Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học các dạng toán liên quan đến cực trị trong chương trình đại số lớp 8 luận văn thạc sĩ toán học

-1-

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ THỊ ĐẬM

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP
8

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


-2-

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ THỊ ĐẬM

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP
8

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60. 14. 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Dương Hoàng

NGHỆ AN, 2012


-3-

Lời cảm ơn
Cùng với sự nỗ lực của bản thân, luận văn này được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Dương Hoàng. Tác giả xin trân trọng bày tỏ sự
cảm ơn đối với Thầy.
Tác giả trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Phương pháp
giảng dạy Toán, Khoa Toán học Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Đồng
Tháp đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên
cứu đề tài.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu; các Thầy, Cơ giáo trong Tổ
Tốn, Trường Trung học cơ sở – Trung học phổ thông Nguyễn Văn Khải, Đồng
Tháp đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong q trình hồn thành luận văn.
Sự quan tâm, giúp đỡ của gia đình và bạn bè là nguồn động viên, cổ vũ và
tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện
đề tài.
Vinh, tháng 10 năm 2012

Võ Thị Đậm


-4-

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………1
NỘI DUNG: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn …………………..7
1.1 Tổng quan về thuật giải, tư duy thuật giải………………………7
1.2 Bài toán liên quan đến cực trị - bài tốn cực trị trong chương trình Đại số
Trung học cơ sở có tác dụng rèn luyện tư duy thuật giải……………24
1.3 Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học các bài toán liên
quan đến cực trị - bài tốn cực trị trong chương trình Đại số Trung học cơ sở .33
1.4 Kết luận chương 1………………………………………………..37
Chương 2. Các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thơng
qua việc dạy các bài tốn liên quan đến cực trị trong chương trình Đại số
Trung học cơ sở…………………………………………………………… 38
2.1 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho học
sinh thông qua dạy học nội dung các dạng toán liên quan đến cực trị - Đại số
Trung học cơ sở …………………………………………………...............38
2.2. Các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thơng qua dạy
học nội dung các dạng tốn liên quan đến cực trị - Đại số Trung học cơ sở…42
2.3. Kết luận chương 2………………..…………………………………65
Chương3. Thực nghiệm sư phạm…………………………..……………66
KẾT LUẬN………………………………………..……………………….71
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………….………………..72
PHỤ LỤC………………………………………………….………………75


-5-

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Để phục vụ cho sự nghiệp cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt
kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và
đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo
những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự
động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính
trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải
quyết công việc.
Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong
các văn kiện Đại hội Đảng như: Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá
độ lên chủ nghĩa xã hội (Bổ sung, phát triển năm 2011) nêu rõ: “Đổi mới căn
bản và toàn diện giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội; nâng
cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá, dân chủ hoá
và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Báo cáo chính trị của Ban chấp hành
Trung ương Đảng khóa X tại Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI của Đảng
cũng nêu rõ: "Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương
pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện,
đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng,
đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công
nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”.
Điều 5, luật giáo dục (2010) quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý
chí vươn lên”.
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện
trong quá trình dạy học là rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.


-6-

Tư duy thuật giải có vai trị quan trọng trong nhà trường phổ thơng đặc
biệt trong dạy học tốn. Trong mơn tốn, có nhiều dạng tốn được giải quyết
nhờ thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng tốn có
thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ
tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm
dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải bài
tốn đó.
Qua việc tìm tịi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán,
từng dạng tốn, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh
như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá, hơn nữa, nó cịn
hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: tính cẩn thận chi tiết, tính
linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá; các phẩm
chất tốt đẹp của người lao động như: tính ngăn nắp cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức
tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc. Mặt khác qua đó từng bước giúp
học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường
cơng nghiệp hố hiện đại hố, đáp ứng u cầu của con người mới trong nền sản
xuất tự động hố và bối cảnh cơng nghệ, thơng tin, tin học đang có ảnh hưởng
mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống.
Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển tư
duy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách tự phát,
chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện. Do đó, giáo viên
chưa biết cách khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn luyện
và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
Khi dạy một nội dung tốn học, ngồi việc giúp học sinh nắm vững nội
dung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài tập,
các nội dung khác có liên quan.
Rèn luyện tư duy thuật giải là mục đích của việc dạy học tốn ở trường
phổ thơng vì:

