Các bài tập về vecto riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận và lời giải

Nguyễn Thị Vân

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI 4
"Mathematics is like love, a simple idea, but it can get complicated."
PHẦN 7:
+ Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng
+ Chéo hoá ma trận
+ Ứng dụng của chéo hóa ma trận trong việc tính lũy thừa ma trận.

1. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của mỗi ma trận dưới đây:
3
4

2
;
1

3
1

−1
;
1

1
−2

1
;
3

1
0
0

2
3
5

1
1
−1

;

−2
1
0

0
0
1

1
−1 ;
−1

Đs: + Giá trị riêng là: 5, -1 các vectơ riêng tương ứng: (1, 1); (1, -2)
+ Giá trị riêng là: 2; vectơ riêng là: (1, 1)
+ Chỉ có giá trị riêng là số phức: 2+ i, 2 - i; các vectơ riêng tương ứng là (1,1+i), (1, 1- i)
+ Các giá trị riêng là: 1, 4, -2 các vectơ riêng (1, 0, 0), (1,1,1), (-1, -1, 5)

+ Giá trị riêng là -1, vectơ riêng (1, 0, 1);
2.(5T337) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B và A + B :
⎡1 0⎤
A=⎢
⎥,
⎣1 1 ⎦

⎡1 1⎤
⎡2 1⎤
và A + B = ⎢
B=⎢
⎥
⎥.
⎣0 1⎦
⎣1 2 ⎦

Giá trị riêng của A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B?
Đs: A có giá trị riêng là λ = 1, B có giá trị riêng là λ = 1, A + B có giá trị riêng các là: 1; 3.
⎡1 4 ⎤
3. (2T337) (a) Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A = ⎢
⎥
⎣2 3⎦

(b) Điền vào chỗ trống
(+) A + I có các _______như A. Các giá trị riêng của nó bằng ______ với 1.
1



Nguyễn Thị Vân

−1

(+) A có các ________ như A . Các giá trị riêng là ________
(+) A2009 − 2 A + I có các ________ như A . Các giá trị riêng là ________
Đs: (a) λ = -1, vectơ riêng tương ứng: (-2, 1) ; λ =5, vectơ riêng tương ứng (1, -1)
⎡1 1 ⎤
4. Cho ma trận A = ⎢
. Tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận A4 + A + 2I .
⎥
⎣2 2⎦

Đs: 2, 86
5. ( 6T337) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B, AB và BA:
⎡1 0⎤
A=⎢
⎥,
1
1
⎣
⎦

⎡1 1⎤
⎡1 1 ⎤
⎡2 1⎤
, AB = ⎢
và BA = ⎢
B=⎢
⎥
⎥
⎥.

0
1
1
2
1
2
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦

Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A nhân với các giá trị riêng của B.
Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của BA?
Đs: Các giá trị riêng của AB và BA đều là:

!! ! !! !
!

;

!

⎡2 2 2⎤
C = ⎢⎢ 2 2 2 ⎥⎥
⎢⎣ 2 2 2 ⎥⎦

6. Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận

Đs: Ma trận C có đủ 3 vecto riêng độc lập tuyến tính nên chéo hóa được.
⎡2 1⎤
7. Chéo hoá ma trận A và tính A2009 với A = ⎢
⎥
⎣1 2 ⎦

Đs: A có các giá trị riêng là 1 và 3. Với các vecto riêng tương ứng là (-1, 1) và (1, 1)
𝐴!""# =

1 3!""# + 1
2 3!""# − 1

3!""# − 1
3!""# + 1

⎡2 4⎤
−1
8. Cho ma trận A = ⎢
⎥ . Phân tích A thành S ΛS
1
5
⎣
⎦

9. Chéo hoá ma trận B và tính S Λ k S −1 để chứng minh công thức tính Bk sau đây
⎡3k
⎡3 1 ⎤
k
có
B=⎢

B
=
⎢
⎥
⎣0 2 ⎦
⎣0
k

Đs:

⎡1 1 ⎤ ⎡3 0⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡3k
B =⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎣0 −1⎦ ⎣0 2⎦ ⎣0 −1⎦ ⎣ 0
k

3k − 2k ⎤
⎥.
2k ⎦

3k − 2k ⎤
⎥.
2k ⎦

2

Nguyễn Thị Vân

PHẦN 8
+ Tính trực giao của bốn không gian tuyến tính.
+ Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn và phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt.
10. Cho hai vecto x = (-1, -1, 1, 1) và y = (1, 1, 5, -3). Chứng minh rằng x và y là trực giao.
Tính ||x||, ||y||.
11. (17.t236) (a) Cho S là không gian con của R3 chỉ chứa vectơ không, hãy tìm S⊥.
(b) Cho S là không gian con được sinh bởi (1, 1, 1), hãy tìm S⊥.
(c) Cho S là không gian con được sinh bởi (2, 0, 0) và (0, 0, 3), hãy tìm S⊥.
Đs: (a) S⊥ = R3 ;
(b) A = [1 1 1] ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có cơ sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)};
⎡2 0 0 ⎤
(c) A = ⎢
⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có cơ sở là: {(0,1,0)}.
⎥
⎣0 0 3 ⎦

12. Cho S là không gian sinh bởi 2 véc tơ (1,2,3) và (0,1,2). Tìm cơ sở và số chiều của không
gian S ⊥
Đs: Cơ sở của S ⊥ là {(1, - 2, 1)}.

dim S ⊥ =1

13. Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình x – 3y – 4z = 0.
(a) Tìm một cơ sở của P.
(b) Tìm một vectơ u∈P và một vectơ v∈ P⊥ sao cho u + v = (6, 4, 5)
Đs: (a) s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1)

⎡7 ⎤

⎡ −1⎤
(b) u = ⎢1 ⎥ ; v = ⎢ 3 ⎥ .
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
14. Cho các vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, −2). Ký hiệu W là không gian con của R4
gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2.
(a) Hãy tìm W⊥.

(b) Tính số chiều của W⊥.

⎡1 0 − 2 1 ⎤
T
⊥
⊥
Đs: AT = ⎢
⎥ ; Ta thấy W = C(A) nên W =N( A ). Số chiều của W bằng 2.
0
1
3
−
2
⎣
⎦

16. (18.t280) Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ a, b ,
3

Nguyễn Thị Vân

c:
a = (1, −1, 0, 0)

b = (0, 1, −1, 0)

c = (0, 0, 1, −1).

Đs: (+) A = (1, -1, 0, 0); B = (1/2, 1/2, -1, 0); C = (1/3, 1/3, 1/3, -1).
16. Cho các vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0)
(a) Chứng minh rằng v1, v2, v3 độc lập tuyến tính.
(b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ
{v1, v2, v3}.
17. S là không gian nghiệm của phương trình: x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 0
(a) Tìm một cơ sở của S? Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng cơ sở trực giao từ
cơ sở đó.
(b) Tìm một cơ sở của phần bù trực giao S ⊥ ?
Đs:
(a)

Cơ sở của S là

{ ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) }

Cơ sở trực giao của S là

( −2,1,0,0 );

( )

b) Cơ sở của S ⊥ = C AT

⎛1 2
⎞ ⎛1 1 1 ⎞
⎜ , , 1, 0 ⎟ ; ⎜ , , − , 1⎟
⎝5 5
⎠ ⎝6 3 6 ⎠

⎡1 ⎤
⎢2 ⎥
là ⎢ ⎥
⎢ −1⎥
⎢ ⎥
⎣ −1⎦

⎡1 2 4 ⎤
18. Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian cột của ma trận A = ⎢0 0 5⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 3 6 ⎥⎦

!"
!
u
Đs: Cơ sở trực chuẩn của C(A) là !"1 = (1,0,0 ) ;
u1

!"

!
u2
!"
! = ( 0, 0, 1) ;
u2

!"
!
u3
!"
! = ( 0, 1, 0 )
u3

HƯỚNG DẪN GIẢI:
det( A − λ I ) = 0 ⇔ (1 − λ ) 2 = 0 ⇔ λ = 1;

2

* det( B − λ I ) = 0 ⇔ (1 − λ )2 = 0 ⇔ λ = 1;
det( A + B − λ I ) = 0 ⇔ (2 − λ ) 2 − 1 = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3.
4




Nguyễn Thị Vân

* Giá trị riêng của A + B không bằng giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B.
3. Các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(A - λ I) = 0.
+ det( A − λ I ) =

1− λ
4
= λ 2 − 4λ − 5 = 0 ⇔ λ = −1; λ = 5 .
2 3−λ

⎡ 2 4 ⎤⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ −2 ⎤
λ = −1 : ( A − (−1)I ) = ⎢
⎥=⎢
⎥⎢
⎥→ x= ⎢
⎥;
y
2
4
0
1
⎢
⎥
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦
⎦ ⎣

⎡-4 4 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤
λ = 5 : ( A − 5I ) x = ⎢
⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x =

⎣ 2 −2⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0⎦

⎡1⎤
y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0).
⎣-1⎦

Các giá trị riêng của A + I là nghiệm của phương trình det(A+ I - λ I) = 0.
+ det( A + I − λ I ) =

2−λ
4
= λ 2 − 6λ = 0 ⇔ λ = 0; λ = 6 .
2
4−λ

⎡ 2 4 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x =
⎣ 2 4 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦
⎡1⎤
λ = 6, x = y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0)
⎣-1⎦

λ = 0:⎢

⎡-2 ⎤
y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0);
⎣1⎦

A+I có các vectơ riêng chính là các vectơ riêng của A. Các giá trị riêng của nó bằng các giá
trị riêng của A cộng với 1.

4. det ( A − λ I ) = 0 → λ1 = 0; λ2 = 3

!
!
!
λ , v là các giá trị riêng và véc tơ riêng nên thỏa mãn Av = λ v
!
"!
!
4
4
Đặt µ = λ + λ + 2 ta có µ v = ( λ + λ + 2) v = A + A + 2I v nên µ = λ 4 + λ + 2 là
4

(

)

giá trị riêng của ma trận của A4 + A + 2I . Do đó µ1 = 2; µ2 = 86
5.

5



Nguyễn Thị Vân

det( A − λ I ) = 0 ⇔ (1 − λ ) = 0 ⇔ λ = 1;
2

*

det( B − λ I ) = 0 ⇔ (1 − λ ) 2 = 0 ⇔ λ = 1;
det( AB − λ I ) = 0 ⇔ λ 2 − 3λ + 1 = 0 ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / 2;
det( BA − λ I ) = 0 ⇔ λ 2 − 3λ + 1 = 0 ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / 2.

* Giá trị riêng của AB không bằng giá trị riêng của A nhân với các giá trị riêng của B. Giá
trị riêng của AB bằng giá trị riêng của BA.
2−λ
det(C − λ I ) = 0 ⇔ 2
2

6.

2
2−λ

2
2

2

2−λ

2
= 0 ⇔ λ = 0, λ = − .
3

⎡ − x2 − x3 ⎤
⎡ −1⎤

⎡ −1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
+λ = 0 : ( A − 0 I ) x = 0 ⇔ x = ⎢ x2 ⎥ = x2 ⎢ 1 ⎥ + x3 ⎢⎢ 0 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
2
2
+λ = − : ( A + I ) x = 0 ⇔ x = x1 ⎢⎢1⎥⎥ ( x1 ≠ 0)
3
3
⎢⎣1⎥⎦

( x2 x3 ≠ 0).

Ma trận C chéo hóa được vì có đủ 3 véc tơ riêng độc lập.
7. det( A − λ I ) = 2 − λ
1

det( A − λ I ) =

2−λ
1

1
= (2 − λ )2 − 1 = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3;

2−λ

1
= (2 − λ ) 2 − 1 = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3;
2−λ

⎡-1⎤
+λ = 1: x = ⎢ ⎥ ;
⎣1⎦
⎡1⎤
+λ = 3 : x = ⎢ ⎥ .
⎣1⎦
⎡ −1 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ −1/ 2 1/ 2 ⎤
⎡ −1 1⎤ ⎡12009
2009
A=⎢
⇒
A
=
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 1 1⎥ ⎢
⎣ 1 1⎦ ⎣0 3⎦ ⎣ 1/ 2 1/ 2 ⎦
⎣
⎦⎣ 0
A2009 =

0 ⎤ ⎡ −1/ 2 1/ 2 ⎤
⎥⎢

⎥
32009 ⎦ ⎣ 1/ 2 1/ 2 ⎦

1 ⎡1 + 32009 32009 − 1⎤
⎢
⎥.
2 ⎣32009 − 1 32009 + 1⎦

10. a) S⊥ = R3
6



b) A = [1 1 1] ⇒ S = C ( A ) ⇒ S = N ( A) có cơ sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)}
T

Nguyễn Thị Vân

⊥

⎡2 0 0 ⎤
c) A = ⎢
⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có cơ sở là: {(0,1,0)}
⎥
⎣0 0 3 ⎦

⎡1
12. A = ⎢⎢ 2
⎢⎣ 3

0⎤
1 ⎥⎥
2⎥⎦

S ⊥ = N ( AT )

⎡1 2 3 ⎤
AT = ⎢
⎥
⎣0 1 2⎦

AT y = 0 → x3 = 1 → x2 = −2 → x1 = 1

Vậy cơ sở của S ⊥ là {(1, - 2, 1)}. dim S ⊥ =1
13. a)Gọi A = [1 − 3

− 4] ⇒ Cơ sở của P= N(A ) gồm 2 nghiệm đặc biệt :

s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1)
⎡6 ⎤
⎡3 ⎤
⎡4⎤
⎡1 ⎤
b) P = C ( A ) có cơ sở là {(1,-3,-4)}. Từ ⎢ 4⎥ = a ⎢1 ⎥ + b ⎢0 ⎥ + c ⎢ −3⎥ suy ra a =1,b =1, c = -1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣5 ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦

⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ −4⎥⎦
⊥

T

⎡7 ⎤
⎡ −1⎤
⎢
⎥
Do đó u = 1 ; v = ⎢ 3 ⎥ .
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
14. Ta thấy W = C(A) nên W⊥ =N( AT ).
⎡1 0 − 2 1 ⎤
T
⊥
AT = ⎢
⎥ nên nghiệm tự do là x3 , x . Nghiệm đặc biệt của A là cơ sở của W
0
1
3
−
2
⎣
⎦
4

s1 = (2, −3,1,0); s2 = ( −1, 2,0,1) . Số chiều của W⊥. bằng 2.

15. +) a = (1, -1, 0, 0)
+) B = xA + b = (x, - x + 1, -1, 0)
B.A = 0 ⇒ 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2. Vậy B = (1/2, 1/2, -1, 0)
+) C= yA + zB + c = ( y + z/2, - y + z/2, - z + 1, -1)
CA = 0 và CB = 0 nên y = 0, z = 2/3. Vậy C = (1/3, 1/3, 1/3, -1)
7



Nguyễn Thị Vân

⎡1
⎢0
16. a) Xét ma trận A = [v1 ,v 2 ,v 3 ] = ⎢
⎢0
⎢
⎣0

2
1
0
0

3 ⎤
2 ⎥
⎥ . r(A) = 3 nên các véc tơ v1, v2, v3 độc
1 ⎥
⎥

0 ⎦

lập tuyến tính.
b)

!"
! !"
!
u1 = v1

!"
! T !"
!
!"
! !#
!
u1 . v 2 !!"
u2 = v 2 - !"
! T !"
! u1
u1 .u1
!"
! T !!"
!"
! T !"
!"
! !"
!
u1 . v 3 !"
u2 . v 3 !"

u3 = v 3 - !"
! T !"
! u1 - " T " u 2
u1 .u1
u 2 .u 2
17. (a) S = N ( A ) . Cơ sở của S là tập tất cả các nghiệm đặc biệt của phương trình.

{ ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) }
!"
! !"
!
u = v = ( −2,1,0,0 )
1

1

!"
! T !"
!
!"
! !#
!
u1 . v 2 !!"
⎛1 2
⎞
−2
u2 = v 2 - !"
−2,1,0,0 ) = ⎜ , , 1, 0⎟
(
! T !"

! u1 = (1,0,1,0 ) 5
⎝5 5
⎠
u1 .u1
!"
! T !!"
!"
! T !"
!"
! !"
!
u1 . v 3 !"
u2 . v 3 !"
u3 = v 3 - !"
! T !"
! u1 - " T " u 2
u1 .u1
u 2 .u 2

1
⎛1 2
⎞ ⎛1 1 1 ⎞
−2
= (1,0,0,1) −2,1,0,0 ) - 5 ⎜ , , 1, 0⎟ = ⎜ , , − , 1⎟
(
6⎝5 5
5
⎠ ⎝6 3 6 ⎠
5

( )

b) Cơ sở của S ⊥ = C AT

⎡1 ⎤
⎢2 ⎥
là ⎢ ⎥
⎢ −1⎥
⎢ ⎥
⎣ −1⎦

18. Do r (A) =3 nên không gian cột của A có các cơ sở là
8



!"
!
!"
!
!#
!
v1 = (1, 0,0 ) ; v 2 = ( 2,0,3) ; v 3 = ( 4,5, 6 )
!"
! !"
!
u1 = v1 = 1,0,0
!"
!
2

u2 = 2,0,3 1,0,0 = 0, 0, 3
1
!"
!
4
18
u3 = 4,5,6 1,0,0 0,0,3 = 0, 5, 0
1
9

(

Nguyễn Thị Vân

)

(

)

(

)

(

(

) (

)

)

(

) (

!"
!
u
Cơ sở trực chuẩn của C(A) là !"1 = (1,0,0 ) ;
u1

)

!"
!
u2
!"
! = ( 0, 0, 1) ;
u2

!"
!
u3
!"
! = ( 0, 1, 0 )
u3

9