Một số dạng bài và phương pháp giải trong chủ đề phương trình lượng giác một ẩn

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
⋯⋞⋯⋟⋯
RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
THƯỜNG XUYÊN 3
Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Sinh viên thực hiện: Lê Lam Anh
Lớp: Toán 3B





Huế, tháng 11 năm 2013
2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3
MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4
I. Phương trình cơ bản: 4
II. Phương trình dạng
asin cosx b x c
(1) với
,,a b c R
7
III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 10

IV. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx: 15
V. Phương trình bậc cao: 18
VI. Phương trình chứa căn: 20
VII. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 23
VIII. Phương trình lượng giác không mẫu mực: 26
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35



3

LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình lượng giác là một chủ đề thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại
học và cao đẳng. Tuy không phải là một chủ đề quá khó đối với học sinh,
phương trình lượng giác là một trong những chủ đề có khối lượng lớn, nhiều
dạng bài, gây khó khăn cho học sinh trong việc ôn tập một cách đầy đủ và có hệ
thống. Đề tài này trình bày một số dạng bài phương trình lượng giác thường gặp
và phương pháp giải cơ bản. Qua đó, giáo viên có thể giúp học sinh ôn tập một
cách có hệ thống phần phương trình lượng giác để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh
đại học và cao đẳng.
Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi phương trình cần giải về một
hay một tập hợp các phương trình cơ bản. Trước hết ta cần nhận dạng được
phương trình:
1) Nếu phương trình ở dạng chuẩn mực (cơ bản, bậc 1,2 đối với một hám lượng
giác, cổ điển, đối xứng, đẳng cấp …), ta chọn cách giải tương ứng với mỗi
phương trình đó.
2) Nếu phương trình không ở dạng chuẩn mực, ta dùng các phép biến đổi lượng
giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn.
Sau đây là một số dạng bài và phương pháp giải cơ bản.

4

MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Phương trình cơ bản:
 Giả sử u,v là những biểu thức theo . Ta có:
 
2
sin sin
2
u v k
u v k
u v k




  

  


 
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k





  

  


 
1
12
2
,
tan tan ,
2
u v k
u v k k
u v k






  




1

12
2
,
cot cot ( , )
u v k
u v k k
u v k




  




 Áp dụng: giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
a)
 
asin 0 0 sin
b
u b a u
a
     

 
1


1

b
a

: phương trình vô nghiệm

1
b
a

: đặt
sin
b
a



;
22










 
1 sin sinu




b)
 
cos 0 0a u b a  
giải tương tự (1)
c)
 
2
tan 0 0
tan
uk
a u b a
b
u
a






   





(2)

Đặt
tan
b
a



( ; )
22







(2)
2
tan tan
uk
u













()k 

5

d)
cot 0a u b

( 0)a 

cot
uk
b
u
a










()k 

Đặt

cot
b
a



 
( 0; )


,làm tương tự (2).
 Chú ý:
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số, nhất thiết
phải đặt điều kiện xác định cho phương trình. Do đó, khi tìm được
nghiệm phai kiểm tra điều kiện .
 Các ví dụ:
VD1:Giải phương trình sau:

  
2
1 cos 2sin cos sinx x x x  

(1)

Giải:

  
     
  
  

2
(1) 1 cos 2sin cos 1 cos
1 cos 2sin cos 1 cos 1 cos
1 cos 2sin cos 1 cos 0
1 cos 2sin 1 0
cos 1 cos
1
sin sin
26
2
2
( , , )
6
5
2
6
2
2
6
5
2
6
x x x
x x x x
x x x x
xx
x
x
xk
xl

k l m
xm
xk
xl
xm












    
     
     
   
  

























  

 
,,k l m










6

VD2: Giải phương trình:

tan2 tan3 tan5 tan2 .tan3 .tan5x x x x x x  

 
2

Giải:
Điều kiện xác định:
cos2 0
cos3 0
cos5 0
x
x
x










 
(2) tan2 tan3 tan5 tan2 .tan3 1x x x x x   

 


Nếu
tan2 .tan3 1 0xx
thì vế phải của (*) bằng 0, suy ra vế trái của(*) bằng 0,
tức là
tan2 tan3xx
, lúc đó:

2
1 tan 2 1 tan2 .tan3 0x x x   
(mâu thuẫn)
Vậy ta có:
tan2 .tan3 1 0xx
, suy ra:
 
 
tan 2 tan3
tan5
1 tan 2 .tan3
tan5 tan
5
6
,
6
xx
x
xx
xx

x x k
xk
k
xk




  

  
   

  

So sánh điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình:

,
3
k
xk




7

II. Phương trình dạng
asin cosx b x c
(1) với

,,a b c R

1. Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c
(2)
2. Phương pháp chung:
Với điều kiện (2) được thỏa mãn,ta có:

0abc  
:(1) có tập nghiệm là R

0, 0ab

(1) cosb x c

0, 0ab

(1) asin xc


0, 0, 0abc  
:
(1) asin cos 0 tan 0x b x a x b     


0, 0, 0abc  
:
 Cách 1:chia 2 vế của (1) cho
22

ab
, ta có:
 
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
(1) sin cos
sin cos cos sin
cos ,sin
sin
a b c
xx
a b a b a b
c
xx
ab
ab
a b a b
c
x
ab



  
  
  







  


 Cách 2:
 Với
2,x k k

  
, đặt
tan
2
x
t 

 
 
2
22
2
1
2
(1)
11
20
bt
at

c
tt
b c t at c b

  

     

 Với
2xk


, ta thay vào phương trình (1) xem có phải là
nghiệm hay không.
3. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
sin 3 2 cos 1xx  
(1)
Giải:
Nhận xét:
2xk


không phải là nghiệm của phương trình (1).
8

Đặt
tan
2

x
t 
, ta có:
 
 
2
22
2
21
(1) 3 2 1
11
1 3 2 3 3 0
1
33
3
13
24
( , )
23
tt
tt
tt
t
t
x
k
kl
x
l






   

     




















2
2
( , )

2
2
3
xk
kl
xl














Nhận xét:
Đây là bài toán dạng
sin cosa x b x c
với
0, 0, 0abc  
. Tuy nhiên
ta nhận thấy nếu dùng cách1 ta sẽ được một biểu thức khá phức tạp, do đó ta
dùng cách2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
  

2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x   
(khối D-2004)
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
  
    
  
  
2cos 1 2sin cos 2sin cos sin
2cos 1 2sin cos sin 2cos 1
2cos 1 2sin cos sin 0
2cos 1 sin cos 0
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
   
    
    
   

9

 
1
cos
2
sin cos 0
2
1

3
cos ,
2
2
3
x
xx
xk
x k l
xl














   


  



sin cos 0 sin cos cos sin 0
44
sin 0
4
4
,
4
x x x x
x
xk
x k k






     

  


  
    

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
2,
34
x k x l



     

 
,kl

Nhận xét:
Với bài toán này ta dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về việc giải hai
phương trình đơn giản hơn: một phương trình có dạng
cosxm
và một phương
trình dạng
sin cosa x b x c
với
1, 0a b c  
. Việc giải bài toán trở nên đơn
giản hơn vì ta đã đưa về giải hai bài toán con đã được thiết lập thuật toán.

10

III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
1. Phương pháp chung:
Có nhiều dạng bài có thể áp dụng phương pháp này, sau đây là một số dạng bài và
cách đặt ẩn phụ:
 Phương trình chứa
cos sinxx
(hay
cos sinxx
) và

sin cosxx
:
 Phương trình chứa
cos sinxx
(hay
cos sinxx
) và
sin cosxx
:
Đặt
cos sin , 2t x x t  
(hay
cos sin ,0 2t x x t   
), khi đó
2
1
sin cos
2
t
xx


, ta chuyển về giải phương trình theo biến
tR
.
 Phương trình chứa
cos sinxx
(hay
cos sinxx
) và

sin cosxx
:
Đặt
cos sin , 2t x x t  
(hay
cos sin ,0 2t x x t   
), khi đó
2
1
sin cos
2
t
xx


, ta chuyển về giải phương trình theo biến
tR
.
 Phương trình một ẩn đối với một hàm lượng giác duy nhất:
Đặt t bằng hàm lượng giác đó, tìm tập giá trị của t, chuyển bài toán về giải
phương trình theo biến t với tập xác định chính là tập giá trị của t.
 Phương trình chứa
sin ,cos ,tanx x x
:
Đặt
tan
2
x
t 
,khi đó:

2
2 2 2
2 1 2
sin ,cos ,tan
1 1 1
t t t
x x x
t t t

  
  
, ta chuyển về giải phương trình đại
số theo biến
tR
.
Chú ý: với dạng bài này,trước hết ta cần kiểm tra
2,x k k

  
có phải
là nghiệm không, đưa ra kết luận cho trường hợp này, sau đó mới tiến hành đặt
ẩn phụ như trên.
 Phương trình chứa các số hạng có dạng:
2
2
11
( ) , ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x


với
()fx
là biểu thức chứa các hàm lượng giác.
Đặt
1
()
()
t f x
fx

, khi đó:
2
2
1
( ) 2
()
f x t
fx

, ta chuyển về giải phương
trình đại số theo biến
tR
.
11

Chú ý: với dạng bài này ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình, đó là
( ) 0fx
.
2. Một số ví dụ:

Ví dụ 1:giải phương trình:
sin cos 4sin2 1x x x  
(1)
Giải:
Đặt
sin cos ,0 2x x t t   
. Khi đó:
2
sin2 2sin cos 1x x x t  
. Ta có:
 
2
2
4 1 1
4 3 0
(1)
02
02
1
3
4
02
1
sin 2 0
2
,
2
tt
tt
t

t
t
t
t
t
x
xk
k
xk



  

  



























  

Ví dụ 2: Giải phương trình:
cos3 cos2 cos 1 0x x x   
(khối D-2006).
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
32
32
32
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
4cos 2cos 4cos 2 0
2cos cos 2cos 1 0
x x x x
x x x
x x x
     
    
    

Đặt
cos , 1t x t
, khi đó phương trình ở trên tương đương với:
   
32
2
2 2 1 0
1
2 1 2 1 0
1
t t t
t
t t t
t

   






   







12

 
 
2
2 1 1 0
1
1
2
1
1 1 2
cos 2 ,
2 2 3
1 cos 1 ,
tt
t
t
t
t x x k k
t x x k k




  














          
       

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
2
2 , ( , )
3
x k x l k l


    
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
  
(khối B-2003).
Giải:

Điều kiện xác định:
sin 0
cos 0
sin 2 0
x
x
x








.
Đặt
 
tan , \ 0t x t R
, phương trình đã cho tương đương với:
 
 
 
2
2
22
2
22
2
2

2
2 2 2
2
42
22
1 2 2
4.
2
1
1
1 8 1
1
1 1 8
0
1
28
0
1
14
0
1
30
30
t
t
t
tt
t
t t t
t t t

t t t
t t t
tt
tt
t t t
tt
tt
tt
  



  


   


  

  


  
  

13

3t  
(vì

0t 
)
tan 3x  

,
3
x k k


    
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
,
3
x k k


   
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
2
1
tan cot cot 5 0
cos
x x x
x
    
.
Giải:

Điều kiện xác định:
cos 0
sin 0
x
x






Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
2
2
2
2
11
tan 1 tan 5 0
tan tan
11
tan tan 4 0
tan tan
xx
xx
xx
xx
     
   
     
   

   

Đặt
1
tan
tan
tx
x

, phương trình trên trở thành:
2
2
2 4 0
60
2
3
tt
tt
t
t
   
   







22

1
2 tan 2
tan
sin cos
2
cos sin
sin cos 2sin cos
sin 2 1
22
2
,
4
tx
x
xx
xx
x x x x
x
xk
x k k




    
  
  

  
   

14

22
1
3 tan 3
tan
sin cos
3
cos sin
sin cos 3sin cos
2
sin 2
3
tx
x
xx
xx
x x x x
x
      
   
   
  

2
2 arcsin 2
3
2
2 arcsin 2

3
12
arcsin
23
( , )
12
arcsin
23
xk
xl
xk
kl
xl






  







   







  








   







Đối chiếu điều kiện xác định ta có các nghiệm
1 2 1 2
; arcsin ; arcsin
4 2 3 2 3
x k x l x m

   

   

        
   

   

,
,,k l m
.
Với các bài toán trên, tùy vào từng bài toán ta chọn cách đặt ẩn phụ sao cho
phù hợp để việc giải toán được thuận lợi nhất.

15

IV. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx:
1. Dạng:
22
sin sin cos cosa x b x x c x d  
(1)
2. Phương pháp chung:
 Cách 1: Đưa về phương trình bậc 2 theo
tan x
:
 Kiểm tra xem
,
2
x k k


  
có phải là nghiệm của (1) không. Ta có:

2
xk



là nghiệm của (1)
0ad  
.
 Xét
,
2
x k k


  
,chia 2 vế của (1) cho
2
cos x
,ta có:
 
 
22
2
(1) tan tan 1 tan
tan tan 0
a x b x c d x
a d x b x c d
    
     

 Cách 2: Đưa về phương trình bậc nhất theo
sin2 ,cos2xx
:
Dùng công thức:
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1
sin cos sin 2
2
x
x
x
x
x x x
















xR

Phương trình đã cho tương đương với:
cos2 sin2
2 2 2
c a b a c
x x d

  

3. Ví dụ:
Giải phương trình:
 
2
3sin 3 3 sin cos 3cos 0x x x x   
với
 
0,2x


.
Giải:
Nhận xét:
,
2

x k k


  
không là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho tương đương với:
16

 
 
2
3tan 3 3 tan 3 0
tan 1
3
tan
3
4
( , )
6
4
0,2
02
4
1
02
4
17
44
0
1

xx
x
x
xk
kl
xl
xk
x
k
k
k
k
k
k
k
k









   



























  








  







  













Trường hợp này phương trình có đúng 2 nghiệm
 
5
, 0,2
44
xx



  
.
 
,
6
0,2
02
6
x l l
x
l
l






  







  








17

1
02
6
1 11
66
0
1
l
l
l
l
l
l

  







  














Trường hợp này phương trình có đúng 2 nghiệm
 
7
, 0,2
66
xx


  
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn
 
0,2

là
57
, , ,
4 4 6 6

x x x x
   
   
.
Với dạng toán này, ta cần hết sức chú ý để tránh thiếu nghiệm
,
2
x k k


  


18


V. Phương trình bậc cao:
1. Phương pháp chung:
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Tùy vào
từng bài toán mà ta đưa ra những cách làm khác nhau. Nhưng nhìn chung,với các
bài toán loại này, ta thường dùng các công thức lượng giác để hạ bậc, đưa bài toán
về giải quyết các bài toán đơn giản hơn. Ta thường sử dụng các công thức sau:
 
 
22
2
2
cos sin 1
1
cos 1 cos2

2
1
sin 1 cos2
2
xx
xx
xx




 
3
1
cos 3cos cos3
4
x x x

 
3
1
sin 3sin sin3
4
x x x

2
1 cos2
tan , ,
1 cos2 2
x

x x k k
x



   


Kết hợp với các công thức biến đổi đại số đã biết.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  
(khối B-2008).
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
   
 
 
 
2 2 2 2
22
sin sin cos 3cos sin cos 0
sin cos sin 3cos 0
cos2 sin 3cos 0
cos2 0
sin 3cos 0
x x x x x x
x x x x

x x x
x
xx
   
   
   







19

2
2
2sin 0
3
42
3
42
( , )
3
xk
x
k
x
xl
xk

kl
xl





































  



Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
66
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x



(khối A-2006).
Giải:
Điều kiện xác định:
2
sin
2
x 

.
Với điều kiện đó,phương trình đã cho tương đương với:
 
   
66
3
2 2 2 2 2 2
22
2 cos sin sin cos 0
2 cos sin 3sin cos sin cos sin cos 0
2 1 3sin cos sin cos 0
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
  

     



   


 
22
2
6sin cos sin cos 2 0
31
sin 2 sin 2 2 0
22

34
sin 2 1 sin 2 0
23
x x x x
xx
xx
   
   

   



sin2 1x
(vì
4
sin2
3
x x R   
)

20

VI. Phương trình chứa căn:
1. Phương pháp chung:
Ta cần chú ý các dạng cơ bản sau:
   
 
   
   

 
   
2
0
0
gx
f x g x
f x g x
fx
f x g x
f x g x



















Khi giải phương trình lượng giác chứa căn, ta vận dụng các phép biến đổi lượng
giác và đại số để làm mất dấu căn thức có mặt trong phương trình đã cho,vì vậy:
ta thử xem phương trình có nằm trong dạng cơ bản không, nếu không ta bình
phương 2 vế (lũy thừa bậc n=3,4,… hai vế) và trong quá trình lũy thừa bậc chẵn
hai vế phải kèm theo điều kiện các biểu thức nằm bên trong dấu căn không âm và
phải đảm bảo hai vế luôn cùng dấu.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: giải phương trình:
2
sin 2sin 2 2sin 1x x x   

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
22
2
2sin 1 0
sin 2sin 2 4sin 4sin 1
1
sin
2
3sin 2sin 1 0
1
sin
2
sin 1
1
sin
3
sin 1 2 ,
2

x
x x x x
x
xx
x
x
x
x x k k





    







  

















     

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2,
2
x k k


  
.
21

Ví dụ 2: giải phương trình:
cos2 1 sin2 2 sin cosx x x x   

Giải:
Điều kiện xác định:
sin cos 0 sin cos 0
cos2 0 sin cos 0
x x x x
x x x
   




  


Phương trình đã cho tương đương với:
    
 
2
cos sin cos sin cos sin 2 sin cos
sin cos cos sin sin cos 2 0
cos sin 0
cos sin sin cos 2 0
cos sin 0
2 cos 0
4
42
x x x x x x x x
x x x x x x
xx
x x x x
xx
x
xk



     
      




    

  

  


   

3
,
4
x k k


   
(thỏa mãn điều kiện xác định).
  
22
2
22
2
cos sin sin cos 2 0
cos sin sin cos 2 cos sin 4
cos2 2 cos
cos2 4 4cos cos
2cos 1 4 4cos cos

cos 4cos 5 0
cos 1 cos 5 0
cos 1
x x x x
x x x x x x
xx
x x x
x x x
xx
xx
x
     
      
  
   
    
   
   


2,x l l

  
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
3
4
xk




,
2xl


,
,kl
.
Ví dụ 3: giải phương trình:
3 4cos2 2cosxx

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
22

 
2
2
2cos 0
3 4cos2 2cos
cos 0
4 2cos 1 2cos 3 0
cos 0
8cos 2cos 1 0
cos 0
1
cos
2
1
cos

4
1
cos
2
2,
3
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x k k












   







  



















    

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2,

3
x k k


   
.
Với phương trình chứa căn, ta cần chú ý điều kiện để phương trình xác định,
tránh trường hợp thừa nghiệm.

23

VII. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Phương pháp chung:
Ta chú ý các dạng cơ bản sau:

,0
,0
AA
A
AA








A B A B   


22
0
0
B
B
AB
AB
AB




  






2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: giải phương trình:
cos 2sin2 cos3 1 2sin cos2x x x x x    

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
   
   
   
 

 
2
2
cos cos3 2sin 2 1 cos2 2sin
2sin 2 sin 2sin 2 2sin 2sin
sin 2 sin 1 sin sin 1
sin 2 sin 1 sin sin 1 0
sin 1 sin 2 sin 0
sin 1
sin 2 sin
sin 1 2 ,
2
sin 2 sin
sin 0
sin 2 sin
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
xx
x x k k
xx
x
x


    
   

   
    
   






       




2
2 2 2
sin 0
4sin cos sin 0
x
x
x x x










24

 
22
2
sin 0
sin 4cos 1 0
sin 0
sin 0
3 4sin 0
x
xx
x
x
x






















sin 0
sin 0
3
sin
2
sin 0
3
sin
2
2 ( , , )
3
2
2
3
x
x
x
x
x
xl
x m l m n
xn




































   






Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
2
2
xk


  
,
xl


,
2
3
xm



,
2

2
3
xn



(
, , ,k l m n
).
Ví dụ 2: giải phương trình:
1
cot tan
sin
xx
x


Giải:
Điều kiện xác định:
sin 0
,
cos 0
2
x
k
xk
x




  




Phương trình đã cho tương đương với:
25

22
2
cot 0
(1)
1
cot tan
sin
cot 0
(2)
1
cot tan
sin
cot 0
(1)
cos sin 1
sin cos sin
cot 0
cos sin cos
cot 0
2cos cos 1 0
x
xx

x
x
xx
x
x
xx
x x x
x
x x x
x
xx

















  























  


cos 1
1
cos
2
cot 0
1

cos
2
cot 0
2
2
3
cot 0
x
x
x
x
x
xl
x


























  







2
2,
3
x l l


    

cot 0
(2)
cos sin 1
sin cos sin
x

xx
x x x





  



cot 0
cos 1
x
x





(loại do điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
2
2,
3
x l l


   