DABTTL the tich khoi lang tru phan 02

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 01. Hình học không gian

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ (PHẦN 02)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Thể tích khối lăng trụ (Phần 02) thuộc khóa học
Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại
các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Thể tich khối lăng trụ (Phần 02).

Bài 1. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = b. Hình chiếu vuông góc của
A’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C và khoảng cách đường
thẳng AA’ với mặt phẳng (BB’C’C) theo a và b, biết b > a.
Giải
C'
A'
Gọi H là trọng tâm ABC  A ' H  ( ABC )
* VA’BB’C’C = VABCA’B’C’ – VA’ABC
1
2
= A ' H .SABC  A ' H .SABC  A ' H .SABC
3
3
Mà:
+) SABC

1 a 3 a2 3
 a.

2

2
4

2 a 3
A ' H  A ' A  AH  b   .

3 2 
2

 b2 

B'

2

2

2

A
C
H

a2
3b 2  a 2

3
3

M

B
2 3b2  a 2 a 2 3 a 2
 VA ' BB 'C 'C  .
.
 . 3b2  a 2
3
3
4
6
* d(AA’,(BB’C’C) = ?
BC  AH 
+)
  BC  ( A ' AH )  BC  A ' A mà A’A // B’B => BC  B’B
BC  A ' H 
=> BB’C’C là hình chữ nhật.
+) Vì AA’ // (BB’C’C) nên khoảng cách giữa AA’ và (BB’C’C) bằng khoảng các từ điểm A đến mặt
phẳng (BB’C’C)

1
a2
1
+) Ta có VA ' BB 'C 'C  S BB 'C 'C .h  . 3b2  a 2  a.b.h
3
6
3

h

a. 3b2  a 2

 d (AA ', ( BB ' C ' C ))
2b

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB  a 2 ,
AA'  a 3, (AA'C)  ( ABC) , góc giữa hai mặt phẳng (A’AB) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối

lăng trụ ABC.A’B’C’.
Giải
- Kẻ A’K  AC (K  AC)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 01. Hình học không gian
C'

A'

(AA 'C)  ( ABC )  AC


  A ' K  ( ABC )
A ' K  (AA 'C), A ' K  AC 
- Kẻ KI  AB, (I  AB)
=> A’I  AB

B'

 A ' IK    ( A ' AB),( ABC )   60o
VABCA' B 'C '  SABC . A ' K

Mà:
+) CA2 + CB2 = AB2
 2CA2  (a 2)2  CA  a  CB

 SABC

A
K

1
1
 CA.CB  a 2
2
2

I

+) Xét tam giác vuông A’KI, ta có tan 60o 

 KI 

C

A' K

KI

B

A' K
A' K
(1)

o
tan 60
3

Mặt khác, xét tam giác vuông KAI, ta có sin 45o 
 KI  AK .sin 45o  A ' A2  A ' K 2 .

Từ (1) và (2) suy ra:

3a 2  A ' K 2 .

KI
AK

2
2
(2)
 3a 2  A ' K 2 .
2
2

2 A' K


2
3

1 A' K 2
9a 2
3a
  3a 2  A ' K 2  . 
 A' K 2 
 A' K 
2
3
5
5
Vậy: VABCA ' B 'C ' 

1 2 3a 3a3
a.

2
5 2 5

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a 3, AD  a 7 . Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với mặt phẳng đáy các góc 45o và 60o, biết AA’ = a. Tính
B'
thể tích khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’.
Giải
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD)
D'
A'

- Kẻ HK  AB (K  AB), HM  AD (M  AD)
 A ' KH  45o ; A ' MH  60o

- VABCDA’B’C’D’ = SABCD.A’H
Mà:
+) SABCD = AB.AD = a 2 . 21
+) Ta có:
A' H
2A' H
A' M 

o
sin 60
3

B
C

K

H

A
M

4. A ' H
3a  4. A ' H 2

 HK
3

3
Nhưng HK = A’H.cot45o = A’H
AM  AA '2  A ' M 2  a 2 

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

D

- Trang | 2 -

C'


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

 A' H 

Chuyên đề 01. Hình học không gian

3a 2  4. A ' H 2
3
 A ' H  a.
3
7

3
 3a3
7
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a;
cạnh bên AA’ = b. Gọi  là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan  và thể tích chóp
A’.BCC’B’.
Giải
Vậy

VABC . A' B 'C ' = S ABCD .A’H = a 2 . 21.a.

Gọi O là tâm đáy suy ra A ' O   ABC  và góc

  AIA '

*)Tính tan 

A'

A 'O
1
1a 3 a 3
với OI  AI 

OI
3
3 2
6
a 2 3b2  a 2

A ' O 2  A ' A2  AO 2  b2  
3
3

C'

tan  

B'

A

C
O

2 3b 2  a 2
 tan  
a
*)Tính VA'. BCC ' B '

I
B

1
VA'. BCC ' B '  VABC . A' B 'C '  VA'. ABC  A ' O.S ABC  A ' O.S ABC
3
2 3b 2  a 2 1 a 3
a 2 3b 2  a 2
 .
.

.a 
 dvtt 
3
2 2
6
3
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt
phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng
cách giữa AA’ và BC là

a 3
4

Giải
AM  BC 
  BC  ( A' AM )
A' O  BC 
Kẻ MH  AA' , (do A nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)

Gọi M là trung điểm BC ta thấy:

Do

C’

A’

BC  ( A' AM ) 
  HM  BC .Vậy HM là đọan vông góc chung của
HM  ( A' AM )

H

AA’và BC, do đó d ( AA', BC)  HM  a

3
.
4

A' O HM

Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có:
AO
AH

 suy ra A ' O 

B’

A

AO .HM a 3 a 3 4 a


AH
3 4 3a 3

C
O

M

B

1
1aa 3
a3 3
a
Thể tích khối lăng trụ: V  A ' O.SABC  A ' O.AM .BC 
.
2
23 2
12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 01. Hình học không gian

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đều cạnh a. A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên
AA’ tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
Từ giả thiết ta được chop A’.ABC là chóp tam giác đều .
A' AG là góc giữa cạnh bên và đáy .

a 3

;
3
Đường cao A’G của chóp A’.ABC
cũng là đường cao của lăng trụ .

 A' AG = 600 , AG =

Vậy A’G =

A'

a 3
a 3
.tan600 =
. 3 = a.
3
3

Vậy Thể tích khối lăng trụ đã cho là V =

C'

B'
A

C

G

1 a 3

a3 3
.
.a.
.a 
2
2
4

N

M
B

Bài 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc
 1 
là 450. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho AP  AH .
2
gọi K là trung điểm AA’,   là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính
tỉ số thể tích

VABCKMN
.
VA ' B 'C ' KMN

Giải
Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’ ta có: AP 

a 3
 AH  a 3 (vì ' AHA' vuông cân
2

tại H).
Vậy A' H  a 3  VABCA'B 'C '  S ABC . A' H
1 a 3 a2 3
a 2 3 3a 3
Ta có S ABC  a.
(đvdt)  VABCA'B 'C '  a 3.
(đvtt)


2
2
4
4
4
Vì ' AHA' vuông cân  HK  AA'  HK  BB' C ' C 
A'

(1)

C'

Gọi E = MN  KH  BM = PE = CN (2)
mà AA’ =

3a 2  3a 2  a 6

A' H 2  AH 2 =

Q

B'

a 6
a 6
 BM  PE  CN 
2
4
Ta có thể tích K.MNJI là:
 AK 

1
1
1
a 6
V  SMNJI .KE; KE  KH  AA ' 
3
2
4
4

K
J

I
A

45

2

SMNJI

a 6 a 6
 MN .MI  a.

(dvdt )
4
4

 VKMNJI 

3

V
1a 6 a 6 a
 (dvtt )  ABCKMN
VA ' B 'C ' KMN
3 4
4
8

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

C

M
P

3

2

N

E

3

3a B a

1
 8 2 83  .
3a a
2

8
8
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

H

- Trang | 4 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 01. Hình học không gian

Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  a 2 , hình
chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0.

Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Giải
A'

Do ABC vuông cân tại A mà BC = a 2 => AB = BC = a

C'

1
a2
(đvdt)
AB.BC 
2
2
Ta có A'G  (ABC) => A'G là đường cao của khối lăng trụ A'B'C'.ABC
SABC 

Gọi M là trung điểm của BC  AM 
Do G là trọng tâm ABC  AG 

1
a 2
BC 
2
2

B'

2
a 2

AM 
3
3

a

A 60
0

C

Xét A'AG ta có:
tan 600 

G

A'G
a 2 a 6
 A ' G  AG.tan 600  3.

AG
3
3

 VABC . A' B 'C '

a

M
B

a 2 a 6 a3 6
(đvdt)
 SABC . A ' G  .

2 3
6

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -