bài tập đại số giải tích lớp 11

Đ

FB: />
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tìm tâ ̣p xác đinh
̣ của mỗi hàm số sau đây:
a/ f  x  

sin x  1
;
sin x  1

b/ f  x  

2 tan x  2
;
cos x  1

c/ f  x  

cot x
;
sin x  1


d/ y  tan  x   .


3

Tìm tâ ̣p xác đinh
̣ của mỗi hàm số sau đây :
a/ y  1  cos x ;
c/ y 

b/ y  3  sin x ;

cos x
;
sin  x   

d/ y 

1  cos x
1  sin x

.

Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a/ y  3cos x  2 ;

b/ y  5sin 3x  1 ;


c/ y  4 cos  2 x    9 ;

d/ f  x   sin x  cos x ;

e/ f  x   cos x  3 sin x ;

f/ y  5  sin x  cos x ;.



5

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
a/ f  x  

sin x
;
cos x  2

c/ y  3cos 2 x  5sin x

b/ f  x   sin x  cos x ;
d/ y  x cos x .

Cho hàm số y  3cos 2 x .
a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T   .
c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a/ f ( x)  sin11 x  cos11 x ;

b/ f ( x)  sin 4 x  cos 4 x ;

c/ f ( x)  sin 6 x  cos6 x ;

d/ f ( x)  sin 2 n x  cos 2 n x , với n  * .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Giải phương trình :


a/ sin x  sin ;

b/ 2sin x  2  0 ;

d/ sin  x  20o   sin 60o ;

e/ cos x  cos ;

g/ cos  2 x  15o   

h/ t an3x  

6

2

3

c/ sin  x  2   ;



f/ 2 cos 2 x  1  0 ;

4

2
;
2

j/ tan  2 x  10o   tan 60o ;

1
;
3

i/ tan  4 x  2   3 ;
l/ cot  x  2   1 .

k/ cot 4 x  3 ;

Giải phương trình :




a/ sin  2 x    sin   x  ;
5
5


c/ tan





b/ cos  2 x  1  cos  2 x  1 ;



2x 1
1
 tan  0 ;
6
3

d/ sin 3 x  cos 2 x .

Giải các phương trình lượng giác sau đây :
1
2

a/ sin x  ;

b/ 2 cos x  1  0 ;

c/ tan 3x  1 ;

d/ 4 cos x  1  0 .

Giải phương trình
a/ sin 4 x  cos 5 x  0 ;

b/ sin 3 x  cos 6 x  0 ;

2
0;
5

d/ cot   20o   3 .
4


c/ tan 5 x  cot

x

Giải phương trình
a/ cos  3x  600  

b/ cot  2 x  400  

2
;
2

3
;
3

d/ sin  x  240   cos  x  1440   cos 200 .

c/ cos(2 x  45o )  cos x  0 ;
Giải phương trình




a/ 2sin  x    cos  x   
;
4
4
2


3 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



b/ 8cos3  x    cos3x .
3





Đ

FB: />
a/ Chứng minh rằng 4sin 3 x cos 3 x  4 cos3 x sin 3x  3sin 4x .
b/ Giải phương trình sin 3 x cos 3x  cos3 x sin 3 x  sin 3 4x .
Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :


2



a/ sin  2 x   
với   x  ;
3
2
12  2


b/ cos  2 x  1 

 
c/ tan  3x  2  3 với x    ;  ;

d/ tan 2 x  3 với x    ;   .

2

 2 2

1
2

với x    ;   ;

Giải phương trình
a/ 2sin x cos 2 x cos 3 x  sin 2 x ;

b/ sin 5 x  2sin x  cos 2 x  cos 4 x   1 ;

c/ sin 3 x  sin x  sin 2 x  0 ;

d/ 3sin 4 x  2 cos 4 x  3sin 2 x  16 cos 2 x  9  0 .

Giải phương trình :
a/ tan 3 x tan x  1  0 ;

b/ sin 3 x cot x  0 ;

c/ tan 3x  tan x ;

d/

2cos x  2
 0.
tan x  1

Giải phương trình :
a/ 2sin x cos 2 x  1  2 cos 2 x  sin x  0 ;

b/ sin 3 x  cos3 x  cos 2 x ;

c/ 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x ;

d/ tan x  cot 2 x  2 ;

e/ sin x  cos x 

cos 2 x
;
1  sin 2 x

1
2

g/ cos x  cos 3x  cos 5 x  ;

f/

1  cos 2 x
sin 2 x

;
cos x
1  cos 2 x

h/ tan 2 x sin x  3  sin x  3 tan x   3 3  0 .

