DABTTL dieu kien tiep xuc cua hai do thi

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị thuộc khóa học
Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Cho hàm số y   x3  3x  2 (C). Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng d: y = mx.
Lời giải:
3
 x  3x  2  mx
(C) tiếp xúc với d  
có nghiệm
2
3x  3  m

Suy ra:

 x3  3x  2   3x 2  3 x
 2  x  1  x 2  x  1  0

 x  1
Thay vào ta được m = 0. Vậy m = 0 thì (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
Bài 2. Cho 2 đồ thị (C) y  x3  x 2  5 và (C’) y  2 x 2  m . Tìm m để 2 đồ thị trên tiếp xúc với nhau.
Lời giải:
3
2

2

 x  x  5  2 x  m (1)
Hai đồ thị đã cho tiếp xúc với nhau   2
có nghiệm.

3x  2 x  4 x (2)
Ta có (2)  x  0  x  2  (1) : m  5  m  1

x 1
(C). Chứng minh rằng (C) và đường thẳng có phương trình y  mx  2m  3
2x 1
không tiếp xúc nhau với mọi m.
Lời giải:
3
 1
Tập xác định: D  R \    . Ta có: y ' 
 0, x  D
2
 2
 2 x  1
Bài 3. Cho hàm số y 

Đường thẳng y  mx  2m  3 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:

 x 1
 2 x  1  mx  2m  3

có nghiệm
 3



m
2
  2 x  1
Thế m từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu ta được:
x 1
3

 x  2  3  7 x2  4 x  4  0 : Phương trình này vô nghiệm.
2 x  1  2 x  12
Vậy (C) và đường thẳng có phương trình y  mx  2m  3 không tiếp xúc nhau với mọi m.
Bài 4. Cho đồ thị  C  : y  x3  3x2  2 . Tìm m sao cho (C) và (d):y  

5
x  m tiếp xúc nhau.
3

Lời giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

5
 3
2
 x  3 x  2   3 x  m
Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc nhau là hệ 
có nghiệm
3x 2  6 x   5

3
5

x m

5
3
Từ 3x 2  6 x    9 x 2  18 x  5  0  
3
x  1  m 

3

29
27
61
27

29

 m  27
Vậy 

 m  61

27
Bài 5: (ĐH – Thái Nguyên – 1997)

Cho (C1 ) : y  f ( x)  3x (3x  m  2)  m 2  3m . Tìm m để (C1) tiếp xúc với đồ thị (C2 ) : y  g ( x)  3x  1
Giải:

 f ( x)  g ( x) (1)
(C1 );(C2 ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi  
có nghiệm.
 f '( x)  g '( x) (2)
32 x  (2  m)3x  m2  3m  3x  1 (1)

  2x
x
x

2.3 .ln 3  (2  m).3 .ln 3  3 .ln 3 (2)

Ta có: (2)  2.3x  (2  m)  1  3x 

Thế 3x 

m 1
 0  m 1
2

5  40
m 1

vào (1) ta có: 3m 2  10m  5  0  m 
3
2

Bài 6: Tìm m để (Cm ) : y  2 x 3  3(m  3) x 2  18mx  8 tiếp xúc với Ox.
Giải:

 f ( x)  0
(Cm ) : y  f ( x) tiếp xúc với Ox  
có nghiệm.
 f '( x)  0
3
2

2 x  3(m  3) x  18mx  8  0 (1)
có nghiệm
(2)  
2


6
x

9
m

3)
x

3

m

0
(2)
 



x  3
Ta có: (2)  x 2  (m  3) x  3m  0  
x  m

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

• Thế x = 3 vào (1) ta có: 27m  35  0  m 

Hàm số

35
27

• Thế x = m vào (1) ta có: m3  9m2  8  0  m3  9m2  8  0
m  1

 (m  1)(m2  8m  8)  0  
m  4  2 6

Bài 7: Tìm m để (Cm ) : y  mx 3  (m  1) x 2  (4m  3) x  6m tiếp xúc với Ox.
Giải:
Xét phương trình hoàh độ gia điểm: f  x  : mx3  (m  1) x2  (4m  3) x  6m  0

f '  3mx2  2  m  1 x  4m  3
(Cm ) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ

 mx 3  (m  1) x 2  (4m  3) x  6m  0
 I  có nghiệm

2
3
mx

2
m

1
x

4
m

3

0




2

( x  3)  mx  (2m  1) x  2m   0 1

2

3mx  2  m  1 x  4m  3  0  2 

+ Xét với x= -3=> thế vào (2) ta được

27m  6m  6  4m  3  0
 17m  3
3
m
17
 mx 2  (2m  1) x  2m  0  3
+Xét hệ 
2
3mx  2  m  1 x  4m  3  0(4)
3mx 2  3(2m  1) x  6m  0
3mx 2  3(2m  1) x  6m  0


2
 8m  1 x  10m  3  0
3mx  2  m  1 x  4m  3  0

3mx 2  3(2m  1) x  6m  0


(Do (m=1/8 thì hệ vô nghiệm)
  10m  3
x 
8m  1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

  10m  3 2
 10m  3 
 3(2m  1) 
3m 

  6 m  0  *
  8m  1 
8
m

1




 x  10m  3

8m  1
Các bạn giải (*) sẽ tìm được giá trị m cần tìm.

(C1 ) : y  x 4  6 x3  12 x 2  14 x  2m 2  m

Bài 8: Tìm m để: 
tiếp xúc với nhau.
3
2

(C2 ) : y  2 x  10 x  10 x  1

Giải:

(C1 ) : y  f ( x)
 f ( x)  g ( x) (1)
tiếp xúc với nhau  
có nghiệm.

 f '( x)  g '( x) (2)
(C2 ) : y  g ( x)
Ta có: (2)  4 x3  18 x 2  24 x  14  6 x 2  20 x  10

 4 x3  24 x2  44 x  24  0  x3  6 x 2  11x  6  0
x  1
 ( x  1)( x  2)( x  3)  0   x  2

 x  3
5

m

• Thế x = 1 vào (1) ta có: f ( x)  g ( x)  2m  m  7  3 
2

m  2
2

• Thế x = 2 vào (1) ta có: f ( x)  g ( x)  2m 2  m  12  3  m 

1  73
4

5

m

• Thế x = 3 vào (1) ta có: f ( x)  g ( x)  2m  m  15  5 
2

m

2

2

 5 1  73 1  73 

;
Đáp số: m   ;2;

4
4

 2

1
có đồ thị (C) và đường thẳng (D) có phương trình: y = ax + b .
x
1) Tìm điều kiện về a và b để (D) tiếp xúc với (C).
2) Cho (D) tiếp xúc (C). (D) cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N. Chứng minh tam giác OMN có diện tích
không đổi.
3) Cho (D) tiếp xúc (C). Chứng minh tiếp điểm là trung điểm của đoạn MN. Tìm a, b để khoảng cách từ
gốc tọa độ O tới (D) là lớn nhất.
Bài 9: Cho hàm số y =

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

Đáp án

1) b2 + 4a = 0 ( a  0 )
2) diện tích tam giác OMN = 2
3) a = 1, b = 2 thì d(O, (D)) là lớn nhất.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -