Bai 2 HDGBTTL cac dang toan lien quan den so phuc phan 2 hocmai vn

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Tìm số phức z thỏa mãn ñiều kiện:
Bài 1.
a ) z.z − 3(2 z + z ) = −19 + 3i

Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )
Ta có:

z.z − 3(2 z + z ) = −19 + 3i
⇔ (a + bi )(a − bi ) − 3 [ 2a + 2bi + a − bi ] = −19 + 3i
⇒ a 2 + b 2 − 9a − 3bi = −19 + 3i
a 2 + b 2 − 9a = −19
a = 4, a = 5  z = 4 − i
⇔
⇔
⇒
b = −1
z = 5 − i
−3b = 3
b)| z − 1|=| z + 2i | và

z +i
=1
z +1− i

Gọi z = a + bi (a, b ∈ R ) , ta có:
| z − 1|=| z + 2i |

⇔| a − 1 + bi |=| a + (b + 2)i |
⇔ (a − 1)2 + b 2 = a 2 + (b + 2) 2
⇔ 4b + 2a + 3 = 0 (1)

z +i
z +i
=
⇔| z + i |=| z + 1 − i |
z +1− i
z +1− i
Biến ñổi như trên ta có pt: 2a – 4b + 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -1; b = -1 nên z = -1 – i

Bài 2.
| z + 1 − 2i |=| z + 3 + 4i | và

z − 2i
là số thuần ảo.
z +i

Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

Gọi z = a + bi (a, b ∈ R )

+ | z + 1 − 2i |=| z + 3 + 4i |⇔| a + 1 + (b − 2)i |=| a + 3 + (4 − b)i |
Biến ñổi ta có pt: a – b + 5 = 0 suy ra b = a+ 5 (1)

+

z − 2i a + (b − 2)i ( a + (b − 2)i )( a − (1 − b)i )
=
=
a + (1 − b)i
a 2 − (1 − b 2 )i 2
z+i

=

a 2 + (b − 2)(1 − b) 2ab − a − 2
+ 2
i
a 2 + (1 − b)2
a + (1 − b) 2

Vì

z − 2i
a 2 + (b − 2)(1 − b)
là số thuần ảo nên ta có:
= 0 ⇔ a 2 + (b − 2)(1 − b) = 0 (2)
a 2 + (1 − b) 2
z+i

Thay (1) vào (2) ta có:

a 2 + (a + 3)(− a − 4) = 0
12

a = − 7
⇔
b = 23

7
Vậy: z = −

12 23
+ i
7 7

Bài 3.

( z + 2z )

3

= 8i

Giải:
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )

(

Ta có: z + 2 z

)

3

= 8i ⇔ [ a + bi + 2(a − bi )] = 8i
3

⇔ (3a − bi )3 = 8i ⇔ 27a 3 − 27 ab 2i 2 − b3i 3 = 8i
⇔ 27 a 3 − 9ab 2 + (b3 − 27a 2b)i = 8i
27 a 3 − 9ab 2 = 0
⇔ 3
2
b − 27 a b = 8
Giải hệ pt trên ta suy ra:

 a = 0; b = 3 8

 a = ± 1 ; b = −1

3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

Vậy:


 z = 3 8i

1

z = 3 − i

1

z = − 3 − i


Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn: | iz − 3 |=| z − 2 − i | và modul z nhỏ nhất.

Giải:
Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ R )
Ta có:

| iz − 3 |=| z − 2 − i |⇔| −b − 3 + ai |=| a − 2 + (b − 1)i |
⇔ (b + 3)2 + a 2 = (a − 2)2 + (b − 1) ⇔ a = −2b − 1

2
1 1
Do ñó: | z |= a 2 + b 2 = (2b + 1) 2 + b 2 = 5b 2 + 4b + 1 = 5(b + ) 2 + ≥ ∀b ∈ R
5
5 5
2
2


b=−
2

b
+
=
0
1

5

Suy ra |z| nhỏ nhất bằng
⇔ 
⇔
5
5
a = −2b − 1

a = − 1

3


1 2
Vậy z = − − i
5 5
Bài 5:
| z + 1 + 2i |= 1 và |z| là nhỏ nhất.

Giải:
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R)
M(x,y) là ñiểm biểu diễn số phức z.
Ta có: | z + 1 + 2i |= 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1
ðường tròn (C): ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 có tâm I(-1;-2)
ðường thẳng OI có phương trình: y = 2x
Số phức z có modul nhỏ nhất khi và chỉ khi ñiểm biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa ñộ O nhất, ñó
chính là 1 trong 2 giao ñiểm của OI và (C). Khi ñó nó thỏa mãn hệ:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương


 x = −1 −

 y = 2x
⇒

2
2
( x + 1) + ( y + 2) = 1  x = −1 +


Chọn z = −1 +

1
; y = −2 −
5
1
; y = −2 +
5

Số phức

2
5
2
5

1 
2 
+  −2 +
i
5 
5

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -