Bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm trần minh quang

TRÄN MINH QUANG

ÔN THI TỐT NGHIỆ
MQGHM

HÀ XUẤT BÁN


TRẦN MINH QUANG

BÀI TẬP
G IẢ I TÍCH 12
Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
LUYỆN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT
❖ Theo chưởng trình phân ban của bộ GD & ĐT từ nâm 2008
Tóm tắt lí thuyết - Bài giải tự luộn - Câu hỏi trác nghiệm và trà lởi

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI


• n ó i cú ẩ u

(Các bạn thân mến!
TTác giả biên soạn quyển sách này theo chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
tạo bốt đầu giảng dạy trên cả nước từ năm học 2008 - 2009.
(Giải Tích là một trong những ngành quan trọng ciủa Toán học hiện đại,
đưựíc vận dụng rất nhiều trong khoa học kỹ thuật. Lý thuyết và các thủ thuật
giảii tốn, giải tích gần gũi, phù hợp với học sinh phổ thông.
(Cấu trúc của chương trình Tốn Giải tích 12 có khác với các năm trước.
Phcần Đại số tổ hợp đã đưa xuống lớp 11, phần Mũ và Logarit dưa lên lớp
12,, bổ sung phần mới là số phức: trên tập sô phức do i2 = -1 nên mọi

phơng trình bậc n đều có nghiệm. Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn
Giảii tích 12 vẫn là các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số và tích
phân.
ỈĐể chuẩn bị cho việc có thể thi trắc nghiệm mơn Tốn chúng tơi biên
soạin cả hai phần toán tự luận và câu trắc nghiệm. Trong phần toán tự luận
các: bài tập được sắp từ cơ bản đến nâng cao (có đánh dấu *), có nhiều bài
dược trích từ đề thi tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm
2002 đến 2007.
Tác giả xin gởi cuốn sách này như một món quà tinh thần đến các bạn
đang chuẩn bị thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại Học và Cao
dẳng.
Trong q trình biên soạn chắc chấn §ẽ có những thiếu sót, mong các
bạn góp ý và lượng thứ.
TRẦN MINH QUANG

8


(Chướng I.

ÚNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o s á t
VÀ VẼ ĐĨ THỊ HÀM s ị
{§1. S ự ĐỒNG BIỂN VÀ NGHỊCH BIEN c ủ a h à m s ố
A/ TTĨM TẮT LÝ THUYẾT
Định lí Lagrarge:
y ,k
/
Nếu hàm số y = fĩx), liên tục trên [a;
Pb)
c / l

b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn
pc)
tại ít nhất một c e (a, b) sao cho
f«(c) _ ^ ~
f(a)
b- a
1
*
a c
b
Hệ quả:
Nếu f'(x) = 0 với mọi X € (a, b) thì flx) = c hằng số Vx e (a, b).
Định lý: Cho hàm số y = flx) có đạo hàm trêr1 (a, b).
• N ếu f'(x) ỉ OVx ễ (a, b) thi f(x) dồng biến tr ê n (a, b).
b iếthì
n tr
ê n nghịc
(a, b).
• N ếu f'(x)
ú0Vx € (a,h b)
f(x)
Dấu = xảy ra tại một số hữu hạn giá trị Xtrên (a, b).
*
Bàii 1. Tbn các khoảng tăng, giảm của các hàm số
« 'ý * ! " 1 *1
X + X+ 1
c /y =

b/ y = (X2 - 4)Vx*

---- í ----yjx —X+ 1

Giỏi
a ỉ M i ề n x á c đ ịn h D = R

d o :x 2 + x + l * O V x e l

,
2 X2 - 1
y' =
-------3
(x2 + X + l)2
Bảng biến thiên:

.
T a có :

X

y'
y

-0 0

,y'

.............................'

0o

X=

±1
•ậ
#

-1
+

=

0

1
0

+00 m
+

..................................................... ' .......*

5


b/ Miền X**' u?nh: D = R
m
,
„ vx
3 0 - + -2. —-7=—
(x2 - 4) =

_ -------------7=--------6x SH?Mx + 2(x2 - 4)Ta có:
y' = 2x.
3
ệfi
y' = 8(| ^ - - ) Vậy y' = 0 o X = ±1
Bảng biến thiên:
-ao
.
X

-

1
0

y'

0
+

+®

1

1 -

0

+

'

y

d Miền xác: định: D = R d o x 2 - x + l > 0 V x e R
1Vx* - X + 1 - (x + 1)—
2 x/x2 y x*-x + l

x+1

_

-3x + 3
Vx2 - X + 1)2

y' = 0 o X = 1

1

+00

0

♦

y

+1

o

Bảng biỉín thiên:
—00
X

d/ y = XVl - X2 xác định o 1 - X2 à 0 o -1 á X 1
Vậy miền xảc định Đ = [-1; iị
,,
(~2x) _ l - 2 x 2
Ta có: y = \/l - X + X—?==== = ■J—n—L
-X*
y' = 0 o X2 = — o x = ±
»

2

vr^ 2

>/2
2

Bảng biến thiên:
# .

Bài 2. Cho hàm số y = 4x3 + mx. Biện luận theo m khoảng t&mg
của hàm 8ố.
G iải
Miền xác định: D = R
6

Ta có: y' = 12x2 + m
• Nếu m > 0 thì y' > 0 Vx f R; y' = o o X = 0
Vậy hàm sơ tăng trên
•

Nếu m

<

0 thì y'

=

0 <=> X2 =

—

12

o

X = ±—

2

Lúc đó bảng biến thiên của hàm số
-00
1
1 pin

2 V- 3
2 V 3~

o

y'

+00

o

Chú ỷ: Bài toán tim tham số m để y = f(x, m) tảng (hoặc giảm)
trên R.
N ếu y'(x) * ax2 + bx + c (a *0)
a >0
f'(x)ä 0
VeR O
A s b2 - 4ac < 0
a <0
r(x) S O V x e R o
ủ a b2 - 4ac < 0
3

O Bài 3. Cho hàm

SỐ

y = (m2 - 1)^- + (m + l)x2 + 3x + 5 . Tim m để
U

hàm số đồng biến trên R.

Giả
Ta có: y'(x) = (m2 - l)x2 + 2(m + l)x + 3
« Nếu m = 1 thì f'(x) = 4x + 3
f đồng biến o f(x) > o o X > - - (loai)
4
• Nếu m = -1 thì f'(x) = 3 > 0 Vx e R
Vậy hàm số đồng biến trên R (nhận) (1)
• Nếu m * ±1 thl hàm số đổng biến trên R
,, . „
ía = m2 - 1 > 0
o f'(x) > 0 Vx € R o <
A’ = (m + l)2 - 3(m2 -1) ^ 0
ím < -1 V m > 1
f m < - l v m ’>l
o ( „
_
» (
m -m-2>0
m<-lvm>2

om <-lvm >2

Vậy: y tăng trêm » o r a < - l v n i > 2 .
7


o B ài 4. Tìm a để hàm số
______

y

x2sin2a + (4sin2a - 3)x + 1 tăng trên R.
3_____________
______________________

s= — X3 -

Miền xác đinh: D = R
y* = x —2xsina + 4sin2a - 3
số t&ng trẽn
trên R o y y*
* = X2
xa - 2xsin2a + 4sin2o - 3 > 0 Vx
Hàm aố
ía = 1 > 0
| a ' = (-áin2a)a - (4sin2a o (sinaa - lXsin2a - 3) < 0
<=> 1 < sin2a < 3
o sin2a = 1 o a ss (2k + 1)—
*

o Ì3ềỉ s. Cho hầm 8ố y = (m - 3)x - (2m + l)cosx
Tìm m để hầm Bố luôn giảm.
G iả i
xầc định: D = R
Thc6:y* = m - 3 + (2m + l)sinx
Cách
1:Hàm 8ốluôn giảm o y ' sO Vx e R
o (2m + l)sinx - 3 + m s O V x e R

ít -» ssinx
ù
'
vt 6 R
-1) = -(2m + l)-3-t*-m<(0
o
o M -1)
|y (t) = (2m + X)t - 3 + m £ 0
ív (l) - (2m +1) - 3 + n» 0
f-m - 4 £ 0
.
2
o
Ị3m - 2_ _" n_
°3
/ A

- _______

^

A

.

n

Cách 2: Đật t = tg £ => sinx = - - -2
1 + t2
Hàm số ln giảm «

y =m - 3 + (2m + l)sỉnx ắ 0 Vx € R

o m - 3 + (2m +, Ĩ)-~ T Ị í 0 vt € .|t
o g(t) = (m - 3Xa + 2(2m + l)t + m - 3 á 0 vt € R
• Khi m as 3 thi g(t) = 14t ắ 0 vt € R (loại so vđi ycbt)
m ** 3o thì
u u g(t) s u0 vt
V e R
• KhiI m
—
m - 33 <0
fm
<0
ím < 3
o ị
.
,
o
(3m - 2)(m + 4) < 0
A' = (2m + l)2 - (m - 3)2 < 0
m <3
o -4 ắ m < —
<=>•
2
-4 < m < —
3
1l
3 3

(

Vậy: Hàm số giảm trên R o m e Ị-4, —j

ì

é


CD Bài 6. Tìm m để hàm số
m
1
y = 2m x — 2 co s 2x - — sin2x + cos22x tăng trê n R
2
4

G iói

Ta có: y = 2mx - (1 + cos2x) - -1*1sin2x + - (1 + cios-4x)
2

8

Miền xác định: D = R
Ta có: y' = 2m + 2sin2x - mcos2x - Ậ sin4x
2
y' = m(2 - cos2x) + sin2x(2 -cos2x) = (2 - C0is2x)(m + sin2x)
Do cos2x
< 1 => 2 -cos2x > 0 Vx 6 R
'ôã

Vy: Hàm số tăng trên R
<=> y' = (2 - cos2xXm + sin2x) > 0 Vx e R
<=> sin2x + m > 0 Vx e R
<=> m > 1 (do sin2x + 1 > 0 Vx € R)
■
IBài 7*. Chứng minh phương trình: x5 - x2 - 2x - 1 = 0 (*) có đúng một
nghiệm.
_________________________________ Tuyển

Đ‘H

D

2005

Giả
Xét fix) = X5 - X2 - 2x -1 liên tục trên R
Mà fll) = -3 và fl2) = 32 - 4 - 4 - 1 = 23
Do fll).fl2) < 0 nên phương trình có ít nhất nghiệm a e (1, 2).
Nhận xét: (*) o X5 = (x + l )2
Do đó: X > 0 (x = 0 khơng là nghiệm của (*))
Ta có: (*) <=> X3

