Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12

516.0076

NGlTTJnS. LE HOANH PHO

PH561P
I

I I

II

I

"T^t

•^va ren luyer»
-g, kl nang W
T i l a m bai_'

, NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI


NGlTr.TbS. LE HOANH PHO

CAC
CHUDE
CAN BAN
T
BOI D I / O N G H O C S I N H GIOI
THIJVIBJTiWHBINHTHUAN

N H A XUAT B A N D A I HOC QUOC GIA HA

NQ\

16 Hang Chuo'i - Hai Ba Trang - Ha Npi
Dien thoai: Bien tap-Che" ban: (04) 39714896:
Hanh chinh: (04) 39714899: Tong bien tap: (04) 39715011
Fax: (04)39714899
rjc

Chiu

trdch

nhiem

xuat

^

^

ban:

Gidm doc - Tong bien tap:

TS.PHAM T H I TRAM

NGUYEN KHOI

Che' ban:

N H AS A C H H O N G A N

Siia bdi:

NGOC L A M

Bien tap:

Trinh

bay bia:

MINH

V O T H I THITA

Ddi tdc lien ket xuat ban:
N h a sach H O N G A N

SACH L I E N KET

CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 12
Ma so: 1L- 155OH2014

•

In 2.000 cudn, khd 17 x 24cm tai Cong ty Co phan Van hoa Van Lang.

Giay phep xuat ban so: 463-2014/CXB/09-99 OHQGHN, ngay 14/03/2014
Quyet dinh xuat ban so: 153LK-TN/QO-NXB OHQGHN.
In xong va nop luu chieu quy II nam 2014.


Nham muc dfch giup cac ban hoc sinh I6p 10, Idp 11, Idp 12 nam
vQng kien thufc can ban ve mon Toan ngay tCr luc vao THPT cho den
khi chuan bj thi Tot nghiep, tuyen sinh Cao dang, Dai hoc, tac gia da
bien scan bo sach P H U O N G P H A P G I A I gom 6 cuon:
- CAC C H U D E CAN B A N DAI SO 1 0
- CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 1 0
- CAC C H U D E C A N B A N DAI S O - GIAI TICH 1 1
- CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 11

- C A C C H U D E C A N B A N GIAITl'CH 1 2
- CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 12

TCr nen Toan can ban nay, cac ban c6 the nang cao dan dan, bo
sung va md rpng kien thufc va phifdng phap giai Toan, ren luyen ky
nang lam bai va tC/ng bade giai dung, giai gpn cac bai tap, cac bai toan
kiem tra, thi cCf.
Cuon C A C C H U D E C A N B A N H J N H H Q C 1 2 nay cd 15 chu de vdi
npi dung la phan dang Toan, tdm tat kien thufc va phadng phap giai,
cac chu y; phan tiep theo la cac bai toan chpn Ipc can ban minh hpa
vdi nhieu dang loai va mifc dp; phan cuoi la 8 bai tap cd hudng dan
hay dap so.
Du da CO gang kiem tra trong qua trlnh bien scan song khdng tranh
khoi nhufng sai sot ma tac gia chua thay het, mong don nhan cac gdp y
cua quy ban doc, hpc sinh de Ian in sau hoan thien hon.
Tac gia

L E HOANH PHb


O CHU D E I

KHOI Dfi DIEN Vfl PHEP D0I HINH
DANG TOAN
•

1.

KHOI DA DIEN

Hinh da dien va khoi da dien
- Hinh da dien gom mot so hint hgn da gidc phang thod man hai dieu kien:
(1) Hai da gidc hai ki hodc khong co diem chung. hodc cd moi dinh chung,
hoac CO moi cgnh chung.
(2) Moi cgnh cua moi da gidc la cgnh chung cua dung hai da gidc.
- Hinh da dien chia khong gian lam hai phdn: phdn ben trong vd phdn ben
ngodi. Hinh da dien ciing vai phdn ben trong cua no goi la khoi da dien.
- Moi khoi da dien co the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tic dien.
Moi da gidc cua hinh H duac goi la mot mat cua khoi da dien. Cdc dinh, cdc
cgnh cua moi mat con goi la dinh, cgnh ciia khoi da dien. Cdc diem nam trong
hinh H con goi la diem trong cua khoi da dien.
Khoi chop va khSi long tru
- Khoi da dien duac goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duac giai hgn bai
mot hinh chop, hinh chop cut. Tuang tu cho khoi chop n-gidc, khoi chop cut ngidc, khoi chop deu. khoi tit dien,...
- Khoi da dien duac goi la khoi Idng Iru neu no duac giai hgn bai mot hinh
Idng tru, tuang tu cho khoi hop, khoi hop chu nhdt, khoi lapphuang...

- Phdn chia va lap ghep cdc khoi da dien: Moi khoi chop vd khoi Idng tru ludn
CO the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tit dien bang nhieu cdch khdc nhau.
Chiiy:
1) Dgc so O-le ciia khoi da dien loi: D6i v&i moi khoi da dien loi H, ta ki hieu
D la so dinh. C Id so cgnh, M la so mat cua H ihi co dgc so
Z(H) = D-C + M = 2.


2) Hinh lang tru deu: hinh lang tru dung (c6 canh ben vuong gdc vai mat day) va
CO day la da giac deu.
3) Hinh chop deu: day la da giac deu va cac canh ben bang nhau.
Bai toan 1: Chung minh r^ng nSu khoi da dien c6 cac mat la tarn giac thi so mat phai
la so chin. Hay chi ra nhung khoi da dien nhu the voi so mat bang 4,6,8,10.
Gidi
Goi s6 canh cua kh6i da dien la C, s6 mat la M . V i moi mat c6 ba canh va moi
canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C. Suy ra M la so chan.
Sau day la mot so khoi da dien so cac mat tam giac la 4,6, 8,10.

Bai toan 2: Chung minh rang moi dinh ciia mot hinh da dien la dinh chung cua it
nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat.
Gidi
Ta dung phan chung. Neu xuat phat tu mot dinh nao do chi c6 hai canh, thi
moi canh nhu thd la canh cua chi mot da giac, trai voi dieu kien trong dinh nghia
cua hinh da dien.
Vay moi dinh phai la dinh chung cua it nhat la ba canh, va vi vay no ciing phai
la dinh chung cua ba mat.
Bai toan 3: Chung minh rSng ndu khoi da dien c6 moi dinh la dinh chung cua ba
canh thi s6 dinh phai la so chSn.
Gidi
Gia su khoi da dien c6 C canh va c6 D dinh. V i moi dinh la dinh chung cua ba

canh va moi canh c6 hai dinh nen 3D 2C.
Vay D phai la so chan.
Bai toan 4: Chung minh rSng nSu kh6i da dien c6 cac mat la tam giac va m6i dinh
la dinh chung cua ba canh thi do la khoi tu dien.
Gidi
Goi A la mot dinh cua kh6i da dien. Theo gia thiet, dinh
A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh do la AB, AC,
AD. Canh AB phai la canh chung cua hai mat tam giac, do
la hai mat ABC va ADB (vi qua dinh A chi c6 3 canh).
c
6


Tuomg tir, ta c6 cac mat tam giac ACD va BCD.
Vay Ichoi da dien do cliinh la khoi tu dien ABCD.
Bai toan 5: Chung minh rang, so goc cua tat ca cac mat gap doi so canh cua khoi
da dien. Suy ra so goc chan.
Gidi
Goi so goc la G va so canh cua khoi da dien la C.
Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh dugc tinh 2 Ian
nen G = 2C, do do G chEn.
Bai toan 6: Chung minh khong ton tai khoi da dien c6 mot so le mat va moi mat
lai CO mot so le canh.
Giai
Gia su ton tai khoi da dien c6 so mat la M le va moi mat chua so le canh Ci,
i=l,2,...,M.
Ta CO so goc cua khoi da dien:
G = C, + C 2 +... + C M ^ G le: v6 ly.
Vay khong ton tai kh6i da dien thoa de bai.
Bai toan 7: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh ba khoi tu dien bed hai mat phang.

Giai
A
Cho kh6i tu dien ABCD.
Lay diem M va N phan biet nam giiia C va D.
Bang hai mat phang (ABM) va (ABN), ta chia
khoi tu dien da cho thanh ba khoi tu dien: ABCN,
ABNM va ABMD.

Bai toan 8: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh bon khoi tu dien bai hai mat phang.
Giai
A
Cho kh6i tu dien ABCD.
Lay diem M nam giiia A va B, diem N nam giua C va D.
Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta
M/_
chia khoi tu dien da cho thanh bon khoi tu dien:
B•
AMCN, AMND, BMCN va, BMND.
Bai toan 9: Hay phan chia mot khoi hop thanh nam khoi tu dien.
Giai
B
Co t h i phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D'
thanh nam khoi tu dien sau day:
ABDA', CBDC, B'A'C'B, D'A'C'D va, BDA'C.


DANG TOAN
2.

PHEP Ddfl HINH

Phep den hinh
- Mot phep hien hinh F trong khdng gian duac goi la phep dai hinh neu no hdo
toan khoang each giita hai diem hat ky: neu F bien hai diem bat ki M, N Idn luat
thanh hai diim M', N' thi M'N' = MN.
Phep dai hinh bien duang thdng thanh duang thdng, matphdng thanh matphdng...
Hap thanh cua nhung phep dai hinh la phep dai hinh.
Cdc phep d&i hinh dqc biet
- Phep dong nhdt: Phep dai hinh bien diem M bdt ki thanh chinh no.
- Phep tinh tien: Phep tinh tien theo vecta v Id phep bien hinh bien moi diem
M thanh diem M' sao cho M M ' = v .
- Phep doi xung qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d,
phep doi xicng qua duang thdng d la phep bien hinh bien moi diem thudc d thanh
chinh no vd bien moi diem M khdng thudc d thanh diem M' sao cho trong mat
phdng (M, d). d Id dmrng trung true cua dogn thdng MM'.
- Phep doi xirng qua mot diem (phep doi xung tdm): Cho diem O, phep doi
xicng qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M thanh diem M' sao cho OM
+ OM ' = 0 , hay O la trung diem cua MM'.
- Phep ddi xicng qua mat phdng (P) la phep bien hinh bien mdi diem thudc (P)
thanh chinh no vd bien mdi diem M khdng thudc (P) thdnh diem M' sao cho (P) Id
mat phdng trung true cua dogn thdng MM'.
Hai hinh bang nhau
- Hai hinh da dien goi Id bdng nhau neu eo mot phep dai hinh bien hinh nay
thdnh hinh kia.
Ddi vai cdc khdi da dien Idi: Neu phep dai hinh F bien tap cdc dinh cua khdi
da dien Idi H thdnh tap cdc dinh ciia khdi da dien Idi H' thi F bien H thdnh H'.
Dinh ly: Hai hinh tic dien ABCD vd A 'B'C'D' bdng nhau niu chiing eo cdc egnh
tuang icng bdng nhau, nghia Id AB -= A'B', BC = B'C, CD = CD', DA = D'A',
AC = A'C, BD = B'D'.
Bai toan 1: Cho hai diem phan biet A, B va phep doi hinh f biln A thanh A, biSn

B thanh B. Chung minh rang f bien moi diem M nam tren ducmg thang AB
thanh diem M .
Gidi
Ta CO f(A) = A, f(B) = B.
8


Gia su diem M thuoc duong thang A B va f ( M ) = M ' . K h i do M ' thuoc duomg
M n g A B va A M = A M ' , B M = B M ' . Suy ra M ' triing M , turc la f bi^n M thanh
chinh no.
Vay f bien mpi diem M nam tren duong thang A B thanh chinh diem M .
Cho tam giac A B C va phep dai hinh f bien tarn giac A B C thanh chinh
no, tuc la f ( A ) = A , f(B) = B, f(C) = C. Chung minh rang f bien moi diem M
cua mp(ABC) thanh chinh no, tuc la f ( M ) = M .

Bai toan 2:

Gidi
V i f(A) = A , f(B) = B va f(C) = C nen f bign mp(ABC) thanh mp(ABC). Bai
vay nSu M thuoc mp(ABC) va f ( M ) = M ' thi M ' thuoc mp(ABC) va A M = A M ' ,
B M = BM', C M = CM'.
Neu M ' va M phan biet thi ba diem A , B, C thuoc duong thang trung true cua
doan thang M M ' tren mp(ABC), trai vai gia thiet A B C la tam giac. Vay f ( M ) = M .

Bai toan 3: Cho

t u dien A B C D . Chung to rang phep dai hinh bien moi diem A ,
B, C, D thanh chinh no phai la phep dong nhat.
Gidi

Gia su phep dai hinh f bien cac diem A , B, C, D thanh chinh cac diem do, tuc
la f(A) = A , f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D.
Ta chung minh rang f bien diem M bat k i thanh M . That vay gia su M ' = f ( M )
va M ' khac vai M . K h i do v i phep dai hinh khong lam thay doi khoang each giCra
hai dikm nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = C M ' , D M = D M ' , suy ra b6n di^m A ,
B, C, D nam tren mat phang trung true cua doan M M ' , dieu do trai vai gia thidt
A B C D la hinh t u dien.
Vay M ' triing vai M va do do f la phep dong nhk.

Bai toan 4: Cho

hai t u dien A B C D va A'B'C'D' c6 cac canh tucmg ung b ^ g nhau:
A B = A'B', BC = B'C, C D = C D ' , D A = D'A', D B = D'B', A C = A ' C . Chung
minh rang c6 khong qua mot phep dai hinh bien cac diem A , B, C, D Ian luat
thanh cac diSm A', B', C , D'.
Gidi

Gia su CO hai phep dai hinh f i va f2 deu bien cac diem A , B, C, D Ian luat
thanh cac di^m A ' , B', C , D'.
Neu f| va f2 khac nhau thi eo it nhat mot diem M sao cho neu M i = f i ( M ) va
M2 = f2(M) thi M l va M2 la hai diem phan biet.
Khi do v i fi va
deu la phep dai hinh nen A ' M i = A M va A'M2 = A M , vay
A ' M i = A'M2, tuang t u B ' M i = B'M2, C'Mi = C'M2, D ' M i = D'M2, do do b6n dikm
A\, C, D' cung nam tren mat phang trung true cua doan thang M1M2, trai vai
gia thi^t A'B'C'D' la hinh t u dien.
Do do vai mpi diem M ta deu c6 f i ( M ) = f2(M), tuc la hai phep dai hinh fi va T2
trung nhau.

9

I


Vay CO khong qua mot phep dai hinh biln cac di6m A, B, C, D \hn lugt thanh
cac dilm A', B', C, D'.
Bai toan 5: Cho hai tam giac bang nhau ABC va A'B'C (AB = A'B', BC = B'C,
AC = A'C). Chung minh rang c6 dung hai phep dai hinh, mSi phep bien tam
giac ABC thanh tam giac A'B'C.
Cho truac tam giac ABC. Co nhirng phep dai hinh nao bien tam giac ABC
thanh chinh no?

Gidi

Tren duong thang a vuong goc vai mp(ABC) tai A
lay diem D khac A, tren duong thang a' vuong goc vai
mp(A'B'C') tai A' c6 hai diem phan biet Di va D2 sao
cho A'Di = A'D2 = AD.
Ta CO cac hinh tu dien ABCD, A'B'C'Di va A'B'C'Dz
CO cac canh tuang ung bang nhau. Neu f la phep dai
hinh bien tam giac ABC thanh tam giac A'B'C thi hoac
f bien D thanh.Dj hoac f bien D thanh D2.
Vay CO diing hai phep dai hinh bien tam giac ABC
thanh tam giac A'B'C. Do la phep dai hinh fi h'lkn tu
dien ABCD thanh tu dien A'B'C'D, va phep dai hinh fi
bien tu dien ABCD thanh tu dien A'B'C'D2.
Day la truong hop rieng khi hai tam giac ABC va A'B'C trung nhau. Vay ta c6
hai phep doi hinh bien ABCD thanh chinh no: do la phep dong nhSt va phep d6i
,xung qua mp(ABC).
Bai toan 6: Cho tu dien deu ABCD va phep doi hinh f bien ABCD thanh chinh

no, nghia la bien moi dinh cua tu dien thanh mot dinh cua tu dien. Tim tap hop
cac diem M trong khong gian sao cho M = f(M) trong cac truong hop sau day:
a) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A
b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D
c) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D

Gidi

a) Theo gia thiet f(A) = B va f(B) = C, f(C) = A.
Do do f(M) = M khi va chi khi M A = MB = MC.
Suy ra tap hop cac diem M la true cua duong tron ngoai ti^p tam giac ABC.
b) Theo gia thiSt f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D.
Do do f(M) = M khi va chi khi M A = MB va MC = MD, tuc la M d6ng thai
•nam tren cac mat phang trung true cua AB va CD.
Suy ra tap hop cac diem M la duong thing di qua trung dikm cua AB va CD.
c) Theo gia thilt f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D.
Do do f(M) = M khi va chi khi MA = MB = MC = MD.
Suy ra tap hop cac diem M gom mot dikm duy nhk la trong tam tu dien ABCD.

10


Bai toan 7: Chung minh rang cac phep tinh tien, phep doi xung tam la cac phep
dai hinh.

Giai
- Neu phep tinh tien theo vecta v b i l n hai diSm M , N ISn lugt thanh hai d i l m
M', N' thi M M ' = N N ' = v , suy ra M N = M ' N ' va do do M N = M ' N ' . Vay phep
tinh tien la mot phep dai hinh.
- Neu phep doi xung tam O bien hai diem M , N ISn luat thanh hai diSm M ' , N '

thi O M ' = - O M , O N ' = - O N .
Suyra: M ' N ' = O N ' - O M ' = - O N + O M = N M
Do do M ' N ' = M N , suy ra phep doi xung tam O la mot phep dai hinh.
Bai toan 8: Chung minh rang cac phep doi xung true, doi xung qua mat phSng la
cac phep dai hinh.

Gidi
- Gia su phep doi xung qua duang t h i n g d bi§n hai
diem M , N Ian lugt thanh hai diem M ' , N ' . Goi H va K Ian
luoft la trung diem cua M M ' va N N ' , ta c6:
M N + M ' N ' = 2HK, M N - M ' N '
= HN - H M - HN'+HM' = N' N + M M '
V i hai vecta M M ' va N N ' deu vuong goc vai H K nen:

( M N + NTN').(MN - isof')= 2HK(hrN + M M ' ) = 0
SuyraMN

= M ' N ' hay M N = M ' N ' .

Vay phep doi xung qua d la phep dai hinh.
- Gia su phep doi xung qua mat phang (P) bien M , N thanh M ' , N ' .
N6u M , N thupc (P) thi M ' s M , N ' = N nen M ' N ' = M N .
Neu CO it nhat mot trong hai diem M , N khong nam tren (P) thi qua bon diem
M , N , M ' , N ' CO mot mat phang (Q) ( M M ' va N N ' cung vuong goc v a i (P) nen
song song vai nhau).
Goi A la giao tuyen cua (P) va (Q) thi trong mp(Q), phep doi xiing qua duang
thang A bien hai diem M , N thanh hai diem M ' va N ' nen M N = M ' N ' .
Bai toan 9: Chung minh 2 hinh lap phuomg c6 canh bang nhau thi bang nhau.

