Kĩ thuật truy ngược liên hợp tìm nghiệm hữu tỉ

KỸ THUẬT TRUY NGƯỢC LIÊN HỢP TÌM NGHIỆM HỮU TỶ
ĐẶC BIỆT CÓ TÁC DỤNG MẠNH TRONG BÀI TOÁN 2 CĂN THỨC TRỞ LÊN
LÝ THUYẾT: Cho một phương trình vô tỷ có nhân tử cần liên hợp ra là f  x  .

 g  x



Nếu

 2 A  f  x 



Nếu

A   f  x 



Nếu

 2 A   f  x 



Nếu

3 3A 



Nếu

3



Nếu

 g  x 

 g  x 


f  x  3 g  x

A   f  x 

3  3A  

 g  x 

f  x 

thì g  x   A 

2



2

g  x  A

thì g  x    A 

thì g  x   3 A 

 g  x 

3

g  x   A

 f  x

thì g  x    3 A 

3

3

f  x

thì g  x    A 

2

 f  x

g  x   A

f  x

 g  x

2



  g  x 3 A   3 A

 f  x

 g  x

thì g  x    3 A 

2

 g  x 3 A 

 A
3

 f  x

 g  x

2



2

2



  g  x 3 A   3 A



2

ĐIỀU KIỆN NGHIỆM BỘI (Học sinh tự kiểm tra bằng máy tính CASIO)

f  x
0
lim
 xa  x  a n1
Nếu 
thì phương trình f  x   0 có nghiệm bội cấp n cho x  a
f  x

0
lim
n
xa
 x  a



VÍ DỤ 1: 2 x  3  2  x  1 x  7  4x2  13x  13
Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1, x  3 . Khi đó nhân tử có dạng x2  2x  3 .
Xét





4  x  3   x2  2 x  3 

 x  3

2



do đó liên hợp cần tìm có dạng x  3  2 x  3







Vậy 2 x  3  2  x  1 x  7  4x2  13x  13  4x2  12x  16  x  3  2 x  3  2  x  1 x  7  0





 2  x  1 2 x  8  x  7  x  3





x3 2 0

VÍ DỤ 2: 2x  1  6x  3  2 x  1
Nhận thấy phương trình có nghiệm kép x  2 hay nhân tử là x2  4x  4 .




 6x  3   x2  4x  4    x  1



4  x  1  x2  4 x  4  x2 do đó liên hợp là x  2 x  1 .



VÍ DỤ 3:

3

2





do đó liên hợp là x  1  6 x  3 .







x2  x  1 2 3 2
4

6x  1  x   0 .
3
3
3

Nhận thấy bài toán có nghiệm bội 3 là x  1 . Do đó nhân tử là x3  3x2  3x  1 .


3

6x  1   x



3

 x2  x  1 
3
27 
  x3  3x2  3x  1  3  x  2  do đó liên hợp là


3



2

3



 3x2  3x  1  3  x  1



3

3
do đó liên hợp là  x  1  6 x2  2 







2
 x  2  33 x  x  1 


3



VÍ DỤ 4: x2 x  3  2  2 5x2  1  2 x3
Nhận thấy phương trình có nghiệm bội kép x  0 , nghiệm đơn x  1 nên nhân tử có dạng x2  x  1 .
Do vậy liên hợp cần tìm có dạng g  x   5x  1  2 x 
2

x2  x  1 x   

3

g  x   5x 2  1  2 x 3

Để tìm giá trị  ta sử dụng quy tắc sau:


Bước 1: Gán giá trị 100 vào biến A



Bước 2: Sử dụng chức năng TABLE với F  X   A2  A  1 A  X   5 A2  1  2 A3



Bước 3: Chọn START =  9, END = 9, STEP = 1. Tìm giá trị nguyên cho F  X  ta được X  3

Vậy   3 , xét

 5x

2



 1  2 x3  x2  x  1 x  3  



 x  1
2

2



do đó liên hợp cần tìm là  x2  1  5x2  1  2 x3 




DÀNH CHO HỌC SINH MUỐN TÌM HIỂU HƠN VỀ CÁCH THỨC SỬ DỤNG MÁY TÍNH