Bài tập chuyên đề phương trình bất phương trình hệ phương trình lượng giác

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình
cos X  cos
s inX  sin 

t anX  tan 
cot X  cot 

Giải các phương trình sau :
1
2
2) 2sin x  3

1) sin x 

3
2
3
4) sin 2 x 
2

3) cos x 


3

5) cos  2 x    
3
2



3

6) sin  2 x   
3 2

1
7) sin  2 x  500   
2
8) tan x  3


9) 3 tan  x    3
3



10) 3cot  x    3
3

1
11) tan 2 x 
3
12) 2 tan x.sin x  tan x  0
2
13) 
 tan x  cot x
cos x
14) 3sin2 2x  7cos 2x  3  0

15) 6cos2 x  5sin x  7  0
16) cos 2 x  5sin x  3  0
17) cos 2 x  cos x  1  0

Lời giải (k, k ' )
 X  A  k 2
 X   A  k '2

 X  A  k 2
 X    A  k '2

X  A  k


18) 6sin2 3x  cos12x  14
19) 4sin4 x 12cos2 x  7
20) 2cos2 x  3cos 2x  4
21) 5sin2 x  2cos 2x  2
22) sin 2 x  sin x  0
23) 5sin x  cos2 x  2  0
x
24) sin  cos x  1
2


25) tan 2  2 x    3
4

26) 7 tan x  4cot x  12
27) cot 2 x 





3  1 cot x  3  0

28) 2sin2 x  2cos2 x  4sin x  2  0
2 2
29) 1  2  2 cos x  
1  tan 2 x




30) cos 2   2 x   cos 2 2 x  3cos   2 x   4  0
2

2

2
31) 2tan x  1  tan x
32) tan x  tan 2 x  0









33) tan x  3 cot x  1  3  0
34) 3tan x  3 cot x  3  3  0
sin 2 2 x  2
 tan 2 x
35)
2
2
sin 2 x  4 cos x
1
36) 2 tan x  cot x  2sin 2 x 
sin 2 x
 9

 x 3  0
37) tan  7  x   2 cot 
 2

38) 3cos 2x  4cos3 x  cos3x  0
39) 4sin x  1  2cos 2 x  2
40) tan x  tan 2 x  sin 3x.cos x
41) tan  x  450  tan  x  450  

4cos 2 x
x
x
tan  cot
2
2

42) sin 2 x sin 6 x  sin 3 x sin 5 x
43) sin x.sin 7 x  sin 3x.sin 5 x
44) sin 5 x.sin 3x  sin 9 x.sin 7 x
45) cos x.cos3x  sin 2 x.sin 6 x  sin 4 x.sin 6 x  0
46) sin 4 x.sin 5 x  sin 4 x.sin 3x  sin 2 x.sin x  0
47) sin 5 x  sin 3x  sin 4 x
48) sin x  sin 2 x  sin 3x  0
49) cos x  cos 3x  2 cos 5 x  0
50) cos2 x  sin2 x  sin3x  cos4x
1


51) cos 22 x  3cos18 x  3cos14 x  cos10 x  0
3x
52) cos2 x  cos x  2sin 2
2
53) 8cos 2x.sin 2 x.cos4x  2
3
54) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x 
2
2
2
2
55) sin 3x  sin 4x  sin 5x  sin2 6x
56) sin2 2x  sin2 4x  sin2 6x
57) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  2
58) sin6 x  cos6 x  4cos2 2x
59) 2tan2 x  3tan x  2cot 2 x  3cot x  2  0
60) 2tan2 x  3tan x  2cot 2 x  3cot x  3  0

Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:

 2

  ,
61) sin  2 x    trong khoảng  

6 5

 3 6
x
2
62) cos 
trong khoảng  2 , 4 
2
3
3x  
  7 , 
63) tan
 3 trong khoảng   ,

5
 2 6 
9 
15 


64) sin  2 x 
  3cos  x 
  1  2sin x trong đoạn x   0, 2 

2 
2 


sin x
1
 cos x  trong khoảng x   0, 2 
65)
sinx
2
sin 3 x  sin x
 cos2 x  sin 2 x trong khoảng x   0, 2 
66)
1  cos2 x
1  cos x  1  cos x
 4sin x trong khoảng x   0, 2 
cos x
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:
68) cos 2 x   4m  1 sin x  2m  0

67)

69) cos 2 x   2m  3 cos x  m  1  0
70) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm x   0,  

 2m  1 cos 2 x  5cos x  m  3  0
71) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
  3 
x   ,  cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0
2 2 

  
72) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x   0, 
 12 
cos 4x  cos3 x  m sin2 x

2


LOẠI 2
Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH a cos x  b sin x  c(a 2  b2  0)
Cách giải :
a cos x  b sin x  c
a
b
c

cos x 
sin x 
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
a

cos 
2

c
a  b2

 cos x.cos  sin x.sin  
,
b
a 2  b 2 sin  
2

a  b2
 cos  x    

c
a b
2

2

(điều kiện để phương trình có nghiệm a2  b2  c2 )

Giải các phương trình sau :
73) 4sin x  3cos x  5
74) 3 cos x  sin x  2
6
2
76) cos3x  sin 3x  1
77) cos5x  sin 5 x  1

75) sin x  cos x 

9
2
79) 3sin 2 x  2cos 2 x  3
80) 2sin 2 x  3cos 2 x  13 sin 4 x

78) 2 3 sin x  3cos x 

81) sin 4 x  3 cos 4 x  3
82) cos  2 x  150   sin  2 x  150   1
83) 2sin x  9cos x  85
84) 2 sin 2x  3cos 2 x  4
85) 5 cos  2 x  180   12 sin  2 x  180   13


 5 2


86) 2cos  x    3cos  x   
6
3
2


2
87) 2sin x  3 sin 2 x  3
88) 2sin 2 2 x  3 sin 4 x  3
89) sin 8 x  cos6 x  3  sin 6 x  cos8 x 
90) 8 cos x 

3

1

sin x cos x

3




91) cos x  3 sin x  2 cos   x 
3


 3 2



92) 2sin   x   sin  x   
4
2
4




93) 3 cos 2 x  sin 2 x  2sin  2 x    2 2
6

5
94) 12cos x  5sin x 

8  0
12cos x  5sin x  14
1
95) 4sin x  3cos x  4 1  tan x  
cos x
1
96) sin 6 x  cos6 x  sin 4 x  0
2
97) Tìm các giá trị của  để phương trình
: cos  3sin   3 x 2  3cos  3sin   2 x  sin   cos  3  0 có nghiệm x  1









98) Tìm các giá trị của  để phương trình :
 2sin   cos2  1 x2  3 sin  x  2cos2  3  3 sin   0









 
99) sin2 4x  3sin 4x.cos4x  4cos2 4x  0 trong khoảng x   0, 
 2
Giải và biện luận phương trình theo tham số m :

100) Cho phương trình : m 3cos3x  sin 3x  m .Chứng minh rằng phương trình trên luôn có
nghiệm.
101) Cho phương trình :  m  2  cos2x  2m sin x cos x  3m  2 .Giải và biện luận phương trình
theo tham số m.
 3 
102) Tìm các giá trị của x    ,   thỏa mãn phương trình sau với mọi
 4

2
2
2
m: m sin x  m sin x  m cos x  mcos2 x  cos x  sin x
m
103)
Tìm m để phương trình có nghiệm : m sin x   m  1 cos x 
cos x

LOẠI 3
Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx
:A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)


Đặt t  sin x  cos x  2cos  x   , t  2
4


2
 t  1  2sin x.cos x



 sin x.cos x 



t 2 1
2

Thay vào phương trình (1), ta có : At  B

t 2 1
C  0
2

Giải các phương trình sau :
4


104)

3  sin x  cos x   sin 2 x  3  0

105)
106)

sin x  cos x  4sin x.cos x  1  0

2sin 2 x  3 3  sin x  cos x   8  0

107)

2  sin x  cos x   3sin 2 x  2

108)

1  2  sin x  cos x   sin 2x  1  2   0

109)

2  sin4x  3sin2x   cos2x  3  0

110)

sin 2 x  4  cos x  sin x   4  0

111)

5sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0

112)

1  2  1  sin x  cos x   sin 2x

114)




sin 2 x  2sin  x    1
4

3
3
2  sin x  cos x   sin 2 x  sin x  cos x   2

115)

cos x 

113)

116)

1
1 10
 sin x 
cos x
sin x 3
3
3
4  sin x  cos x   3sin 2 x  4  sin x  cos x   0

119)

3
 sin x.cos x
sin x  cos x
9 




2 cos  4 x 
  10 cos  2 x    6  0
2 
4


3
3
 sin 2 x  cos2 x   sin 2 x  cos 2 x   1

120)

3sin 2 x  4sin3 2 x 

121)

Cho phương trình : sin 2 x  2  a  2  sin x  cos x   2a  3  0

117)
118)

122)





2  3  sin 3x  cos3x   6  1  0

 
a) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng  0, 
 2
 
b) Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng  0, 
 2
 
c) Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng  0, 
 2
Cho phương trình : 2.sin 2 x  2m 2  sin x  cos x   2m  1  0 . Xác định m để phương

trình có nghiệm trong khoảng  0,  
LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Cách 1 :
Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?
Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho cos2 x(cos x  0) ta được phương trình bậc hai
có ẩn số phụ t = tanx. At 2  Bt  E  0 .
5


Cách 2 :
1  cos2 x
 2
cos x 
2

1  cos2 x


Dùng công thức : sin 2 x 
2

1

sin x.cos x  2 sin 2 x

Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x =
C).

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :
123)
124)
125)
126)
127)
128)
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
136)
137)
138)

sin2 x 10sin x.cos x  21cos2 x  0
sin2 x  2sin x.cos x  3cos2 x  0

6sin2 x  sin x.cos x  cos2 x  2
sin 2x  2sin2 x  2cos 2x
2sin2 2x  3sin 2x.cos 2x  cos2 2x  2
cos2 x  3sin x.cos x 1  0
cos2 x  sin 2 x  3 sin 2 x  1
5
4 3 sin x.cos x  4cos 2 x  2sin 2 x 
2
1
 4cos x  6sin x
sin x
sin6 x  cos6 x  3sin x.cos x  0
3sin3 x  4cos3 x  3sin x
3sin 2 1800  x   2sin  90 0  x  .cos  90 0  x   5sin 2  270  x   0


3 




2sin 2  x    1  3 cos   4 x   2 3 sin 2  2 x 
0
2
2 

2





 3

4sin x cos  x    4sin   x  cos x  2sin 
 x  cos   x   1
2

 2



 9

2sin 2  5  x   3  1 sin 2   x   3 sin 2 
 x  0
2

 2






3sin 2 x  3 



 
3  sin x.cos x 

3cos2 x  0

x
x
x
x
x
x
 3 x 
 x 
3sin 2 .cos 
   3sin 2 .cos  sin .cos 2  sin 2    .cos
2
2
2
2
2
2
 2 2
 2 2
140) Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình
: sin3 x  sin x sin 2x  3cos3 x  0 . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

139)

VẤN ĐỀ 2 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
6

141)

Cho phương trình lượng giác : cos2 x   2m  1 cos x  m  1  0

142)

Giải phương trình với m 

3
2

  3 
Tìm m để phương trình có nghiệm x   , 
2 2 
6
144) Cho phương trình lượng giác : sin x  cos6 x  a sin 2 x . Xác định a để phương trình có
nghiệm.
3
145) Cho phương trình :
 3tan x  m  tan x  cot x   1  0 . Với giá trị nào của m thì
sin 2 x
phương trình có nghiệm.
146) Cho phương trình : sin 2  x     sin  3x     a sin x
a) Giải phương trình khi a = 1.
b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm x  k (k  Z ) .

143)

Cho phương trình : 1  sin x  1  sin x  k cos x

a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.
2
148) Cho phương trình : 1  a  tan 2 x 
 1  3a  0 . Xác định a để phương trình có
cos x
 
nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng  0,  .
 2
149) Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện :
 
1 
cos   a 2  2a     sin  a 2   0
2 
 
147)

VẤN ĐỀ 3 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG
MẪU MỰC
150)

Giải phương trình : 4cos2 x  3tan 2 x  4 3 cos x  2 3 tan x  4  0

151)

Giải phương trình : cos3x  2  cos 2 3x  2 1  sin 2 2 x 

152)

Giải phương trình : x2  2 x sin xy  1  0 .

153)

Giải phương trình :  cos4 x  cos2 x   5  sin 3 x

154)
155)

Giải phương trình : cos15 x  sin24 x  1 .
Giải phương trình : tan 2 x  tan 2 y  cot  x  y   1 .

156)

Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm : sin x  2sin 2 x  sin 3x  2 2 .
9
Giải phương trình : sin 2 x  sin 2 y  sin  x  y   .
4
1
Giải phương trình : sin 2 x  sin 2 3x  sin x.sin 2 3x
4
2
2
1   2
1 
1
 2
Giải phương trình :  cos x 
   sin x  2   12  sin y .
2
cos x  

sin x 
2


157)
158)
159)

2

7


160)

Giải phương trình : cos x

1
1
 1  cos3x
1  1
cos x
cos3x

VẤN ĐỀ 4 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

161)





 tan x  cot x  2 sin  y  4 



Giải hệ phương trình : 
 tan y  cot y  2 sin  x   



4


162)

1

sin x  cos x  2  sin y  cos y
Giải hệ phương trình : 
 2 sin 2 x  3 sin 2 y

2

163)

164)
165)
166)
167)
168)

169)

170)
171)

172)

173)


sin x  sin y  2
Giải hệ phương trình : 

cos x  cos y  2
2
sin x  cos x.cos y
Giải hệ phương trình :  2
cos x  sin x.sin y
sin x  sin 2 x  m
Giải hệ phương trình : 
cos x  cos 2 x  m
Giải hệ khi m = 0.
Xác định m để hệ phương trình có nghiệm.
1

sin x  sin y 
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 
2


cos
2
x

cos
2
y
m

cos x  cos y  cos z  1

Giải hệ phương trình : cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  1
x  y  z  

sin x  7 cos y  0
Giải hệ phương trình : 
5sin y  cos x  6  0
2
9sin x  15sin x.sin 2 x  17 cos x  11  0
Giải hệ phương trình : 
3
2
5cos x  3sin x  8cos x  1  0

1

sin x  sin y 
Tìm m để hệ phương trình 
2 có nghiệm.


cos2 x  cos2 y  m
 x  y  m
Tìm m để hệ phương trình : 
có nghiệm. Tìm nghiệm
2
 2  cos2 x  cos2 y   1  4 cos m  0

đó.
174)

Giải và biện luận phương trình: m sin x   m  1 cos x 

m
.
cos x

8


VẤN ĐỀ 5 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các bất phương trình lượng giác sau:

176)



sin  x    sin x
3

sin x  sin 2 x  0

177)

sin x  cos x  2 cos

178)
179)

cos2 x  cos x  0

175)

180)
181)
182)
183)
184)
185)
186)

187)
188)
189)




3



3  4 sin 2 x  cos 4 x  1  2 3  0









x
3  1 sin  3  2  0
2
cos 4 x  3 cos 2 x  2  0
cos2 x  3cos x  4  0
tan x  cot x  4
2cos4 x  7cos2 x  3  0
3tan2 x 1  0
1
 1  3 tan 2 x  1  3  0
cos 2 2 x
x
1  tan 2
2  cos x  0
x
4 tan
2
tan 6 x  tan 3x  0
Xác định   0    2  sao cho phương trình sau có nghiệm

2cos x  2





: x 2  2  2sin   1 x  2sin   1  0
190) Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm
: x 2   2sin a  1 x  6sin 2 a  sin a  1  0
191)

Giải bất phương trình : sin x  sin 3x  sin 2 x .

5
Giải bất phương trình : cos3 xcos3x  sin 3 x.sin 3x  .
8
sin 2 x  cos2 x  1
193) Giải bất phương trình :
0
sin 2 x  cos2 x  1
194) Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi
m cos 2 x  m  m 2
0
x: 2
m  1  m cos 2 x

192)

9