Giai

Gia su ABCD.A'B'C'D' va MNPQ.M'N'P'Q' la hai hinh lap phuang c6 canh d k
bang a.
Hai t u dien A B D A ' va M N Q M ' c6 cac canh tuang ung bang nhau nen bang nhau,
tire la CO phep dai hinh F bien cac diem A , B, D , A' Ian lugt thanh M , N , Q, M ' .
11


Vi F la phep dai hinh nen F bien hinh vuong lhanh hinh vuong, do do F bien
diem C thanh diem P, bien diem B' thanh N', bien diem D' thanh Q' va bien diem
C thanh P'.
Vay hai hinh lap phuong da cho bang nhau.
Bai toan 10: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'. Chung minh rang:
a) Cac hinh chop A.A'B'C'D' va C'.ABCD hkng nhau.
b) Cac hinh lang tru ABC.A'B'C va AA'D'.BB'C bang nhau.
Gidi
a) Goi O la tarn cua hinh lap phuorng. V i phep doi xung tam O bien cac dinh
cua hinh chop A.A'B'C'D' thanh cac dinh cua hinh chop C'ABCD. Vay hai hinh
chop do bang nhau.
b) Phep d6i xung qua mp(ADC'B') bien cac dinh cua hinh lang tru ABC. A'B'C
thanh cac dinh cua hinh lang tru AA'D'.BB'C nen hai hinh lang tru do bang nhau.

DANG TOAN
a

3.

CAC PHEP DOfl HINH DAC BIET

Phep tilth tien
Phep tinh tien theo vecta v la phep hien hinh hien moi diem M thdnh diem M'

sao cho M M ' ^ v .
Cac phep doi xung
- Phep doi xicng qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d,
phep doi xung qua duang thdng d la phep hien hinh hien moi diem thuoc d thdnh
chinh no va hien moi diem M khong thuoc d thdnh diem M' sao cho trong mat
phdng (M, d). d la duang trung true ciia doan thdng MM'.
- Phep doi xicng qua mot diem (phep doi xicng tam): Cho diem O, phep doi
xicng qua diem O la phep hien hinh hien moi diem M thdnh diem M' sao cho
OM

OM ' = 0 , hay O la trung diem cua MM'.

- Phep doi xicng qua mat phdng (P) Id phep hien hinh hien moi diem thuoc (P)
thanh chinh no va hien moi diem M khong thuoc (P) thdnh diem M' sao cho (P) id
mat phang trung true cua doan thdng MM'.
Yeu to doi xmtg
t

w

r

- Hinh H co tam doi xung khi c6 phep doi xung qua tam hien hinh H thdnh
chinh no.
- Hinh H co true doi xicng khi co phep doi xicng qua true hien hinh H thdnh
chinh no.
- Hinh H CO mat doi xicng khi co phep doi xiing qua mat phdng hien hinh H
thdnh chinh no.
12

Bai toan 1: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'. Tim
a) Tam doi xung
b) Mat d6i xung
Gidi
a) Tam doi xung O la giao diem eua 4 duong cheo
AC, BD', CA' va DB'.

c) True doi xung.

b) Goi a la mat doi xung cua hinh lap phuong thi
c
phep doi xung qua a bien hinh vuong ABCD thanh
chinh no, hoae thanh hinh vuong chung canh hoae
A:^--V
D'
thanh hinh vuong A'B'C'D'.
B'
Tir do thi hinh lap phuong c6 9 mat phang doi
xung la 3 mat phang trung true cua cac canh va 6 mat
phang chua hai canh doi.
c) 9 true doi xung gom 3 true cua cae mat va 6 duong thang di qua trung diem
cua hai canh doi.
Bai toan 2: Cho hinh tu dien deu ABCD.
a) Tim tit ca eac true doi xung.
b) Tim tat ca cac mat phang doi xung.
Gidi
a) Tu dien deu ABCD eo 3 true doi xung la 3 duong
thang di qua trung diem 2 canh doi dien (duong trung binh).
b) Tu dien deu ABCD c6 6 mat phang doi xung. do

la cae mat phang trung true eua eac canh.
Bai toan 3: Tim cac mat phang doi xung eua eac hinh sau day:
a) Hinh chop tu giac deu.
b) Hinh chop cut tam giac deu.
e) Hinh hop chij nhat ma khong c6 mat nao la hinh vuong.
Gidi
a) Hinh chop tu giac ddu S.ABCD c6 4 mat phang doi xung: mp(SAC), mp(SBD),
mat phang trung true eua AB (dong thai eua CD) va mat phang trung true cua AD
(dong thai ciia BC).
b) Hinh chop cut tam giac deu ABC.A'B'C c6 ba mat phang doi xung, do la ba mat
phang trung true cua ba canh AB, BC, CA.
e) Hinh hop chu nhat ABCD.A'B'C'D' (ma khong c6 mat nao la hinh vuong) eo
ba mat phang doi xung, do la ba mat phang trung true cua ba canh AB,AD, AA'.
1

S

\

A.

13


Bai toan 4: Chung

minh rang mot hinh chop Idiong c6 tarn doi xung.

Gidi

Truac h i t ta thay rang neu mot hinh chop c6 tarn doi xung O, thi so mat chSn.
That vay neu M la diem bat k i thuoc mot mat nao do cua hinh chop, thi diem
M ' doi xung vai M phai thuoc mot mat hinh chop (vi phep doi xung bien mat
thanh mat, canh thanh canh va dinh thanh dinh). Dieu do chung to moi cap mat
ciia hinh chop ung vai mot doan thang M M ' . V i so cac doan nhu vay la nguyen,
nen so mat la chan.
Vay day ciia hinh chop c6 tam doi xung la da giac vai so le canh nen O khong
thuoc mat phang day va khong thuoc cac mat ben. Goi (T) la thiet dien cua hinh
chop di qua O va song song vai day ((T) ton tai v i phep doi xung qua O bien dinh
hinh chop thanh diem thuoc day chop), khi do (T) la da giac c6 tam doi xung lai
CO so le canh (vi cac canh cua (T) chi nam tren cac mat xung quanh cua hinh
chop). Mau thuan do chung minh bai toan.
Cho hai duang thang song song a va a', hai mat phang (P) va (P') cung
vuong goc vai a. T i m phep tinh tien bien a thanh a' va bien (P) thanh (P').

Bai toan 5:

Gidi
Goi O la giao diem cua a va (P), O' la giao diem cua a' va (P'). K h i do phep tinh
tien theo vecta v = 0 0 '

se bien a thanh a' va bien (P) thanh (P').

Bai toan 6: Chung minh rang hop thanh cua cac phep tinh tien la mot phep tinh tiSn.
Gidi

Gia su T i va T2 Ian lugt la cac phep tinh tien theo vecta v, va v^ . Neu T| bien
diem M thanh diem M i va T2 bien M i thanh M2 thi hop thanh T2 o T i bien diem
M thanh diem M2.
V i M M , = V, va M j M ^ = v , nen M M , = M M , + M , M 2 = v, + Vj

Vay T2 o T i la phep tinh tien theo vecta v, + v , .
Mot each tong quat: hop thanh cua n phep tinh tien da cho la mot phep tinh tien
CO vecta tinh tien bang tong cac vecta cua cac phep tinh tien da cho.
Cho t u dien A B C D noi tiep mat cau (S) ban kinh R = A B , mot diem M
thay d6i tren mat cku. Goi C, D', M ' la cac d i l m sao cho: CC'= D D ' = M M ' = A B .
Chung minh rang neu BC'D'M' la hinh tu dien thi tam mat cau ngoai tiep tu dien do
nam tren (S).

Bai toan 7:

Gidi

Phep tjnh tiSn T theo vecta v = A B biSn A thanh B, C thanh C , D thanh D'
va M thanh M ' , tuc la bi6n t u dien A C D M thanh t u dien BC'D'M'.
Do do T bien tam O cua mat cau (S) ngoai tiep t u dien A C D M thanh tam O'
cua mat cau ngoai tiep t u dien BC'D'M', tuc la 0 0 '

= v = AB.

V i OO' = A B = R nen dikm O' n i m tren mat cku (S).

14


Bai toan 8: Cho t u dien A B C D . Goi A i , B|, C i , D i \an lugt la trong tarn cac tarn
giac BCD, A C D , A B D , A B C . V a i d i l m M hk k i trong khong gian ta goi M i la
anh ciia M qua phep tinh tien A A , , M 2 la anh ciia M i qua phep tinh tien theo
BB| , M3 la anh cua M 2 qua phep tinh tien theo CC, , M 4 la anh cua M 3 qua
phep tinh tien theo DD, .
Chung minh rang M trung vai M 4 .

Gidi
Ta CO M 4 la anh cua M qua 4 phep tinh tien lien tiep. Hop thanh phep tinh tien
do la mot phep tinh tien theo vecta
V

= AA^ + BB^ + CCJ + DD^

Goi G la trong tarn t u dien, theo tinh chat trong tam t h i :
V = - - G A - - G B - - G C - - G D = - - ( G A + GB + GC + G D ) = 6
3
3
3
3
3
Do do M trung v a i M 4 .
Bai toan 9: Cho phep dai hinh f thoa man dieu kien phep hgp thanh cua f va f
la phep dong nhat: f o f = e, biet rang c6 mot diem I duy nhat sao cho f bien I
thanh chinh no. Chung minh rang f la phep doi xung tam.
Gidi
V a i mot diem M bat k i khac 1, ta goi M ' la anh cua M qua f, khi do M va M '
khong trung nhau. V i f o f = e nen f bien M ' thanh M , vay f bi^n doan thang M M '
thanh doan thang M ' M .
Tu do suy ra f bien trung diem doan thang M M ' thanh chinh no va v i vay, theo
gia thiet trung diem M M ' phai la diem I . Vay f la phep doi xung qua tam I .
Bai toan 10: Chung minh rang hop thanh ciia mot so chan cac phep doi xung tam
la mot phep tinh tien, hop thanh cua mot so le cua phep doi xung tam la phep
doi xung tam.
Gidi
- Gia su D i va D2 la cac phep doi xung tam c6 tam Ian lugt la Oi va O2. Goi M
la mot diem bat k i , M i = D i ( M ) va M ' = D 2 ( M i ) thi phep hgp thanh D2 o D i bien

M thanh M ' .
Ta c6: M M ' = MM, + M , M ' = 2 0 , M , + 2M,0,
Suy ra D2 o D i la phep tinh tien theo vecta v =

=

2 0 ^
20,0,

- V a i diem M ta lay M i doi xung vai M qua O, va lay M ' sao cho M , M ' = v .
Khi do hap thanh T o Dobien M thanh M ' .
V

—•

Neu goi I la trung diem cua M M ' thi 01-

V

~.
15


Vay diem I c6 dinh. Suy ra T o Do la phep doi xung qua I .
Tuong ty Do o T la phep doi xung qua diem I' ma 01' = —
- Vi hop thanh cua hai phep doi xung tam la mot phep tinh tien nen hop thanh
cua 2n phep d6i xung tam la hop thanh cua n phep tinh tien va do do la mot phep
tjnh tien.
Hop thanh cua 2n + 1 phep doi xung tam la hop thanh cua mot phep tinh tien
va mot phep doi xung tam nen la mot phep doi xung tam.

Bai toan 11: Chung minh rang:
a) Hop thanh cua hai phep doi xung true c6 cac true doi xung song song la mot
phep tinh tien
b) Hop thanh cua mot phep doi xung true va mot phep tinh tien theo vecta
vuong goc vai true doi xung la mot phep doi xung true.
Gidi
a) Gia su Da va Db la cac phep doi xung true c6
true Ian lucrt la cac duong thang a va b song song vai
nhau. Lay hai diem I va J Ian lugt nam tren a va b sao
cho IJ 1 a. Vai diem M bat ki, ta goi Mi = Da(M) va
M' = Db(Mi) Ihi phep hop thanh Db o Da bien M thanh
M'. Neu goi H la trung diem cua M M | va K la trung
diem cua M | M ' thi:
M M ' = M M , + M , M ' = 2HM, + 2M|K = 2HK = 2IJ
Vay hop thanh Db o Da chinh la phep tinh tien theo vecta v = 2 0 .
b) Gia su Da la phep doi xung qua duong thang a,T^ la phep tinh tien theo
vecta V vuong goc vai a.
V

Goi b la anh cua a qua phep tinh tien theo vecta - thi phep tinh tien

la hop

thanh cua hai phep doi xung Da va Db qua cac duong thang a va b: T = Db o Dg.
Boi vay T o Da = Db o Da o Da = Db o e = Db.
Goi b' la anh cua a qua phep tinh tien theo vecta - — thi phep tinh tien
thanh cua hai phep doi xung Db' va Da qua cac duong thang b' va a:

la hop

= Dg o Db'.

Do do: Da o T- = Da o Da o Db' = e o D^ = D^.

16


Bai toan 12: Goi D la phep doi xung qua
do. Gia su D bien duong thang a thanh
a) a trung vai a'
c) a cat a'

mat phang (P) va a la mot duong thang nao
duong thang a'. Trong truong hop nao thi:
b) a song song vai a'
d) a va a' cheo nhau?
Gidi
a) a trung vai a' khi a nam tren mp(P) hoac a vuong goc vod mp(P).
b) a song song vdi a' khi a song song vai mp(P).
c) a cat a' khi a cat mp(P) nhimg khong vuong goc vai (P).
d) a va a' khong bao gia cat nhau.
Bai toan 13: Chung minh:
a) Hop thanh cua hai phep doi xung qua hai mat phang song song (P) va (Q) la
mot phep tinh tien.
b) Hop thanh cua hai phep d6i xung qua hai mat phang (P) va (Q) vuong goc
vai nhau la mot phep doi xung qua duong thang.
Gidi
a) Lay hai diem A va B Ian lugt nam tren (P) va (Q)
A»
'

sao cho AB J_ (P). Vai mot dikm M bat ki, ta goi M i la
M,
diem doi xiing vai M qua mp(P) va M ' la diem doi xung
vai Ml qua mp(Q).
Goi H va K Ian lugrt la trung diem cua M M i va M i M '
thi ta c6:
1M'
M M ' = MM, + M , M ' = 2(HM; + M ^ ) = 2HK = 2AB
Vay phep hop thanh la phep tinh tien theo vecta 2 A B .
b) Goi d la giao tuyen cua (P) va (Q).
Vai mot diem M bat ki, ta goi M i la diem doi xung vai M qua mp(P) va M ' la
diem doi xung cua Mi qua mp(Q).
Neu M nam tren (P) hoac tren (Q) thi
M,
thay M' la diem doi xung cua M qua d.
Neu M khong nam tren ca (P) va (Q)
thi ba diem M , M i va M ' xac dinh mat
phang (R) vuong goc vai (P) va (Q), do / P I
/
do vuong goc vai d.
q
d
Goi giao tuyen cua (R) vai (P) va (Q)
lugt la p, q, con O la giao diem ciia p va q. n
Xet trong mat phang (R) thi diem
M' la anh cua diem M qua hop thanh cua phep doi xung qua duong thang p va
phep doi xung qua duong thang q. Suy ra O la trung diem ciia M M ' .

/

Mat khac M M ' _L d nen phep hop thanh la phep doi xung qua duong thang d.
THI/ V!EN Ti.^JHolNH THUAN

17


Bai toan 14: Cho mat phang (P) va cho phep dai hinh f c6 tinh chdt: f biSn dikm
M thanh diem M ichi va chi khi M nkm tren (P). Chung to rang f la phep d6i
xung qua mat phang (P).
Gidi

"1 ,

Phep dai hinh f bien moi diem M nam tren (P) thanh M .
Vai diem A khong nam tren (P) ta goi a la duang
thang di qua A va vuong goc vai (P). Neu H la giao
diem cua a va (P), vi f(H) = H nen f bien a thanh duang
thang di qua H va vuong goc vai (P), vay f(a) = a.
Til do suy ra diem A bien thanh diem A' nkm tren a,
A' khac vai A va HA = HA'.
Vay (P) la mat phang trung true cua doan thing AA'.
Suy ra f la phep doi xung qua mp(P).
Bai toan 15: Cho tu dien deu ABCD. Goi M , N Ian lugt la trung dilm cac canh
AB va CD. Goi O la trung diem cua doan MN. Chung minh rang vai moi diem
K nam trong tu dien ta c6 K A + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD.
Gidi
Ta CO M N la true doi xung cua tu dien dhu ABCD.
Goi K' la diem doi xung vai K qua MN, H la giao cua KK' va MN.
Ta CO K A + KB = A K + AK' > 2AH va KC + KD - CK + CK' > 2CH.
Ta chung minh ring A H + CH > OA + OC.

Xet trong mat phang (MCD), dilm A' sao cho tia MA' vuong goc vai M N ,
ngugc chieu vai tia NC va dp dai MA' = MA.
Ta CO HA' - HA nen HA + HC = HA' + H O A'C.
V i A'C di qua O nen A'C = OC + OA' = OC + OA.
Vay KA + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD.
Bai toan 16: Cho lang try dung ABC.A'B'C, c6 day la tam giac can ABC (AB = AC).
1 Yen cac canh AC va A'B' ta lay cac diem tuang ung M va M' sao cho A M = A'M'.
Tim tap hop trung diem cua doan MM'.
Gidi
Goi I , J la trung diem canh ben AA' va giao cac duang cheo hinh chu nhat
BCC'B'.
Ta CO IJ la true doi xung cua hai doan AC va A'B', do do M va M' d6i xung vai
nhau qua IJ. Vay tap hgrp cac trung diem cua M M ' thuoc doan IJ
Bai toan 17: Cho mat phing (P) va tu dien ABCD. Vai moi difim M thuoc (P) ta
xac dinh diem N theo cong thuc:
M A + MB + MC + MD = 2MN .
Tim tap hop N , khi M di dong trong (P).

18


Gidi
Goi G la trong tarn cua tu dien A B C D thi G c6 dinh.
Ta

CO

MA + M B + M C + M D = 2MN

<^ 4 M G = 2MN <=> M G = G N « G M = - G N .

Do do N la anh ciia M qua phep doi xung tam G.
Vay tap hop N la mat phang d6i xung vai (P) qua G .

DANG TOAN

ON TAP QUAN HE SONG SONG

•

4.

Dinh nghia dir&ng va mat song song
a //b khi a, h dong phdng vd khong c6 diem chung.
a // (P) khi chung khong c6 diem chung.
(P) // (Q) khi chung khong co diem chung.
Dinh ly song song ca ban
Niu a cr (P), a//h,b<^ (P) thi a //(P)
Neu (P) chua 2 duang thdng cat nhau ciing song song vai (Q) thi hai mat
phang (P)//(Q).

Trong tarn tu dien
Trong tu dien 3 duang trung binh (dogn noi trung diem 2 cgnh dSi dien) dSng
quy tai trung diem ciia moi dogn goi la trong tdm tic dien.
Goi G Id trong tdm cua tic dien ABCD thi duang thdng di qua G vd mot dinh
cua tu dien se di qua trong tdm ciia mat doi dien vai dinh ay. Niu goi A' Id trong
tarn cua mat BCD thi GA = 3GA'.
Giao tuyen song song
a ll{Q\)

3

a, (P) n

(2)

= A => A // o

allb,\Ja-=ia:^P^b,ar\p^
aIIp,\fy,y(^a

= a,yP

Mia hay Mlb
=

allb

Dinh ly Talet
Hai cat tuyen bat ky dinh ra tren 3 mat phdng doi mot song song cdc dogn
tucmg icng ti le.
19


Ddo Igi, tren 2 du&ng cheo nhau Idn luat lay cdc diem A, B, C va A', B', C
AB
BC
theo thu tu, neu
=
thi AA ', BB', CC' nam tren 3 mat phdng song song.
A'B'

B'C
. y
s
s
s
Gdc giCca 2 du&ng titang
La gdc giita 2 dirang thdng cung di qua mot diem ndo do vo Idn luat song
song vai 2 duang thdng da cho.
Bai toan 1: Cho hai hinh binh hanh ABCD va ABEF tam O, O' khong cung nam
trong mot mat phang.
a) Chung minh OO' song song vai cac mat phang (ADF) va (BCE).
b) Goi M va N la trong tam cac tam giac ABD va ABE. Chung minh M N song
song vai mat phang (CDEF).
Giai
a) Ta c6: 0 0 ' // DF, nen: 0 0 ' // (ADF).
Tuang tu: 0 0 ' // CE nen 0 0 ' // (BCE).
b) Goi I la trung diem cua AB.
Trong mp(IDE), vi M , N , la trong tam nen:
IM
IN
^^,,,T^T,
—
=
—
= -1 => M N //
DE.
ID
IE 3
Vi M N khong nam trong (CDEF) nen M N // (CDEF).
Bai toan 2: Cho tu dien ABCD. Goi I va J \kn luat la trung diem cua AC va BC.

Tren canh BD, \ky di^m K sao cho BK = 2KD. Goi E va F la giao diem ciia
duang thang CD va AD vai mat phang (UK).
a) Chung minh DE = DC, FA = 2FD va FK// IJ
b) Goi M va N la hai diem bat ki Ian luat nam tren hai canh AB va CD. Tim giao
diem cua duong thang M N vai mat phang (UK).
Giai
a) Trong (BCD), CD cit JK tai E nen E la
giao diem cua CD vai (UK).
Trong tam giac BCD, dung DD' // JK.

Vi KD = - KB nen JD' = - JB.
2
2
Vi JB = JC nen JD' = - JC.
2
Suy ra: D'J = D'C.
Do do: DE = DC
Trong (ACD), A D cSt IE tai F. Day la giao diem cua AD vai (UK). Trong tam
giac ACE, A D va EI la hai trung tuyen, nen F la trong tam.
20


Do do FA = 2 FD.Vi K va F la trong tarn cac tarn giac BCE va ACE nen ta c6:
— = — = 2 suy ra FK // IJ.
KJ FI
b) MC cat IJ tai P, MD ck FK tai Q thi PQ la giao tuygn cua mp(MCD) va
mp(IJK). Trong (MCD), MN ck PQ tai O, chinh la giao dikm cua MN voi (UK).
Bai toan 3: Cho hinh chop tu giac S.ABCD c6 day la hinh binh hanh ABCD. Goi
M va N theo thu tu la trung diem cua AB va SC.
a) Goi I va J la giao diem cua mp(SBD) voi cac duong thang AN va MN.

Chung minh ba diem B, I, J thang hang.
. ^ , X lA JM IB
b) Tmh cac ti so IN JN IJ
Gidi

a) Goi O la tam hinh binh hanh ABCD.
Trong ASAC, AN c^t SO tai I.
Vay I la giao dilm cua AN va mp(SBD).
Trong ANAB, MN ck BI tai J.
Vay J la giao diem cua MN va mp(SBD).
Theo each ve thi B, 1, J thang hang.
b) Vi I la trong tam ciia tam giac SAC nen

lA
IN

2.

Goi M' la trung diem AI, thi MM' // BJ, va J la trung diem cua MN nen
1

JM
= 1.
JN

TR

Ta c6: IB = 2MM', IJ = - MM'. Vay — = 4.
2
IJ

Bai toan 4: Cho tu dien ABCD. Cac diem P, Q Ian lugt la trung diem cua AB
va CD; diem R nam tren canh BC sao cho BR = 2RC. Goi S la giao diem cua
SA

mp(PQR) va canh AD. Tinh ti SD
'
Gidi

Goi I la giao diem cua R Q va B D ;
E la trung diem cua B R .
Khi do E B - E R = R C va R Q / / E D .
Tam giac B R I c6:

p /

"" - - -\

E D // R Q ,
BD _ BE

suy ra:

D T " ER

=1

- - - 'y^\_.,-^-'—

\
R

'

21


Do do DB = DI nen A D va IP la hai duong trung tuy6n cua tarn giac ABI nen
giao diem S ciia AD va IP la trong tam cua tarn giac ABI va ta c6 AS = 2DS.
Vay — =2.
SD
Bai toan 5: Tir bon dinh cua hinh binh hanh ABCD ve bon nua duong thSng song
song cung chieu Ax, By, Cz va Dt sao cho chung cat mat phing (ABCD). Mot
mat phang (a) cat bon nua duong thang theo thu tu noi tren tai A', B', C va D'.
Chung minh:
a) (Ax, By) // (Cz, Dt), (Ax, Dt) // (By, Cz).
b) Tur giac A'B'C'D' la hinh binh hanh va AA' + CC = BB' + DD'.
Gidi
t
a) Ta CO Ax // Dt =^ Ax // (Cz, Dt)
AB // DC => AB // (Cz, Dt)
y
Vi mp(Ax, By) chiia 2 duong thang Ax,
AB cat nhau ciing song song voi (Cy, Dt)
B
p cnen (Ax, By) // (Cz, Dt).
Tuong tu (Ax, Dt) // (By, Cz).
b) Mat phang (a) cat 2 cap mat phang
song song (Ax, By) va (Cz, Dt); (Ax, Dt) va
(By, Cz) theo cac giao tuyln A'B' // D'C,
A'D' // B'C nen A'B'C'D' la hinh binh hanh.

Goi O, O' ikn lugt la tarn cac hinh binh hanh ABCD, A'B'C'D'.
/

/

Ta CO 0 0 ' la duong trung binh cua hinh thang AA'C'C nen c6: 0 0 ' =
Tuong tu 0 0 ' =

AA'+CC

BB'+DD'

Vay AA' + CC = BB' + DD'.
Bai toan 6: Cho lang tru tam giac A'B'C'.ABC. Goi 1, G va K \hn lugt la trong
tam cua tam giac ABC, A C C va A'B'C. Chung minh:
a) (IGK) // (BB'C'C)
b) (A'GK) // (AIB').
Hu&ng dan gidi
a) Goi M va M ' tuong ung la trung diem cua AC va A'C.
Theo tinh chat trong tam cua tam giac ta c6:
MI
MG
= - => IG // B C ^ IG // (BB'CC).
MB

M'B'

MB

MC

M'K

MI

22


va MM' // BB' => IK // BB'.
IK // (BB'C'C).
Vay (IGK) // (BB'C'C).
b) Goi E va F tuong ung la trung diem cua BC va B'C
B'E // CF => B'E // (A'CF). Ma AE // A'F ^ AF // (A'CF).
Do do (AEB') // (A'CF)) hay (AIB') // (A'GK).
Bai toan 7: Cho hinh hop thoi ABCD.A'B'C'D' c6 th ca cac canh dSu bSng nhau.
Tren AB, DD', C'B' liy ba dikm M , N , P sao cho A M = D'N = B'P. Chung
minh rang mp(MNP) song song mp(AB'D').
Giai
Vi cac canh cua hinh hop bang nhau
^'^
va A M = D'N = B'P nen MB = PC = ND.
, BM CP
MB M A AB
Fa co:
=
=>
=
=
MA
PB'
PC

PB' C'B'
Theo dinh li Ta let dao, cac duong thang BC, MP, AB'
Cling song song voi mot mat phang hay MP // mp(AB'D').
Tuong tu thi dugc MN // mp(AB'D'). Vay mp(MNP) // mp(AB'D')
Bai toan 8: Chung minh rSng tong binh phuomg tat ca cac duong cheo cua mot
hinh hop bang tong binh phuong tat ca cac canh cua hinh hop do.
Gidi
Ta biet trong mot hinh binh hanh, tong binh phuong hai duong cheo bang tong
binh phuong bon canh.
Vai hinh hop ABCD.A'B'C'D'.
Ap dung d6i vai 2 hinh binh hanh ACCA' va BDD'B'
AC^ + CA'^ = 2(AC^ + AA'^)
va BD'^ + DB'^ = 2(BD^ + BB'^)
Nen AC'^ + CA'^ + BD'^ + DB'^- 2 [ ( A d + BD^) + (AA'^ + BB"^)]
= 2[(2(AB^ + AD^) + 2AA'^] = 4(AB^ + AD^ + AA'^)
Vi 12 canh hinh hop chia lam 3 nhom song song va bang nhau => dpcm.
Bai toan 9: Cho hinh chop S.ABCD c6 day la hinh binh hanh. Mot mat phang (P) Ian
lugt cat cac canh SA, SB, SC tai A', B', C. Goi O la giao dikm cua AC va BD; I la
giao diem cua A'C va SO. Goi D' la giao diem cua mp(P) voi canh SD.
nu• u rang SA + SC
Chung mmh
SA' SC

SB

SD

-+ -

SD'

Gidi
Trong mp(SAC), A ' C ck SO tai I. Trong mp(SBD), B'l cat SD tai D'.
Khi do D' chinh la giao diem cua mp(P) voi SD.
SB'

23


Trong mp(SAC), ve AE // A ' C c4t SO tai E; ve CF // A ' C ck SO tai F.
SA SE SO-OE

Ta c6:

SA'
SC

SI
SF

SI
SO + OF

SC SI
SI
Vi O la trung diem cua AC va AE // CF,
nen OE = OF.
„
SA SC 2SO
Suy ra:
H

=
SA' SC
SI
,
SB SD 2S0
Tuong tu:
+
SI
SB' SD'
SA SC
SB SD
Vay:
+ + SA' SC SB' SD'
Bai toan 10: Cho mot hinh chop S.ABCD c6 day ABCD la mot hinh binh hanh
tarn O. Goi M , N , P Ian lugt la trung diem cua SA, BC, CD. Dung thiSt dien
cua hinh chop khi cat bai mp(MNP) va tim giao diem cua SO va (MNP).
Gidi
Duong thing NP cSt A D tai I va ck AB tai J,
M I cat SD tai K; MJ ck SB tai L.
N6i NL. PK thi t h i ^ dien la ngu giac MLNPK.
Trong mp(ABCD), AC ck NP tai E.
Trong mp(SAC), SO ck ME tai H thi H la
giao diem cua SO vai mp(MNP).

Bai toan 11: Cho hinh chop S.ABCD c6 day la hinh binh hanh. Xac dinh thi^t
dien ciia hinh chop khi cat bai mat phang di qua trung diem M cua canh AB,
song song vai BD va SA.
Gidi
Qua M ve duong thang song song vai BD cat A D
tai N va cat AC tai I . Qua M , I , N ve cac duong thing

song song vai SA lAn lugt ck SB, SC, SD tai R, Q, P.
Thiet dien la ngu giac MNPQR.
Cach khac: Tim giao diem Q cua mat phang cat vai
canh SC bang each noi giao diem J cua M N va BC
vai R va keo dai cat SC tai Q.

24


Bai toan 12: Cho hinh lang tru tarn giac ABC.A'B'C. Goi H la trung diem cua
canh A'B'.
a) Chung minh rang duong thang CB' song song voi mp(AHC').
b) Tim giao tuyen d cua hai mat phang (AB'C) va (A'BC). Chung minh rang d
song song voi mp(BB'C'C). Xac dinh thiet dien cat bai mp(H; d).
Giai
a) Goi I la tarn cua hinh binh hanh AA'C'C.
Xet tarn giac A'B'C thi HI la mot duong trung binh
cua no, nen CB' // HI. Mat khac HI nSm trong mat
phdng (AHC) nen CB' // mp(AHC').
b) Goi J la tam cua hinh binh hanh AA'B'B.
Ta CO I , J la hai diem chung cua hai mat phang
(AB'C) va (A'BC). Vay giao tuyen d cua chiing
la ducmg thSng IJ. Vi d // B'C nen d // (BB'CC).
Duong thang HJ ci\B tai M .
Ta CO A A' // HM, suy ra A A' // mp(H; d) nen
mp(AA'C'C) cat mp(H; d) theo giao tuyin qua I
va song song voi AA'.
Giao tuyen nay cat AC va A'Clan luot tai N va E. Vay thiet dien la hinh binh
hanh MNEH.

BAI TAP T O N G HOP
Bai tap 1: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh hai khoi tu dien boi mot mat phang.
HD-DS
Ket qua Chon mat phang qua mot canh va cit mat d6i dien.
Bai tap 2: Cho ba doan A A ' , B B \C nam tren 3 duong thang song song va khong
d6ng phang sao cho: AA" < BB' < C C . Hay chia hinh da dien A B C A ' B ' C thanh
mot hinh chop va mot hinh lang tru.
HDDS
Qua miit cua doan ngan nhat A A ' , ve mat phang song song voi mat day kia.
Bai tap 3: Cho khoil da dien loi H. ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so
mat cua H thi s6 x(H) = D - C + M = 2.
Chung minh tong so do caq goc cua cac mat la T = 2(C - M)7r.
HD-DS
Goi Cj la so canh cua mat thu i, i = 1, 2,...,M
M

Tac6T=X(C,-2)K=

/ M

J^C^-IU

71 = (2C - 2M)7r = 2(C - M)7i.

V i=l

25