đề thi hoc sinh gioi 11

Trường THPT Thuận Thành số1

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 11
(thời gian làm bài: 120 phút)
Ngày thi: 16/10/2008
Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình:
sin2x + cos2x + 4sin
3
x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0.
Tìm giá trị của m để cho phương trình có tập nghiệm là:
T = { x /
x k ,k Z
2
π
= + π ∈
}.
Bài 2(2.5điểm)Cho đa giác lồi A
1
A
2
…A
n
nội tiếp đường tròn tâm O bán
kính R và O nằm bên trong đa giác. Gọi B1,B2,…B
n
lần lượt là các điểm
chính giữa các cung A
1
A
2,
A

2
A
3
,…A
n
A
1.
So sánh diện tích 2 đa giác, khi nào thì chúng bằng nhau.
Bài 3 (2.5điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C
1
) và
(C
2
) có phương trình lần lượt là:
(C
1
): x
2
+ y
2
= 4; (C
2
): x
2
+ y
2
= 1
Các điểm A,B lần lượt di động trên (C
1
) và (C

2
) sao cho Ox là tia phân giác
của góc AOB. Gọi M là trung điểm của AB.Tìm quỹ tích điểm M.

Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a để cho hệ sau có nghiệm:
2
a(x a) (x 2 2) 1 0
x a 0

− − + ≤


> >


…………………………Hết…………………………………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên học sinh:………………..
Lớp:………………………

Đáp án chấm
Bài 1: (2.5 điểm)
• sin2x + cos2x + 4sin
3
x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0 (1)
⇔ 2sinxcosx + 2cos
2
x + 4sinx(sin
2
x - 1) + 2mcosx = 0 ⇔ cosx(sinx + cosx

-2sinxcosx +m) = 0
•
cos x 0
x k ,k Z
2
sin x cos x 2sin x cos x m 0
sin x cos x 2sinxcosx + m = 0 (2)
π

=
= + π ∈


⇔ ⇔


+ − + =

+ −

• Do đó (1) có tập nghiệm T = { x /
x k ,k Z
2
π
= + π ∈
}khi chỉ khi (2) chỉ có nghiệm
thuộc T hoặc (2) vô nghiệm.
• Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = 0
2
t sin x cos x 2 sin(x )

4
f(t) = t t m (3) (I)
| t | 2 (4)
π

= + = +



⇔ − −


≤



• Phương trình (2) có nghiệm thuộc T
cos x 0 m 1
sin x 1 m 1
= =
 
⇒ ⇔


= ± = −
 
 Thử lại: m = 1: Khi đó (3) ⇔ t
2
– t – 2 = 0 ⇔ t = -1 hoặc t = 2.
Hệ (I) trở thành:

x k2
1
2 sin(x ) 1 sin(x )
4 4
x k2
2
2
= π + π

π π

+ = − ⇔ + = ⇔
π

= − + π

Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho.
 Thử lại: m = -1: Khi đó (3) ⇔ t
2
– t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 1.
Hệ (I) trở thành:
x k2
sin(x ) 0
4
4
x k2 k Z.
1
sin(x )
4
x k2

2
2
π

= − + π
π


+ =


⇔ = π ∈


π


+ =
π

= + π



Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho.
• Phương trình (2) vô nghiệm:

 f(t) là tam thức bậc hai có ∆ = 5 + 4m,
S 1
2 2

=
, kí hiệu t
1
, t
2
là hai nghiệm của
f(t) = 0.
 Do
S
2 2
2
− < <
nên hệ (1) vô nghiệm khi chỉ khi:
 ∆ < 0 hoặc
1 2
0
f(- 2) 0
5 5
m hay m hay m > 1+ 2
4 4
t 2 2 t
f( 2) 0

∆ >

<
 
⇔ < − ⇔ < −
 
< − < <


<



 Vậy các giá trị m thỏa đề bài là:
5
m hay m > 1+ 2
4
< −
.
(chú ý có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm đk m cho hệ (I) vô nghiệm)
Bài 2 Trước hết ta có:

Kí hiệu góc A
1
OA
2
= a
1
; góc A
2
OA
3
= a
2
;….;góc A
n
OA
1

= a
n
ta có:
S(A
1
A…A
n
) = 1/2 R
2
(sina
1
+ sina2 + …+ sina
n
)
= 1/2 R
2
( 1/2(sina
1
+ sina
2
) + 1/2( sina
2
+ sina
3
) +…+ 1/2(sina
n
+ sina
1
))
= S(B

1
B
2
…B
n
)

Vậy S(A
1
A
2
…A
n
) nhỏ hơn hoặc bằng S(B
1
B
2
…B
n
)
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= …=a
n
hay đa giác A
1
A
2

…A
n
là đa giác đều.
Bài 3
Đường tròn (C
1
) có tâm O bán kính R
1
= 2, đường tròn (C
2
) có tâm O bán kính R
2
= 1
Với B(x
B
;y
B
) trên (C
2
) ta có x
B
2
+ y
2
B
= 1 (1)
Gọi B
1
là điểm đối xứng với B qua Ox, ta có B
1

(x
B
; -y
B
) và B
1
nằm giữa O và A.
Do OB
1
= 1; OA = 2 nên ta có:

Khi đó tọa độ trung điểm M của AB là:
Thay vào (1) ta được:

Vậy quỹ tích điểm M là elip có phương trình (*).
Bài 4: (2.5 điểm)
•
2 2 2
a(x a) (x 2 2) 1 0 (x a) ax - 2 2a(x a) 1 0
x a 0 x a 0
 
− − + ≤ − − + ≤
 
⇔
 
> > > >
 
 
( )
2

sin2sinsin;0,
βα
βαπβα
+
≤+⇒∈
)
2
sin...
2
sin
2
(sin
2
1
132
21
2
aaaaaa
R
n
+
+
+
+
+
≤
)2;2(2
BB
yxAOBOA
−⇒=

→→





−=
=
⇒







+
=
+
=
yy
x
x
yy
y
xx
x
B
B
BA

BA
2
3
2
2
2
(*)1
4
1
4
9
22
=+
yx
•
2 2
1 1 1 1
x 2 2 (x a) (x a) a 2 2 (1)
(x a) a 2 2 (x a) a
x a 0 x a 0 (2)
 
+ ≤ − + − + + ≤
 
− −
⇔ ⇔
 
 
> > > >
 
• Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số

dương ta được:
•
4
2
1 1 1 1
(x a) (x a) a 4 =2 2 (3)
2 2 (x a) a 4
− + − + + ≥
−
• Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là:
2
3 2
x
1 1
2
(x a) a
2 (x a) a
2
a
2

=


− = = ⇔

−

=



• Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a =
2
2
và nghiệm của hệ là: x =
3 2
2
.
___________________________________________________________
Các cách làm khác đúng cho điểm tối đa.