Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Bài 1: Giải phương trình: 64 x − 641− x − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
Giải:
Phương trình ⇔ ( 4 x ) − ( 41− x ) − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
3
3
⇔ ( 4 x − 41− x ) + 3.4 x.41− x. ( 4 x − 41− x ) − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
3
⇔ ( 4 x − 41− x ) = 27 = 33
3
⇔ 4 x − 41− x = 3 ⇔ 4 2 x − 3.2 x − 4 = 0
4 x = −1
⇔ x
⇔ x =1
4
4
=
2
x
Bài 2: Giải phương trình 3x .2 2 x−1 = 6
Giải:
1
ðiều kiện: x ≠
2
2 x
Phương trình ⇔ log 3 3x .2 2 x−1 = log 3 6
x2
⇔ log 3 3 + log 3 2
x
2 x −1
= log 3 6
x
.log 3 2 = log 3 (2.3)
2x −1
⇔ x 2 (2 x − 1) + x log 3 2 = (2 x − 1)(log 3 2 + 1)
⇔ x2 +
⇔ 2 x 3 − x 2 − ( x − 1) log 3 2 − 2 x + 1 = 0
⇔ 2 x 3 − 2 x − ( x 2 − 1).log 3 2 = 0
⇔ ( x − 1). 2 x 2 + x − 1 − log 3 2 = 0
x = 1
⇔
x = −1 ± 9 + 8log 3 2
4
(
Bài 3: Giải phương trình 7 + 4 3
) + (7 − 4 3 )
x
x
= 14
Giải:
(
) (
x
Do 7 + 4 3 . 7 − 4 3
)
x
(
= 1 nên ñặt 7 + 4 3
)
x
(
= t (t > 0) ⇒ 7 − 4 3
)
x
=
1
t
t = 7 + 4 3
1
Thay vào phương trình ta ñược: t + = 14 ⇔ t 2 − 14t + 1 = 0 ⇔
t
t = 7 − 4 3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
(
)
3 ⇒ (7 + 4 3 )
+ Với t = 7 + 4 3 ⇒ 7 + 4 3
+ Với t = 7 − 4
x
x
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
= 7 + 4 3 ⇔ x =1
(
=7−4 3 = 7+4 3
)
−1
⇔ x = −1
x = 1
ðáp số:
x = −1
Bài 4: Giải phương trình 4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0
Giải:
Phương trình ⇔ 4 x − 6.2 x + 8 = 0
ðặt 2 x = t > 0 , thay vào phương trình ta có: t 2 − 6t + 8 = 0
2x = 4
t = 4
x = 2
⇔
⇔ x
⇔
t = 2
x =1
2 = 2
Bài 5: Giải phương trình 9
Giải:
sin 2 x
2
+ 4.9
cos 2 x
= 13 + 9
3
2
Phương trình ⇔ 9sin x + 4.91−sin x = 13 + 9 2
2
36
27
3
⇔ 9sin x + sin 2 x = 13 + 2sin 2 x − sin 2 x
9
9
9
ðặt 9sin
2
x
− 2sin 2 x
1
+ cos2 x
2
− 3cos2 x
− 31− 2sin
2
x
= t (1 ≤ t ≤ 9 )
Thay vào phương trình ta có: t +
39 27
− 2 − 13 = 0
t
t
t = 1
⇔ t + 26t − 27 = 0 ⇔ t = 3
t = 9
3
2
sin 2 x = 0
x = kπ
x = kπ
1
π kπ
(k ∈ Z )
⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
2
4 2
2
cos x = 0
π
sin x = 1
x = + kπ
2
6
Bài 6: Giải phương trình 16sin x.cos x + 2 π − 4 = 0
4
sin x −
4
Giải:
Phương trình ⇔ 4
⇔ 4sin 2 x + 6.2
⇔4
sin 2 x
+ 3.2
sin 2 x
+ 6.2
π
− 1− cos 2 x −
2
sin 2 x
π
−2sin 2 x −
4
−4 = 0
−4=0
−4 = 0
2sin 2 x = 0
kπ
⇔ sin 2 x
⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =
(k ∈ Z )
2
=1
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Bài 7: Giải phương trình 3x.2 x = 3x + 2 x + 1
Giải:
1
Ta nhận thấy x = không là nghiệm của phương trình
2
2x +1
Do ñó phương trình ⇔ 3x (2 x − 1) = 2 x + 1 ⇔ 3x =
(*)
2x −1
Ta thấy hàm số y = 3x luôn ñồng biến, còn hàm số y =
2x +1
nghịch biến trên mỗi khoảng
2x −1
1 1
−∞; và ; +∞ . Do ñó phương trình (*) có hai nghiệm x = ±1
2
2
Bài 8: Giải phương trình 4 x − ( x + 5).2 x + 4( x + 1) = 0
Giải:
ðặt 2 x = t , t > 0
Khi ñó ta có phương trình t 2 − ( x + 5)t + 4( x + 1) = 0
t = 4
⇔
t = x + 1
+ Với t = 4 ⇒ 2 x = 4 ⇔ x = 2
+ Với t = x + 1 ⇒ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 = 0
Ta nhận thấy phương trình có hai nghiệm là x = 0; x = 1
Mặt khác xét hàm số: f ( x) = 2 x − x − 1
1
Ta thấy: f '( x) = 2 x ln 2 − 1; f '( x) = 0 ⇔ x = log 2
= − log 2 ln 2
ln 2
f ''( x) = 2 x (ln 2) 2 > 0, ∀x ∈ R
Nên f '( x) = 2 x ln 2 − 1 ñồng biến trên R
lim f ( x) = lim ( 2 x − x − 1) = +∞
x →−∞
x →−∞
lim f ( x) = lim ( 2 x − x − 1) = +∞
x →+∞
x →+∞
Bảng biến thiên:
x
-∞
f '( x)
-
f ( x)
+∞
− log 2 ln 2
0
+∞
+
+∞
f ( − log 2 ln 2 )
Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị f ( x) cắt Ox không quá 2 ñiểm chứng tỏ phương trình
f ( x) = 2 x − x − 1 = 0 có không quá 2 nghiệm.
x = 0
ðáp số:
x = 1
Bài 9: Giải phương trình 3x + 5 x = 6 x + 2
Giải:
Phương trình ⇔ 3x + 5 x − 6 x − 2 = 0
Ta nhận thấy x = 0; x = 1 là nghiệm
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Mặt khác xét hàm số f ( x) = 3x + 5 x − 6 x − 2
Ta có: f '( x) = 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6
f ''( x) = 3x ( ln 3) + 5 x ( ln 5 ) > 0, ∀x ∈ R
2
2
lim f '( x) = lim ( 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6 ) = +∞
x →+∞
x →+∞
lim f '( x) = lim ( 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6 ) = −6
x →−∞
x →−∞
Suy ra f '( x) là hàm liên tục, ñồng biến và nhận cả giá trị âm, cả giá trị dương nên f '( x) = 0 có nghiệm
duy nhất x0
Do ñó ta có bảng biến thiên:
x
-∞
f '( x)
-
+∞
x0
0
+
f ( x)
Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị f ( x) cắt Ox không quá 2 ñiểm chứng tỏ phương trình f ( x) = 0 có tối ña
hai nghiệm. Chứng tỏ ngoài hai nghiệm x = 0; x = 1 thì phương trình không còn nghiệm nào khác.
Chú ý: Ta có thể chứng minh phương trình f '( x) = 0 có nghiệm như sau:
Ta có f '(0) = ln 3 + ln 5 − 6 < 0
f '(1) = 3ln 3 + 5ln 5 − 6 > 0
⇒ f '(0). f '(1) < 0 ⇒ phương trình f ( x) = 0 có nghiệm x 0∈ (0;1)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 4 -