Bai 9 HDGBTTL mot so vi du viet pt mat phang hocmai vn

Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VIẾT PT MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d ) :

x2 y z
  ; ( P) : 2 x  3 y  2 z  3  0.
3
1 2

Tìm giao của (d) và (P).
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x  3t  2
 x  3t  2
 x  3t  2
x  1
x2 y z


y  t
 
y  t




y  t

 y 1 .


1 2
 3
2 x  3 y  2 z  3  0
 z  2t
 z  2t
 z  2t
z  2

2(3t  2)
2 x  3 y  2 z  3  0

2)  33t  2.2
2.2t  33 00 t  11

Vậy giao điểm cần tìm là (1;1;2).
Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d1 ) :

x2 y 4 z 3
x  3 y 1 z  2



; (d 2 ) :

; A(0;0;1).

1
2
2
3
1
1

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với 2 đường thẳng trên.
Lời giải:



Theo giả thiết, véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là: ud1  (1;1;2); ud2  (2;3;1) .
  
Mặt phẳng (P) song song với cả d1 , d 2 nên véctơ pháp tuyến của (P) là: n( P )  ud1 , ud2   (5;3;1)

Mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là:
5( x  0)  3( y  0)
0)  1(
1(z  1)
1)  00 hay 5x  3 y  z  1  0.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(2;0;0) và mặt phẳng:
(Q): x – y + 2 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Lời giải:


 
Ta có AB(2;0; 1), nQ (1; 1;0),  AB; nQ   (1; 1; 2)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 

 
Vì  AB; nQ   0 nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến

Vậy (P) có phương trình x  y  2 z  2  0 .
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
với A(2;3;7) và B(4;1;3).
Lời giải:
Cách 1.
Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I(3;2;5). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ qua I và vuông

góc với AB nên nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) là:
2.(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Cách 2.
Mọi điểm M(x;y;z) thuộc (P) sẽ cách đều A và B nên:
MA2  MB 2  ( x  2)2  ( y  3)2  ( z  7) 2  ( x  4) 2  ( y  1) 2  ( z  3) 2  x  y  2 z  9  0

Vậy (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Cách 3.


Mặt phẳng (P) nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) có dạng:

x – y - 2z + d = 0.
Vì A, B cách đều (P) nên:
d ( A, ( P))  d ( B, ( P)) 

| 2  3  2.7  d | | 4  1  2.3  d |

| d  15 || d  3 | d  9.
11 4
11 4

Do đó: (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2
x  2  t
x 1 y  2 z 1



đường thẳng: d1 :  y  2  t ; d 2 :
.
2
1
5
z  3  t


Lời giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 x  1  2t

Chuyển về phương trình tham số ta có đường thẳng d 2 :  y  2  t
 z  1  5t


Do đó véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là:


  
u1  (1;1; 1); u2  (2;1;5)  uP  u1 , u2   (6; 7; 1)
Do đó phương trình (P) có dạng 6x - 7y – z + d = 0.
Hai đường thẳng đã cho lần lượt đi qua điểm

M1 (2; 2;3), M 2 (1; 2;1)  d ( M1 ,( P))  d ( M 2 ,( P)) | d  5 || d  9 | d  7
 ( P) : 6x  7y  z  7  0
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
x  1 t
x  2 y  z  4  0


và song song với đường thẳng d 2 :  y  2  t
d1 : 
x  2 y  2z  4  0
 z  1  2t


Lời giải:



Chọn điểm M (0; 2;0)  d1; u1  (2;3;4); u2  (1;1;2)
Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d 2 khi và chỉ khi (P) đi qua M và có véc tơ phương tuyến là:

 
nP   u1 , u2   (2;0; 1)  ( P) : 2( x  0)  0( y  2)  1( z  0)  0  ( P) : 2 x  z  0 .

2x  y  1  0
3x  y  z  3  0
Bài 7. Trong hệ trục oxyz cho các đường thẳng: d1 : 
và d 2 : 
x  y  z  1  0
2x  y  1  0
a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng trên đồng phẳng viết phương trình (P) chứa chúng.
b. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và ba mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
a.


 

 2 x  y  1  0
u1   n1.n 2   (1; 2; 3)


d1 

  x  y  z  1  0
 M 1 (0; 1;0)  d1


 
u 2   n '1.n '2   (1; 2; 5)

3x  y  z  3  0



d 2 : 
2
x

y

1

0

 M 2 (0;1; 4)  d1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian


u1  (1; 2; 3)
  
 
 u 2  (1; 2; 5)
 u1 , u 2  .M 1M 2  0  d1; d 2 đồng phẳng.
 
 M 1M 2   0; 2; 4   (0;1; 2)

Ta có:

 
n ( P )  u1 , u 2   (4;8; 4)  (1; 2; 1)
 ( P ) : ( x  0)  2( y  1)  ( z  0)  0  ( P) : x  2 y  z  2  0

b. Giả sử (P) cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
Ta có:
( P) : x  2 y  z  2  0  x  2 y  z  2 
 (a; b; c)  (2; 1; 2)  V 

x
y z
  1
2 1 2

1
2
abc  (dvtt )
6
3

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương
trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Lời giải:



Ta có AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1)  n  (2; 4; 8) là 1 vtpt của (ABC)

Suy ra phương trình (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0
Giả sử M(x; y; z) thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0. Theo giả thiết MA = MB = MC. Ta có:
 2x  2y  z – 3  0
 2
2
2
2
2
2
 x  ( y  1)  ( z  2)  ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)
( x  2) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  ( x  2) 2  y 2  ( z  1) 2



Giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7. Vậy M(2;3;-7).
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(10;2; -1), song song
 x  1  2t

với đường thẳng d:  y  t
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
 z  1  3t


Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H tới (P).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Giả sử I là hình chiếu của H trên (P), ta có AH  HI  max HI  A  I .

Vậy (P) cần tìm đi qua A và nhận AH là véc tơ pháp tuyến.

Ta có:
H  d  H (1  2t ; t ;1  3t )

 

AH  d  AH .ud  0  H (3;1; 4)  AH (7; 1;5)
 ( P) :  7( x  10)  ( y  2)  5( z  1)  0  ( P) : 7 x  y  5 z  77  0.

Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua
I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng:
x y z
   1 (a, b, c  0)
a b c
I  ( )  c  1
x y z
K  ( )  a  3  ( ) :    1
3 b 1

( ) :

 


1 1
n .n xOy
3 2
x
y
z
0
 n  ( ; ;1) và n xOy  (0;0;1)  cos30   

b
 ( ) : 
 1
3 b
2
3 3 2 1
n . n xOy
2

Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm theo phương trình

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x
y
z

 1
3 3 2 1
2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng   biết:
a. Mặt phẳng   đi qua M  3, 2, 1 và song song với mặt phẳng    có phương trình x  5 y  z  0
b. Mặt phẳng   đi qua 2 điểm M  0,1,1 ; N  1, 0, 2  và vuông góc với mặt phẳng
Lời giải
a. Vì   //    : x  5 y  z  0 nên phương trình mặt phẳng   có dạng:

  : x  5 y  z  D  0
Do M  3, 2, 1    nên: 3  5.2  (1)  D  0  D  8  0  D  8
Vậy phương trình mặt phẳng   là: x  5 y  z  8  0


b. Đặt    : x  y  z  1  0  n  1, 1,1 là VTPT của mp   


Vì       nên n là VTCP của mp   .

Vì   đi qua hai điểm M , N và vuông góc với mp    nên mp   có cặp VTCP là: MN   1, 1,1 và

n  1, 1,1

 
Suy ra: VTPT của mp   là n   MN , n    0, 2, 2  .

Mặt phẳng   đi qua M  0,1,1 có VTPT n   0,1,1
Bài 2.
1. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết A 1,3, 2  và B 1, 2,1 .
2. Lập phương trình mp   chứa đường thẳng

AB

và song song với

CD , trong đó

A  5,1,3 ; B 1, 6, 2  ; C  5, 0, 4  ; D  4, 0, 6  .
3.Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 1, 0, 2  và vuông góc với hai mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  2  0 và  Q  : x  y  z  3  0
Lời giải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

1. Gọi   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Khi đó:

11

 xI  2  1

3 2 5



 yI 
2
2


2

1
1

 zI  2   2


A

I

 5 1
 I 1, ,  
 2 2

α
B

Vì   là mặt phẳng trung trực của AB và I là trung điểm của AB nên I     AB





Ta có: AB     AB là VTPT của mp   , với AB   0, 1,3

VTPT AB   0, 1,3

Mặt phẳng   được xác định bởi: 
 5 1
qua I 1, ,  
 2 2

5 
1

Phương trình mp   : 0  x  1  1 y    3  z    0  y  z  4  0
2 
2




2. Vì mp   chứa AB và   // CD nên AB và CD là cặp
VTCP của mp   .


 
Khi đó: VTPT của mp   là: n   AB, CD 


Ta có: AB   4,5, 1 & CD   1, 0, 2 

 n  10,9,5 


Mặt phẳng   đi qua A  5,1, 3 có VTPT n  10,9,5 
Phương trình mp   : 10  x  5   9  y  1  5  z  3  0

