Bai 3 HDGBTTL cac dang toan lien quan den so phuc phan 3 hocmai vn

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Tìm modul của số phức z biết:
a ) z = 4 − 3i + (1 − i )3
b) z = (4 − 3i )2 + (1 + 2i )3
c) z = 3(1 + i )100 − 4i (1 + i )98 + 4(1 + i )96

Giải:
a ) z = 4 − 3i + (1 − 3i + 3i 2 − i 3 ) = 2 − 5i
⇒| z |=| 2 − 5i |= 22 + ( −5) 2 = 29
b) z = (16 − 24i + 9i 2 ) + (1 + 3.2i + 3.4i 2 + 8i 3 ) = −4 − 26i
⇒| z |=| −4 − 26i |= ( −4) 2 + (−26) 2 = 2 173
c) z = (1 + i )96 3(1 + i )4 − 4i (1 + i ) 2 + 4 
= (1 + i )96 3(2i ) 2 − 4i (2i ) + 4  = (1 + i )96 .0 = 0
⇒| z |= 0

Bài 2:
Cho số phức z thỏa mãn:
| z | −2 z = 3(−1 + 2i )
Tính | z | + | z |2 + | z |3

Giải:
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )
Từ giả thiết suy ra:

a 2 + b 2 − 2(a − bi ) = −3 + 6i
 a 2 + b 2 − 2a = −3
⇔
2b = 6
Giải hệ pt trên ta suy ra:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

 a = 0 ( L)
a = 4 ( N )

⇒ z = 4 + 3i
⇒| z | + | z |2 + | z |3 = 155

Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:
a ) 2 | z |2 +5 z + 5 z = 0
b)| z − 2 | + | z + 2 |= 6
c) z 2 + | z |= 0
d) z2 là số thuần ảo.
e) z có phần thực bằng 3

Giải:
a ) Gọi z = z+ yi (x, y ∈ R), ta có:
2 | z |2 +5 z + 5 z = 0
⇔ 2 | x + yi |2 +5( x + yi ) + 5( x − yi) = 0
⇔2

(

x2 + y 2

) + 10 x = 0
2

⇔ x2 + y 2 + 5x = 0
2

5
25

⇔  x +  + y2 =
2
4

5
 5 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường tròn tâm  − ;0  ; R =
2
 2 

b) Gọi z = z+ yi (x, y ∈ R), ta có:
| x − 2 + yi | + | x + 2 + yi |= 6
⇔ ( x − 2)2 + y 2 + ( x + 2)2 + y 2 = 6 (*)
Gọi F1(-2;0)

F2(2;0) (x,y) khi đó (*) ⇔ MF1 + MF2 = 6

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là (E) có độ dài trục lớn 2a = 6, tiêu cự 2c = 4
(c = 2), độ dài trục bé 2b = 2 5 tức:

(E ) :

x2 y 2
+
=1
9
5

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

c) Goïi z = z+ yi (x, y ∈ R)

Khi ñoù: z 2 + | z |= 0 ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi + x 2 + y 2 = 0
⇔ x 2 − y + x 2 + y 2 + 2 xyi = 0 + 0i
 x 2 − y + x 2 + y 2 = 0
⇔
2 xy = 0
x = y = 0
⇔  x = 0, y = 1
 x = 0, y = −1
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện ñã cho gồm 3 ñiểm:
{(0;0),(0;1);(0;-1)}
d) Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R )
Khi ñó: z 2 = ( x + yi ) 2 = x 2 − y 2 + 2 xy là số thuần ảo khi và chỉ khi:

x = y
x2 − y2 = 0 ⇔ x2 = y 2 ⇔ 
x = − y
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 là số thuần ảo là các ñường thẳng y = x; y = -x.
e) z có phần thực bằng 3:
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R )
Khi ñó z có phần thực bằng 3 ⇔ x = 3
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 3 là ñường thẳng x = 3.
Bài 4:
Cho số phức z = x + yi ; x, y ∈ Z thỏa mãn:

z 3 = 18 + 26i
Tính T = ( z − 2 )

2009

+ (4 − z)

2009

Giải:
Ta có:

z 3 = ( x 3 − 3 xy 2 ) + ( 3 x 2 y − y 3 ) i = 18 + 26i
 x 3 − 3 xy 2 = 18
⇔ 2
3
3 x y − y = 26
3
2
 x (1 − 3t ) = 18
Do x = y = 0 không là nghiệm. ðặt y = tx ⇒  3
3
 x (3t − t ) = 26

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chia vế theo vế ta có:

+ Khi t =

Số phức

1 − 3t 2 18
=
⇔ (3t − 1)(3t 2 − 12t − 13) = 0
3
3t − t
26

1
thì y = 1, x = 3 thỏa mãn x,y ∈ Z
3

+ Khi 3t 2 − 12t − 3 = 0 thì x,y ∉ Z
Vậy số phức ñã cho là z = 3 + i.
Vậy:

T = ( z − 2)
= (1 + i )

2009

+ (4 − z)

+ (1 − i )

2009

1004

=  (1 + i )2 

2009

2009

(1 + i ) + (1 + i)2 

1004

(1 − i )

= 21004 (1 + i ) + 21004 (1 − i ) = 21005

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -