Bai tap giai tich 2 co dap so ppsx

Bài tập Giải tích 2


Đạo hàm riêng và vi phân hàm tường minh

1.

cho

2.

cho

3.
4.

f ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 − 4ln x − 10ln y ,

f ( x , y ) = arctan

Tìm vi phân cấp 4 của:

x+y
,
1 − xy

5.

chứng minh rằng:

df (1, 2), d 2f (1,2)

′′ = 0
fxy

f ( x , y ) = x 4 − y 4 − x 3 + 2 x 2 y + 3xy

y
f ( x , y ) = arctan ,
x

cho

tìm:

Tìm hàm khả vi u = u(x, y) sao cho

chứng minh rằng:

′′ + fyy
′′ = 0.
fxx

1
x
du = dx − 2 dy
y
y


ĐÁP SỐ

1 2
1 / df (1,2) = −4dy , d f (1,2) = 6dx + 2dxdy − dy
2
2

2

3 / d 4f ( x , y ) = 24dx 4 − 24dy 4
2 xy
′′ = 2
′′
4 / fxx
= −fyy
2 2
(x + y )
1
x
x
5 / u′x = ⇒ u = + C ( y ) ⇒ u′y = − 2 + C′( y )
y
y
y
x
u′y = − 2 ⇒ C ′( y ) = 0 ⇒ C ( y ) = const
y
x
u = + const
y
Mặt khác:

Vậy:


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn

1.

1
z = ln ,
r

Cho

2.

r = ( x − a) 2 + ( y − b) 2 ,

trong đó

α = α(x,y) là những hàm khả vi cho trước, chứng minh :

( z′x ) 2 + ( z′y ) = z 2
2

3.

Cho hàm ẩn

Biết

z′′xx + z′′yy = 0.

 x cos α + y sin α + ln z = f (α )

− x sin α + y cos α = f ′(α )

Cho hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ hệ pt:

Biết rằng f và

cmr:

z = z( x , y )

z (1,0) = ln 2

, tìm

thỏa

xz = ln(1 + yz + x )

dz(1,0)


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn

4.

z = f (r ,ϕ ),

Cho

trong đó

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,

tính

z′x , z′y .

HD: tìm dx, dy để có dr và dϕ, sau đó thay vào dz.

5.

Cho phương trình:

dy x + y
=
,
dx x − y

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,

bằng cách đặt

dr
=r
dϕ

chứng minh rằng, cmr phương trình đã cho được viết lại ở dạng:

6.

Cho

tại

z = ϕ (t ),

t = x2 + y 2,

tìm

d 2z

theo

dx , dy

( x , y ) = (1, −1)
7.

tìm

trong đó

Cho hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình:

y ′( x ), y ′′( x ).

( x 2 + y 2 )3 − 3( x 2 + y 2 ) + 1 = 0


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn

8.
cmr:

9.

Cho

Tính

Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ phương trình:

x.z′x + y .z′y = z
z = f ( x , y ),
dz
dx

theo

trong đó

f , F.

y = y (x)

x y
F  , ÷ = 0
z z

là hàm ẩn xác định từ pt

F ( x , y ) = 0.


ĐÁP SỐ


−r 2 + 2( x − a) 2
−r 2 + 2( y − b) 2
, z′′yy =
z′′xx =
4
1/ 
r
r4
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2

cos α − xα x′ sin α + yα x′ cos α − f ′(α ).α x′
2 / z′x = −
1
z
= − z cos α
z′y = − z sin α
1
ln 2



3 / dz (1,0) =  − ln 2 ÷dx +
dy
2
2



ĐÁP SỐ

4 / z′x = fr′.r .cos ϕ − fϕ′ .sin ϕ , z′y = fr′.r .sin ϕ + fϕ′ .cos ϕ
5/

Làm giống câu 4, thay vào phương trình rồi chia tử mẫu vế trái cho dϕ. Gom gọn pt.

2

2
2
2
′′
′
6 / d z = ϕ (t )(2 xdx + 2 ydy ) + ϕ (t )(dx + dy )

x
x2 + y 2
7 / y ′( x ) = − , y ′′( x ) = −
y
y3

z.Fu′
z.Fv′
8 / z′x =
, z′y =
x.Fu′ + y .Fv′
x.Fu′ + y .Fv′
 Fx′ 
dz
9/
= fx′ + fy′ . − ÷
dx
 Fy′ 


Khai triển Taylor

1.

Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3:

2.

f ( x , y ) = arctan

Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận điểm

f ( x , y ) = sin( x + y )
3.

Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận (1,0)

f ( x , y ) = ln(1 + xy )
Từ đó suy ra

′′′ (1,0)
fxyy

y
1+ x

 0, π 

÷
 2


ĐÁP SỐ

1 3
1 / f ( x , y ) = y − xy + x y − y + o ( ρ 3 )
3
2

2
x2
π
1
π
2 / f ( x , y ) = 1 − − x  y − ÷−  y − ÷ + o ( ρ 2 )
2

2  2
2

3
y2
y
2
3
3 / f ( x , y ) = y + ( x − 1) y −
− ( x − 1) y + + o ( ρ )
2
3
′′′ (1,0) = −2
fxyy


Cực trị, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

4.

1.

Tìm cực trị của hàm số sau:

2.

Tìm cực trị của hàm số sau:

3.

Tìm cực trị của hàm số sau:

Tìm cực trị của

5.

f (x, y ) =

1+ x2 + y 2

f ( x , y ) = x 3 + 3xy 2 − 15 x − 12 y
f ( x , y ) = ( x + y ).e − xy

f ( x , y ) = 6 − 4 x − 3y

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

1+ x − y

thỏa điều kiện

f (x, y ) = x + y

x2 + y 2 = 1
trên miền

0 ≤ y ≤ 1− x2


ĐÁP SỐ

1 / fcd = f (1, −1) = 3
2 / fcd = f (−2,1), fct = f (2,1)

f không đạt cự trị tại điểm dừng (1,2).

3/ Hàm số không có cưc trị

1 3
1 3


4 / fct = f  , ÷, λ = 10; fcd = f  − , − ÷, λ = −10
 5 20 
 5 20 
5/

fmin = f (−1,0) = −1, fmax

1 3 5

= f  , ÷=
 2 4 4


Tích phân kép

1.

I=

I=

I=

I=

Biểu diễn miền D theo các tích phân sau và vẽ các miền đó:

2− x 2

1

∫0 dx ∫ x
2

∫ dx ∫
1

1

x +3

x

2

f ( x , y )dy

2− x 2

∫−1dx ∫x

2

f ( x , y )dy

f ( x , y )dy

4− y 2

∫0 dy ∫2−y

f ( x , y )dx


Tích phân kép

2.

I=

I=

I=

I=

Đổi thứ tự trong tích phân sau:

1− y

1

∫0 dy ∫− 1−y
7

3

3

9
x

2

f ( x , y )dx

9

10 − x

7

9
x

∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
4

∫ dx ∫
0

1

∫ dy ∫
0

16 − x 2
4x−x

1− y 2
2

y −1

2

f ( x , y )dy

f ( x , y )dx

f ( x , y )dy


Tích phân kép

3.

Tính

∫∫

x2
dxdy
2
y

∫∫

x2
dxdy
2
y

∫∫

( x 2 + y 2 )dxdy

I=

D

4.

Tính

I=

D

5.

Tính

I=

với D là miền giới hạn bởi:

với D là miền giới hạn bởi:

với D là miền giới hạn bởi:

D

6.

Tính

I=

∫∫
D

xdxdy
x2 + y 2

y = x , y = x tan x , x =

với D là miền giới hạn bởi:

π
π
x
≥

÷
8
8

y = x , x = 2, xy = 1

y = x , x = 2, xy = 1, y = 0

y = x , x + y = 2, x = 0.


Tích phân kép

7.

Tính

I=

∫∫

e x + y dxdy

với D là miền giới hạn bởi:

D

8.

Tính

I=

∫∫ xydxdy

với D là miền giới hạn bởi:

D

y + x = 2, x 2 + y 2 = 2y ( x > 0)

9.

Tính

I=

6

0

∫−2 dx ∫−3− 12+4x − x

2

xdy

y = e x , y = 2, x = 0.


Tích phân kép

( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ )

10. Chuyển các tích phân sau đây trong tọa độ cực

I=

I=

11. Tính :

3
4 dx
0

x−x2

∫ ∫ 23−
a

∫ dx ∫

a+ a2 − x 2

ax

0

I=
I=

3
−x
4

f
2

∫∫D
4

)

f ( x , y ) dy

x x 2 + y 2 dxdy

∫ dx ∫
0

(

x 2 + y 2 dy

16 − x 2
4x−x

2

ydy

Với

(

2

D: x +y

)

2 2

≤ x2 − y 2, x ≥ 0


ĐÁP SỐ

2/

a/

b/

c/

I=

I=

I=

∫

−1

I=

dx

1− x 2

∫

0

10− y

2

2− 4− y 2

∫ dy ∫
0

∫ dy ∫
2

16 − y 2

0

−1

dx

0

∫

0

x +1

1

1− x

0

0

∫ dx ∫

f ( x , y )dy

f ( x , y )dx

0

4

∫

f ( x , y )dy +

3

∫1 dy ∫9/ y

+

d/

0

f ( x , y )dx +

2

∫ dy ∫

16 − y 2

2+ 4− y

0

2

f ( x , y )dx

f ( x , y )dx

f ( x , y )dy +

1

∫ dx ∫
0

0

1− x

f ( x , y )dy


ĐÁP SỐ

9
3/I =
4

π2
6/
128

4/ Hàm dưới dấu tp không xác định trên D

7/I =e

1
8/I =
4

4
5/I =
3

9 / 48 + 16π