunhiacopski
2
2
2
2
• ( a1b1 + a2b 2 ) ≤ ( a1 + a2 ) . ( b1 + b 2 ) , dấu “=” xảy ra khi
2

a1 a2
=
b1 b2
a

a

a

2
1
2
n
2
2

2
2
• ( a1b1 + ... + anbn ) ≤ ( a1 + ... + an ) ( b1 + ... + bn ) , dấu “=” xảy ra khi b = b = ... = b
1
2
n

4. Đại số tổ hợp
• Hoán vị: Pn = n! = n(n – 1)…2.1
n!

k
• Chỉnh hợp: A n = n − k ! ( 0 ≤ k ≤ n )
(
)

n!

k
• Tổ hợp: Cn = k! n − k ! ( 0 ≤ k ≤ n )
(
)
k
n −k
• Tính chất: (a) Cn = Cn ;

k
k
k −1
(b) Cn +1 = Cn + Cn ( 1 ≤ k ≤ n )

• Nhị thức Newton
+ ( a + b ) = Cn0 an + C1n an −1b + ... + Cknan −k bk + ... + Cnnbn , Tk +1 = Cnk an−k bk
n

+ ( 1 + x ) = Cn0 + C1n x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n
n

+ ( 1 − x ) = Cn0 − C1n x + Cn2 x 2 − ... + ( −1) Cnn x n
n

n

5. Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
a > 0
a < 0
f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆
≤
0
∆ ≤ 0


x1 < α < x 2 ⇔ af ( α ) < 0


∆>0



α < x1 < x 2 ⇔ af ( α ) > 0

S > α

2

-1-

α là nghiệm của f(x)
 f(α) = 0

 ∆>0

x1 < x 2 < α ⇔ af ( α ) > 0

S < α
 2


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
6. Hệ phương trình hai ẩn
• Hệ phương trình đối xứng loại 1 đối với x, y
+ Định nghĩa: Mỗi phương trình trong hệ không đổi khi thay x bởi y và y bởi x
S = x + y

+ Cách giải: + Đặt P = xy


, đưa hệ đã cho về hệ ẩn S, P

+ Giải hệ tìm S, P thì x, y là nghiệm pt X2 – SX + P = 0
Chú ý: Hệ có nghiệm (x,y)  S2 – 4P ≥ 0
• Hệ phương trình đối xứng loại 2 đối với x, y
+ Định nghĩa: Là hệ mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình
này của hệ trở thành phương trình kia và ngược lại
+ Cách giải: Biến đổi hệ bằng cách trừ hai vế của 2 pt và cộng hai vế của 2 pt
• Hệ phương trình đẳng cấp:
Cách giải: + Xét riêng trường hợp x = 0 có thỏa hệ phương trình
+ Với x ≠ 0, đặt y = tx, thế vào hệ, chia vế các phương trình,
giải tìm k, từ đó suy ra x, y.

7. Phương trình – bất phương trình chứa căn thức và GTTĐ
PT – BPT chứa căn thức

A ≥ 0
A = B⇔
A = B

PT – BPT chứa GTTĐ

A ≥ 0
A < B⇔
A < B

A = B
A =B ⇔
 A = −B

A ≥ 0


A < B ⇔ B > 0
 A < B2


B ≥ 0
A =B⇔ 
2
A = B

 B < 0
A =B ⇔

A ≥ 0

A >B⇔ 
B ≥ 0

  A > B2

8. Cấp số cộng và cấp số nhân
-2-

A < B ⇔ A 2 < B2

A > B
A >B⇔ 
 A < −B
B ≥ 0

A = B

  A = −B


A < B
A  A > −B


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
Cấp số cộng

Cấp số nhân

un +1 = un + d ( n ≥ 1)

Định nghĩa

un +1 = un .q ( n ≥ 1)

d: công sai
Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d
uk =

Tính chất
Tổng n số hạng
đầu tiên

q: công bội
un = u1.qn-1

uk − 1 + uk + 1
( k ≥ 2, k ∈ ¢ )
2

uk2 = uk −1.uk +1 ( k ≥ 2, k ∈ ¢ )
1 − qn
( q ≠ 1)
1− q
u
S = u1 + ... + un + ... = 1
1− q

n
( u1 + un )
2
n
Sn = 2u1 + ( n − 1) d
2

Sn = u1.

Sn =

( q < 1)

9. Các công thức lũy thừa và logarit
Các công thức lũy thừa

Các công thức logarit

Cho a, b > 0 ; α,β tùy ý. Khi đó: Cho các số dương a, b, b1, b2, c và
a, c ≠1, α tùy ý. Khi đó:
+ aα .aβ = a α+β
+ logab = α  aα = b
aα
+ loga1 = 0 , logaa = 1
+ β = aα−β
a
+ aα loga b = b α
α β
αβ
α
+ (a ) =a
+ loga ( a ) = α
α
+ loga(b1b2) = logab1 + logab2
+ ( ab ) = a α b α
α

a
a
+  ÷ = α
b b
+
Nếu a > 1 thì
α

a α > aβ ⇔ α > β

+ loga

b1
b2

= loga b1 − loga b 2

α
+ loga b =
β

α
β

loga b ( β ≠ 0)

1
+ Nếu 0 < a < 1 thì a α > aβ ⇔ α < β
+ loga n b = loga b
+ Nếu 0 < a < b ta có:
n

< bm ⇔ m > 0
m
m
a >b ⇔m<0
a

m

+

logc b
logc a

= loga b hay logac.logcb = logab

Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈
1
Z:
+ logab =
(b ≠ 1)
logb a
n
n
n
+ ab = a b
+ Logarit thập phân:lgb = logb = log10b
a na
+ n = n ( b > 0)
+ Logarit tự nhiên: lnb = logeb
b

+

n

a =
p

b

( a)
n

p

( a > 0)
-3-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
10. Hàm số mũ y = ax và hàm số logarit y = logax (0 < a  1)
Hàm số logarit y = logax

Hàm số mũ y = ax

TXĐ

D=R

D = (0; +∞)

Tập giá trị

T = (0; +∞)

T=R

Tính đơn
điệu

Hàm số đồng biến khi a > 1,
nghịch biến khi 0 < a < 1

Hàm số đồng biến khi a > 1,
nghịch biến khi 0 < a < 1

+ ax > 0 ∀x∈R
+ Với a > 1 thì

+ Với a > 1 thì

Tính chất

an > am ⇔ n > m ( m,n ∈ ¡

)

+ Với 0 < a < 1 thì
an > am ⇔ n < m ( m,n ∈ ¡

Đồ thị hàm số luôn đi qua
điểm (0;1)

Đồ thị

)

loga b > loga c ⇔ b > c > 0

+ Với 0 < a < 1 thì
loga b > loga c ⇔ 0 < b < c

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua
điểm (1;0)

11. Phương trình – bất phương trình mũ và logarit
PT – BPT mũ
a

a

f( x)

a(

f x)

f ( x)

=a

>a

g( x )

g( x )

PT – BPT logarit


b > 0
=b ⇔

f ( x ) = loga b

loga f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = ab


a > 0
⇔

( a − 1) ( f ( x ) − g ( x ) ) = 0

0 < a ≠ 1

loga f ( x ) = loga g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0

 f ( x ) = g ( x )


a > 0
⇔
( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  > 0


0 < a ≠ 1

f ( x) > 0
loga f ( x ) > loga g ( x ) ⇔ 

 g( x ) > 0
 ( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  > 0




12. Một số phương pháp giải phương trình – bất phương trình mũ
-4-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
12.1.

Phương pháp logarit hóa
•a

f ( x)

f ( x)
= log a bf ( x )  f ( x ) = g ( x ) log a b
= bg( x )  log a a

• a f ( x ) > bg( x )  log a f ( x ) > log b f ( x )  f ( x ) log a > g ( x ) log b
(Có thể lấy logarit theo cơ số a hoặc b, chú ý so sánh giá trị của a, b với 1)

12.2.

Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1: α k a k.f ( x ) + α k −1a ( k −1) .f ( x ) + ...α1a f ( x ) + α 0 = 0 (1)
• Đặt t = a f ( x ) , điều kiện t > 0, ta được:

• (1)  α k t k + α k −1t k −1 + ...α1t + α 0 = 0
Dạng 2: α1a f ( x ) + α 2 bf ( x ) + α3 = 0 (2), với a.b = 1
1
f ( x)
= , ta được:
• Đặt t = a f ( x ) , t > 0, suy ra b
t
α
• (2)  α1t + 2 + α3 = 0  α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0
t
f x
Dạng 3: α1a 2.f ( x ) + α 2 ( ab ) ( ) + α 3 b 2.f ( x ) = 0 (3)

Chia hai vế phương trình (3) cho b 2.f ( x ) > 0, ta được:
2.f ( x )

f ( x)

a
a
(3)  α1  ÷
+ α2  ÷ + α3 = 0
b
b
Dạng 4: Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một
phương trình với ẩn phụ đó nhưng các hệ số vẫn còn chứa x,
khi đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ
mới (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

12.3.

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Dạng 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = k (4)
• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) (tính đạo hàm f’(x)), giả sử f(x)
đồng biến
• Tìm giá trị x0 sao cho f(x0) = k
• Với x = x0  f(x) = f(x0) = k => x = x0 là nghiệm của pt (4)
• Với x > x0  f(x) > f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm
• Với x < x0  f(x) < f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm

-5-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
Chú ý: Có thể chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x) trong đó hàm
y = f(x) đồng biến thì hàm y = g(x) nghịch biến hoặc là hàm hằng
Dạng 2: Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v) (5)
• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)
• Khi đó (5)  u = v
Dạng 3: : Chuyển bất phương trình về dạng f(x) > k (6)
• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), giả sử f(x) nghịch biến
• Tìm giá trị x0 sao cho f(x0) = k
• Với x = x0  f(x) = f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm
• Với x > x0  f(x) < f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm
• Với x < x0  f(x) > f(x0) = k => x > x0 là nghiệm bpt (6)
Dạng 4: Chuyển bất phương trình về dạng f(u) < f(v) (7)
• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), giả sử hàm số đồng biến
• Khi đó (7)  u < v
Chú ý: Ngoài các phương pháp trên ta có thể biến đổi phương trình về
dạng tích, hoặc sử dụng phương pháp đánh giá để giải.

13. Một số phương pháp giải phương trình – bất phương trình logarit
13.1.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt t = logaf(x), với f(x) > 0 thì
k
k
• log a f ( x ) = t ,

1
• log f ( x ) a = (với 0 < f(x) ≠ 1)
t
Dạng 2: Đặt t = a log b f ( x ) thì t = f ( x )

log b a

Dạng 3: Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một
phương trình với ẩn phụ đó nhưng các hệ số vẫn còn chứa x, khi
đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ mới
(hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

13.2.

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xem mục 12.3

-6-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

14. Quy tắc tính đạo hàm
• (u ± v)′ = u′ ± v′

• (uv)′ = u′v + v′u

 u ′ u′v − v′u
• ÷=
(v ≠ 0)
v
v2

• (ku)′ = ku′

• Đạo hàm hàm hợp: Cho g = f u ( x )  ⇒ g' x = f 'u .u' x
• Bảng các đạo hàm
(c)’ = 0, c – hằng số
(x)′ = 1
(xn)′ = n.xn–1 ( n ∈ ¥ , n > 1)

(u(x)n)′ = n.un–1.u’ ( n ∈ ¥ , n > 1)

( x ) ' = 2 1x

( u ) ' = 2u'u

1
 1
 x ÷' = − 2
x
 

u'
 1
 u ÷' = − 2
u
 

(sinx)′ = cosx

(sinu)′ = cosu.u’

(cosx)′ = – sinx

(cosu)′ = – sinx.u’

1
= 1 + tan2 x
cos2 x

( t anx ) ' =

( cotx ) ' = −

(e )' = e
x

1
= − ( 1 + cot 2 x )
sin2 x

( t anu ) ' =

u'
cos2u

( cotu) ' = −

u'
sin2 u

( e ) ' = e .u'

x

u

u

( a ) ' = a .lna

( a ) ' = a .lna.u'

( ln x ) ' = 1x

( ln u ) ' = u'u

x

x

( log

a

x)'=

1
x lna

u

u

u'
( log u ) ' = ulna
a

-7-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
15. Tính đơn điệu – cực trị – gtln – gtnn – tiệm cận của hàm số y = f(x)
15.1. Tính đơn điệu: Hàm số (C) y = f(x) xác định trên D
• Hàm số tăng (đồng biến) trên D  y’ ≥ 0 ; ∀x ∈ D
• Hàm số giảm (nghịch biến) trên D  y ' ≤ 0 ; ∀x ∈ D
• Chú ý : dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại hữu hạn một vài điểm.

15.2. Cực Trị: Cho hàm số (C): y = f(x)
• Hàm số có cực trị  y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó
• Hàm số không có cực trị  y’ không có nghiệm hoặc y’ không đổi dấu

 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) ≠ 0

• Hàm số đạt cực trị tại x = x0  

 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) < 0

• Hàm số đạt cực đại tại x = x0  

 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) > 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0  

15.3. GTLN – GTNN
• Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Từ đó xác định GTLN – GTNN
• Đặc biệt: Khi D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:
+ Bước 1: Tìm y’. Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ;....;xi thuộc [a;b]
+ Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ........; f(xi) ; f(a) ; f(b)
+ Bước 3: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN)
15.4. Tiệm Cận: Cho đường cong (C): y = f(x)
 lim+ f ( x ) = +∞
x → xo
• Nếu 
hoặc
lim f ( x ) = −∞
 x → xo+

 lim f ( x ) = y 0

x →+∞
• Nếu 

 lim f ( x ) = y 0
 x →−∞

 lim− f ( x ) = +∞
 x → xo
 lim f ( x ) = −∞ thì x = xO là TCĐ của (C)
 x→ xo−

thì y = yO là một TCN của (C)

( y − ( ax + b ) ) = 0 thì y = ax + b là TCX của (C)
• Nếu xlim
→±∞
16. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• Tìm TXĐ
• Tính đạo hàm cấp 1 (y’ = ...), giải phương trình y’ = 0 (nếu có)
-8-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)
• Lập bảng biến thiên, kết luận các khoảng đơn điệu, cực trị
• Vẽ đồ thị và nhận xét tính đối xứng

17. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
17.1. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) đơn

điệu trên tập xác định
• Tập xác định D = ¡
• Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c
a > 0
• Hàm số đồng biến trên ¡  y' ≥ 0 ∀x ∈ ¡  
∆ ≤ 0
a < 0
• Hàm số nghịch biến trên ¡  y' ≤ 0 ∀x ∈ ¡  
∆ ≤ 0

17.2. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) =

ax + b
đơn điệu trên từng
cx + d

khoảng xác định
 −d 
• Tập xác định D = ¡ \  
 c 
• Tính y' =

ad − cb

( cx + d ) 2

• Hsố đồng biến trên từng khoảng xác định  y' > 0 ∀x ∈ D  ad − cb > 0
• Hsố nghịch biến trên từng khoảng xác định  y' < 0 ∀x ∈ D  ad − cb < 0

17.3. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) đơn

điệu trên khoảng K
• Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c
• Cách 1: Phương trình y’ = 0 cho nghiệm tốt (do ∆ y' khai căn được), khi đó
 x = x1
+ y’ = 0  
x = x2
+ Lập bảng biến thiên xét dấu y’
+ Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu của bài toán
-9-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Cách 2: Phương trình y’ = 0 không cho nghiệm tốt , khi đó
+ Hàm số đồng biến trên K  y' ≥ 0 ∀x ∈ K  h ( m ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ K (1)
+ Hàm số nghịch biến trên K  y' ≤ 0 ∀x ∈ K  h ( m ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ K (2)
+ Lập bảng biến thiên cho hàm y = g ( x ) (hàm này không chứa tham số m)
+ (1)  h ( m ) ≥ max g ( x ) ∀x ∈ K
+ (2)  h ( m ) ≤ min g ( x ) ∀x ∈ K
• Cách 3: Tính ∆ y'
+ TH1: ∆ y' ≤ 0 , khi đó hàm số đơn điệu trên ¡ (y’ mang dấu của a)
=> Hàm số đơn điệu trên khoảng K
+ TH2: ∆ y' > 0
–
–
–
–

Khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm pb x1, x2
Lập bảng biến thiên xét dấu y’
Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu của

bài toán
Sử dụng kết quả trong mục 5 (so sánh nghiệm phương trình bậc hai
với số α) tìm m

17.4. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) đơn điệu
trên khoảng K

(

3
2
• Tính y' = 4ax + 2bx = 2x 2ax + b

)

x = 0

y'
=
0
⇔
•
x2 = − b

2a
2
• Nếu x = −

b
< 0 thì phương trình y’ = 0 có một nghiệm x = 0

2a

x = 0
b

• Nếu x = −
> 0 thì phương trình y’ = 0 có ba nghiệm 
b
2a
x=± −

2a
2

• Lập bảng biến thiên xét dấu y’ trong từng trường hợp
• Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu của bài toán
• Chú ý: Nên xem xét vận dụng Cách 2 trong mục 17.3
-10-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
17.5. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) =

• Tính y' =

ax + b
đơn điệu trên khoảng K
cx + d

ad − cb

( cx + d ) 2

ad − cb > 0

y'
>
0
∀
x
∈
K
⇔
• Hàm số đồng biến trên K 
 d
− c ∉ K
ad − cb < 0

• Hàm số nghịch biến trên K  y' < 0 ∀x ∈ K ⇔  d
 − c ∉ K

17.6. Tìm tham số m để hsố y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) đơn
điệu trên một khoảng có độ dài bằng k cho trước
• Ta có y' = 3ax 2 + 2bx + c
• Hàm số đồng biến trên khoảng (x1; x2)  phương trình y’ = 0 có hai
a ≠ 0
nghiệm phân biệt x1, x2  
(1)
∆ > 0
• Biến đổi x1 − x 2 = k ⇔

∆ 4∆ '
=
=k
a2 a2

• Giải tìm m, kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả cuối cùng.

17.7. Tìm tham số m để hsố y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có cực
trị
• Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c
• Hàm số có cực đại, cực tiểu (hay có 2 cực trị)
a ≠ 0
 phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  
∆ > 0
• Hàm số không có cực trị
a ≠ 0
 phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  
∆ ≤ 0

-11-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
17.8. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) có một
cực trị hoặc ba cực trị

(

3

2
• Tính y' = 4ax + 2bx = 2x 2ax + b

)

x = 0
• y' = 0 ⇔  2
b
x =−

2a
b
≤0
2a
b
2
• Hs có ba cực trị  phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm pb  x = − > 0
2a
2
• Hs có một cực trị  phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm  x = −

17.9. Tìm tham số m để hàm số y = f(x, m) đạt cực trị tại điểm x0
• Tính y’, y”
 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) ≠ 0

• Hàm số đạt cực trị tại x = x0  

 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) < 0

• Hàm số đạt cực đại tại x = x0  

 f '(x 0 ) = 0
 f "(x 0 ) > 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0  

17.10. Tìm tham số m để hsố y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai
cực trị thỏa mãn hệ thức (I) nào đó
• Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị ( xem mục 17.7) (1)
• Biến đổi hệ thức (I) đã cho và thường vận dụng định lý Viet để tìm m
• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.11. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm
y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

• Thực hiện phép chia y cho y’ và viết lại hs dưới dạng y = u ( x ) .y ' ( x ) + Ax + B
 y1 = Ax1 + B
• Gọi M(x1, y1), N(x2, y2) là hai điểm cực trị. Khi đó 
 y 2 = Ax 2 + B
• Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là y = Ax + B

-12-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
17.12. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai cực
trị nằm về hai phía đối với trục tung
• Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c

• Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía trục tung
 phương trình y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu  P < 0

17.13. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai cực
trị nằm về hai phía đối với trục hoành
• Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c
• Cách 1: Phương trình y’ = 0 cho nghiệm tốt, khi đó
 x = x1
+ y’ = 0  
x = x2
+ Hàm số có 2 cực trị  x1 ≠ x 2
+ Tính các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2)
+ yêu cầu bài toán  y1.y2 < 0
• Cách 2: Phương trình y’ = 0 không cho nghiệm tốt, khi đó
+ Hoặc ycbt  đồ thị tham số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
 phương trình f(x, m) = 0 có 3 nghiêm pb (xem mục 17.26)
+ Hoặc tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 ( ∆ y' > 0 ), sau đó:
- Viết phương trình đường thẳng d: y = Ax + B qua hai điểm cực trị
(xem mục 17.11),
- Tính được y1 = Ax1 + B, y2 = Ax2 + B
- Ycbt  y1.y2 < 0 (có vận dụng Viet)

17.14. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai cực
trị nằm về hai phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước
• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)
• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai
điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)
• M, N nằm về 2 phía của đthẳng d  (Ax1 + By1 + C) (Ax2 + By2 + C) < 0
• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

-13-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
17.15. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai cực
trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước
• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7) (1)
• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai
điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)
 x1 + x 2 y1 + y 2 
,
• Gọi I là trung điểm MN ⇒ I 
2 ÷
 2

• M, N đối xứng qua đường thẳng d
uuuu
r uur
 MN.u d = 0
uur
 MN ⊥ d
 
 
, với u d là VTCP của đường thẳng d
 I ∈ d
I ∈ d
• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả
• Chú ý: Vận dụng định lý Viet để tính các hệ thức liên hệ giữa x1, x2

17.16. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai điểm

cực trị cách đều đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước
• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)
• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai
điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)
• Cách 1: M, N cách đều đường thẳng d
uuuu
r uur
 MN.n d = 0
uur
 MN / /d
 
 
, với I là trung điểm M, N và n d là VTPT của d
I ∈ d
I ∈ d
• Cách 2: M, N cách đều đường thẳng d
 d ( M,d ) = d ( N,d ) 

Ax1 + By1 + C
A 2 + B2

=

Ax 2 + By 2 + C
A 2 + B2

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.17. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai điểm
cực trị A, B sao cho AB ngắn nhất, AB = k, OA =

2 OB,…

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)
• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai
điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)

-14-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Vận dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, khai triển yêu cầu bài
toán, vận dụng định lý Viet, giải tìm m
• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả
17.18. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: Ax + By + C = 0 sao cho tổng
khoảng cách từ điểm M đến hai cực trị của hàm số
y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) nhỏ nhất
• Tìm các điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2) của đồ thị hàm số
• Tính ( Ax1 + By1 + C ) ( Ax 2 + By 2 + C )
• ( Ax1 + By1 + C ) ( Ax 2 + By 2 + C ) < 0 => A, B nằm về hai phía của đt d
+ Khi đó MA + MB ≥ AB .
+ Do đó MA + MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và
đường thẳng d
• ( Ax1 + By1 + C ) ( Ax 2 + By 2 + C ) > 0 => A, B nằm về một phía của đt d,
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
+ Khi đó MA + MB = MA '+ MB ≥ A 'B . Do đó MA + MB nhỏ nhất
 M là giao điểm của đường thẳng A’B và đường thẳng d

17.19. Tìm tham số m để y = f ( x,m ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai cực
trị A, B sao cho AB tạo với đường thẳng d: Ax + By + C = 0 một góc α

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7) (1)
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cực trị
• ∆ // d  k ∆ = k d
• ∆ ⊥ d  k ∆ .k d = −1
• ∆ tạo với d một góc α 

k∆ − kd
= tan α
1 + k ∆ .k d

• Giải tìm m, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

17.20. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) có các
điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân, tam giác
đều, tam giác có một góc 1200,…
• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có 3 cực trị (xem mục 17.8) (1)
• Tìm tọa độ các điểm cực trị A(0, c), B, C của đồ thị hàm số, khi đó
∆ABC cân tại A
-15-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
uuur uuur
• ∆ABC vuông cân  AB.AC = 0
• ∆ABC đều  AB = BC
uuur uuur
µ = 1200 )  cos AB, AC = cos1200 = − 1
• ∆ABC có 1 góc 1200 ( A
2
• Giải tìm m, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

ax + b
17.21. Tìm điểm M trên đồ thị (C): y =
sao cho tổng khoảng cách từ
cx + d
điểm M đến các đường tiệm cận nhỏ nhất

(

)

d

 x = − c ( d1 )
• Tìm các đường tiệm cận 
của ĐTHS => giao điểm I(x0, y0)
y = a ( d )
2

c

• Chia đa thức, viết lại hàm số y = p +

q
cx + d


q 
• Gọi M  x 0 , p +
÷∈ ( C ) , tính d = d ( M,d1 ) + d ( M,d 2 )
cx 0 + d 


• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

17.22. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x)
• Dạng 1: Biết tọa độ tiếp điểm M(x0, y0)
+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)
+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)
+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)
• Dạng 2: Biết hoành độ tiếp điểm x0
+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)
+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)
+ Tính y0 = f(x0)
+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)
• Dạng 3: Biết tung độ tiếp điểm y0
+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)
+ Giải phương trình y0 = f(x0), tìm x0
+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)
+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)

-16-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Dạng 4: Tại giao điểm của (C) với đường (C’): y = g(x)
+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)
+ Giải phương trình f(x0) = g(x0), tìm x0, y0 = f(x0)
+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)
+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)
• Dạng 5: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến
+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0, y0) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0

+ Tính y’, giải phương trình f’(x0) = k tìm x0, y0 = f(x0)
+ PTTT với (C) là: y = k(x – x0) + y0
+ Chú ý:
−
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y ' ( x 0 ) = a
−

Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y ' ( x 0 ) = −

1
a

• Dạng 6: Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1; y1)
+ Gọi d: y = k(x – x1) + y1 (1) là đường thẳng qua M1(x1, y1) có hệ số góc k
f ( x ) = k ( x - x1 ) + y1
( *)
+ Điều kiện để d tiếp xúc (C) là: 
f' ( x ) = k
+ Giải (*) tìm k, thay k vào (1) để có phương trình tiếp tuyến
+ Chú ý: Số tiếp tuyến đi qua M1(x1; y1) phụ thuộc vào số nghiệm k tìm được.
17.23. Tìm điểm M sao cho từ M kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)

• Gọi M(x0, y0), pt đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y = k ( x − x 0 ) + y 0
f ( x ) = k ( x − x 0 ) + y 0
• d là tiếp tuyến của (C)  hệ 
f ' ( x 0 ) = k

( 1)
( 2)

có nghiệm

• Thay (2) vào (1), ta được f ( x ) = f ' ( x ) ( x − x 0 ) + y 0 ( 3)
• Từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  pt (3) có n nghiệm phân biệt

17.24. Tìm điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
• Gọi M(x0, y0), pt đường thẳng d qua M có hsgóc k: y = k ( x − x 0 ) + y 0

f ( x ) = k ( x − x 0 ) + y 0

f ' ( x 0 ) = k

• d là tiếp tuyến của (C)  hệ 

-17-

( 1)
có nghiệm
( 2)


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Thay (2) vào (1), ta được f ( x ) = f ' ( x ) ( x − x 0 ) + y 0 ( 3 )
• Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
• Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau  f ' ( x1 ) .f ' ( x 2 ) = −1

17.25. Sự tương giao của các đồ thị: Cho (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x)
• Căn cứ vào số nghiệm của ptrình kết luận số giao điểm của (C) và (C’).

17.26. Tương giao của đồ thị (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) và trục Ox
• Lập PTHĐGĐ: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1)
x = x0
2
• Cách 1: (1)  ( x − x 0 ) a1x + b1x + c1 = 0  
2
g ( x ) = a1x + b1x + c1 = 0

(

)

 ∆ g > 0
+ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  
g ( x 0 ) ≠ 0
  ∆ g > 0

 g ( x 0 ) = 0
+ (C) cắt Ox tại 2 điểm  
  ∆ g = 0

 g ( x 0 ) ≠ 0
∆g < 0

+ (C) cắt Ox tại 1 điểm    ∆ g = 0

 g ( x 0 ) = 0
• Cách 2: (1)  h ( m ) = g ( x ) (2)
+ Lập bảng biến thiên cho hàm y = g ( x ) (hàm này không chứa tham số m)

+ Pt (2) là PTHĐGĐ của (C’): y = g(x) và đường thẳng d: y = h(m) (d ⊥ Oy),
dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị của m theo số giao điểm của (C) và
Ox
• Cách 3: (sử dụng cực trị của (C))
+ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 15.7)
+ Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 15.13, tìm được tọa độ hai
điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)

-18-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
+ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  y1.y 2 < 0
+ (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  y1.y 2 = 0
 y1.y 2 > 0
+ (C) cắt Ox tại 1 điểm phân biệt  (C)
 không có cực trị


17.27. Tìm m để đồ thị (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt đường thẳng
d: y = Ax + B tại ba điểm phân biệt thỏa mãn hệ thức (*)
• Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt (xem mục 17.26) (1)
• Vận dụng định lý Viet khai triển hệ thức (*) giải tìm m
• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.28. Tương giao của đồ thị (C): y = ax 4 + bx 2 + c và trục Ox
• Lập PTHĐGĐ: ax 4 + bx 2 + c = 0 (1)
• Đặt t = x 2 ≥ 0 , (1)  at 2 + bt + c = 0 (2)
∆ > 0


• (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương pb   P > 0
S > 0

∆ > 0

• (C) cắt Ox tại 3 điểm  (2) có nghiệm t1, t2 thỏa 0 = t1 < t 2   P = 0
S > 0

P < 0

 t1 < 0 < t 2
∆ = 0
• (C) cắt Ox tại 2 điểm  (2) có nghiệm t1, t2 thỏa 
 
t
=
t
>
0

 b
1 2
− > 0
  2a
∆ < 0

∆ ≥ 0
• (C) không cắt Ox  (2) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm âm   
P > 0


  S < 0

-19-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
ax + b
tại hai điểm phân biệt
cx + d
M, N sao cho MN = k, MN ngắn nhất, ΔOMN vuông tại O, S ΔOMN = k ,…

17.29. Tìm m để đt d: y = px + q cắt đồ thị (C): y =

• Lập PTHĐGĐ của (C) và (d) :

ax + b
= px + q
cx + d

d

x ≠ − ÷
c


 g ( x ) = Ax 2 + Bx + C = 0 (1)
• Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
∆ > 0
d


 pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác −    d 
(*)
c
g  − c ÷ ≠ 0

 
• Gọi M ( x1 , px1 + q ) , N ( x 2 , px 2 + q ) là 2 giao điểm
uuuu
r
uuur
• Tính độ dài MN = a 'm 2 + b 'm + c ' , OM = ( a1 , b1 ) ,ON ( a 2 , b 2 )
• Giải phương trình MN = k tìm m
b'
• MN ngắn nhất  m = −
2a '
uuuu
r uuur
• ∆OMN vuông tại O  OM.ON = 0
1
a1b 2 − a 2 b1 = k
2
• Kết hợp với điều kiện (*) để đưa ra kết quả
• S∆OMN = k 

17.30. Tìm m để đường thẳng d: y = px + q cắt đồ thị (C): y =

ax + b
tại hai
cx + d

điểm thuộc cùng một nhánh, thuộc hai nhánh,…
• Lập PTHĐGĐ của (C) và (d) :

ax + b
d

= px + q  x ≠ − ÷
cx + d
c


 g ( x ) = Ax 2 + Bx + C (1)
∆ > 0

• (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (C)    d 
 A.g  − c ÷ > 0




 d
• (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C)  A.g  − ÷ < 0
 c
-20-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
17.31. Biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 bằng đồ thị (C): y = f(x)
• Biến đổi ptrình F(x, m) = 0 về dạng: f(x) = g(m) (*)
• Phương trình (*) là pthđgđ của (C) và đthẳng (d) : y = g(m) (d ⊥ Oy)

=>Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và (d)
• Dựa vào đồ thị (C) kết luận số nghiệm của phương trình

17.32. Vẽ đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối từ đồ thị (C): y = f(x)
• Dạng 1: Đồ thị (C1): y = |f(x)| gồm phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành
và đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành
• Dạng 2: Đồ thị (C2): y = f(|x|) gồm phần đồ thị (C) ở phía bên phải trục
tung và đối xứng phần đồ thị (C) bên phải trục tung qua trục tung

17.33. Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm): y = f(x, m)
• Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của (Cm), ta có y0 = f ( x 0 , m ) ∀m (1)
A = 0
• TH1: (1)  Am + B = 0 ∀m  
B = 0
A = 0

• TH2: (1)  Am2 + Bm + C = 0 ∀m   B = 0
C = 0

• Giải các hệ phương trình trên tìm x0, y0.

17.34. Chứng minh I(x0, y0) là tâm đối xứng của đồ thị (C): y = f(x)
x = x 0 + X

• Công thức dời hệ trục Oxy sang hệ trục IXY: y = y + Y
0


• Viết lại phương trình (C) trong hệ trục IXY: Y = F(X)
• Chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ => (C) nhận I(x0, y0) làm tâm đối xứng

ax + b
17.35. Tìm các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị (C): y =
cx + d
ax + b
n
=m+
• Ta viết lại y =
cx + d
cx + d
n
• Gọi M(x0, y0) ∈ ( C ) với x 0 , y0 ∈ ¢ => y0 = m +
cx 0 + d

( cx 0 + d ) , giải tìm x0, từ đó suy ra tọa độ M.
• Để y0 ∈ ¢ => n M

-21-


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
18. Bảng nguyên hàm của một số hàm số
Nguyên hàm
của các hàm số
sơ cấp

∫ dx = x + c
∫

α

x dx =

x

1

∫

dx = -

n

dx

α +1

α +1

∫

+c

1

( n -1) xn-1

+c

( x ≠ 0)
x

a

+c

1

∫u

n

α +1

+c

∫

1

du = -

du

∫ ( ax + b )

( n - 1) un-1

+c

= ln u + c

u

∫ e du = e
u

x

∫ a dx = ln a + c
x

α +1

( a > 0, a ≠ 1)

u

a

(

1 ax + b

=

n

)

α+1

a

1

∫ ( ax + b )

dx

α +1

+ c

∫e

+c

ax + b

( α ≠ − 1)

1
1
dx = - .
+ c,n ≠ 1
a ( n -1) ( ax + b ) n-1

dx

1

dx =

1
a

e

ax + b

( ax + b ≠ 0 )

+c

u

∫ a du = ln a + c
u

α

∫ ax + b = a ln ax + b + c

( u ≠ 0)

∫ e dx = e
x

u

α

u du =

( α ≠ −1)

= ln x + c

x

Nguyên hàm mở rộng

∫ du = u + c

( α ≠ −1)

∫x

Nguyên hàm của
các hàm số hợp
u = u(x)

∫

( a > 0; a ≠ 1)

a

bx + c

dx =

a

bx + c

b. ln a

+c

( a > 0; a ≠ 1)

1

∫ cos xdx = sin x + c ∫ cos udu = sin u + c

∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c

∫ sin xdx = −cosx + c ∫ sin udu = − cos u + c

∫ sin ( ax + b ) dx = −

dx

∫ cos x
2

dx

∫ sin

2

x

du

= tan x + c

∫ cos u = tan u + c

= − cot x + c

∫ sin

2

du
2

u

= − cot u + c

-22-

∫

dx
cos

2

( ax + b )
dx

∫ sin ( ax + b )
2

=

= −

1
a

1
a
1
a

cos ( ax + b ) + c

tan ( ax + b ) + c

cot ( ax + b ) + c


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
19. Phương pháp tìm nguyên hàm

• Phương pháp đổi biến số:

∫ f u ( x )  u' ( x ) dx = F u ( x )  + c

(F là một nguyên hàm của f)

• Phương pháp nguyên hàm từng phần:

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ v ( x ) .u' ( x ) dx

• Chú ý:

+ Đối với các nguyên hàm dạng: ∫ P ( x ) e .dx, ∫ P ( x ) sinax.dx, ∫ P ( x ) cosax.dx
với P(x) là đa thức thì nên chọn u(x) = P(x), v’(x) là nhân tử còn lại.
+ Đối với các nguyên hàm dạng: ∫ P ( x ) lnax.dx thì nên chọn u(x) = lnax,
v’(x) là nhân tử còn lại.
ax

20. Tích phân
b

• ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) (F là một nguyên hàm của f)
a

b

u( b )

a

u( a )

• Công thức đổi biến số: ∫ f u ( x )  u' ( x ) dx =

∫ f ( u ) du

b

b

• Công thức tp từng phần: ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) a − ∫ v ( x ) u' ( x ) dx
b

a

a

21. Ứng dụng của tích phân
Hình phẳng (H)
( C ) : y = f ( x )

Ox : y = 0
x = a; x = b

( C ) : x = g ( y )

Oy : x = 0
y = a; y = b


( C ) : y = f ( x )


( C' ) : y = g ( x )


x = a; x = b

( C ) : x = f ( y )


( C' ) : x = g ( y )


y = a; y = b

Diện tích (H)
b

SH =

∫
b

∫

VOy

b

f ( x ) dx

VOx = π ∫ f 2 ( x ) dx

a

SH =

VOx

a

b

g ( y ) dy

VOy = π ∫ g2 ( y ) dy

a

a

b

b

SH = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

VOx = ∫ f 2 ( x ) − g2 ( x ) dx

a

Đthị (C) và (C’) nằm
cùng phía với Ox
b

b

SH = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a

-23-

VOy =

∫ f ( y ) − g ( y ) dy
2

2

a

Đthị (C) và (C’) nằm
cùng phía với Oy


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
22. Một số phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ
• Dạng 1:

∫x

xdx
1
= ln x 2 ± a + c (đổi biến t = x 2 ± a )
2
±a 2

dx
1
x−a
π
π
=
ln
+ c , a ≠ 0 (đổi biến x = asint, − ≤ t ≤ )
2
−a
2a x + a
2
2
2
x
dx , a ≠ 0
• Dạng 2: I = ∫
α
( ax + b )

∫x

2

2
Sử dụng đồng nhất thức: x =

Ta được:

x2

( ax + b )

α

1 
2
ax + b ) − 2b ( ax + b ) + b 2 
2 (

a


1 
1
2b
b2
= 2 .
−
+
α −2
α −1

α 
a  ( ax + b )
( ax + b )
( ax + b ) 

dx
,a ≠ 0
ax + bx + c
Ta xét 3 khả năng của ∆ = b 2 − 4ac

• Dạng 3: I = ∫

+ Nếu ∆ > 0 thì

2

 1
1
1
1
1 
=
=
−

÷
ax + bx + c a ( x − x1 ) ( x − x2 ) a ( x1 − x2 )  x − x1 x − x2 
2

1

1
+ Nếu ∆ = 0 thì ax 2 + bx + c =
2
a ( x − x0 )

(

)

2
2
+ Nếu ∆ < 0 thì viết được ax + bx + c = a ( x + d ) + e .
2

 π π
Đặt x + d = etant với t ∈  − ; ÷
 2 2
P ( x)
dx, a ≠ 0 , bậc của P(x) lớn hơn 1
• Dạng 4: I = ∫ 2
ax + bx + c
+ Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho ax 2 + bx + c , ta được:
P ( x)
λx+ µ
λ
2ax + b
λb 
1

= Q ( x) + 2

= Q ( x) + . 2
+µ − ÷ 2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
2a ax + bx + c 
2a  ax + bx + c
λ
2ax + b
λb 
1

dx +  µ − ÷∫ 2
dx
+ Khi đó: I = ∫ Q ( x ) dx +
2
∫
2a ax + bx + c
2a  ax + bx + c

Chú ý: Với ∆ = b 2 − 4ac > 0 thì ta có:

-24-

λx+ µ
=
ax 2 + bx + c

1 A
B 

+

÷
a  x − x1 x − x2 


ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
• Dạng 5: I = ∫

a1 x 2 + b1 x + c1
2
dx
( x − α ) ( ax 2 + bx + c ) . Ta xét 3 khả năng của ∆ = b − 4ac

a1 x 2 + b1 x + c1
A
B
C
=
+
+
+ Nếu ∆ > 0 thì
2
x
−
α
x
−
x
x

−
x2
( x − α ) ( ax + bx + c )
1

+ Nếu ∆ = 0 thì

a1 x 2 + b1 x + c1
A
B
C
=
+
+
2
( x − α ) ( ax + bx + c ) x − α x − x0 ( x − x0 ) 2

+ Nếu ∆ < 0 thì:

B ( 2x + b)
a1 x 2 + b1 x + c1
A
C
=
+ 2
+ 2
2
( x − α ) ( ax + bx + c ) x − α ax + bx + c ax + bx + c

dx

• Dạng 6: I = ∫

,a ≠ b

( x + a) ( x + b)
( x + a) − ( x + b)
Sử dụng đồng nhất thức:
2

2

a −b

⇒

=1
2

1

( x + a) ( x + b)
2

2

=

 ( x + a) − ( x + b) 
1

1 
 1
−
=
 =
2 
( a − b )  x + b x + a 
( a − b) ( x + a ) ( x + b) 

 1
2  1
1 
1 
−
−



÷+
2
a − b  x + b x + a  ( x + a ) 2 
 ( x + b )

1

( a − b)

2

2

23. Một số phương pháp tìm nguyên hàm các hàm lượng giác
dx
• Dạng 1: I = ∫ sin x + a sin x + b
(
) (
)

+ Sử dụng đồng nhất thức: 1 =
+ Ta được: I =

1
sin ( a − b )

sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b ) 
=
sin ( a − b )
sin ( a − b )

sin 
( x + a ) − ( x + b ) 


∫ sin ( x + a ) sin ( x + b )

dx

sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b )
dx
sin ( x + a ) sin ( x + b )

=

1
sin ( a − b )

=

 cos ( x +b )

cos ( x + a )
1
dx − ∫
dx 
∫
sin ( a −b )  sin ( x +b )
sin ( x + a )


∫

Chú ý: Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau:
sin ( a − b )

dx

+ I = ∫ cos x + a cos x + b , sd đồng nhất thức 1 =
sin ( a − b )
(
) (

)

-25-