   : 10 x  9 y  5 z  74  0
3. Ta có:

 P  : 2x  y  z  2  0



 nP   2,1, 1 ;  Q  : x  y  z  3  0  nQ  1, 1, 1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

    P 
Vì 
    Q 

mà

Hình học giải tích trong không gian



n P   P 
  // nP


 
n Q   Q    // nQ

 
Do đó nP ; nQ là cặp VTCP của mp  

 
 VTPT của mp   là: n   nP , nQ    2,1, 3
phẳng
  được

VTPT n   2,1, 3
bởi: 
qua M 0  1, 0, 2 
Mặt

xác

định

Phương trình mp   : 2  x  1  1 y  0   3  z  2   0

   : 2 x  y  3 z  4  0
   : y  z  2  0

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d :
y2
x2
z5
.
x
 z và d’ :
 y 3
1
2
1
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d’ một góc 300
Lời giải


Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vectơ chỉ phương u  (1; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vectơ chỉ phương u '(2;1; 1) .
Mặt phẳng ( ) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và cos(n; u ' )  cos 600 

1
.
2

Bởi vậy nếu đặt n  ( A; B; C ) thì ta phải có :

A  B  C  0

1
 2A  B  C



2
2
2
2
 6 A  B C

 B  A  C
B  A  C
 

 2
2
2
2
2
2 3 A  6 A  ( A  C )  C
2 A  AC  C  0

Ta có 2 A2  AC  C 2  0  ( A  C )(2 A  C )  0 . Vậy A  C hoặc 2 A  C .
Nếu A  C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B  2 , tức là n  (1;2;1) và mp ( ) có phương trình
x  2( y  2)  z  0 hay x  2 y  z  4  0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -

Nếu 2 A  C ta có thể chọn A  1, C  2 , khi đó B  1 , tức là n  (1;1;2) và mp ( ) có phương
trình x  ( y  2)  2 z  0 hay x – y - 2z + 2 = 0

LuyệnOxyz
thi PEN-C:
Môncầu
Toán
– Thầy
Lê Bá
Trần(P)
Phương
Hình học giải tích tr
Bài 4. Trong không gian
cho mặt
(S),
và mặt
phẳng
lần lượt có phương trình
(S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3 , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với
(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Lời giải
Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= 0  ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  32
=> mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3.
Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D  5 )

 D  10
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d  I ;(Q)   R  3 D  1  9  
 D  8
Vậy (Q) có phương trình:

Hoặc

2x + 2y - z + 10 = 0
2x + 2y - z - 8 = 0

Bài 5. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy
viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

3.
Lời giải
•Gọi n  (a; b; c)  O là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
• d(C;(P)) =

3

2a  c

a  c
 3  2a 2  16ac  14c 2  0  
 a  7c
a 2  ( a  2c ) 2  c 2

•TH1: a  c ta chọn a  c  1  Phương trình của (P): x-y+z+2=0
 TH2: a  7c ta chọn a =7; c = 1 Phương trình của (P):7x+5y+z+2=0
x 1 y 1 z  2
và điểm A(2;1;2).



2
1
1
1
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
.
3

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Lời giải


Đường thẳng  đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u = (2 ; -1 ; 1).






 

Gọi n = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì   ( P)  n  u  n . u  0


 2a – b + c = 0  b = 2a + c  n =(a; 2a + c ; c )
từ đó ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0  (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0
d(A ; (P)) =

a

1

3

a 2  (2a  c) 2  c 2



1
2
 a  c  0  a  c  0
3

với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1  phương trình (P) : x + y – z = 0
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt

3 z = 0 một góc 600.

phẳng (Q): 2x + y Lời giải





Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0,  n p  ( A ; B ; 0) và nQ  (2 ; 1 ; 5 ) .


2A  B



Theo giả thiết: cos(n p , nQ )  cos 60 0 

A  B . 4 1 5
2

2



1
 2 2 A  B  10 . A 2  B 2
2

 6 A 2  16 AB  6 B 2  0

Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3

Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | -