Cơ sở, số chiều của một không gian vecto

$6. Cơ sở, số chiều
của một không gian véc tơ


6.1 ¡ SỰ ĐỘC LẬP, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU
Cho v1, ... ,vn thuộc không gian vectơ V, x1, ... , xn ∈! .
Tổng x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn được gọi là một tổ hợp tuyến tính
của v1, ... ,vn.
Kí hiệu Span(v1, ... , vn): = { x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn | xi ∈ ! }.


CHÚ Ý
a) Nếu v1, ... ,vn là tất cả những vectơ cột của ma trận
A, thì C(A) = Span(v1, ... , vn).

b) Span(v1, ... , vn) là một không gian vectơ con của V
sinh bởi (hoặc căng bởi) v1, ... ,vn.


Span(v1, v2, vn) =
mặt phẳng đi qua
gốc toạ độ

Span(v1, v2, vn) =
đường thẳng đi
qua gốc toạ độ
Span(v1, v2, vn) = !

3

ĐỊNH NGHĨA 6.1.1 Tập {v1, ... ,vn} được gọi là một tập
sinh của không gian V ⇔ ∀ b ∈ V, ∃ xi ∈ ! :
b = x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn

CHÚ Ý Tập tất cả các vectơ cột của ma trận A là tập
sinh của C(A). Tập tất cả các vectơ hàng của ma trận A
T

là tập sinh của C(A ). Tập tất cả những nghiệm đặc biệt
của Ax = 0 là tập sinh của N(A).


2

VD6.1.1 Những tập nào sau đây là tập sinh của R ?
⎧
(a) ⎨
⎩

⎡1 ⎤
⎢ ⎥,
⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣1 ⎦ ⎭

⎧ ⎡1 ⎤
(b) ⎨ ⎢ ⎥ ,
⎩ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤
⎢ ⎥,
⎣1 ⎦

⎡4⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣7 ⎦ ⎭

⎧ ⎡1⎤
(c) ⎨ ⎢ ⎥ ,
⎩ ⎣1⎦

⎡ −1⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣ −1⎦ ⎭


n

KÝ HIỆU ej là vectơ của R mà có thành phần thứ j bằng
1 còn những thành phần khác bằng 0.
! ⎡1 ⎤ !
⎡0 ⎤
2
Trong ! : e1 = ⎢ ⎥ , e2 = ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎣1 ⎦
⎡1 ⎤
⎡0 ⎤

! ⎢ ⎥ !
!
⎢ ⎥
3
Trong ! : e1 = ⎢0 ⎥ , e2 = ⎢1 ⎥ , e3 =
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦

⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
n

CHÚ Ý: {e1, ... , en} là một tập sinh của R .


ĐỊNH NGHĨA 6.1.2
1) Các vectơ v1, v2, ... ,vn của không gian vectơ V được
gọi là độc lập tuyến tính, nếu x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn = 0
kéo theo x1 = x2 = ...= xn = 0.

2) Các vectơ v1, v2, ... ,vn của không gian vectơ V phụ
thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập tuyến tính.


VD6.1.2 Các cặp vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính:
⎧
(a) ⎨

⎩

⎡1 ⎤
⎢ ⎥,
⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣1 ⎦ ⎭

⎧ ⎡1 ⎤
(b) ⎨ ⎢ ⎥ ,
⎩ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤
⎢ ⎥,
⎣1 ⎦

⎡4⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣7 ⎦ ⎭

⎧ ⎡1⎤
(c) ⎨ ⎢ ⎥ ,
⎩ ⎣1⎦

⎡ −1⎤ ⎫
⎢ ⎥⎬
⎣ −1⎦ ⎭

Minh họa hình học

(a) v1, v2 phụ thuộc

(b) v1, v2 độc lập

tuyến tính

tuyến tính


(c) v1, v2 , v3 phụ thuộc

(d) v1, v2, v3 độc lập

tuyến tính

tuyến tính


Nhận xét
1) A là ma trận có các vectơ cột là v1, ... ,vn, x = (x1, x2,
... , xn), thì x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn = Ax, nên v1, ... ,vn độc lập
tuyến tính ⇔ Ax = 0 có nghiệm duy nhất
2) Một vectơ v độc lập tuyến tính ⇔ v ≠ 0


