Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường THPT chuyên bắc ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ ĐỀ NGHỊ LÀM ĐỀ CHỌN HSG
KHU VỰC DUYÊN HẢI ĐHBB 2016
Môn: Toán 11

Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số dương  xn  thoả mãn: xn  xn1  2 xn2 với mọi số
tự nhiên n  1 . Chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ .
Câu 2(4,0 điểm).
Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình
x 2  y 2  kxy  x  y  0 có nghiệm nguyên dương. Giải phương trình nghiệm

nguyên dương với k nhỏ nhất tìm được.
Câu 3(4,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân. Gọi A1, B1 thứ tự là chân đường
cao kẻ từ A, B và M , N thứ tự là trung điểm của cạnh CB, CA . Giả sử A1B1 và
MN cắt nhau tại T . Chứng minh rằng TC vuông góc với đường thẳng Euler của

tam giác ABC .
(Chú ý: Đường thẳng Euler của một tam giác là đường thẳng đi qua trọng tâm,
trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó)
Câu 4 (4,0 điểm). Cho đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn đồng thời hai điều
kiện:
i) P(x) không có nghiệm bội

x y
); x, y ¡ .
2
Chứng minh rằng đa thức P(x) có nghiệm duy nhất.
Câu 5 (4,0 điểm).
các v tr khác nhau của một đường đua ô tô vòng tròn c ng

một thời gian có
ô tô xuất phát theo c ng một hướng. Theo thể lệ cuộc đua,
các ô tô có thể vượt l n nhau, nhưng cấm không được vượt đồng thời hai xe một
lúc. Các ô tô đến đ ch là các điểm mà chúng xuất phát ban đ u c ng một lúc.
ii) P( x).P( y)  P 2 (

Chứng minh rằng trong suốt cuộc đua có một số ch n l n vượt nhau của các ô tô.
---------- HẾT ----------


TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN – TIN

ĐÁP ÁN
Môn: Toán 11
Câu 1 (4,0 điểm). - Đặt yn = max(xn; xn+1).
Từ (1) và ( ) suy ra yn  yn1  0 ; n  ¥ *
 a  lim(y n ) .
- Với   0 tuỳ ý, khi n đủ lớn, ta có   y n  a  0
. Nếu y n  a thì   yn  a  xn  a  0
. Nếu xn  a thì xn1  a  yn1  xn1
Mà xn  xn1  2 xn1  2a  xn  xn1  2a  a  x n  2a  xn1  a  
Tóm lại, cả hai trường hợp đều d n đến xn  a   .
Vậy dãy số {xn} hội tụ .
Câu 2(4,0 điểm). Tìm k (d ng kĩ thuật pt Markov).
+) Gọi k là một giá tr thỏa mãn. Với k đó, gọi (a, b) là nghiệm nguyên dương
của pt đã cho sao cho a  b nhỏ nhất. KMTTQ coi a  b .
Khi đó ta có đẳng thức a 2  (kb  1)a  b 2  b  0 .
+) Xét pt bậc : x 2  (kb  1) x  b 2  b  0 , dễ thấy pt có 1 nghiệm x1  a , nên có
nghiệm x2  a' , với a  a '  kb  1 (1) và a.a'  b 2  b (2).

Do a, b, k đều nguyên dương nên đẳng thức trên chứng tỏ a ' cũng nguyên
dương. Điều đó suy ra (a' , b) cũng là một nghiệm nguyên dương của pt đã cho,
do t nh “nhỏ nhất” của (a, b) nên a'  a .
Kết hợp ( ) được a 2  a.a'  b 2  b.
Lại có a  b nên b 2  a 2  b 2  b  (b  1) 2 , suy ra a 2  b 2 hay a  b .
+) Kết hợp (1)( ) được k  2 

2
là nguyên dương, từ đây a = 1 hoặc , tương
a

ứng k chỉ có thể là 3 hoặc 4.
+)(1đ) Giải pt
Với k=3 là giá tr nhỏ nhất tìm được, pt c n giải tương đương
x 2  (3 y  1) x  y 2  y  0

Để pt có nghiệm nguyên thì biệt thức là số ch nh phương hay
5 y 2  10 y  1  t 2  t 2  5( y  1) 2  4 .
Bẳng cách giải pt kiểu Pell ta được nghiệm (t,y) thỏa mãn
t  ( y  1) 5  (u  v 5 )(9  4 5 ) n tương ứng với 3 nghiệm riêng (u, v) =(1,1),
(4, ), (11, ) trong đó n N * (để thỏa mãn y nguyên dương)
Từ đó ta có công thúc cụ thể cho giá tr y của nghiệm (x,y) (tất nhiên nguyên
dương), còn giá tr x  (3 y  1  t ) / 2 (đảm bảo là số nguyên dương).


K

C

D

A1
B1
N

T

M

H

O

B

A

Câu 3(4,0 điểm).
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC.
TC cắt đường tròn ngoại tiếp (O) tại D, K là trung điểm DC.
Khi đó KNC  DAC  DBC  KMC nên tứ giác KNMC nội tiếp.
Mặt khác CNOM nội tiếp đường tròn đường k nh CO nên từ đó suy ra OK và CK
vuông góc.
Ta có TK.TC=TN.TM= TA1.TB1 nên suy ra CKA1B1 nội tiếp đường tròn đường
k nh HC. Do đó HK vuông góc CK.
Như vậy HK và KO đều vuông góc CK nên HO vuông góc với TC ( ĐPCM).
Câu 4 (4,0 điểm). K hiệu điều kiện thứ hai trong gt là (*)/
- Chứng minh có nghiệm.
Nếu P(x) có bậc ch n thì lim x ( P( x).P( x))    P(0) , tức là (*) sai
Do đó P(x) có bậc lẻ, d n đến P(x) có nghiệm.

- Chứng minh có nghiệm duy nhất.
Giả sử P(x) có hơn 1 nghiệm và a < b là nghiệm bé nhất.
Không giảm tổng quát, có thể coi P( x)  0, x  (a; b) , vì P(x) thoả mãn (*) thì P(x) cũng thoả mãn (*).
Khi đó tồn tại số c > b sao cho P(c) < 0 và P( x)  0, x  (; a) .
Vì 2a  c  a  P(c)  0  P(2a - c).P(c)  0  P 2 (

2a - c  c
) , tức là (*) sai.
2

Vậy giả sử trên sai, hay P(x) có nghiệm duy nhất.
Câu 5 (4,0 điểm).
Ta sơn 1 trong
ô tô thành màu vàng, còn các oto khác
đánh số từ 1 đến 4 theo thứ tự mà chúng thời điểm ban đ u sau ô tô màu vàng
( theo chiều chuyển động của các ô tô). tâm của đường đua ta đặt một bảng để


ghi số thứ tự của các ô tô sắp xếp sau ô tô vàng sau m i l n các ô tô vượt nhau,
tức là ta được một hoán v của {1, ,…, 4}.
Trường hợp 1:
M i l n ô tô trong các ô tô từ 1 đến 4 vượt nhau thì trên bảng có số liền
nhau đổi ch cho nhau.
Trường hợp 2:
Nếu trước khi có l n vượt của một ô tô nào với ô tô vàng, các số trên bảng lập
thành một hoán v a1, a2,…,a24 thì sau l n vượt đó s có hoán v
a2,a3,…,a24,a1.
Từ hoán v trên có thể chuyển xuống hoán v dưới bằng 3 phép chuyển v , tức là
phép đổi ch
số liền nhau.

Trường hợp 3:
Nếu ô tô vàng vượt một ô tô nào đó thì từ hoán v a 1,a2,…,a24 ta có hoán v
a24,a1,a2,…a23. L n di chuyển này cũng có thể thay bằng 3 phép chuyển v
như trường hợp 2.
Như vậy m i l n các ô tô vượt nhau đều d n đến việc thực hiện một số lẻ l n
phép chuyển v . Ta s chứng minh nếu số l n vượt nhau là số lẻ thì khi về
đ ch các ô tô không được sắp xếp như cũ. Thật vậy gs a1,a2…,a24 là một
cách sắp xếp t y ý của các số1, ,… 4. Ta s nói rằng các số ai,a lập thành
một ngh ch thế nếu i< mà ai>aj. Khi đổi v tr số đứng liền nhau, tức là
thực hiện một phép chuyển v thì s t ng hay giảm số ngh ch thế đi 1. Do
đó nếu các oto vượt nhau một số lẻ l n thì từ cách sắp xếp thứ tự của các
oto ban đ u, đến cuối c ng ta đã thực hiện một số lẻ các phép chuyển v ,
tức là số nghich thế của l n sắp xếp cuối c ng là số lẻ, nghĩa là các ô tô
không thể sắp xếp như cũ. Mâu thu n.
Vậy các ô tô vượt nhau một số ch n l n.
---------- HẾT ----------