Giá trị riêng và vecto riêng

$ 7. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG


7.1 ¡ KHÁI NIỆM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG
ĐỊNH NGHĨA 7.1.1 Cho A là một ma trận n×n. Nếu tồn
tại vô hướng λ và vectơ v ≠ 0
sao cho Av = λv thì λ được gọi
là một giá trị riêngcủa A, vectơ
v được gọi là một vectơ riêng
của A ứng với λ.


Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A:
Bước 1 Giải p.t đặc trưng det(A - λI) = 0, tìm các giá trị
riêng λ1 , λ2 ,... .
Bước 2 Giải hệ (A- λi I)x =0. Nghiệm không tầm thường
x = xi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λi .
⎡ 2
VD7.1.1 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A = ⎢
⎢⎣ 1

1 ⎤
⎥
2 ⎥⎦



VD7.1.2

Tìm giá trị riêng phức và vectơ riêng thuộc C

của ma trận
⎡ 0 1⎤
A=⎢
.
⎥
⎣ − 1 0⎦

n


Chú ý:
1) Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác
nhau.
2) Một vectơ riêng chỉ ứng với duy nhất một giá trị riêng.


m

Định lý 7.1.1 Cho f(x) = b0 + b1x + ⋅⋅⋅ + bmx và ma trận A
cỡ n × n có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng λ.
-1

(i) Nếu A khả nghịch thì A có vectơ riêng v ứng với giá
-1

trị riêng λ .
(ii) Ma trận f(A) có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng f(λ).

VD7.1.3 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A10 - 3A + 2I
⎡ 2

nếu A = ⎢
⎢⎣ 1

1 ⎤
⎥
2 ⎥⎦


Định lý 7.1.2 Nếu A = (aij) là ma trận n×n có n giá trị riêng
λ1, λ2, ... , λn, thì
λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann
= tr(A) ( gọi là vết của A)
λ1λ2⋅⋅⋅λn = detA.

VD7.1.4 Tính định thức của A10 - 3A + 2I nếu
⎡ 2
A=⎢
⎢⎣ 1

1 ⎤
⎥
2 ⎥⎦


7.2 ¡ CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN
Ký hiệu ma trận đường chéo

Λ=

⎡ λ

⎤
⎢ 1
⎥
λ2
⎢
⎥
⎢
⎥
!
⎢
⎥
λn ⎥
⎢
⎣
⎦

Định nghĩa 7.2.1

= diag(λ1, ... , λn)

Một ma trận vuông A được nói là

chéo hóa được nếu tồn tại ma trận S khả nghịch và ma
-1

trận đường chéo Λ sao cho S AS = Λ.


n giá trị riêng

n vectơ riêng

λ1,...,λn

v1, ... ,vn độc

một

đôi
khác

An×n chéo
hóa được

lập tuyến tính

nhau
VD7.2.1 Xét xem ma trận sau có chéo hóa được không

⎡ 1 1 ⎤
a) A = ⎢
⎥
⎣ 2 2 ⎦

⎡ 1 −1 ⎤
b) B = ⎢
⎥
⎣ 1 −1 ⎦

⎡ 2 1 ⎤

c) C = ⎢
⎥
⎣ 0 2 ⎦


Chú ý
1) Λ = diag(λ1, ... , λn) là ma trận giá trị riêng ,
S =[ v1, ... ,vn] là ma trận vectơ riêng,

2) Ma trận vectơ riêng S không duy nhất.

-1

-1

3) Nếu S AS = Λ, thì A = SΛS .


ỨNG DỤNG: TÍNH LŨY THỪA CỦA MỘT MA TRẬN
-1

-1

m

m

Nếu S AS = Λ thì S A S =Λ .
m

m

-1

Khi đó A = S Λ S .

VD7.2.2

Tính A

10

biết rằng

⎡ 1
A=⎢
⎢⎣ 2

2 ⎤
⎥
1 ⎥⎦


NHỮNG Ý CHÍNH

1. Giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận.
2. Ma trận chéo hóa được

&