VD6.1.3 Xác định các vectơ sau đây có phụ thuộc
tuyến tính hay không

⎡1 ⎤
v1 = ⎢ 2 ⎥ , v2 =
⎢ ⎥
⎢⎣3⎥⎦

⎡2⎤
⎢ 8 ⎥, v =
⎢ ⎥ 3
⎢⎣10⎥⎦

⎡3⎤
⎢10⎥ .
⎢ ⎥
⎢⎣13⎥⎦


Hệ quả

Nếu n > m thì mọi dãy gồm n vectơ trong R

m

phụ thuộc tuyến tính.
⎧ ⎡1 ⎤
VD6.1.4 Các vectơ ⎨ ⎢ ⎥ ,
⎩ ⎣0 ⎦

tính.

⎡0 ⎤

⎢ ⎥,
⎣1 ⎦

⎡4⎤ ⎫
⎢ ⎥ ⎬ phụ thuộc tuyến
⎣7 ⎦ ⎭


ĐỊNH NGHĨA 6.1.3 Tập vectơ {v1, v2, ... , vn} được gọi
là một cơ sở của không gian vectơ V nếu thoả mãn:
1. V = span (v1, v2, ... , vn)
2. v1, v2, ... , vn độc lập tuyến tính.
độc
span

cơ
sở

lập
tuyến
tính


n

VD6.1.5 {e1, e2, ... , en} là một cơ sở của ! được gọi là
cơ sở chính tắc.
! !
Do đó, {e1, e2 } = { i , j } là

cơ sở chính tắc của !

2

! ! !
{e1, e2 , e3} = { i , j , k } là
3

cơ sở chính tắc của ! .


TÍNH CHẤT a) {v1, ... , vn} là cơ sở của !

n

⇔ r([v1, ... ,vn]) = n ⇔ det[v1, ... ,vn] ≠ 0

VD6.1.6
⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫
2
!
là
cơ
sở
của
,
⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬
⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭

1 2

vì
≠0
2 5


b) Nếu {v1, ... , vn} là cơ sở của không gian V, thì mỗi v
∈V , tồn tại duy nhất xi (1 ≤ i ≤ n ): v = x1v1 + ⋅⋅⋅+ xnvn


ĐỊNH NGHĨA 6.1.4 Nếu V có một cơ sở gồm n vectơ, ta
nói rằng V có số chiều bằng n. Kí hiệu dim V = n
Quy ước không gian Z = {0} có số chiều bằng 0.
⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫
2
2
VD6.1.7 Vì ⎨⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ là cơ sở của ! nên dim ! = 2.
⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭

Ý nghĩa: số chiều là một chỉ số đo "độ lớn" của một
không gian.


6.2 ¡ CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA BỐN KHÔNG GIAN
CON LIÊN QUAN TỚI MỘT MA TRẬN
Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1)
Cho A là ma trận m×n , r(A) = r. Khi đó:
T

dim C(A) = dim C(A ) = r
dim N(A) = n - r.

T

dim N(A ) = m - r.


T

dim R = dim C(A ) = r
dim K = dim N(A) =n-r

dim C= dim C(A) = r
T

dim L= dim N(A ) = m-r


CHÚ Ý: Biến đổi A → U
Cơ sở của C(A): Tập tất cả các cột trụ của A
Cơ sở của C(AT): Tập tất cả các hàng trụ của A
Cơ sở của N(A): Tập tất cả các nghiệm đặc
biệt của Ax = 0
T

Cơ sở của N(A ): Tập tất cả các nghiệm đặc
T

biệt của A y = 0


VD6.2.1 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con

chủ yếu liên quan đến

⎡ 1 3 0 5 ⎤
⎢
⎥
A = ⎢ 2 6 1 16 ⎥ .
⎢
⎥
⎢ 5 15 0 25 ⎥
⎣
⎦
Giải


NHỮNG Ý CHÍNH
1. Tập sinh của một không gian vectơ.
2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.
3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ.
4. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về
chiều của bốn không gian con liên quan đến một ma
trận.