CHUONG 6 DAO DONG DIEN TU

CHƢƠNG 6 DAO ÐỘNG
I.

II.

III.

DAO ÐỘNG CƠ ÐIỀU HÒA
1.

Hiện tƣợng

2.

Phƣơng trình dao động điều hòa

3.

Khảo sát dao động điều hòa

4.

Năng lƣợng dao động điều hòa

5.

Con lắc

DAO ÐỘNG CƠ TẮT DẦN
1.

Hiện tƣợng

2.

Phƣơng trình dao động tắt dần

3.

Khảo sát dao động tắt dần

DAO ÐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC
1.

Hiện tƣợng

2.

Phƣơng trình dao động cƣỡng bức

3.

Khảo sát dao động cƣỡng bức-Cộng hƣởng

4.

Ứng dụng của hiện tƣợng Cộng hƣởng cơ

Dao động là một dạng chuyển động rất thƣờng gặp trong đời sống, trong kỹ thuật. Thí
dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của cầu khi xe lửa chạy qua, dao động của dòng
điện trong mạch... Nói một cách tổng quát, dao động là một chuyển động đƣợc lặp lại nhiều

lần theo thời gian. Quan sát một hệ dao động, một con lắc chẳng hạn, ta thấy nó có những tính
chất tổng quát sau:
a. Hệ phải có một vị trí cân bằng bền và hệ dao động qua lại hai bên vị trí đó.
b. Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền, luôn luôn có một lực kéo hệ về vị trí cân bằng
bền gọi là lực hồi phục.
c. Hệ có quán tính: khi chuyển đến vị trí cân bằng, do quán tính, nó tiếp tục vƣợt qua
vị trí cân bằng đó.
Trong chƣơng này chúng ta chỉ nghiên cứu các dao động cơ.
I. DAO ÐỘNG CƠ ÐIỀU HÒA
1. Hiện tƣợng

TOP


2. Phƣơng trình dao động điều hòa

TOP

Dƣới đây, chúng ta thiết lập phƣơng trình dao động điều hòa, cụ thể là tìm sự phụ
thuộc của độ dời x của con lắc lò xo theo thời gian. Viết phƣơng trình của định luật 2 Newton
đối với quả cầu ta có:

Ta đƣợc một phƣơng trình vi phân của x gọi là phƣơng trình vi phân của dao động
điều hòa. Ðây là một phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất, hệ số không đổi. Theo giải tích,
nghiệm của nó có dạng:

3. Khảo sát dao động điều hòa

TOP

Phƣơng trình (6.7) cho ta độ dời x của con lắc lò xo tại một thời điểm t. Ðại lƣợng
A đƣợc gọi là biên độ dao động, rõ ràng là:

Quả vậy, dễ dàng nghiệm lại các hệ thức sau:

Hình 6.2 a Biểu diễn đồ thị của x theo thời gian t


Hình 6.2b Biểu diễn đồ thị của v theo thời gian t.

Hình 6.2 c Biểu diễn đồ thị của a theo thời gian t.
4. Năng lƣợng dao động điều hòa

TOP

Ta hãy tính năng lƣợng dao động điều hòa của con lắc lò xo. Dao động là một
dạng chuyển động cơ, vì vậy năng lƣợng dao động là cơ năng W cho bởi:

Công đó bằng độ biến thiên thế năng của con lắc lò xo từ O đến M


Ðó là biểu thức năng lƣợng của hệ dao động điều hòa, năng lƣợng đƣợc bảo toàn
trong quá trình dao động. Ðiều này phù hợp với định luật bảo toàn cơ năng. Trong quá trình
dao động điều hòa, cơ năng, tức là tổng động năng và thế năng, bảo toàn, nhƣng luôn luôn có
sự chuyển hòá giữa động năng và thế năng. Từ (6.20) ta có thể suy ra:

Công thức này cho phép ta tính tần số riêng (0 khi biết A, m và W. Những kết quả
trên đây tuy đƣợc suy từ dao động điều hòa của con lắc lò xo nhƣng cũng đúng đối với một
hệ bất kỳ dao động điều hòa .

5. Con lắc

TOP

Trong vật lý, ngƣời ta hiểu con lắc là một vật rắn thực hiện dao động xung quanh một
điểm hay một trục cố định dƣới tác dụng của trọng lực. Ngƣời ta thƣờng phân biệt con lắc
toán học và con lắc vật lý. Con lắc toán học là một hệ đƣợc lý tƣởng hóa gồm một sợi dây


không trọng lƣợng và không dãn treo một khối lƣợng đƣợc tập trung vào một điểm. Một quả
cầu nặng không lớn treo vào một sợi dây mảnh dài một cách gần đúng, có thể xem nhƣ con
lắc toán học. Ðộ lệch của con lắc khỏi vị trí cân bằng đƣợc đặc trƣng bởi góc lệch ( tạo bởi sợi
dây với đƣờng thẳng đứng (hình 6.3)
Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng sẽ xuất hiện momen lực M, về độ lớn bằng
mglsin( (m là khối lƣợng, còn l là độ dài con lắc). M có tác dụng đƣa con lắc trở về vị trí cân
bằng, vậy tác dụng của nó tƣơng tự nhƣ lực đàn hồi của con lắc lò xo.

Dấu trừ đƣợc đƣa vào ở đây để tính đến tác dụng của Mômen M có xu hƣớng đƣa
m về vị trí cân bằng có thể đƣa phƣơng trình này về dạng

Do đó, với các dao động bé, độ lệch góc của con lắc toán học biến đổi với thời
gian theo định luật điều hòa .
Từ (6.24), ta thấy tần số dao động của con lắc toán học chỉ phụ thuộc vào độ dài
của con lắc và vào gia tốc trọng trƣờng mà không phụ thuộc vào khối lƣợng con lắc. Theo
công thức (6.24) ta thu đƣợc biểu thức của chu kỳ dao động của con lắc toán học:

Nếu không thể biểu diễn vật dao động nhƣ một chất điểm thì con lắc đƣợc gọi là
con lắc vật lý. Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( sẽ xuất hiện một momen lực có
xu hƣớng làm con lắc quay về vị trí cân bằng. Momen này bằng:

trong đó m là khối lƣợng của con lắc, còn l là khoảng cách giữa điểm treo O và khối
tâm C của con lắc (hình 6.4)
Nếu ký hiệu momen quán tính của con lắc đối với trục đi qua điểm treo bằng chữì
I thì có thể viết:


Trong trƣờng hợp các dao động bé (6.29) chuyển về phƣơng trình mà ta đã biết:

Từ các phƣơng trình (6.30) và (6.31) suy ra rằng với các độ lệch nhỏ khỏi vị trí
cân bằng, con lắc vật lý thực hiện các dao động điều hòa có tần số phụ thuộc vào khối lƣợng
của con lắc, vào momen quán tính của con lắc đối với trục quay và vào khòảng cách giữa trục
quay và khối tâm của con lắc. Theo (6.31) chu kỳ dao động của con lắc vật lý đƣợc xác định
bằng biểu thức:

So sánh các công thức (6.27) và (6.32) ta thấy nếu con lắc toán học có độ dài:

thì nó có chu kỳ dao động giống nhƣ con lắc vật lý vừa xét. Ta gọi đại lƣợng (6.33) là
độ dài rút gọn của con lắc vật lý. Vậy độ dài rút gọn của con lắc vật lý là độ dài của một con
lắc toán học có chu kỳ dao động trùng với chu kỳ của con lắc vật lý đã cho.
Một điểm nằm trên đƣờng thẳng đi qua điểm treo với khối tâm, nằm cách trục quay
một khòảng bằng độ dài rút gọn đƣợc gọi là tâm đu đƣa của con lắc vật lý (xem điểm O' trên
hình 6.4).


II. DAO ÐỘNG CƠ TẮT DẦN
1. Hiện tƣợng

TOP

Trong thực tế, khi khảo sát dao động của một hệ, ta không thể bỏ qua các lực ma

sát. Do có ma sát, năng lƣợng của hệ dao động giảm dần theo thời gian vì theo (6.20) biên độ
dao động là giảm dần theo thời gian. Dao động của hệ sẽ là dao động tắt dần. Xét một hệ dao
động chịu tác dụng của lực cản của môi trƣờng (lực nhớt); Nếu vận tốc dao động của hệ nhỏ
thì thực nghiệm chứng tỏ vật cản của môi trƣờng ngƣợc chiều và tỉ lệ với vận tốc của hệ. Tức
là:

2. Phƣơng trình dao động tắt dần

Viết phƣơng trình của định luật 2 Newton đối với quả cầu ta đƣợc:

TOP


3. Khảo sát dao động tắt dần

TOP

Trong dao động tắt dần, biên độ không còn là hằng số mà giảm dần theo thời gian
theo hàm mũ:

Nhƣ vậy đồ thị của x theo t là một đƣờng cong nội tiếp giữa hai đƣờng cong


Biên độ dao động giảm là vì năng lƣợng của hệ trong quá trình dao động giảm dần để
chuyển thành công chống lại công của lực cản.

III. DAO ÐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC
1. Hiện tƣợng

TOP

Giả sử ta cung cấp năng lƣợng liên tục cho hệ dao động để bù lại những phần
năng lƣợng đã giảm để sinh công thắng công của lực ma sát thì dao động của hệ sẽ không tắt
dần nữa, dao động của hệ sẽ đƣợc duy trì. Việc cung cấp năng lƣợng liên tục cho hệ có thể
thực hiện đƣợc bằng cách tác dụng lên hệ một ngoại lực. Công do lực này sinh ra sẽ có trị số
bằng phần năng lƣợng bù đắp cho hệ. Muốn cho hệ tiếp tục dao động, ngoại lực tác dụng phải


biến thiên tuần hòan theo thời gian. Dao động mà hệ thực hiện dƣới tác dụng của ngoại lực
tuần hòan gọi là dao động cƣỡng bức.
Khi tác dụng ngoại lực tuần hòan lên hệ, hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm
chứng tỏ rằng trong giai đoạn đầu, dao động của hệ khá phức tạp. Nó là chồng chất của hai
dao động: dao động riêng tắt dần dƣới tác dụng của nội lực và dao động cƣỡng bức dƣới tác
dụng của ngoại lực tuần hòan. Sau một thời gian đủ lớn (gọi là thời gian quá độ), dao động tắt
dần coi nhƣ không còn nữa; khi đó dao động của hệ chỉ là dao động cƣỡng bức dƣới tác dụng
của ngoại lực tuần hòan. Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng dao động cƣỡng bức có chu kỳ
bằng chu kỳ của ngoại lực tuần hòan tác dụng.
2. Phƣơng trình dao động cƣỡng bức

TOP


Vậy ta có hai phƣơng trình:

3. Khảo sát dao động cƣỡng bức. Cộng hƣởng

TOP

Trƣớc hết, ta nhận thấy rằng biên độ A và pha ban đầu ( của dao động cƣỡng bức
đều phụ thuộc tần số góc ( của ngoại lực tác dụng. Nghiên cứu sự phụ thuộc của biên độ A

theo ta đƣợc kết quả sau :


4. Ứng dụng của hiện tƣợng cộng hƣởng cơ

TOP

Các ứng dụng trình bày sau đây cho ta thấy rõ tác dụng của hiện tƣợng cộng hƣởng
cơ, đặc biệt là hiện tƣợng cộng hƣởng nhọn.


b) Ngăn ngừa sự phá hòại vì cộng hƣởng cơ.
Trong thực tế, hiện tƣợng cộng hƣởng cơ thƣờng gây nhiều tác hại. Cầu bắc qua
sông, đặc biệt là cầu treo, bao giờ cũng có một tần số dao động riêng. Nếu cầu chịu một lực
tác dụng tuần hòan có tần số xấp xỉ tần số riêng của nó, cầu có thể rung động rất mạnh và có
thể bị gãy.
Dƣới đây ta xét trƣờng hợp nguy hiểm có thể xảy ra khi có một động cơ quay đặt
trên một nền xi măng (Hình 6.8). Khi động cơ quay, nền xi măng rung động. Ứïng với một
tần số quay nào đó của động cơ, nền xi măng có thể rung động mạnh nhất và có thể bị phá vỡ.
Nguyên nhân là vì các bộ phận quay của động cơ không thể nào làm hòan toàn đối xứng
đƣợc, nên trọng tâm của các bộ phận này không nằm trên trục quay. Khi động cơ quay, các bộ
phận này sinh ra một lực kích thích tuần hòan tác dụng lên trục máy và nền xi măng. Ứng với
một vận tốc góc quay nào đó của động cơ mà tần số góc của lực kích thích bằng tần số riêng
của động cơ thì sẽ xảy ra hiện tƣợng cộng hƣởng nhọn và nền xi măng có thể bị phá vỡ, trục
động cơ có thể bị gãy. Vận tốc góc đó của động cơ gọi là vận tốc nguy hiểm.

1234-

TRỌNG TẬM ÔN TẬP
***@@@***

Nghiệm của phƣơng trình dao động điều hòa.
Liên hệ giữa tần số góc, tần số, chu kỳ T đối với dao động của lò xo và dao động
của con lắc.
Năng lƣợng của dao động điều hòa.
Nghiệm của phƣơng trình dao động tắt dần, tần số, biên độ, giảm lƣợng Loga.


5-

Dao động cƣỡng bức, điều kiện để có cộng hƣởng, lợi ích và tác hại của cộng
hƣởng.

BÀI TẬP
***&&&***
1. Một chất điểm có khối lƣợng 500 g, dao động điều hòa với tần số f=2 Hz. Biên độ
dao động là 5 cm. Xác định vận tốc, gia tốc của chất điểm. Xác định lực tác dụng lên
chất điểm tại vị trí cách vị trí cân bằng 2,5 cm.
2.

Biên độ dao động của con lắc là 50, khối lƣợng quả nặng là 500g, chu kỳ con lắc là
2 giây. Do có ma sát mà sau 5 chu kỳ dao động biên độ dao động chỉ còn 40. Dao
động đƣợc duy trì nhờ bộ máy của đồng hồ. Tính công suất của máy đó.

Tìm sự biến thiên chu kỳ của một con lắc toán học gồm một dây kim loại bị co dãn
theo sự thay đổi nhiệt độ (t =t2-t1. Tìm sự biến thiên chu kỳ của con lắc nói trên theo
sự thay đổi độ cao so với mặt đất.
4. Tìm giảm lƣợng loga của sự dao động tắt dần trên điện nảo đồ của một bịnh nhân.
Cho biết cứ sau thời gian 5 phút thì cơ năng toàn phần của dao động giảm 4.104 lần.
Cho biết chu kỳ của dao động là T= 0,5 giây.
3.

Một dao động tắt dần của một điểm xảy ra theo qui luật x=A0 e-(t sin (t. Trong đó
A0, (, ( là các hằng số dƣơng. Tìm:
a) Biên độ dao động và vận tốc của điểm đó tại thời điểm t =0 .
b) Biên độ dao động và vận tốc của điểm đó ở các thời điểm khi điểm đó dịch chuyển
đến các vị trí bờ.
5.

6. Dƣới tác dụng của một ngoại lực thẳng đứng F=F0 cos(t, một vật treo trên một lò xo
thực hiện những dao động cƣởng bức theo qui luật x=A0cos((t-a). Tìm công của lực F
sau một chu kỳ dao động. Chứng tỏ rằng công nầy dùng để thắng lực ma sát.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
***@@@***
1. Năng lƣợng của con lắc lò xo gắn với quả nặng thì tỷ lệ với :
a) Biên độ dao động.
c) Bình phƣơng của tần số.

b) Bình phƣơng khối lƣợng quả nặng.
d) Bình phƣơng biên độ và độ cứng lò xo.

2. Hai con lắc lò xo có cùng độ cứng K. Biết tần số dao động f1 =2 f2
Vậy hai khối lƣợng sẽ liên hệ theo công thức:
a) M1 = M2/4
b) M1 = M2/2 c) M1 = M2/
d) M1 = 4 M2
e) M1 =
M2
3. Hai con lắc có cùng độ dài và cùng biên độ dao động. Nếu M1 = 2 M2 thì :
a) Chu kỳ và năng lƣợng của hai con lắc là bằng nhau.

b) Chu kỳ T1 =T2/2 và năng lƣợng của hai con lắc là bằng nhau.
c) Chu kỳ T1 =T2 và năng lƣợng E1 lớn hơn năng lƣợng E2.


d) Chu kỳ T1 =T2 và năng lƣợng E1 nhỏ hơn năng lƣợng E2.
4. Khi độ dài của một con lắc đơn tăng lên gấp đôi, thì tỉ số tần số của nó lúc sau so với
lúc đầu là:
a) 2

b)

c) 1/

d) 1/4

e) 1

5. Một con lắc toán học dao động tắt dần với chu kỳ T. Nếu đặt trong thang máy đang đi
lên nhanh dần với gia tốc g/2 thì:
a) Giảm lƣợng loga tăng.
c) Giảm lƣợng loga không đổi.
d) Biên độ tăng lên.

b) Giảm lƣợng loga giảm.
e) Biên độ không thay đổi.

6. Khi một dao động có tần số tăng lên gấp 3 và biên độ giảm 2 lần thì tỷ số năng lƣợng
của con lắc so với lúc đầu:
a) 9/4

12345-

b) 4/9

c) 3/2

d) 2/3

e) 1

PHÂN TÍCH NHỮNG CÂU PHÁT BIỂU ĐÚNG SAI
***@@@***
Có hai lò xo giống nhau đƣợc nối với một quả cầu tạo thành con lắc. Khi mắc hai lò
xo song song thì chu kỳ dao động sẽ lớn hơn khi mắc hai lò xo nối tiếp.
Một con lắc toán học đặt vào trong thang máy, khi thang máy đi xuống nhanh dần
với gia tốc a thì tần số dao động sẽ tăng lên.
Khi tần số ngoại lực tác dụng lên hệ dao động là không đổi thì biên độ của một dao
động cƣởng bức đạt cực đại.
Khi một con lắc toán học đang dao động, tại các vị trí biên thì lực căng dây là lớn
nhất.
Cộng hƣởng và cƣỡng bức luôn đi đôi với nhau.