Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS
----------  ----------

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU,ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải
bài toán hình học 7
Tác giả sáng kiến:
Mã sáng kiến :28

Vĩnh Tường, tháng 2 năm 2016

1


Mục lục
A. Phn m u
1. Lý do chn ti....................................................................................4
2.Mục đích nghiên cứu...............................................................................5
3. i tng nghiờn cu.............................................................................6
4. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................6
5. Phơng pháp nghiên cứu.........................................................................6
B. Phn ni dung.
I - Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề....................................................6
II - Phơng pháp thực nghiệm..8
III- Nội dung cụ thể...12
C. Phn kt lun v kin ngh27
D. Kh nng ỏp dng ca sỏng kin..28
E. Ti liu tham kho..30

BO CO KT QU

2


NGHIÊN CỨU ,ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải
bài toán hình học 7”
1.Lời giới thiệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để
giải bài toán hình học 7”. Là sáng kiến được viết để hướng dẫn học sinh có kỹ
năng vẽ hình, vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học.
Nâng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ lớn nhất trong quá trình giáo
dục. Với bộ môn Toán nói riêng, việc nâng cao chất lượng dạy và học là một
nhiệm vụ hết sức nặng nề. Vì đây là một môn học cơ bản, có nhiều ứng dụng
trong cuộc sống, và là nền tảng cho các môn khoa học khác. Môn Toán yêu cầu
cần phải rèn luyện cho học sinh có kĩ năng tư duy logic, nhanh nhẹn, sáng tạo và
đảm bảo tính chính xác cao.
Trong giai đoạn hiện nay, để nâng cao được chất lượng giáo dục đại trà và
chất lượng bồi dưỡng học sinh mũi nhọn đòi hỏi công tác giáo dục luôn phải đổi
mới về phương pháp giáo dục, đổi mới về kiểm tra đánh giá, đổi mới cả việc
giao bài và kiểm tra việc làm bài tập về nhà của học sinh ...Việc nâng cao chất
lượng dạy và học phải được thực hiện thường xuyên, liên tục trong từng tiết học,
từng giờ lên lớp.
Đối với môn hình học nói chung và đối với môn hình học 7 nói riêng, đây
là một môn học yêu cầu học sinh phải có trí tưởng tượng phong phú, tư duy suy
luận logic, sự sáng tạo cao. Đối với đa số học sinh, bộ môn hình học thường là
bộ môn mà học sinh cảm thấy khó học và học yếu nhất. Đặc biệt là học sinh lớp
7, các em mới được tiếp cận với các hình cơ bản, các định lý, và phương pháp
chứng minh hình học. Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng học hình học thì giáo

viên cần phải có sự đầu tư về phương pháp, tìm phương pháp hợp lý để dẫn dắt
học sinh tìm hiểu kiến thức bộ môn, giải các dạng bài tập, các ứng dụng thực tế
của hình học trong thực tế.
Trong thực tế giảng dạy, tôi thấy có nhiều bài toán hình khó mà để giải
được nó thì học sinh phải biết cách vẽ thêm các đường phụ từ đó mới giải quyết
được bài toán. Phương pháp giải toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ là phương
pháp không tự nhiên, muốn thực hiện được thì học sinh cần phải có những kĩ
năng giải bài toán hình học tốt, có óc tư duy sáng tạo tốt mà điều đó không phải
học sinh nào cũng có được, nó chỉ có được khi được rèn luyện từ rất sớm.
3


Để có được điều đó, thì ngay từ lớp 7 giáo viên cần phải hình thành và rèn
luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học.
Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh vẽ
thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7”.
2. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán
hình học 7”.
3.Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Quang Vinh.
- Địa chỉ: Trường THCS - Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc.
- Điện thoại: 0988579620
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực giáo dục
6. Ngày sáng kiến được áp dụng : Sáng kiến được áp dụng từ 14/2/2015.
7.Mô tả bản chất của sáng kiến:
8. Những thông tin cần bảo mật : Không có.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Điều kiện dạy học bình
thường.

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến tác giả: Sáng kiến khi áp dụng, triển khai tại trường đã giúp
cho giáo viên trong trường nhất là bộ môn toán tiến hành công việc dạy hình học
được dễ dàng hơn. Chất lượng bộ môn được nâng lên rõ rệt…
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Sáng kiến khi áp dụng, triển khai tại trường đã giúp cho giáo viên trong
trường nhất là bộ môn toán tiến hành công việc dạy hình học được dễ dàng hơn.
Chất lượng bộ môn được nâng lên rõ rệt…
11. Danh sách những cá nhân đã tham gia áp dụng thử sáng kiến:
Số TT

Họ và tên

Địa chỉ

Lĩnh vực áp dụng
4


1

Nguyễn Quang Vinh

THCS Thổ Tang

Môn toán: 7

2

Chu Thị Tuyết Dung

THCS Thổ Tang

Môn toán: 7

A . PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Xuât phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện naylaf phải đào tạo ra
con người có trí tuệ phát triển,giầu tính sáng tạo và có tonh thần nhân văn cao.
Để tạo ra lớp người như vậy từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định
“phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng
lực tư duy sáng tạo ,năng lực giải quyết vấn đề”. Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp
tục khẳng định “phải đỏi mới giáo dục đào tạo ,khắc phục lối truyền thụ một
chiều,rèn luyện thành nề nếp tư duy sang tạo của người học,từng bước áp dụng
phương tiên tiến ,phương tiện hiện đại vào qua trình dạy học,dành thời gian tự
học,tự nghien cứu cho hoc sinh”
Nâng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ lớn nhất trong quá trình giáo
dục. Với bộ môn Toán nói riêng, việc nâng cao chất lượng dạy và học là một
nhiệm vụ hết sức nặng nề. Vì đây là một môn học cơ bản, có nhiều ứng dụng
trong cuộc sống, và là nền tảng cho các môn khoa học khác. Môn Toán yêu cầu
cần phải rèn luyện cho học sinh có kĩ năng tư duy logic, nhanh nhẹn, sáng tạo và
đảm bảo tính chính xác cao.
Trong giai đoạn hiện nay, để nâng cao được chất lượng giáo dục đại trà và
chất lượng bồi dưỡng học sinh mũi nhọn đòi hỏi công tác giáo dục luôn phải đổi
mới về phương pháp giáo dục, đổi mới về kiểm tra đánh giá, đổi mới cả việc
giao bài và kiểm tra việc làm bài tập về nhà của học sinh ...Việc nâng cao chất
lượng dạy và học phải được thực hiện thường xuyên, liên tục trong từng tiết học,

từng giờ lên lớp.
Đối với môn hình học nói chung và đối với môn hình học 7 nói riêng, đây
là một môn học yêu cầu học sinh phải có trí tưởng tượng phóng phú, tư duy suy
luận logic, sự sáng tạo cao. Đối với đa số học sinh, bộ môn hình học thường là
bộ môn mà học sinh cảm thấy khó học và học yếu nhất. Đặc biệt là học sinh lớp
7, các em mới được tiếp cận với các hình cơ bản, các định lý, và phương pháp
chứng minh hình học. Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng học Hình học thì giáo
5


viên cần phải có sự đầu tư về phương pháp, tìm phương pháp hợp lý để dẫn dắt
học sinh tìm hiểu kiến thức bộ môn, giải các dạng bài tập, các ứng dụng thực tế
của hình học trong thực tế.
Trong thực tế giảng dạy, tôi thấy có nhiều bài toán hình khó mà để giải
được nó thì học sinh phải biết cách vẽ thêm các đường phụ từ đó mới giải quyết
được bài toán. Phương pháp giải toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ là phương
pháp không tự nhiên, muốn thực hiện được thì học sinh cần phải có những kĩ
năng giải bài toán hình học tốt, có óc tư duy sáng tạo tốt mà điều đó không phải
học sinh nào cũng có được, nó chỉ có được khi được rèn luyện từ rất sớm.
Để có được điều đó, thì ngay từ lớp 7 giáo viên cần phải hình thành và rèn
luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học.
Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Vẽ thêm yếu tố phụ trong
một số bài toán hình học 7”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ và một số bài tập có kẻ thêm yếu
tố phụ để giúp học sinh hình thành và rèn kĩ năng giải toán hình học lớp 7. Từ
đó nâng cao chất lượng dạy và học môn hình 7 và giúp học sinh có kỹ năng cơ
bản cho việc học bộ môn hình học ở các lớp cao hơn.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Các bài tập cơ bản và nâng cao trong chương 1, chương 2, chương 3 hình

học 7.
Học sinh lớp 7 trường THCS.
4.Phạm vi nghiên cứu:
Trong chuyên đề này tôi đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ, giúp học
sinh phân tích một số bài tập và phát hiện ra yếu tố phụ cần vẽ để từ đó giải
được bài toán và có hướng tư duy cho các bài toán khác ở dạng tương tự.
5.Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo môn
hình học 7.
Nghiên cứu việc thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu việc giảng dạy, hướng dẫn giải bài tập của giáo viên.
Nghiên cứu các tình huống dạy học điển hình.
6


Phương pháp thực nghiệm, tổng kết kinh nghiệm.
Tham dự các lớp tập huấn, các lớp bồi dưỡng chuyên môn.

B . NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận:
Khi tìm phương pháp giải bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu
tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí
phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như
thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ
thên các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài
toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tùy tiện.
2. Cơ sở thực tiễn:

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều
các thao tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình
học. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử
dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các
ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên
trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các
bài tập nâng cao thì các bài toán hay và khó lại là những bài toán khi giải cần
phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có
rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các
cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với
đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ
cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết
riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh
còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của chuyên đề này sẽ là một nội dung tham khảo
cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại
toán hình có kẻ thêm đường phụ.
7


3. Thực trạng nghiên cứu vấn đề:
Khi khảo sát thực tế: Còn nhiều học sinh lúng túng hoặc không giải được
các bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ.
Khi giảng bài cho học sinh giáo viên chưa phân tích kĩ cho học sinh làm
thế nào để vẽ thêm yếu tố phụ cho bài toán.
Đa số học sinh còn lười học, chưa có ý thức tự đọc.
Kĩ năng trình bày lời giải một bài toán hình học của học sinh còn nhiều
hạn chế.
Khi khảo sát ba lớp 7A, 7B, 7C của học sinh trường THCS về một số bài

toán có kẻ thêm yếu tố phụ, kết quả đạt được như sau:

Lớp

Tổng số

Yếu

Trung bình

Khá

Giỏi

Tb trở lên

7A

46

11

18

12

5

35

7B

46

18

17

9

2

28

7C

42

19

15

8

0

23

Tổng

134

48

50

29

7

86

Qua bảng sô liệu trên ta thấy tỉ lệ học sinh yếu và học sinh trung bình còn
chiếm tỉ lệ cao, số lượng học học sinh khá giỏi chưa nhiều. Do vậy việc hướng
dẫn cho học sinh về các cách vẽ thêm đường phụ và rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ là rất quan trọng trong bộ môn Hình học 7 và các
năm học tiếp theo.
4. Những giải pháp mới của đề tài
Đề tài đã đưa ra được những giải pháp mới như sau:
Hệ thống được các cách vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học 7 từ cơ bản
đến nâng cao.
Sắp xếp, mở rộng thêm các bài toán giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ
thêm yếu tố phụ và trình bày lời giải bài toán hình học.
Mỗi một bài toán đều có những nhận xét, rút kinh nghiệm cho từng bài
toán.
8


Áp dụng được cho cả học sinh đại trà và khá giỏi.
II. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM

1.Các bài toán dựng hình cơ bản:
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và
một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản
trong hình học 7 có thể áp dụng.
Bài toán 1: Dựng đường thẳng đi qua một điểm ở ngoài đường thẳng a song
song với đường thẳng a.
Bài toán 2: Dựng đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với đường thẳng
cho trước
Bài toán 3. Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Cách dựng

a
b

B
c

A

c

a

Dựng tiab Ax

x

C

Dựng đường trßn (A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia

Ax.
Dựng đường tròn (A;c) và đường tròn (C;a). Gọi B là giao điểm của
chúng.Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b và BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường trong (A;c) và (C; a) không cắt nhau thì không
dựng được tam giác ABC.
Bài toán 4: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng
x
Gọi
là góc cho trước. Dựng đường tròn (O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta
được ∆ OAB A
Dựng ∆ O’A’B’ = ∆ OAB(c-c-c) như bài toán 1, ta có Ô’ = Ô.
O

B

A’

y

9
O’

B’


Bài toán 5: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dựng các đường tròn (B; r) và (C; r) chúng cắt nhau ở D. Tia phân giác của

.
Thật vậy ∆ABD =∆ACD(c-c-c) ⇒

=
x
B
r
A

r
D

1
2

z

r
r
Bài toán 6: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
C
Dựng hai đường tròn (A; AB) và (B; BA) chúng cắt nhau tại C, D. Giao
y điểm
của CD và AB là trung điểm của AB.
Bài toán 7: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước .
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A;r), (B;r) cắt nhau tại hai điểm C, D. (Chú ý r >

)

Đường thẳng CD là đường trung trực của AB.

10


Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không
cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào
những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tùy tiện.
2) Các kiến thức thường găp trong giải toán:
2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song
Khi nghiên cứu nội dung hình học 7, các dạng toán chứng minh hai đường
thẳng song song ta thường sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu nhận biến hai đường thẳng song song.
Các định lý:
+Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song
song với nhau.
+Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì chúng song
song với nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta cần phải tìm cách
để vận dụng dấu hiệu nhận biết hoặc các định lý một cách linh hoạt.

2.2 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
Nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng
minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng
nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc
hai tam giác nào?

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần
có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới
xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán.
11


Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào để học sinh có thể nhận biết cách vẽ
tên được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và giải toán hình học
lớp 7 nói riêng.
3)Mức độ và yêu cầu:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức:
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, tính chất một
đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng
song song, tiên đề Ơ-Clit về hai đường thẳng song song, các định lý về hai
đường thẳng song song, từ vuông góc đến song song.
Các định lý về tổng ba góc của tam giác.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông.
Các kiến thức về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ
đơn giản, thiết thực khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện giải toán có hiệu quả
cao.
4) Kĩ năng cơ bản:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kĩ năng: Vẽ hình theo diễn đạt bằng lời,
kĩ năng trình bày lời giải bài toán hình học, kĩ năng nhận dạng tình huống
III. Nội dung cụ thể:
1.Cách 1: Vẽ đoạn thẳng, tia ,đường thẳng:
Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một

tia, ... Chẳng hạn:
+ Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường
trung tuyến, đường trung bình.
+ Khi cần tạo góc ngoài của tam giác ta thường kẻ tia đối của tia chứa một
cạnh của tam giác.
+ Kẻ hai đường chéo của tứ giác.
+ Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh
bên.
Bài toán 1: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC =
BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
B
A
12
C

D


( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng
song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh
trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
CHỨNG MINH

B

A

Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:

• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
•

=

C

D

( so le trong AC // BD)

⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g - c - g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh
chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ∆
ABD = ∆ DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung)
nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được
trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng
tính chất của hai đường thẳng song song.
Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, ta có thể cho HS làm thêm bài tập sau đây:
Bài toán 2:Trên hình vẽ cho biết AB = DB; AC = DC. Chứng minh rằng:

Bằng cách suy luận như bài toán 1. Ta thấy hình phụ vẽ thêm là đoạn thẳng BC
từ đó HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
Bµi tËp tù luyÖn
13


Bài toán 3: Trên hình vẽ cho biết AB//CD, AB = CD, chứng minh rằng: AB =

CD và AB//CD

Bài toán 4: Trên hình vẽ cho biết: AB//CD và AC//BD. Chứng minh rằng AB =
CD, AC = BD.

Nhận xét chung:
Qua các bài toán trên, ta thấy việc vẽ thêm hình phụ cho mỗi bài toán này
tuy đơn giản nhưng để học sinh tiếp thu được và vận dụng tốt thì yếu tố quan
trọng nhất là phân tích bài toán. Khi phân tích các bài toán này giáo viên cần
phân tích rõ cho học sinh, ngoài các yếu tố đề bài đã cho sẵn ta cần chú ý tới các
“giả thiết ngầm” trong bài toán, đó là: Khi cho hai đường thẳng song song thì
“giả thiết ngầm” sẽ là các góc so le trong, các góc đồng vị bằng nhau. Khi cho
hai tam giác có hai cạnh bằng nhau thì “giả thiết ngầm” hoặc là có thêm cạnh
còn lại bằng nhau hoặc góc xen giữa hai cạnh ấy bằng nhau. Từ đó định hướng
cho học sinh cách vẽ thêm hình phụ.
2. Cách 2. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông
góc với một đường thẳng.
Bài 1: Trên hình vẽ cho biết
minh rằng: Ax//By

,

,

. Chứng

HƯỚNG DẪN

14

Muốn chứng minh Ax song song với By ta chứng minh chúng cùng song
song với đường thẳng thứ 3. Từ đó cho ta định hướng vẽ thêm yếu tố phụ là tia
Cz không nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC. Rồi từ đó ta
chứng minh Cz//By
Từ bài toán trên ta khai thác, mở rộng bài toán để phát triển tư duy của
học sinh và rèn luyện kĩ năng cho học sinh, ví dụ như:
Bài 1.1. Trên hình vẽ cho biết:
.
Chứng minh rằng Ax//By.
Nhận xét
Từ lời giải của bài toán 1, ta nghĩ đến đường
phụ là tia Cz sao cho Cz và Ax nằm trên hai
nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC và
=
để có Ax//Cz. Kết hợp với
=
+
=
=
để có By // Cz, ta sẽ chứng minh được
Ax//By.
Bài toán 1.2. Trên hình vẽ cho biết
+

+

= 3600.

Chứng minh rằng Ax//Cy.

Nhận xét:Tương tự bài toán 1 ta chứng minh Ax và Cy cùng song song với
đường thẳng thứ 3.
+
+
= 3600. Ta chọn đường phụ là tia Bz sao
cho
+
= 1800. Từ đó ta có Ax//Bz và chúng ta cũng chứng minh được
Cy//Bz. Do đó Ax//Cy.
Dạng bài toán này một lần nữa ta lại thấy được yếu tố “giả thiết ngầm”
trong bài toán là: Có một điểm nằm ngoài đường thẳng thì luôn có một đường
thăng hoặc một tia song song với đường thẳng cho trước đó
Bài toán 2: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A
thành ba góc bằng nhau.
15


Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng
vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy
suy ra AB ⊥ AC và suy ra = 900.
CHỨNG MINH

Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:
• Hˆ = ˆI = 900 ( gt)
• AM là cạnh chung)
•

⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)

Aˆ 2 = Aˆ 3 (gt)

⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng)

(1)

Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:
• Hˆ1 = Hˆ 2 = 90 0 ( gt)
• AH là cạnh chung
•

⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g - c - g)

ˆ =A
ˆ
A
1
2 ( gt)

⇒ BH = MH ( 2cạnh tương ứng)
1
2

1
2

(2)

1
2

Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒ BH = MH = BM = CM ⇒ MI = CM
1
Xét ∆ vuông MIC có: MI = CM nên Cˆ = 300 từ đó suy ra:
2

⇒

=

=

= 600 .

= 900

Vậy ∆ ABC vuông tại A.
16


Vì Cˆ = 300 ⇒ Bˆ = 600 ;
1

Lại có AM = MB = BC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
2
giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
Nhận xét: Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như

rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại
trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong
giải toán hình học.
3. Cách 3: Vẽ giao điểm của hai đường thẳng:
Hãy chú ý đến giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam
giác liên quan đến các quan hệ trong đề bài.
Hãy nghĩ đến vẽ giao điểm của hai đường nếu hình vẽ tạo ra những hình
mới có lợi cho chứng minh.
Bài toán (Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc).
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
Đường vuông góc với DB tại D cắt BC ở E. Kẻ EH vuông góc với AC. Chứng
minh rằng AD = DH.

HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta thấy tam giác DHE vuông tại H. Để chứng minh AD =
DH ta sẽ tạo ra một tam giác vuông chứa đoạn thẳng AD và bằng với tam giác
DHE. Từ đó cho ta định hướng vẽ giao điểm của AB và DE.

CHỨNG MINH
Gọi K là giao điểm của AB và DE.
17


BDK = BDE (g.c.g) suy ra DK = DE.
ADK = HDE (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AD = HD (đpcm)
Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất
khó giải bài toán. Tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm giao điểm của AB và
DE thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ
thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.

Ngoài cách vẽ thêm giao điểm của AD và DE ta có thể có cách vẽ thêm
đường phụ khác là: Từ D kẻ DK vuông góc với BC.

Nhận xét chung : Qua bài toán ta thấy, yếu tố tư duy tự nhiên của bài toán khá
phức tạp, yêu cầu của việc vẽ thêm hình phụ lúc này chính là vẽ thêm một hình
phụ sao cho có lợi cho chứng minh và việc vẽ thêm hình phụ phải tận dụng hết
giả thiết của bài toán. Yếu tố “giả thiết ngầm” trong bài toán này ta cần phân
tích rõ cho học sinh là: Khi cho BD là tia phân giác của góc B, ta có thêm giả
thiết là có hai tam giác vuông bằng nhau chứa cạnh BD, từ đó cho ta tư duy về
vẽ thêm đường phụ trong bài toán.
4. Cách 4: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng
cho trước.
Trong một tam giác, khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ
trung điểm của một cạnh khác.
Vẽ một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
+ Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán.
+ Một tam giác cân để thuận lợi cho việc chứng minh.
+ Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng.
18


Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh AM =
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ AM =

2AM = BC.

Tìm cách tạo ra đoạn thẳng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn

thẳng đó. Như vậy yếu tố phụ cần vẽ là điểm D trên tia đối của tia MA sao cho
MD = MA
CHỨNG MINH
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét MAC và MDB có:
MA = MD;

=

(đối đỉnh)

MC = MB (giả thiết)
Do đó: MAC = MDB (c-g-c)
Suy ra: AC = DB và
=

=

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC//D.

Ta có AC//DB, AC AB
Xét ABC và

BD

=900

AB

BAD có:AC = BD;

=

=900

AB là cạnh chung
ABC =
Mà: AM =

BAD (c-g-c) nên BC = AD
do đó AM =

(đpcm)

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Gọi M,N là trung điểm của các cạnh AB và AC.
Chứng minh rằng MN//BC và MN =
HƯỚNG DẪN GIẢI
Để chứng minh BC = 2MN, ta tạo ra một đoạn thẳng
bằng 2MN rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC. Như
vậy hình phụ cần vẽ là: trên tia đối của tia MN lấy điểm
D sao cho ND = BC. Từ đó dễ dàng chứng minh được
DM = BC.
CHỨNG MINH:
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
19


Xét NAM và NDC có NM = ND,

=

(đối đỉnh), AN = NC (gt)

Do đó NAM = NDC (c-g-c)
Suy ra: AM = DC và
Ta có

=

=

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra: AB//CD

=
Xét BMC và DCM có:
MB = DC (=AM),

=

(Cm trên), MC là cạnh chung.

Do đó: BMC = DCM (c-g-c)
Suy ra:

=

=

, BC = DM

mà hai góc này ở vị trí so le trong

BC = DM, MN =

MN//BC

MN =

Bài toán 3. (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D.
Chứng minh DC > DB.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Khi so sánh hai đoạn thẳng, ta thường sử dụng mối quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện. Sử dụng phương pháp loại trừ trong bài toán ta có thể thấy ngay
không thể có đoạn thẳng trung gian có sẵn trong hình vẽ giúp ta giải quyết bài
toán. Từ đó cho ta định hướng tạo ra một tam giác chứa DC mà có một cạnh
bằng với cạnh BD. Bằng cách lấy điểm E nằm trên AC sao cho AE = AB.

CHỨNG MINH
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
ADB = ADE (g-c-g) Nên DE = BD (1) và
Suy ra

=

.

=
20

Ta lại có:

>

(

Tam giác DEC có

là góc ngoài tam giác ABC) nên:
>

>

nên DC > DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC > DB (Đpcm)
Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng
hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay dụng trong
nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải
này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình
THCS.
Bài toán 4: (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của của AC. So sánh góc
ABM và góc MBC.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Trong một tam giác thì góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn. Vì vậy
để so sánh
và

ta đưa về so sánh hai góc trong một tam giác. từ đó
cho ta định hướng vẽ thêm hình phụ là đoạn thẳng ME trên tia đối của tia MB
sao cho ME = MB và chứng minh được
=

CHỨNG MINH
Trên tia đối của tia MB lấy diểm E sao cho ME = MB.
AMB = CME (c-g-c) suy ra AB = CE và

= (1)

Do BC > AB nên BC > CE.
Tam giác BCE có BC > CE nên
Từ (1) và (2) suy ra

>

>

(2)
hay

>
21


Bài tập tự luyện
Bài toán 5: Tam giác ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng

vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC
tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
Bài toán 7: Cho điểm B và C nằm trên đờng thẳng AD sao cho AB = CD. M là
điểm nằm ngoài AD. Chứng minh MA + MD > MB + MC
5. Cỏch 5: V tia phõn giỏc ca gúc, v gúc bng gúc cho trc.
Ta thng v tia phõn giỏc ca mt gúc nu gúc ú gp ụi gúc khỏc
trong bi toỏn. V mt gúc bng mt gúc cho trc thng to ra mt tam giỏc
cõn, hai tam giỏc bng nhau .
Bi toỏn 1. Cho tam giỏc ABC cú

=

. Chng minh rng AB = AC.

HNG DN GII
chng minh AB = AC ta to ra hai tam giỏc cha hai cnh AB v AC bng
nhau, bng cỏch v AM l tia phõn giỏc ca gúc A.

CHNG MINH
K AM l tia phõn giỏc ca gúc A (M thuc BC). Ta cú:
=

(1)

= 1800 (

+

)

(2)

= 1800 (

+

)

(3)

T (1), (2) v (3) suy ra:

=

Xột AMB v AMC cú:
=
22


AM l cnh chung.
=

(chng minh trờn)

Suy ra AMB = AMC (g-c-g)
Suy ra AB = AC
Bi toỏn 2. Chng minh nh lý: Nu mt tam giỏc vuụng cú mt gúc bng 300
thỡ cnh i din vi gúc 300 bng na cnh huyn.
HNG DN GII
Trc ht ta cho hc sinh phỏt biu li nh lý di dng mt bi toỏn:

Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú gúc ACB bng 300.
Chng minh rng: AB =
D thy
= 600. Cho ta ngh n tam giỏc u. T ú cho ta hng t duy l
v im D trờn cnh BC sao cho
= 300

Bài tập tự luyện
Bài toán 3: Cho tam giác ABC ,góc A bằng 600.Phân giác BD và CE cắt nhau
tại O. Chứng minh rằng :
a) Tam giác DOE cân
b) BE + CD = BC
Bài toán 4: Cho hai điểm A,B trên cùng nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy xác định một
điể O thuộc xy sao cho hai góc AOx và BOy bằng nhau.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có AB = AC .Trên tia đối của tia BC lấy điểm
D,trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho ED = EB. Chứng minh ED//AC.
Bài toán 6: Cho tam giácABC có AB=AC . Trên hai cạnh AB và AC lấy lần lợt
các điểm D và E sao cho AD=AE . Nối D với E. Gọi M và N là trung điểm của
các đoạn thẳng DE và BC. Chứng minh ba điểm A , M , N thẳng hàng
6. Cỏch 6 : Phơng pháp tam giác đều
23


Đây là một phơng pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm đợc vào
trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán
đợc thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trớc tiên ta cần hớng dẫn học sinh
chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định nh :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.

- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền...
Sau đó hớng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua
mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác
định nêu trên (Thờng là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra
góc tơng ứng của chúng bằng nhau).
Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bi toỏn 1: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, = 200 . Trờn cnh AB ly im D
1
sao cho AD = BC. Chng minh rng
= A .
2

HNG DN GII
bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 200, suy ra gúc ỏy l 800.
Ta thy 800 - 200 = 600 l s o mi gúc ca tam giỏc u V tam giỏc u
BMC

CHNG MINH
Ta cú: ABC; AB = AC;
1800 200


B
=
C
=
= 800
Suy ra:

2

= 200 ( gt)
24


Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta được: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒

= 200 : 2 = 100

=

= 800 - 600 = 200

=

Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
( = 200)

=

AC là cạnh chung
⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c - g - c )
⇒

=

= 100, do đó:

=

.

Nhận xét:
1.Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở đáy là 80 0. Ta
thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi
ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC
thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các
cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2. Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
Bài toán 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ điểm D nằm trong tam giác
đó sao cho
=
= 150. Chứng minh rằng BA = BD.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ những dữ kiện của bài toán ta dễ dàng suy ra được góc BAD = 75 0.
Nếu AB = BD thì tam giác ABD cân tại B từ đó suy ra góc BDA cũng bằng 75 0.
Suy luận tương tự như bài toán 1, ta vẽ thêm hình phụ là điểm I nằm trong tam
giác ABD sao cho
=
=150. Từ đó ta có thể chứng minh được bài toán.

25