=*

'x + r
X

'i * - .
*

trẽn D = (0; +*)

Xét yi = X3 và y2 = fl + ' V x;
Ta có: y'j = 3x2 > 0 vậy yj tăng trên (0; +oc)
( 1w
i\
y'2 = 2 —-j\ 1 + — < 0 vậy y2 giảm trên (0;+*)
_

V

X

)V

X

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm nên
nghiệm duy nhất của (*)
■

)

X

= a e (1, 2) là
,

B ài 8*. Chứng minh phương trình: acos3x + bcos2x ■+ c cosx + sinx = 0

_____ ln có nghiệm trẽn đoạn |0, 2n] vơi a, b, c tùy ý cho trước.________

Xét hàm số: F(x) = - asinSx + ịbsin2x + csinx - cơsx
3

2

9


F(x) là hàm số liên tục trên [0, 2n] và có đạo hàm trong khoảng (0, 2*í)
Ta có: F'(x) = acos3x + bcos2x + CCQSX + sinx
*Theo định lý Lagrange: 3 a e (0, 2

nao
s cho

2 n -0

o

[ ịasin6n + 4bsin4n + csin2n - cos2n - cosOì
2* LU
2
= acos3a + bcos2a + ccosa + sina
o O .s acos3a + bcos2a + ccosa + sina
Vậy phương trình acos3x + bcos2x + cccosx + sinx = 0 luôn cố ngỉhiiệm
a € (0, 2
n).■

■----- ---------—........................ ......

- ............. . ..... ......... »I

Giải
Xét fix) - 2sinx + tgx - 3x với X € Ịo, —j
Ta có: f'(x) = 2cosx + —4 ---- 3
cos2x
Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 sộ' dương cosx, coax, —Ậ
Ỉ90ế

Ta có: 2cosx + —V - i 3 3/COSX.C08X.—
*3
c o sx
v
— Vậy f(x)
-(X) s> 0 Vx á= Ịo, u
=> fix) là hàm số tâng trong khoảng Ịo,
Vx e ^0, ^ j ; X > 0 thì f(x) st 2sinx + tgx - 3x > f(0) ạ 0
Vx e Ịo,

: thì 2sinx + tgx > 3x

G iải
Xét hàm số y = fit) = sint - t
Ta có Fit) = cost - 1 á 0 vt
Vậy fit) là hàm sế giảm trên R
=> Vx: X > 0 thì fix) s sinx - < fl0) = 0
=> Vx: X > 0 thì 8Ĩnx < X
(1)

10


t:l
V
Xét hàm sô g(t) = sint - t + — >g'(t) = cost - 1 + —
6

2

Ta có: g"(t) = -sin t + t > 0 do (1)
Vậy g’(t) là hàm tăng trên R
r^> vt > 0 thì g'(t) = cost - 1 + -

2

> g'(0) = 0

Do đó g(t) là hàm tăng
=> Vx:

X

> 0 thì g(x) = sinx

=> sinx > X Từ (1), (2):

—-

6

- X

+

x :í
—

> g(0) = 0

6

(2)

X -------- < s i n x < X.

6

Bỉ BÀI TẬP
[T] Xét tính tăng giảm của các hàm số sau:
a/ y = -X3 + 3x + 2

d y=

b/ y

3 - 2x
x +4

d/ y =

e/ y = X.4 +. „3
X - 2x - 3x + 1
g/

y=

X-

= -X 4
X2

- 3x +4
x -1

ũy =

sinx

+ 2x2 - 1

\Ỉ2-X2

h/ y = 2x + \/-x 2 + 4x - 3

Cho hàm số y = -

-_-m X3

+ 2(m - 2)x2 + 2(2 - m)x + 1. Tìm m để hàn

số giảm trên R.
[ 3 I Tìm m để hàm số y = -5?—

X3

+ (m + l)x2 + 3x - 5 luôn tăng trên R.

Ị 4 I Chứng minh rằng hàm sô
_ ..3
., V 2
/o___2
y.. =
X3 — (m + l)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + m^ + m + 1 khơng thể ln tăn§
trên R.
5 Um m để y = X + msinx giảm trên R.

a/ y =

X3 + mx - 1
X —1

b/ y =

X2

- 2mx + 3m
X - 2m

c/y = (2m + 3)sinx + (2 - m)x
d/ y = X3 ♦ (m - l)x2 + (m2 - 4)x + 9
Cho hàm số y =

X2 + m2x + m - 2
X +1

Chúng minh rằng với mọi m hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
/
11


|~8~| Chứng minh:
a/ 2sinx +tgx > 3x Vx e Ịo, —j

b/

X5

+ (1 - x)6 £

16

Vx

c / CÂU HÒI TRẮC NGHIỆM

[TỊ
Cho hàm số y = —------ X2 + X + 2. Kết luận nào sau đây là đúng
*—*

3
A/ y tăng trên R.
B/ y giảm trên R.
c / Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng t&ng và 2 khoảng giảm.
D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng.
21 Cho y =
—- kết luân nào sau đây là đúng trên bảng biến thiên?
-J
X +2
A/ y tăng trên R.
B/ y tảng .trên từng khoảng xác định,
c / y có hai khoảng tăng và một khoảng giảm.
'D/ y có một khoảng giảm và hai khoảng tăng.
Cho y = —
. Hàm số tăng trên khoảng xác định khi và chỉ kỉhi
2x + m
D/ m = -1.
A/ m e R
c /m = 1
B/ m e 0
x3 - 4x +1
Cho y =
kết luận nào sau đây là đúng:
X* - X + 1
Á/ y tâng trên R.
B/ y giấm trên R.
c / Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng.
D/ Trên bảng biến thiên ycó ỉ khoảng tăng và 2 khoảng giảm.
I 5 I Hàm số y = —- — đồng biến trên (+2, +*) khi và chỉ khi
■— 1

X- m
A/ m < 0
B /m íO
c / m < +2
D/ m < +2.
6 Cho y = xa - (m + l)x + 2m -1
m
Điều kiện cần và đủ để y tâng trên từng khoảng xác định
A/mB/m ỉl
c/m>l
D/ m ỉ 1.
ỉCho hàm số y = X + sinx. Kết luận nào sau đây là đúng:
A/ y tàng trên R.
B/ y giảm trên R.
c / y có 1 khoảng tăng và nhiều khoảng giảm.
D/ y không tăng và không giảm.
~8~| Cho hàmsố y =
A/ y đồng biến trên (0; 1).
c / Miền xác định là D = 10; 2].
12

\Ỉ2x-X2 . Kết luận nào sau đáy là sai:
B/ y nghịch biến trên (1; 2)
D/ y tâng trên [0; 2].


ơ/ TRẢ LỜI CÂU HỎI TR Ắ C NGHIỆM
y=

2
3
Mxđ: D = R
y' = X2 - 2x + 1 = (x - l)2 > 0 Vx
=> y tăng trên R -> Chọn A.

0

— - X2 + X +

e

R

X2 + X - 3

y= ~772~
Mxđ: D = R \ 1-21
X 2 + 4x + 5
> 0 Vx * -2
y’
(x + 2)2
Vậyy tăng trên từng khoảng xác định -» Chọn B.
m-------x-1 , D
m
y R\
2x +m
2J
m2 + 2
m

> 0 Vx *
y =
(2x + m)2
~2
Vậy y tăng trên khoảng xác định Vm e R Chọn A.
X2 - 4x
1
, mxđ D = R
y=
X2 - X + 1

y

3x2 - 3

X

( x 2 - X + 1)

y'

-4 Chọn c .
5

y=

X - m

-1

+

0

—

0

+

y

có mxđ D = R \ |m|

1
~m
y' = ----------- —s
(x - m)2

X

+00

y'

+

m <2
<=> m < 0 Chọn A.
m <0

„2
X - (m + l)x + 2m - 1
CÓ mxđ D = R \ (m|
y*
X- m
.2
o _____ __2
2mx
+m - m +1
y'“=
y cb to j

(x - m)2
ỵcbt o y' > 0 Vx

*m

o A' = m2 - (m2 - m + 1) < 0
o m - 1 < 0 -> Chọn B.

+00

m

y

0

1

1

+


8

y = x + sinx => y' = 1 + cosx 0 V X € R
Vậy y tăng trên R
-*Chọn A.
y=
yÍ2x-X2
y e R o 2x - X2 > 0 X € [0; 2]
V
—X + 1
X
0
1

y' =

yỈ2X- X2

+

y'

Vậy D sai.

y

§2.

0

2
1

.

——

cực TRỊ CỦA HÀM só

A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hàm số y = Rx) liên tục trên khoảng (a, b) và Xo e (a, b).
+ Định lí Fermat\
y
Nếu hàm
sốy= flx) có đạo hàm tại Xo và đạt cực trí tạii
f(X o ) = 0 .

+ Điều kiện đủ để có cực trị:
• Dấu hiệu 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên m ột lâm
cận của Xo (có th ể trừ tại Xo)
Nếu khỉ X đi qua Xo mà dạo hàm đổi dấu thỉ Xo ià 1 đỉtểan
cực trị.
X
Xo - 8
Xo

Xo + 8
X
Xo - 8
Xo
Xo + 8
*“'"ị
f(x>
>f'(x)
+
c Đại
flx)
«X )
^
c Tiểu
Nếu:
* f'(xo) « 0 và f"(xo) > 0 thi Xo là dỉểm cực tiểu .
cực dại.
Xo.

B ài 1. Um khoảng dơn điệu và cực trị của các hàm số sau dây:
a/ y X-X 3 + 3x + 1
h/ y = X4 + 2x2 +
t , o3
X2 - 2x +3
c/ y =
d/y = XVl - X2
e/ y = (x2 - 4)) \/ãF
X —1

G iải

a/ y = -X3 + 3x + 1
Miền xác định: D = R
14

Xo

tlhì


y' = -3 x 2 + 3 = -3 (x 2 - 1)
X

—

y'
y

-1

X

0

0

+

+x

—

3
-1

CT
b/

+x

1

"^C Đ

*

—

X

"

y = X4 + 2x2 + 3
Miền xác định: D = R
y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1)
y’ = 0 <=> X = 0
—X

