450 bài toán trắc nghiệm và tự luận hình học giải tích có đáp án

TRẦN MINH Q
[«

PHỊ
apG
Ha NỘI
LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT, ĐẠI HỌC & CAO
ĐANG THEO HƯỚNG RA ĐẾ THI TRẮC
NGHIỆM TỪ NĂM 2007


NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRẨN MINH QUANG
Cử nhăn giáo khoa Tốn
450 BÀI TỐN

TRẮC NGHIỆM VÀ Tự LUẬN
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

• LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN SINH VÀO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

. THEO HƯỚNG RA ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TỪ NAM 2007


NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIĨ
HÌNH HỌC GIẢI TẾCH THÈN MẶT PHẲNC Oxy

VECrvm

1. Định nghĩa

a) Vcctơ là một đoạn thẳng có hưởng.

b) Hai vcctơ cùng phương khi chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

c) Hai vcctơ bàng nhau khi chúng cùng hưởng và có cùng độ dùi.

Chú ý : ABCD lù hình bình hành <=> AB = DC <=> AD = BC

2. Tổng - Hiệu hai vectơ

Cho các vcctơ a, b, c khác 0

a) Cộng hai vcctơ a và b :

b

AtB

3


Quy tấc ba điểm :AC = AB + BC

Tính chất : a + b = b + a a + 0 = a

(a + b) + c = a + (b + c)

b) Hiệu hai vcctơ : a-b = a + ( - b )

Quy tắc ba điểm : AB = OB - OA với o là điểm tùy ý.

3. Tích vectơ a và 8ố thực k

a) Định nghĩa : Tích vcctơ a * 0 và số thực k là một vectơ kí hiệu ka cùng hướng a nếuk > 0,
ngược hướng a nếu k < 0 và I 1 = 1^1 I a

4


b) Tính chất :

k(a+b) = ka + kb (hy k e R)

(h + k) à = h a + k a h(k a) = (hk) a = k(h
a)

c) Cho a và b * 0
—*

—►

a cùng phương b < = > 3 k e R : a = k b
4. Tích vô hưởng 2 vectơ: Cho a, 6 khác 0

Định nghĩa : a.h = IaI 16 Icos(a; b) Tính
chất :

a.b-b.a

-* —♦ —¥ —¥ —*■ -♦ -+ a ( b + c ) = a . b + a . c
—¥ —♦

—» -»

a 1 b <=> a . 6 = 0

V ớ i h y k € R : ( k . a ) . ( h b ) = /ỉ/ef a . 6 >)
Ia|2=a2
Ca ± 6>2 =la|2 + |ò|2

5


Ca + 6Jfa-6>=|a|2- |ị|2.

BÀI TẬP
Bài 1. Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm BC và AD. Gọi I là giao điếm AM
và BN, K là giao điểm DM và CN.
Chứng minh AM = NC và DK = IB ._____________________________________
GIẢI
• Ta có AM // MC và AN = MC nên ANMC là hình bình hành.
Do đó AM = NC.

MNDC hình

bình hành nên
DK = ỈDM.
2
Do ANMB hình bình hành nên
ĨB = ỈNB.
2

6


Do NDMB hình bình hành nên NB = DM.
Vậy DK = ĨB\ ■

ho 5 điểm bất kì A, B, c, D, E. Chứng minh :
ÃC+DE-DC-CE + CB = ÃB.

Ta có : ÃC+DE-DC-CE + CB
= AC + (AE - AD) - (AC - AD) - (AE - AC) + (AB - AC)
= ÃC+ÃE-ÃD-ÃC+ÃD-ÃE+ÃC + ÃB-ÃC = ÃB
Bà i s. Cho ABCD là hình vng cạnh a, tâm o.
Tính lÕA-CBl và ICD-DAI theo a.

•

ÕA- CB = CO- CB = BO

Vậy
IÕA-

CB|= OB = —.
2

CD - DA = -(DC + DA) = - DB

Vậy
GIẢI

7


|CD-DA|=|-DBI=DB = aV2.

MB = 2MC
MB = - BC
3

=> BM = - BC
3
' ' ữ .có : ÃM = ĂB + BM = ÃB + -BC
3
= AB + - (Ăc - AB) = — Ãc + — ĂB .

2

3

3

ho AABC CÓ trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. Lây K trên
doạn AC sao cho AK = ì AC. Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
3

8


GIÃI

Ta có : BI = ỉ (BA + BM) = — BA + — BC

2

2

4

BK = ĂK-ÃB = -ÃC-ÃB 3
= — (BC - BA) + BA

1

2 z r + 4 f 1 —*

1 —►'í

4 —*

+ — BA = — -BC + -BA = - BI
3

3

, K thẳng hàng.
3

ọi G và G’ lần lượt

là trọng tâm AABC và AA'B’C’. Chứng minh

ÃA ’ + BỴB ' + CC

'.
GIẢI
Gọi M là trung điểm BC.

Ta có :

GA + (GB + GC) = -2 GM + 2 GM = 0 (do GA = 2GM)

Tương tự <ỹẴ' + CTB' + cTc' = 0

9

A


Ta có ÃA' = ÃG + GG'+ CTA'

BB' = BG + GG' + CTB' cc ' = CG + GG ' + GT3'
Vậy AA' + BB*' + CC' = (AG + BG+ CG) + 3GG'+ (GÀ' + GTỈ' + G'C')
= 0 + 3GG'+ 0 = 3GG'.

■

________»_____________________________________________________________-■■■_____
Bài 7. Cho AABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H và G lần lượt- là trực tâm và trọng tâm
AABC. Gọi D là điếm đối xứng của A qua o.

Chứng minh :

a) BD = HC

b)ÕA+ÕB + ÕC = ÕH

c) Ba điểm O, G, H tháng hàng.__________________________________________________
GIẢI

a) Ta có : ABD = ẢCD = lv (góc nội tiếp chắn — đường trịn)
2

10


ro . BD // CH (cùng 1 AB) và BH // CD (cùng 1 AC)

Vậy BDCH hình bình hành => BD = HC.

b)

HD cắt BC tại M thì M là trung điểm BC. AAHD có OM là đường trung bình nên
ỎM = -ÄH 2
Ta có : ƯA + (OB + OC) = OA + 20M

= OA + ÄH = OH

c)

Ta có OA + OB + OC = (OG + GA) + (OG + GB) + (OG + GC)

= 3 0G + GA + GB + GC = 3 0G

mà OA + OB + oc = OH (câu b)

Vậy OH = 3 0G nên O, G, H thảng hàng. ■
Bài 8. Cho A ABC. Tìm tập hợp các điếm M sao cho :

a) 2I MA + MB + MC i = 3| MB + MC I
b) 2MA - MB+ MC= k(MB- MC) với k e R\|0|.

11


GI

a)

Gọi G là trọng tâm AABC thì MA + MB + MC = 3 MG
Gọi I là trung điểm BC thì MB + MC = 2 MI
Vậy 2IMA + MB + MCI = 3|MB + MCI «=>

2|3MG|= 3|2 Mil
O

MG = MI

Do đó tập hợp điếm M là đường trung trực cúa GI.

b)

Gọi E là điểm sao cho :

2 EA - EB + EC = 0
»

2 ẼA = ẼB - EC = CB « AE = — BC
2

Ta có : 2 MA - MB + MC = 2(ME + ẼA) - (ME + ẼB ) + (ME + EC)

12


Mặt khác : MB - MC = CB

= 2ME+ 2ẼA- ẼB+ EC = 2ME+ oDo dó 2 M A - M B + M C = k ( M B - M C ) « M E =
ặcB(k*0)
2
V ậ y t ậ p h ợ p c á c điểm M là đường thẳng qua E cố định và song S0;ig với

BÀI TẬP Tự GIẢI
BT1. Cho ABCD là tứ giác có M, N, P Q theo thứ tự là trung điểm AD, BC, DB, AC. Gọi I là
trung điểm MN. Chứng minh :

a) MN = ỉ (AB + DC)

b) PQ = - (AB - DC)

2

2

OB + oc + OD = 0.

o AABC. Gọi D và I là điếm sao cho :

3 DB - 2 DC = 0 và IA+3 IB*-2 le = 0.
a) Tính AD theo AB và AC.

b) Ba điếm I, A, D thẳng h.àig.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
I MA + 3 MB - 2 Mc| = |2MA - MB - MCI.
BT3. Cho AABC và M bât kì. Gọi A', B', C' theọ thứ tự là trung đliêin BC, CA, AB. Chứng
minh :

a) AABC và AA'B'C’ CÓ cùng trọng tâm.
b) MA + MB + MC = MA' + MB'+MC'.

o lục giác đều ABCDEF và điếm M tùy ý. Chứng minh rằng :
MA + MC + ME = MB + MD + MF.

o hai điểm A, B có o là trung điếm.
Cho M thỏa I MA + MB I = I MA - MB |. Chứng minh AB = 20M.
BT6. Cho AABC và M, N, p là các điểm sao cho : MB = 3 MC, NC = 3 NA, PA = 3 PB. Chứng
minh :

13

Mặt khác : MB - MC = CB

a) Với I bất kì thì 2 ĨM = 3 ïc - ÏB .
b) Hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

14


ứ

BT7. Cho AABC và hai điểm M, N sao cho BC = AM, NA = AB - 3 AC Chứng minh MN //
AC.37 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
□

0

E

□

0
giác

lồi

ABCD. Sò vectơ * 0có diêm đầu điếm cuối là 2 đỉnh cùa tứ giác là :

à hình bình hành khi và chi khi :

a) ÄB = CD

b)

BC = DA

c) BA = CD

d)

AC = BD .

C AB.BC = 0

C ÃC 1 BD

D AC = BD
AB

=

c)

, ÃD = BC
ịd) •

ÄClBD

CD là hình thang có đáy AB và CD khi và chí khi :

15

15

DC

_
[AC = DB


a) AD//BC

b) AB = k CD với k € R\(0|

à hình chữ nhật khi và chi khi :
k CD với k < 0.

c)
AB = k
CD với
k > 0 [TỊ
ABCD
là hình
thoi khi và chfkhi :
AD và AC là phân giác BAE d) Các kết quả a, b, c đều đúng.

a) AB = DC và AC 1 BD
c) BA = CD và I BA I = lie I I 8 Ị ABCD là
hình vng khi và chỉ khi :

a) AB = DC và AC 1 BD .
b) AB = DC, AB. BC = 0 và Äc . BD - o

c) BC = AD, IACI = IBD
d) AB = BC = CD = AD.

16
16


I

9 I H là chân đường cao hạ từ A trong AABC khi và chỉ khi :

a) AHlBC

b) AH..BC = 0 và BH// BC

c)

AH 1 BC và AB = k BC với k > 0

d)

ÃH 1 BC và ÃH = k BC với k < 0.

chân đường phân giác trong của AABC kẻ từ A khi và chỉ khi :
v IB AB a IC " AC
—* AR —*

b)

IB = — IC AC

c) IB=-— IC

d) IC=-—IA.

AC

AC

3 điểm phân biệt A, B, c. Đẳng thức nào sau là đúng :

a) CA - BA = BC

b) AB + Ãc = BC

c) AB + CA = CB

d) AB - BC = CA.

ABCD là hình bình hành. Kết luận nào sau đây là đúng :

a) Ãc + BD = ĂD

b) AC + BC = AB.

c) AC + BD = 2 BC

d) AC - AD = CD.

Ịĩãj Cho 5 điểm bất ki M, N, P, Q, R. Vectơ tống MN+PQ + RN + NP+QR bàng :

a) MR

b) MN

c) PR

d)

MP.

o ABCD là hình bình hành có tâm o. Kết luận nào sau đây là sai :

a)

ÃC + ÃB+ÃD = 4ÃO b) AB+ CB = BD

c) OA + OB + oc + OD = 0

d) OA + OB = CB.

Cho AABC có G là trọng tâm, I trung điếm BC. Đăng thức nào sau đây là đúng :

a) GA = 2 G?

b) GB + GC = GA

c) ÃB+ Ãc = 6 GĨ

d) ĨG=--ĨA.

3

17
17


Cho AABC đều có tám o. Kết luận nào sau là sai :

18
18

a) OA + OB + õc = 0

b) AB+AC = 3AO

c) lÕAl-lOTl-IÕCl

d) CA + CB = 2CO.


a, b, c bất kì khác 0. Kết luận nào đúng :

a) I a I +1 b I = 1 a + b I

b) I a - b I = 1 a I -1 b t

c) a cùng hướng k a (k € R)
d) a và b ngược hướng c thì a cùng hướng b.
0 Cho AABC thì cặp vectơ nào cùng phương :

2 AC và 2 BC- Ãc

d) BC - AC và BC + ÃC.
a) 2BC+ÃC và BC + 2ÃC
và -10 BC - 2 Ãc
Cho AABC CÓ G trọng tâm, I trung điếm

b) 5 BC + Ãc

BC. Gọi D

là điểm đối xứng của B qua G. Kết luận nào sau đây là đúng :

a) DC = 2 GĨ

b)ÃD = GC

ết luận a, b, c đều đúng

CD là hình bình hành. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BC và CD

thì

AI + AK bằng :

b) — AC

3
c) —
AC

2

.
c) AD = - -AB + — AC

3

3

Cho AABC cố định, M

là diêm di động thỏa I MA + MB + MCI = 3 thì quỹ

tích các điểm M :

a) Đoạn
c) Đường tròn

19
19

thảng

b)
d) Các kết quả a, b, c đều sai.

Đường thẳng


Cho AABC CÓ trọng tâm G, I trung điểm BC. Quỹ tích các điểm N di động mà 2|]^ + NB

+ NC|=3|NB + NC| là :

a) Đường trung trực của IG

b) Đường thẳng qua G và 1 IG

c) Đường thẳng qua G và // IG

d) Đường tròn tâm G, bán kính IG.

Cho AABC, lấy E trên đoạn BC sao cho BE 3 ì BC. Hảy chon kết luận
4
đúng :
b) AE - — AB + — AC 4

4

d) ÃE = — ĂB + Ãc.
4
a) ÃẼÌ = 3 AB + 4 Ãc
c) ĂE = i AB - — Ãc 3 5

20
20


4| Cho ngũ giác đều ABCDE. Kết luận nào sau đây là sai :

a) AB cùng phương EC

b) OA + OB cùng phương oc +• OE

c) ÕA + ÕB + ÕC + ÕE = 0

d) |ĂB|=|BC|=|CE|=IẼA|.

Ẹãl Cho ABCD hình thoi cạnh a có BAD = 60°, o là giao điểm 2 dường chéo. Kết luận nào sau
đây là sai :

DC|=a>/3

d) I BA + BCI = a.
a)

|AB + AD|=a>/3

15 Cho AABC có IAB + AC [=1AB - ACl thì
a) cân

b) đều

b) |BA-BC|=aA/3
AABC :

c) vng tại A

d) vng tại B.

o AABC có AB + AC vng góc AB + CA thì AABC là tam giác :

a) cân tại A

b) cân tại B c) cân tại c

*?•

I a I = 5, I b I = 12, I a + b I = 14 thì a(a +

b) bằng :

a, b *0. Kết luận nào sau dáy là đúng :
2

a) (2 aX-3 b) = -6|a I I b|
p
c) I a 1= Va

21
21

b) (a . b)2 = a . b
p” d) Va = a .

d) đều.


o AABC vng tại c, có AC = b thì AB . AC băng :
1] Cho AABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7 thì AB. AC bằng :

a) 10

b) 20

c) -20

«í

d»il
2
21 Cho AABC đều cạnh a, tâm o thì OB . oc

22
22

bằng :

d) 40.


I 7 I Chọn d.

18 I Chọn b.

Ì3
cạnh a thì giá trị của (AC - AB)(2 AD - AB)bằng :

a) a2 yỈ2

b) -a2 V2

3 I Cho ABCD hình vng

c) a'

Cho AABC vuông tại A. Kết luận nào sau đây là sai :

a) AB . AC < BA . BC

b) AC . CB < AC . BC

c) AB .BC < CA .CB

d) Ãc . BC < BC . AB.

BC vuông tại A, có ABC = 50". Kết luận nào sau đây là sai :

BC) = 130°

b) (BC;ĂC) = 40°

CB) =50°

d) (ÃC;CB) = 120°

AABC vng tại A có ABC = 60°, AB = a thì AC . CB băng :

a) 3a'

b) -3a2

c) a2V3

d) -a2>/3

ABC vng tại c có AC = 9 thì AB . CA bằng :

a) 9

b) -9

c) 81

d) -81.

TRẢ LỜI CẢ u HỎI TRẮC NGHIỆM A
Sơ vectơ có giá là 4 cạnh tứ giác : 8.
Sơ' vectơ có giá là 2 đường chéo : 4.
Vậy có 12 vectơ. Chọn d.

o phép chọn có thứ tự nên có A| = 30 vectơ. Chọn c.
[TỊ Ưng với mỗi điểm trên di ta có 5 vectơ gơ'c trên di ngọn trên dv Mà trên dị có 6
điểm. Vậy có 6 X 5 = 30 vectơ. Chọn a.

23


I 7 I Chọn d.

CD là hình

18 I Chọn b.

binh hành

« BA = CD .
Chọn c.

CD là hình chữ nhật

, AB = DC AB 1 BC

Chọn a.

24


I 7 I Chọn d.

18 I Chọn b.

AB và CD phải ngược hướng. Chọn d.

L ___h_______

BH

c

0 I chán phản giác trong của BÁC IB AB

ọn h, chỉ cần BH// ãẩ

IC AC
—♦
>
mà I nằm giữa B, c => IB =
AC

ét c) : AB + CA = CA + AB = CB. Chọn c đúng. 0 Xét d): Ăc - AD = DC *CD. -♦ d sai.

a) AC + BD = 2(AO + OD) = 2 AD AD. -> a sai.
b) ÃC+BC = ÃC+ÃD = 2ÃĨ^ÃB. -> b sai.

25

Ag —

IC . Chọn c.