-7-

* Tư duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn
luyện các kỹ năng toán học.
* Tư duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ
(như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái qt hóa,...) cũng như
những phẩm chất trí tuệ (như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).
* Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa
diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử
lý thơng tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp
phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.
Rèn luyện tư duy thuật giải trong mơn tốn có ý nghĩa về nhiều mặt và
mơn toán chứa đựng khả năng to lớn về rèn luyện tư duy thuật giải, thế nhưng,
tư duy thuật giải chưa được chú ý rèn luyện đúng mức ở nhà trường phổ thơng.
Đã có một số cơng trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các cơng trình đó có
thể kể tới luận án phó tiến sĩ của Vương Dương Minh: “Phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số ở trường phổ thông” (1998),
luận án này đã nghiên cứu việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong
khi dạy các hệ thống số hay luận văn của thạc sĩ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp
phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua
dạy học nội dung lượng giác 11"(2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11.
Nội dung giải các bài toán liên quan đến cực trị là nội dung quan trọng ở
chương trình Đại số Trung học cơ sở với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng
tốn, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính tốn nhiều bài tốn có tiềm năng có
thể chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm rèn luyện tư duy
thuật giải cho học sinh.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "
Rèn luyện tư duy thuật giải cho
học sinh trong dạy học các dạng Toán liên quan đến cực trị trong chương

trình Đại số lớp 8."làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU


-8-

2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cách thức rèn luyện tư
duy thuật giải trong q trình dạy học các dạng tốn liên quan đến cực trị trong
chương trình Đại số lớp 8 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Tốn ở
trường phổ thông.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm rõ bản chất của tư duy thuật giải, tư duy thuật giải trong chương
trình tốn Đại số lớp 8.
- Đề xuất các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học các dạng
toán liên quan đến cực trị trong chương trình Đại số lớp 8.
- Thực nghiệm, kiểm tra độ tin cậy của các biện pháp đề xuất.
2.3. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận:
* Nghiên cứu các văn kiện của Đảng và nhà nước, của Bộ giáo dục và đào
tạo có liên quan đến việc dạy và học Tốn ở trường phổ thơng.
* Nghiên cứu sách giáo khoa cấp Trung học cơ sở, các sách báo, tạp chí
giáo dục học có liên quan đến nội dung đề tài.
* Các cơng trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài
(các luận văn, luận án, chuyên đề...)
2. Nghiên cứu thực tiễn:
Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh
trong q trình dạy học nói chung, dạy học nội dung tốn liên quan đến cực trị
nói riêng.
3. Thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và
đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.
Lập bảng số liệu thống kê và rút ra các nhận xét, so sánh giữa lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC


-9-

Nếu làm rõ nội dung của tư duy thuật giải trong dạy học các bài toán liên
quan đến cực trị trong chương trình Đại số lớp 8, đề xuất được các biện pháp rèn
luyện thích hợp thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh, qua đó
nâng cao chất lượng dạy học tốn bậc Trung học cơ sở.
4. DỰ KIẾN NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và
vai trị vị trí của việc rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học tốn.
2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng rèn luyện tư duy thuật
giải cho học sinh.
3. Xác định được một số định hướng sư phạm rèn luyện tư duy thuật giải cho
học sinh.
4. Khai thác được một số dạng tốn liên quan đến cực trị có thể giúp học
sinh xây dựng được thuật giải.
5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Tốn Trung
học cơ sở.
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngồi phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Tổng quan về thuật giải, tư duy thuật giải
1.2 Bài toán liên quan đến cực trị - bài tốn cực trị trong chương trình Đại
số Trung học cơ sở có tác dụng rèn luyện tư duy thuật giải

1.3 Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học các bài toán liên
quan đến cực trị - bài tốn cực trị trong chương trình Đại số Trung học cơ sở
Chương 2. Các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông
qua việc dạy các bài tốn liên quan đến cực trị trong chương trình Đại số
Trung học cơ sở
2.1. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho
học sinh thông qua dạy học nội dung các dạng toán liên quan đến cực trị - Đại số
Trung học cơ sở


- 10 -

2.2. Các biện pháp rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy
học nội dung các dạng toán liên quan đến cực trị - Đại số Trung học cơ sở
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận về sự thực nghiệm

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan về thuật giải, tư duy thuật giải
1.1.1. Tư duy. Tư duy tốn học
Hiện thực xung quanh có nhiều vấn đề mà con người chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn đòi hỏi con người phải hiểu biết những vấn
đề chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác, phải vạch ra cái bản
chất và quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy.
Tư duy là q trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong

hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo Tâm lý học đại cương –
Nguyễn Quang Uẩn)


- 11 -

Theo Từ điển Triết học, “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đốn, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá
trình sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián
tiếp và phản ánh những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong những
mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động
chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nền tư duy của con người được thực hiện
trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả tư duy được ghi nhận
trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hóa,
phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải
quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm, kết quả của quá trình
tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.
Từ định nghĩa trên ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là q trình phản ánh tích
cực của thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với những hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của
con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
Tư duy được rất nhiều nhà tâm lý học nghiên cứu, một trong những nghiên

cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được trình bày trong cơng trình của:
X. L. Rubinstêin. Theo ơng thì “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ
của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư
liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [21, trang 8].


- 12 -

Như vậy, tư duy giúp con người nắm được bản chất và quy luật vận động
của tự nhiên xã hội và con người, tư duy có tác dụng cải tạo lại thơng tin nhận
thức cảm tính làm cho nó có ý nghĩa hơn trong cuộc sống, tư duy vận dụng
những cái đã biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tương tự, do đó tiết
kiệm được công sức.
1.1.1.1. Đặc điểm của tư duy
- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề: khi gặp những hồn
cảnh, những tình huống mà với vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã
biết, con người không đủ để giải quyết, lúc đó con người phải vượt ra khỏi phạm
vi những hiểu biết đó và đi tìm cái mới.
Ví dụ: Khi học sinh đã được học về phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
và giải thành thạo các dạng phương trình, giáo viên đưa ra bài tốn giải phương
trình: x4 + 3x2 – 4 = 0, yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải, thì đây là một
tình huống có vấn đề mà học sinh cần phải tư duy mới có thể giải quyết được.
Chẳng hạn học sinh có thể đặt ẩn phụ x2 = t (t 0) rồi sau đó giải phương trình
theo ẩn t, hoặc học sinh có thể nhẩm nghiệm (a + b + c = 0) để tìm được giá trị
x2 và sau đó đi tìm x.
- Tư duy có tính khái qt: tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính
chung, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng. Nhờ
đặc điểm này của tư duy mà con người có thể nhìn xa vào tương lai, nghĩa là
giải quyết ở trong đầu những nhiệm vụ đã đề ra cho họ sau này, chứ không giải
quyết những nhiệm vụ hiện tại.

Trong tốn học có nhiều vấn đề địi hỏi tính khái quát cao như khi học về
định lý Vi-et. Có thể nói định lý Vi-et mang tính khái qt cao và vận dụng rất
rộng rãi trong việc giải phương trình bậc hai. Ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa
hai nghiệm của phương trình với các hệ số a, b, c trong phương trình.
- Tư duy có tính gián tiếp: Khác với nhận thức cảm tính, tư duy phản ánh
các sự vật và hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ. Tư duy được biểu
hiện trong ngôn ngữ. Các quy luật, các quy tắc, các sự kiện, các mối quan hệ và


- 13 -

sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác, những phát
minh, những kết quả tư duy của người khác cũng như cả kinh nghiệm cá nhân
của con người đều là công cụ để mỗi người tìm hiểu thế giới xung quanh, để giải
quyết vấn đề mới đối với họ.
Vấn đề này ta cũng thấy rõ trong quá trình dạy và học giữa giáo viên và
học sinh trong lớp học. Khi giáo viên đưa ra những “tình huống có vấn đề” địi
hỏi học sinh phải “mổ xẻ”, suy nghĩ, chỉ qua câu trả lời là giáo viên có thể hiểu
học sinh có tư duy hay khơng.
- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: tư duy và
ngơn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng không
đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu
biểu đạt kết quả ở q trình tư duy. Ngơn ngữ được xem là phương tiện của tư
duy trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự tham gia của hệ thống tín
hiệu thứ hai (ngơn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng
sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đốn, suy lí được biểu
đạt bằng từ, ngữ, câu,.
- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái qt và trừu tượng đến đâu thì nội
dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác,

biểu tượng trực quan,…). X. L. Rubinstêin khẳng định rằng: “ Nội dung cảm
tính bao giờ cũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư
duy” [21, trang 13]. Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả
năng phản ánh của cảm giác và tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con
người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn
và tính ý nghĩa.
1.1.1.2 Các giai đoạn của tư duy
Tư duy là một năng lực phức tạp và kỳ diệu của con người. Đã có nhiều
cách tiếp cận để nghiên cứu, khám phá cả chiều sâu ý thức và trình độ, phương
pháp tư duy, nhưng đến nay, vẫn còn phải tiếp tục nghiên cứu.


- 14 -

Tuy nhiên, các trường phái tâm lí đều công nhận: Tư duy được xem xét
như là một quá trình, nghĩa là tư duy có sự bắt đầu (nảy sinh), diễn biến và kết
thúc, vấn đề mà người ta quan tâm là quy luật diễn biến của nó. Suy cho đến
cùng, những quy luật của tư duy là sự phản ánh quy luật của thế giới vật chất.
Những hình ảnh của sự vật, từ mức độ trực tiếp, nguyên vẹn trên cơ sở các liên
tưởng, được tư duy cải biến, sửa chữa, loại bỏ những mặt phụ, ngẫu nhiên, tìm
ra những mặt chính, tất yếu và những quan hệ bền vững giữa chúng, từ đó hình
thành nên những khái niệm tương ứng với các mặt, các quan hệ tất yếu đó của
chúng, rồi cải tạo, kết hợp để xây dựng nên hình ảnh mới về sự vật. Nhưng đó
khơng phải là sự phản ánh bị động mà là sự phản ánh chủ động và sáng tạo của
tư duy. Quá trình tư duy bao gồm các giai đoạn kế tiếp nhau:
- Xác định được vấn đề và biểu đạt vấn đề thành nhiệm vụ tư duy. Khi
gặp tình huống có vấn đề đối với bản thân mình, phải biết phát hiện ra mâu
thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề, tạo ra nhu cầu giải quyết nó, tìm
thấy những tri thức đã có trong kinh nghiệm cá nhân có liên quan tới vấn đề, sử
dụng tri thức đó vào giải quyết vấn đề, từ đó đề ra nhiệm vụ tư duy.

Ví dụ: Khi dạy phương trình trùng phương dạng ax4 + bx + c = 0 (1)
Đặt t = x2 ( t 0)
Khi đó phương trình (1) trở thành at2 + bt + c = 0 (2). Đây là phương
trình bậc hai ẩn t, mà phương trình dạng này thì học sinh đã giải thành thạo.
- Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm có liên quan tới vấn đề, làm
xuất hiện những mối liên tưởng xung quanh vấn đề đang cần giải quyết.
- Sàng lọc những liên tưởng, gạt bỏ những cái khơng cần thiết, hình thành
giả thuyết về các cách giải quyết vấn đề. Các tri thức kinh nghiệm và liên tưởng
xuất hiện đầu tiên còn mang tính chất rộng rãi, bao trùm, chưa phân biệt nên cần
sàng lọc cho phù hợp với nhiệm vụ đề ra. Trên cơ sở sàng lọc này sẽ hình thành
giả thuyết, tức cách giải quyết có thể có đối với nhiệm vụ tư duy. Chính sự đa
dạng và sự biến động rộng của các giả thuyết cho phép xem xét cùng một sự vật,


- 15 -

hiện tượng từ nhiều hướng khác nhau trong các hệ thống liên hệ, quan hệ khác
để tìm ra cách giải quyết đúng đắn nhất và tiết kiệm nhất.
- Kiểm tra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, khẳng định hoặc phủ định
nó. Nếu giả thuyết đúng thì tiến hành giải quyết vấn đề, nếu giả thuyết sai thì
phủ định nó để hình thành giả thuyết mới. Như vậy, trong q trình kiểm tra có
thể phát hiện những nhiệm vụ mới, từ đó nảy sinh một q trình tư duy mới.
Ví dụ như khi giải phương trình trùng phương: x4 + 3x2 – 4 = 0.
Đặt t = x2 (t 0), phương trình trở thành t2 + 3t – 4 = 0.
Nhẩm nghiệm (a + b + c = 0) được t1 = 1, t2 = – 4 , đến đây HS phải
kiểm tra lại điều kiện của t đã đặt ra ban đầu.
Rõ ràng, với t1 = 1 thì thỏa mãn điều kiện, thay x2 = 1 và tìm x.
Với t2 = – 4 thì khơng thỏa mãn điều kiện, nên trong trường hợp này, ta
khơng tìm được x.
Như vậy, với nền tảng kiến thức đã xây dựng trong bài giảng (thơng qua

các ví dụ) giáo viên có thể đưa ra câu hỏi : “Để phương trình trùng phương có 4
nghiệm, 3 nghiệm, 2 nghiệm, 1 nghiệm, vơ nghiệm, thì phương trình bậc hai
theo t phải có nghiệm như thế nào”. Câu hỏi này đưa ra nhằm mở rộng kỹ năng
tư duy của học sinh, giúp học sinh hiểu rõ về phương trình trùng phương hơn.
- Giải quyết vấn đề, đi đến kết quả và kiểm tra kết quả. Sau khi kiểm tra
sẽ cho ta một kết quả về vấn đề tư duy.
Quá trình tư duy giải quyết nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do:
+ Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện của bài toán.
+ Chủ thể đưa vào bài toán một điều kiện thừa.
+ Tính chất khn sáo, cứng nhắc của tư duy.
Các thao tác tư duy có quan hệ mật thiết với nhau, thống nhất theo một
hướng nhất định, do nhiệm vụ tư duy quy định. Trong thực tế các thao tác tư duy
đan chéo với nhau, chứ khơng theo một trình tự máy móc như trên. Tùy theo
nhiệm vụ, điều kiện tư duy, không nhất thiết trong hành động tư duy nào cũng
thực hiện các thao tác trên.


- 16 -

Để thể hiện mối quan hệ vừa thống nhất vừa đan xen giữa các giai đoạn
của một quá trình tư duy, nhà tâm lí học K. K. Platonov (Tâm lí học – Nhà xuất
bản Giáo dục 1997) đã đưa ra sơ đồ như sau:

Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Khẳng định

Giải quyết vấn đề

Phủ định

Hoạt động tư duy mới

Tư duy toán học được hiểu là q trình nhận thức tốn học, phản ánh
những thuộc tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính
quy luật của các đối tượng tốn học mà trước đó ta chưa biết. Sản phẩm của tư
duy tốn học là những tính trừu tượng cao, có tính khoa học, tính lơgíc chặt chẽ,
các tri thức có mối quan hệ mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, được biểu đạt bằng
ngơn ngữ viết (kí hiệu, biểu thức, công thức, …)
1.1.2. Tư duy thuật giải
1.1.2.1. Khái niệm thuật giải
Khái niệm thuật giải liên quan chặt chẽ với khái niệm thuật tốn, do đó
trước khi đưa ra khái niệm thuật giải ta tìm hiểu khái niệm thuật tốn.


- 17 -

* Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác
định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn
bước thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước [8, trang 13].
Nói cách khác, thuật tốn là tồn bộ quy tắc hay quy trình cụ thể nhằm
giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết
quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào.
Khi một thuật tốn đã hình thành thì ta khơng xét đến việc chứng minh
thuật tốn đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn sẽ

có kết quả đúng. Việc chứng minh tính đầy đủ và tính đúng của các thuật tốn
phải được tiến hành xong trước khi có thuật tốn. Nói rõ hơn, thuật tốn có thể
chỉ là việc áp dụng các cơng thức hay quy tắc, quy trình đã được cơng nhận là
đúng hay đã được chứng minh về mặt toán học.
Để trình bày một thuật tốn hay biểu diễn một thuật tốn, ta có thể sử
dụng các phương pháp sau đây:
- Dùng ngôn ngữ tự nhiên.
- Dùng sơ đồ khối hay lưu đồ.
- Dùng mã giả.
- Dùng ngơn ngữ lập trình.
* Các đặc trưng của thuật toán: Mỗi thuật toán là một trình tự các bước
tính tốn biến đổi để từ dữ kiện đầu vào sẽ cho ra kết quả, tùy vào vấn đề, bài
tốn mà thuật tốn đề ra có thể đơn giản hay phức tạp. Tuy nhiên, dù đơn giản
hay phức tạp một thuật tốn ln phải mang những đặc điểm như sau:
- Tính dừng: thuật tốn phải kết thúc sau một hữu hạn số lần thực hiện.
- Tính xác định: mỗi bước của thuật toán cần phải được mơ tả một cách
chính xác, sau khi thực hiện một bước (một thao tác) thì hoặc là thuật tốn kết
thúc, hoặc là có đúng một thao tác được thực hiện tiếp theo.
- Tính khách quan: Một thuật tốn dù được viết bởi nhiều người, thực
hiện trên nhiều máy tính vẫn phải cho kết quả như nhau.


- 18 -

- Tính phổ dụng: Thuật tốn khơng chỉ áp dụng cho một bài tốn nhất
định mà có thể áp dụng cho một lớp các bài tốn có đầu vào tương tự như nhau.
- Tính đúng đắn: khi thuật tốn kết thúc phải thu được kết quả cần tìm.
* Các tính chất và cấu trúc của thuật tốn rất chặt chẽ, mang tính trình tự
cao và ln đi đến kết quả nếu được áp dụng đúng. Điều đó thể hiện sự cứng
nhắc của thuật tốn đồng thời cũng có nghĩa là khả năng giải quyết vấn đề theo

kiểu thuật toán sẽ bị giới hạn, và trên thực tế việc áp dụng thuật toán để giải
quyết các bài toán rất hạn chế trong nhiều trường hợp. Trong quá trình nghiên
cứu giải quyết các vấn đề – bài toán bằng thuật toán, người ta đã đưa ra một số
nhận xét như sau:
- Có nhiều bài tốn cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu
thuật tốn và cũng khơng biết có tồn tại thuật tốn hay khơng.
- Có nhiều bài tốn đã có thuật tốn để giải nhưng khơng chấp nhận được
vì thời gian giải theo thuật tốn đó q lớn hoặc các điều kiện cho thuật tốn đó
khó đáp ứng.
- Có những bài tốn được giải theo những cách giải vi phạm thuật toán
nhưng vẫn chấp nhận được.
Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi mới
cho khái niệm thuật tốn. Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật tốn:
tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán
được thể hiện qua các thuật tốn đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật tốn
khơng cịn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần đúng.
Trong thực tế, có nhiều trường hợp người ta chấp nhận các cách giải thường cho
kết quả tốt (nhưng không phải lúc nào cũng tốt) nhưng ít phức tạp và hiệu quả.
Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối ưu địi hỏi máy tính thực
hiện trong vịng nhiều năm thì chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối
ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặc vài giờ.
Các cách giải chấp nhận được nhưng khơng hồn tồn đáp ứng đầy đủ
các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải. Khái niệm


- 19 -

mở rộng này của thuật giải đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phương
pháp để giải quyết các bài tốn được đặt ra. Ngồi việc mở rộng tính đúng của
thuật tốn, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật tốn. Nó cũng có các

hình thức biểu diễn phong phú như thuật tốn. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu
nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt trong
dạy học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến
thức hiện có của học sinh. Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và phương
tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải. Ngơn ngữ lập trình là
bước phát triển cao của văn hóa thuật giải.
* Ở trường Trung học cơ sở, ta cũng thường gặp những quy tắc gồm một
số hữu hạn các hoạt động có mục đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một
trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả là giải quyết được một loại cơng việc nào
đó theo đúng yêu cầu đã định. Chỉ cần thực hiện theo đúng các chỉ dẫn, trình tự
sẽ đạt được kết quả mong muốn, tuy nhiên có thể có nhiều cách thức thực hiện
khác nhau và kết quả đạt được có thể là không duy nhất. Các quy tắc như vậy
được gọi là các quy tắc tựa thuật giải. Mặc dù khơng hồn toàn chặt chẽ nhưng
quy tắc tựa thuật giải vẫn mang nhiều đặc điểm của thuật giải và có vai trị rất
quan trọng trong quá trình dạy học và giải bài tập tốn. Một quy tắc tựa thuật
giải phải có các đặc điểm sau:
- Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định.
- Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước là một
thao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn
thực hiện thao tác lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp.
- Trong đa số trường hợp, sau khi thực hiện xong tất cả các bước thì đi
đến kết quả.

1.1.2.2. Tư duy thuật giải


- 20 -

Tư duy thuật giải (thể hiện trong môn Tốn) là hình thức biểu lộ của tư
duy biện chứng trong q trình con người nhận thức khoa học Tốn học, hay

thơng qua hình thức áp dụng Tốn học vào các khoa học khác.
Tư duy thuật giải là một hình thức tư duy toán học, là phương thức tư duy
biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T1. Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải.
T2. Phân tích một q trình hoạt động những thao tác được thực hiện
theo một trình tự xác định.
T3. Khái qt hóa một q trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
T4. Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
T5. Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết công việc.
Trong đó T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, T2 - T5 thể hiện năng
lực xây dựng thuật giải.
Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp
với những kết quả nghiên cứu về văn hóa hình thành thuật giải. Tác giả B. V.
Mơnakhơv (trong cuốn Hình thành văn hóa thuật giải cho học sinh thơng qua
q trình dạy học mơn Tốn) đã nêu lên những thành phần văn hóa thuật giải
bao gồm:
- Hiểu bản chất thuật giải và những tính chất của nó, hiểu bản chất ngơn
ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải.
- Nắm vững các phương tiện và phương pháp biểu diễn thuật giải.
- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng
của chúng, nắm vững các thuật giải của giáo trình tốn phổ thơng.
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần
hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh. Từ khái niệm về tư duy
thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học