X

+ OCL________

y

X2 -

+

0

y'

c/ y =

+x

0

__

r

3 ___
CT

+00

2x + 3

X - 1

Miền xác định: D = R \ 11)
X2 - 2 x - 1

y' =

; y' = 0 o

X2 -

2x - 1 = 0 «

X =

1 ± 72

(X - 1 )2

X -oo
y'
y
—
X

1 -7 2
0
-272
CĐ ^

+

1

—
X

1+
+—
0
+
+x
/—
_+CC
^272
CT^
S Ỉ2

d /y = x 7 l - X2

Miền xác định: D = [-1, 1]
1 -2 X *

y' =

y' = 0 o

72

T ĩ^

*
■

-

y
y
ể

X= ±

l

i

l

1

72
2
0
1
2^
CT

+

72
2

0
1
2^
CĐ

>

—

i

•

°

j

l

i

H

l

i

l

j

15


e/ y = (X2 - 4 )Vx*
Miền xác định: D = R
8(x2 -1 ).
y' = 3^/x
X

—ac

y

-1
—

y'

y' = 0 o

0

= ±1

0
•

1

+

-♦-00

0

*

X

-3
CT

\

+ao

1

-

0

+

-3
^CT "

+00

t

■

= © (đạo
hàm đổi dấu từ dương sang âm, hàại số vẫn đạt cực đại tại X = 0.
B àỉ 2. Cho hàm số y = X2 - 2mx2
- 2 .Tìm m để y đạt
Để dư bi tuyển sinh Đợi Hoc khối B năm 2(0(04

Giải
Ta có:

y' = 3x2 - 4mx
y" = 6x - 4m
y đạt cực tiểu tại X = 1
'
3
m =—
y'(l)
=3 - 4m = 0
4 o m= —
o <
<=>
y'(l) = 6 - 4m < 0
m<

o B ài 3. Tìm cực trị của các hàm số:
a/ y = cosx + ỉ cos2x
2

b/ y = 12x2 + 3x + 5

a/ Miền xác định: D = R
y' * -sinx - sin2x = -sinx(l + 2cosx)
1
2n
y' = 0 -o sinx = 0 V cosx =
o X = kn V X = ±—- + I2n
2
3
y" = -cosx - 2cos2x = -4cos2x - cosx + 2
Ta có: y"(kn) s -2 - coskrt < 0 => X = kn là các điểm cực đại
ậ nếu k chẩn
ycĐ

= coskn + ì cosk2x = coskn +
2
2

- — nếu k lẽ
2

Ta có y"X±— + 12n) = -co s— - 2cos— = — - 2 ( - ì ) = — >0
3
3
3
2
2
2

16


271

= ±— + 12n là các điểm cực tiểu
3
2n
1
4n
3
1( n
cos ——+ —cos
3
2
3
4
21
2

=> X

-2x2 + 3x + 5 nếu - 1 < X

—

<

2

b ) y = l-2x2 + 3x + 5 | =
2x2 - 3x - 5 nếu
-4x + 3 nếu

-

1
X <

- 1V X >

<

Dc đó: y' =

5
Chú ý: y khơng có đạo hàm tại -1 và - nhưng hàm số vẫn đạt cực tiếu.
2

B ài 4.
a/ Cầo hàm g(x) = 3x -

X3.

Chứng minh g(x) > 0 Vx

b/ 'Rai CU£ đai, CIÍCtiểu của hàm số fl[x) =

—-—

sin2x

e

(0; —).

và g(x) = 3x -

d Ckứng minh sin2x < — - —
________ ____________3x —
•X ___________2_____

X3

71

trên (0; “ ).
2

Jkhi

X 6

(0; - ).

G iải
a/ Ta có g(x)1= x(3
X
, -«

+
g(x)

-

X2)
73
0

0
0

+

73
0

+x
—

Do (0; £ ) c (0, 73) vậy g(x) > 0 Vx e (0; ^ )
b/ * Tì Có f'(x) =

-4cos2x
sin22x

ĐAI HỌC ec G*A
NỌt
TRUNG tâm Thơng ĩjiy ĨHU VIỆN
----------------- ,

L C

/

/

« ...y — .. -

o U S

.............. — ■ < W H T

17


f'(x) = 0

cos2x = 0

X

Jt o X = —
x e ( 0 ; |)
4

Vậy
Bảng biến thiên:

* Ta có gr(xì = 3 - 3x2 = 3(1

g'(x) = 0 o X = ±1
Bảng biến thiên

d Do kết quả trên: flx) = —-—
sin2x

2 Vx e (0, —)
2

g(x) = 3 x - x 3 ắ 2 Vx € (0; £ )
2t
Do đó: 3x - X3 < 2 á
=> 3x - X3 5

ain9v
sỉn2x

Sin2x

Vx € (0; ỉ9 )
2
- Ạ — Vx 6 (0; | )
2

« 2
*
,
=> sin2x < — - Vx e (0; —) (do 3x - X3 > 0 và sin2x > 0)
3x - X3
2

f
X
íf(x) = 2„
o <* 4 vờ nghiệm
Dấu = xảy r a o I
g
(x
).«
2
lí
Xh 1
lt *
^
2
Vậy Vx e (0; —) thì sin2x <
2
3x-x*

o c ự c TRI CỦA HÀM HỮU TỈ
B ài 6. Cho y = «X) = —
v(x)
Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực trị tại
, trị _ u'(x„)
- .
y cực tri
=
V'(Xo)
18

Xo

và v"'(xo) ** 0,


Ta có f(x) =

u'(x)v(x) - v’(x)u(x)

[v(x)f
Do hàm số đạt cực trị tại

Xo

ro f'(x0) = 0
ro u'(x 0)v( X,’, ) - v'(xo)u(x0) = 0

u'(x0)
v'(xn)

u(x0)
v(x0)

_

yctr, =

u'(x0)
v'(x0)

Giải

Miền xác định: D = R \|-2 |
, , 2xz + 8x + 8 - m
Ta có y =
-----(x + 2)
Hàm số có 2 cực trị co y' 2 lần đổi dấu
co g(x) = 2x2 + 8x + 8 - m c ó 2 nghiệm phân biệt * -2
ÍẠ' = 16 - 2(8 - m) > 0
Í2m > 0
co
\
co <
co m > 0
■
8 -1 6 + 8 - m * 0
m#0
x2 + (m + 1)4 + m + 1
(Cm)
xTĩ
Chứng minh với mọi m (Cm) ln có điểm cực tiểu, cực đại và
khống cách hai điểm đó bằng \Ỉ2Õ ■ __________________________

B ả i 7. Cho hàm số y =

G iải
Miền xác định: D = R \ |- l |
x5
-2 + 2x
Ta có: y* =
„
(x + 1)2

y' = 0 c o x = - 2 v x = 0
Vậy hàm số có hai cực trị với Vm e R
Gọi A, B là hai điểm cực trị
A € (C): XA = -2 =oyA = m - 3
B e (C): XB = 0 =o yB = m + 1
Ta có: AB2 = (-2 - 0)2 + [(m - 3) - (m + l)2 = 20 ro AB = 2 75
+ 2mx 4 1 - 3m2
X - m
Tim m để y có hai điểm cực trị nằm về hai phía dối với trục tung.

B ằi 8. Cho hàm số y =

X2

G iải
Miền xác định: D = RMrnỊ
19


Ta có, y' =

X1

-

2mx + ma - 1

g(x)

(x - m)a

(x - m)a
u cẩu bài tốn o g(x) có hai nghiệm trái dấu và
p = m2 - 1 < 0
o (
„
o -1 < m < 1
g(m) - m - 2ma + m - 1
*

m
■

0

Xa + 2(m + l)x + ma + 4m
Bài 9. Cho y = ------------— ------------- (C)

2
Tìm m để (C) đ ạ t cực đại, cực tiểu tại A và B sao cho tam griác (OiAB
_____vng tại o.___________
X+

^ "
Giải
Íy

Miền xác định: D = R\{-2}
2 + 4x + 4 - ma _ g(x)
y = " (x + 2)a
(x + 2 r

y có hai cực trị o g(x) có hai nghiệm phân biệt * -2
A' = 4 - 4 + ma > 0
,
.,
<=> m * 0
‘
Ị
g(-2) = 4 - 8 + 4 - ma >0
Gọi A, B là hai điểm cực. trị, ta có:
A(-2 - m, -2), B(-2 + m, 4i»> 2)
Ta có: aOẠB vng tại o o OẤ. OB = 0
o -(2 + raXm - 2) -2(4m -2) = 0
o m = -4±2 Vẽ (nhận do m * 0)
■
Tacó:

Ị

ị

.

Bài 10. Cho y = X + m +
V

' : ' ■!

m

(C)

X- 2

lìm m s cho (C) có cực trị tại A và B và đường thẳng AB đii cqua
gốc tọa độ o.

Giâi
Miền xác định D = RY{2)
m
_ X2 - 4x + 4 - m
g(x)
Ta có y’ = 1 (x-2)a =
(x -2 )a
* (x - 2 ) a
(C) có hai điểm cực trị o g(x) có 2 nghiệm phân biệt
ÍA' = 4 - (4 - m) > 0
<=> -1
o m>0
4 -8 +4 - m * 0

2

Gọi XA, XB là hai nghiệm của g(x)
Do A, B .6 (C) => OA = (xA, yA) cùng phương OB = (xB, ye)
o X^B = xByA
20


o

xa( xb

m

+ m +

o m(xA
o

Xa -

o

Xa - XB +

(xB -

2 )(x a

XA - XH - 2 ( x a - XH)

(xB -

2 )(xa

- 2)

o 1 + ------~oĩ^—^ T ~ 7 = 0
x ax b - 2 ( xa + x b ) + 4

(do XA
XB))
(do
XA ** xb

o P -2 S + 4 + S- 2 =0
o p + 2 =s
o 4 - (4 - m) = 2
o m = 2 (nhận do m > 0)
Ghi chú:
m
X2 + (m - 2)x - m _ u(x)
y = X + m + --------

x

2

(x - 2)

~ v (x )

Khi m > 0 thì y đạt cực trị tại A, B và đường thẳng AB có phương
trình y = —■
— = —'*
v'(x)
1
AB qua 0(0, 0 ) r >0 = 0 + m + 2=>m = 2

- ——- (Phải chứng minh lai bài táp 5

o c ự c TRỊ CỦA HÀM BẬC BA y = f(x) = ax3 ♦ bx2 •>• cx » d (a * 0)
Ta có f(x) = 3ax2 ♦ 2bx + c
• Nếu A' = b2 - 3ac < 0 thì hàm số đcm diệu trên R.
• Nếu A' = b2 —3ac > 0 thì hàm sơ có 2 cực trị. Lúc đó lấy hàm số f(x)
chia cho f’(x) ta được Kx) = A(x).f'(x) + Bx + c
thi phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trí là y Bx
ứ n g dụng: Biện'luận số nghiệm của phương trình bậc 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*)

= +c.

(*) có nghiệm duy nhất <=>A' < 0 V
y“

y“

21


íủ’ > 0
(*) có 3 ng[hiệm phân biệt o -Ị
iyCD-ycr<0

%

(*) có 3 n{fhiệm phân biệt ỉđn hơn a
y 'có 2 nghiệm phân biệt x2 > X, > a
o ycĐ-ycr < 0
af(a) < 0

t

i l

yt

/ĩ\

•

Ị

Ị

a / 1 \ *2
*
^ *1 \ j * y
Ro)
ị

A u\
«a\
ỉ
\
*2

\
r

*«

x

a\ Ị /

*

Vi/
t

Bài 11. Cho y = X3 - 6x2.+ 9x (C)
Với giá trị nào của m thì d: y = X + m2 - m di qua trung điiểm ccủa
đoạn thẳng nối hai điểm cực trị ca (G)
ôi"

mT

ãã
"
ãĂH'ằ.'
-ã"i>''~

Min xỏc nh D ss R

y * 3x2 - 12x + 9
y’ = 0 o x » ĩ v x » 3
-00
1

y’
y
».

ị

+

.

f0

3
**
*

0

+00
+
'

Biím cực dại A(l, 4). cực tiểu B(3, 0)
Trung điểim của AB là 1(2, 2)
o 2 * 2 + m2- m
Ta có I 6 d: y = X + m2 - m
o m = 0 Vm = ! ■
ầt> m2 - m = 0

Bài 12. Cho y = X3 .+ 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m (C)

Viết phương trình đường thảng qua hai điểm cực trị của đồ thị <(C).
Miền xác định: D = R
Ta có y' = -3x2 + 6mx + 3 ( 1 - m2)
Do:
= 9m2 + 9(1 - m2) * 9 > 0 Vra
Nền y' ln có nghiệm phân biệt Xi, x2
22


Vậy y ln có hai điếm cực trị
y*

y*

,.

Lấy y chia cho — ta được: y = (x - in) + 2x - m + m
3
3
Do y'(xj) = y'(x2) = 0 nên yCD = 2xi - m2 + m
ycT = 2 x 2 - m2 + m
Do đó phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là:
y = 2x - m2 + m
■
Bàii 13*. Cho y = - X 3 + 3x2 + 3(m2 - l)x - 3m2 - 1 (C)
_____ Tìm m để (C) có hai điểm cực trì cách dẻu gốc tọa độ b
Miền xác định D = R
Ta có: y' = -3x2 + 6x + 3(m2 - 1)
y' = o o X2 —2x —(m2 - 1) = 0
<=> Xj = 1 - m V x2 = 1 + m

y có hai cực trị o y' có hai nghiệm phân biệt
o 1- m * 1+ m
o m*0
Lấy y chia cho — ta đươc: y = (x - 1)—- + 2m2x - 2m2 - 2
3
3
y ’(x.)

Xì= 1 - m => yi = (xi - 1) + 2m2Xi - 2m2 - 2
•'*
3
=> yi = 2m2(l - m) - 2m2 - 2 = -2(m3 + 1)
Do:

Do: x2 = 1 + m => y2 = (x2 - 1) — — + 2miíx2 - 2mz - 2
O
=> y2 = 2m2(l + m) - 2m2 = 2 = 2(m3 - 1)
Ta có: OA2 = OB2
xf + y? s X2 + y2
» (1 - in)2
» 16m3 = 4m

f4(m 3 + l ) 2 = (1 + m)2 + 4(m3 - l) 2

<=>

m = 0 (loại)

4m2 = 1

<=> m = ±—
2

o c ự c TRỊ HÀM BẬC BỐN
B àỉ 14 Cho y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10
__Tìm m dể y có ba cực trị
ề

Giải

Miền xác định: D = R
Ta có: y' = 4mx3 + 2(m2 - 9)x = 2x(2mx2 + m2 - 9)
23


Hàm 8Ốcó 3 cực trị
<=>y' có 3 nghiệm phân biệt
» g(x) X 2mx2 + m2 - 9 có 2 nghiệm phân biệt
m* 0

o

0

A'= 0 - 2m(m* - 9) > 0.
g(0) = m2 - 9

*0

*

ím * O
0 a m *±3
<=>
om<-3v0|m (m 2 9) < 0

B ài 15. Cho y = X4 - 2 m V 4 1 (C)
_____ Tìm m để (C) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cán.
G iói

'

Miền xác định D = R
Ta có y* X4x3 - 4m2x = 4x(x2 - m2)
Hàm số có ba điểm cực trị
<=>y* c ó ba nghiệm phân biệt o m 0
Lúc đ ó : y' X 0 » X X o V X X ±m
Gọi A(0, 1), B(-m, -m 4 + 1), C(m, - m4 4 1)
Do y'Oy ỉà trục dối xửng của (AABC),
ta ln có AB XAC
Vộy: AABC vuông e&n
o AB X (-m , -m 4) 1 AC X (m, -m 4)
o -m 2 + m 8 X 0
o m2( - l + m6) X 0
m = 0 (loại)
o
o m X ±1
m■6 - 1 (nhận)

B/ BÀI TẬP

[T] Tìm cực trị của các hàm số
ạ) y

X >/3 sinx + cosx +

2x 4 3

b) y X x“ + (a - x)" với a > Ơ A n e N
2 I lìm m để hàm số y X mx3 4 3x2 4 6x

4

1 dạt cực dại

tạ i XX ỉ

Cho hàm số y X -2 x 4 myỊx2 - 2x 4 2 . Tìm m sao cho hàm 8Ú) đ ạ t cực
đại.
xz 4 mx 4 2 m
—. Tim m sao eho hàm số:
x - m +]
b) Có cực tiểu hồnh độ nhto hom 1.
a) Có 2 cực trị cùng dấu
Cho hàm số y =

24


x' ax2
Tìm m sao cho hàm số y = — +

4

2

Ỉ)X

+ 1 Có ba cực trị mà hồnh

độ của chúng tạo thành 1 cấp số cộng.
___

2

6 y = — - —- (C). Tìm m đê (C) có điểm cưc dai, CƯC tiểu và khoảng cách
— 1

1 - X

hai điểm đó băng 10.
Cho hàm số y = 4x3 - mx2 - 3x + m. Chứng minh răng với mọi m hàm
số ln có cực đại và cực tiểu đồng thời hồnh độ cực đại và cực tiểu
luôn trái dấu.
(m + l)x2 - 2mx - m3 + m 2 + 2
Ị & I Cho hàm số y = —1T ----—— - — - - với m là tham số * -1. Tìm

0

S

m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0, 2).

ou L1_
X 2 - (m + l)x - m2 + 4m - 2

Xác định tấ t cả các giá trị của tham số m đê hàm số có cực trị. Tìm m
__ để tích các giá trị cực đại và cực tiêu đạt giá trị nhỏ nhất.
jlO| Cho hàm số y = X3 + 2(m - l)x2 - 1 = 0. Chứng minh hàm số có nghiệm
duy nhất.
I S Cho hàm số y = fix) = X3 + ax + 2 (a tham số). Tìm tất cả các giá trị của
__ tham số a để đồ thị hàm số y = fix) cắt trục hoành tại 1 và chỉ 1 điểm.
Il2| Cho hàm số y = kx4 + (k - l)x2 + (1 - "2k). Tim tất cả các giá trị của
tham số k để đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.
13 Cho họ đường cong y =

-X 2

+ mx - m 2
(Cm). Tim m để (Cm) có cực đại
X- m

và cực tiểu. Với m tìm được hãy viết phương trình đường thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu của (Cm).
l u i Cho hàm số y = x *

* ^)^-f y +
X+ m

—— (Hm). Tìm tất

tham số m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị này trái dấu.

c / CÂU HÒI TRẮC NGHỆM
m Cho hàm số y = — . Kết luận nào sau đây là sai:
II
m
rhãn
tB/
t / y'
tr' P
Á m
n t 1
có
một
lần đối dấu
mAN/ yVlà
là hàm
hàm chẵn
c/ y có 1 cực trị
D/ giảm trên (0; +oc).
2 I Cho y = x —•—- - (C). Kết luận nào sau đây là sai:
X *1 ềỉt
A/ y khơng có cực trị
B/ V c ó một C Ư C trị
c/y có hai cực trị
I)/ y cỏ ba cực trị.
25


3J Cho y = X4 - 2x2 - 1. Kết luận nào sau dây là sai:
A/ y có ba cực trị
c/ y có một cực tiểu và 2 cực dại

B/ y có một cực đại và 2 cực tiểu
D/ y cực dại bằng -1.

T~| Cho y = six* . Kết luận nào sau đây là sai:
A/ Miền xác định R
c / y có 2 khoảng táng giảm

B/ y khơng có cực trị
D/ y đạt cực tiểu tại X = 0.

5 (Cho y = mx - — thì y có cực trị khi và ch! khi:
—J
X
A/m>0
B/ m > 0
c/m<0
D/mỉO.
6] Hàm số y as mx3 + 3IĨ1X2 - (m - l)x - 4 khơng có cực trị khi và chì khi::
A/ 0 $ m < —
4

B/ 0 < m s —
4

c/0
D / 0 < m < —.

7] Hàm số y

1z ílll íl™

có cực trị khi và chi l i :

A/ m > 4
B/ m > 4
c/m<4
D/ m s 4.
8 ] Cho y = X4 + (m2 - 9)x2 +10
Hàm số có 3 cực trị khỉ và chi khi:
A/ Im l > 3
B/ Im l > 3
C /-3 < m < 3 Đ / - 3 ỉ f f l s 3 .
g Cho y = -2x3 + 3x2 + 1 (C), phương trinh đường thẳng nối hai điểm «nực
trị của (C) là: ,
A/ y =5 X - 1
B/ y = X - 1
C/ y = - X + 1 D/ y = -X - 1
ïo ] Cho y as- x
của (C) là:
A/ ỷ SSX - 1

(C), phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực tơị
-»
B /y = x + l

c / y as 2x -

)/ TRÀ LỜ! CÂU HÒI TRẮC NGHIỆM

Dy

as

-L hàm chẵn trên R\{0| -+ A đúng
X

y khơng có cực trị -» c sai
8

2

D/ y=: 2x + 2