Tìm x  [0;14] nghiệm đúng phương trình cos 3x  4 cos 2 x  3cos x  4  0 .
a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sin x  m ,
x  [0;3 ] .

b/ Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2m cos x sin 2 x 0
có đúng 7 nghiệm trong đoạn 0;3 .
Giải các phương trình sau :
1
4

a/ cos 2 2 x  ;

b/ 4 cos 2 2 x  3  0 ;



c/ cos2  2 x    sin 2 x ;
4




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

d/ cos 2 3x  sin 2 2 x  1 .


Đ

FB: />
Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :
b/ cot  x  5  3 với   x   .

a/ 2 sin 2 x  1  0 với 0  x   ;
Giải các phương trình sau :
a/ sin x  cos x  1 ;

b/ sin 4 x  cos 4 x  1 ;

c/ sin 4 x  cos 4 x  1 ;

d/ sin3 x cos x  cos3 x sin x  2 / 8 .

Giải các phương trình sau :
a/ cos 2 x  3 sin x cos x  0 ;
c/ 8sin x.cos x.cos 2 x  cos8 

b/ 3 cos x  sin 2 x  0 ;





 x;
 16


d/ sin 4  x    sin 4 x  sin 4 x .
2





Giải phương trình :
a/ cos 7 x.cos x  cos 5 x.cos 3 x ;

b/ cos 4 x  sin 3x.cos x  sin x.cos 3 x ;

c/ 1  cos x  cos 2 x  cos 3x  0 ;

d/ sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  2 .

Giải các phương trình sau :
a/ sin 2 x sin 5 x  sin 3 x sin 4 x ;

b/ sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  0 ;

c/ sin 2 x  sin 2 3x  2sin 2 2 x ;

d/ sin x  sin 3x  sin 5 x  cos x  cos 3 x  cos 5 x .

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
a/ y  tan x ;
d/ y 

sin  2  x 
;
cos 2 x  cos x

c/ y 

b/ y  cot 2 x ;
e/ y 

tan x
;
1  tan x

f/ y 

2 cos x  1
;
2 cos x  1

1
.
3 cot 2 x  1

Giải phương trình :
a/
.

2 cos 2 x
 0;
1  sin 2 x

c/ sin 3 x cot x  0 ;

b/

tan x  3
 0;
2cos x  1

d/ tan 3x  tan x .

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;  ) của phương trình 4 cos 3 x cos 2 x  2 cos 3 x  1  0 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Giải phương trình :
a/ 2 cos 2 x  3cos x  1  0 ;

b/ cos 2 x  sin x  1  0 ;

c/ 2sin 2 x  5sin x  3  0 ;

d/ cot 2 3x  cot 3x  2  0 ;

Giải phương trình :
a/ 2cos2 x  2 cos x  2  0 ;

b/ cos 2 x  cos x  1  0 ;

c/ cos 2 x  5sin x  3  0 ;

d/ 5 tan x  2 cot x  3  0 .

Giải các phương trình lượng giác sau :
a/ sin 2

x
2

2 cos

x
2

2

0;

c/ cos 4 x sin 2 x 1 0 ;

x
2

b/ cos x  5sin  3  0 ;
d/ cos 6 x  3cos 3x  1  0 .

Giải các phương trình :

a/ tan 2 x   3  1 tan x  3  0 ;

b/ 3 tan 2 x  1  3  tan x  1  0 ;

c/ 2 cos 2 x  2  3  1 cos x  2  3  0 ;

d/

1
  2  3  tan x  1  2 3  0 .
cos 2 x

Giải các phương trình sau :
a/ cos 5 x cos x  cos 4 x.cos 2 x  3cos 2 x  1 ;
c/

4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
 0;
cos x

b/ 2 cos 6 x  sin 4 x  cos 2 x  0 ;
5
 7 1
 x    cos x .
 2
 2 2

d/ 2cos 2 x  cos2  10cos 
x
2

Giải các phương trình :
a/ 3 tan 2 x 

5
1  0 ;
cos x

c/ 5sin 2 x  sin x  cos x  6  0 ;

b/ cos 2 x 

1
1
 cos x 
2
cos x
cos x

d/ tan 2 x  cot 2 x  2  tan x  cot x   6 .

Giải phương trình 2  tan x  sin x   3  cot x  cos x   5  0 .
Giải phương trình :
a/ sin 3 x  3sin 2 x  2sin x  0 ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

;

x

2

3
4

b/ sin 2 x  2 cos 2   0 ;


Đ

FB: />
c/ 1  sin x sin 3 x  0 ;

d/ 2sin 2 x  cos 2 x  4sin x  2  0 ;

e/ 8  sin 4 x  cos 4 x   4sin x cos x  7 ;

f/ sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x ;





3
4

g/ cos2  x    4cos   x   ;
3
6
2









h/ 2cos 2 x  sin 2  10cos   x    cos x .
2
2
 2 2

5

x



3

1

Giải phương trình sau :
b/ sin 4 x  cos 2 x  1 ;

a/ sin 2 x  cos 2 x  5sin x  cos x  3 ;
c/

3

 2 3 tan x  6  0 ;
cos 2 x

d/ sin 2 x  2 tan x  3 .

cos3x  sin 3x 
Tìm nghiệm x   0; 2  của phương trình 5  sin x 
  cos 2 x  3 .
1  2sin 2 x 



Giải các phương trình sau:
a/ cot x  tan x  4sin 2 x 
c/


b/ tan 3  x    tan x  1 ;

2
;
sin 2 x



cos 2 x  3cot 2 x  sin 4 x
2;
cot 2 x  cos 2 x

4

d/ cos 3x  3cos 2 x  2(1  cos x) .

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
Giải phương trình :
a/ 3 sin x  cos x  1 ;

b/ 3 cos 3 x  sin 3 x  2 ;

c/ 3cos x  4sin x  5 ;

d/ sin x  7 cos x  7 ;

e/ 2sin 2 x  2cos 2 x  2 ;

f/ sin 2 x  3  3 cos 2 x .

Giải phương trình :
a/ 2sin 2 x  3 sin 2 x  3 ;

b/ 2 cos 2 x  3 sin 2 x  2 ;

c/ 2sin 2 x cos 2 x  3 cos 4 x  2  0 ;

d/ 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4 .

Giải các phương trình sau :


a/ sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4 x ;

b/ cos x  3 sin x  2 cos   x  ;

c/ 3 sin 2 x  cos 2 x  2 cos x  2 sin x ;

d/ sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  .

3

Giải các phương trình sau :






a/ 3sin  x    4sin  x    5sin  5 x    0 ;
3
6
6








NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309








Đ

FB: />




b/ 2sin  x    4sin  x   
.
4
4
2


3 5

Giải các phương trình sau :
a/ 3sin x  3 cos 3x  1  4sin 3 x ;

b/ 3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0 ;

2

x
x
c/  sin  cos   3 cos x  2 ;


2

2

d/ 8cos 2 x 

3
1
.

sin x cos x

2 6

Tìm x   ,  thỏa phương trình cos 7 x  3 sin 7 x  2
 5 7 
Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm.
b/ Giải phương trình với m  1 .
Cho phương trình sin 2 x  2m cos x  sin x  m . Tìm m để phương trình có đúng
3
hai nghiệm thuộc đoạn 0;  .


4 

Giải các phương trình
a/ 8sin x 

3
1
;

cos x sin x

b/ 2 sin x 

3 tan x
1.
2 sin x  1

các phương trình sau :
a/ sin x  3 cos x  2 ;


b/ 2sin17 x  3 cos 5 x  sin 5 x  0 ;


d/ 2 cos  x    6 sin  x    2 .



c/ cos  x    sin  x    1 ;
6
6











4



4

Giải các phương trình sau :


a/ 1  cos x  3 sin x ;

b/ cos x  3 sin x  2cos   x  ;
3

c/ sin 4 x  cos 2 x  3 sin 2 x  cos 4 x  ;

2
d/  sin x  cos x   3 sin 2 x  2 .





Giải các phương trình sau :

1
a/ cos4 x  sin 4  x    ;


4

b/ sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x ;

4


c/ 3 cos 2 x  sin 2 x  2sin  2 x    2 2 ;


e/ 3cos x  4sin x 

6

2
 3;
3cos x  4sin x  6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

d/ tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x) ;

Đ

FB: />


f/ 8sin x sin 2 x  6sin  x   cos   2 x   5  7 cos x .
4

4


Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm :

b/ m sin  x    sin x  2  cos x .

a/ m sin x   m  1 cos x  2 ;



Tìm x sao cho biểu thức y 

sin x  1
cos x  2

4

nhận giá trị nguyên.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a/ a sin x  b cos x

(a, b là các hằng số và a 2  b 2  0 );

b/ sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x .
Giải các phương trình sau :
a/ 3sin 2 x  8sin x cos x  4 cos 2 x  0 ;

b/ 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4 ;

c/ sin 3 x  2sin x.cos 2 x  3cos3 x  0 ;

d/ 6sin x  7 cos3 x  5sin 2 x cos x .

Giải các phương trình sau :
b/ 5 1  cos x   cos 4 x  sin 4  2 ;

a/ 1  3 tan x  2sin 2 x ;



d/ 1  sin x sin 2 x  cos x sin 2 x  2cos 2   x  ;
4

3
2

c/ sin x cos 4 x  sin 2 2 x  2sin x   0 ;
e/



sin 5 x cos 5 x

0;
sin x
cos x

g/ sin 8 x  cos8 x 

f/ tan x  cot 4 x 

2
;
sin 2 x

x
x 
h/ cos2  tan 2 x.sin 2    ;

17
cos 2 2 x ;
16

2

2

4

i/ (1  sin x  2 cos x) cos 2 x  sin 2 x  1 ;

j/ cos x  cos 2 3x  sin 2 2 x  0 trên 0;  ;

k/ cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x  0 ;

l/ sin 5 x  5sin x ;

m/ 1  sin 2 x  cos x  1  cos 2 x  sin x  1  sin 2 x .
1
2

Tìm các nghiệm thuộc khoảng  0;2  của phương trình
sin x 

cos 3 x  sin 3 x
 cos 2 x  3 .
1  2sin 2 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309




Đ

FB: />
III. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x
Giải phương trình :

1
2

a/ 3sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x  3 ;

b/ sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  ;

c/ 2sin 2 x  3 3 sin x cos x  cos 2 x  4 ;

d/ cos 2 2 x  sin 4 x  3sin 2 2 x  0 .

Giải phương trình :
a/ 2sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  2 ;

b/ sin 2 x   3  1 sin x cos x  3 cos 2 x  0 ;

c/ 3 sin 2 x  sin x cos x  0 ;

d/ cos 2 x  3sin 2 x  3 .

Giải phương trình :
a/ sin 2 x  3 sin x cos x  2cos 2 x 
x
2

3 2
;
2

x

2

c/ 4sin 2  3 3 sin x  2 cos 2  4 ;

b/





3  1 sin 2 x  3 sin 2 x 



d/ 3cos 2 4 x  5sin 2 4 x  2  3 sin 8 x .

Giải các phương trình sau :
a/ 4sin x  6 cos x 

1
;
cos x

c/ sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x ;

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sỹ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



3  1 cos 2 x  0 ;


b/ sin x sin  x    2 cos 2 x  0 ;


4

d/ sin x sin 2 x  sin 3x  6 cos3 x .


Đ

FB: />
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT

§1. QUY TẮC ĐẾM

a/ Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà
trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường
có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có
22 học sinh tiên tiến ?
b/ Một trường THPT được cử hai học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường
quyết định chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A và lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao
nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22
học sinh tiên tiến ?
a/ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu
thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy
và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn phương tiện để đi từ A tới B?

b/ Từ A đến B có 4 con đường để đi ; từ B đến C có 5 con đường để đi. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn đường đi từ A đến C (qua B) ?
a/ Hùng có hai đôi giày và ba đôi dép. Hỏi Hùng có bao nhiêu sự lựa chọn
(một đôi giày hoặc một đôi dép để mang) ?
b/ Hùng có 2 quần tây và 3 áo sơ mi. Hỏi Hùng có bao nhiêu cách để chọn một
bộ quần áo ?
Một đội văn nghệ có 6 nam và 7 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một đôi song ca nam – nữ ?
b/ Một bạn để biểu diễn đơn ca ?
Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại,
da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một
dây ?
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
Một lớp học có 26 học sinh nam và 19 học sinh nữ.
a/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn phụ trách quỹ lớp ?
b/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn nam và một bạn nữ phụ trách phong trào ?
c/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một ban cán sự lớp gồm ba người : 1 lớp trưởng, 1
lớp phó phụ trách kỷ luật và một lớp phó phụ trách học tập với điều kiện lớp trưởng phải
là một bạn nữ và lớp phó kỷ lật phải là một bạn nam ?
Trên giá sách có 9 quyển sách tiếng Việt (khác nhau), 5 quyển sách tiếng Hoa
(khác nhau) và 16 quyển sách tiếng Anh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một quyển sách ?
b/ Ba quyển sách với ba thứ tiếng khác nhau ?
Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc. Tính số cách chọn ra một người đàn ông và một
người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho :

a/ Hai người đó là một cặp vợ chồng ?
b/ Hai người đó không là vợ chồng ?
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên
a/ Có hai chữ số ?
b/ Có hai chữ số khác nhau ?
Từ các chữ số 2, 3, 4, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8}. Từ các phần tử của tập X có thể lập
bao nhiêu số tự nhiên trong các trường hơp sau :
a/.Số đó có 3 chữ số.
b/ Số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
c/ Số đó là số chẵn và có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba
chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số khác nhau được tạo ra từ các
chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7 ?
Cho A là một tập hợp có 5 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập hợp con ?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a/ Hãy liệt kê 5 hoán vị của tập hợp A = {a ; b ; c ; d}.
b/ Hãy liệt kê 5 chỉnh hợp chập 3 của các phần tử {a ; b ; c ; d}.
c/ Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 2 của tập hợp A = {a ; b ; c, d}.
Cho X = {a, b, c, d, e}. Có bao nhiêu hoán vị các phần tử của X mà phần tử
cuối là a.

Cho X = {a, b, c, d}
a/ Hãy lập tất cả các tập con của X có chứa phần tử a.
b/ Hãy lập tất cả các tập con của X không chứa phần tử a.
c/ Có bao nhiêu tập con thu được trong mỗi trường hợp.
Có tối đa bao nhiêu số máy điện thoại có 7 chữ số bắt đầu bằng số 8 sao cho:
a/ Các chữ số đôi một khác nhau.
b/ Các chữ số tùy ý.
a/ Có ba lọ hoa giống nhau và ba loại hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
cắm hoa vào lọ (mỗi lọ cắm một loại hoa) ?
b/ Có ba lọ hoa khác nhau và ba loại hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm hoa
vào lọ (mỗi lọ cắm một loại hoa) ?
a/ Có ba lọ hoa giống nhau và bảy loại hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ba loại hoa cắm hoa vào lọ (mỗi lọ cắm một loại hoa) ?
b/ Có ba lọ hoa khác nhau và bảy loại hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ba loại hoa cắm hoa vào lọ (mỗi lọ cắm một loại hoa) ?
a/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện cùng một công
việc ?
b/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện ba công việc khác nhau ?
Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt.
a/ Có bao nhiêu véctơ khác véctơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm
đã cho ?
b/ Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc về tập hợp điểm đã cho ?
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
a/ Một huấn luyện viên tổ chức cuộc thi bơi lội cho 15 vận động viên tranh tài
để chọn ra 2 người thi đấu giải vô địch quốc gia, một người thi đấu chính thức và

người kia dự bị. Hỏi huấn luyện viên đó có bao nhiêu sự lựa chọn ?
b/ Một huấn luyện viên tổ chức cuộc thi bơi lội cho 15 vận động viên tranh tài để
chọn ra 2 người thi đấu giải vô địch quốc gia. Hỏi huấn luyện viên đó có bao nhiêu
sự lựa chọn (cả hai đều thi đấu chính thức) ?
Một lớp học có 41 học sinh.
a/ Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn để trực nhật ?
b/ Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn
làm thư kí ?
Ban chấp hành đoàn trường gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường
vụ.
a/ Nếu không có sự phân biệt về chức vụ trong ban thường vụ thì có mấy lựa chọn ?
b/ Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ Bí thư, Phó Bí thư và Ủy
viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
Trong một cuộc thi có 16 đội tham dự, giả sử rằng không có hai đội nào cùng
điểm.
a/ Nếu kết quả cuộc thi là chọn ra ba đội có điểm cao nhất thì có bao nhiêu cách chọn?
b/ Nếu kết quả cuộc thi là chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu sự lựa chọn ?
Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11
mét. Huấn luyện viên cấn trình trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá luân
lưu 11 mét. Hỏi HLV có bao nhiêu sự lựa chọn?
a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 4 chữ số khác nhau đôi một ?
b/ Từ các số 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số
khác nhau ?
a/ Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế khác nhau (mỗi người
một ghế) ?
b/ Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam và 5 nữ thành 5 cặp để khiêu vũ ?
Cho 10 điểm nằm trên một đường tròn.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Đ

FB: />
a/ Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai trong số 10 điểm đã cho ?
b/ Có bao nhiêu véctơ có gốc và ngọn trùng với hai trong số 10 điểm đã cho ?
c/ Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là ba trong số 10 điểm đã cho ?
Một họ 12 đường thẳng song song cắt một họ khác gồm 9 đường thẳng song
song (không song song với 12 đường ban đầu. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo
nên ?
Hình 18 cạnh đều có bao nhiêu đường chéo ?
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song nhau. Trên d1 lấy 5 điểm, trên d2 lấy
3 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm đã chọn?
Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm
cần chọn ra 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ để tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh”.
Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn ?
Trên giá sách có 6 quyển sách toán, 7 quyển sách lí và 9 quyển sách hóa, các
quyển sác đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 quyển sách, mỗi loại 2
quyển ?
Có 6 bì thư khác nhau và 5 con tem khác nhau. Lấy ra 3 bì thư và 3 con tem
sau đó dán tem lên bì, mỗi bì 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy ?
Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em để tham gia đồng diễn
thể dục, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Có 5 quyển sách toán khác nhau, 6 quyển sách văn khác nhau và 3 quyển sách
lịch sử khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xắp xếp chúng lên một giá sách sao cho
từng thể loại theo thể loại đó ?
Từ các số 1 và 2 có thể lập được bao mấy số tự nhiên có 8 chữ số mà số 1 có
mặt đúng 3 lần ?
Từ các số 1, 2, 4, 6, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số
sao cho số 1 xuất hiện đúng hai lần, các chữ số còn lại suất hiện không quá một lần ?

a/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số
khác nhau ?
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
Chuẩn bị cho ngày khai giảng cần chọn 7 bạn trong 50 bạn vào đội vệ sinh.
Trong đó có 4 bạn nhổ cỏ và 3 bạn sơn ghế.
a/ Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
b/ Sử dụng câu a để chứng minh rằng C73.C507  C504 .C463 .
Chứng minh rằ ng

C   C   C  ...  C 
0 2
n

1 2
n

2 2
n

n 2
n

 C2nn , với mo ̣i số nguyên

dương n..
a/ Có bao nhiêu các chia 5 nam và 5 nữ thành 5 cặp để khiêu vũ ?
b/ Có bao nhiêu cách chia 10 người thành 5 cặp để chơi một trò chơi ?
c/ Có bao nhiêu cách chia 4 người thành 2 cặp để chơi một trò chơi ?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§3. NHỊ THỨC NEWTON
Viết khai triển
a/  2  3x  ;

b/ 1  2x  ;

3

5

c/

 2 3
x  
x


5

;

d/

1 

 4x  3 
x 


4

.

13
Tìm hệ số của x 4 y 9 trong khai triển  2x  y  .

a/ Tìm hệ số của x 8 trong khai triển  3x  2  .
10

9
b/ Tìm hệ số của x 6 trong khai triển  2  x  .
4
5
c/ Khai triển  2 x  1   3  x  thành đa thức.

8
10
d/ Trong khai triển của 1  2 x   1  3x  , hãy tính hệ số của x 3 .

9
8
7
6
e/ Hãy xác định số hạng chứa x 4 trong khai triển  x  1   x  2    x  3   x  4  .
15

Xét khai triển của

 2 2
x  
x


.

a/ Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển (viết theo chiều số mũ của x giảm dần).
b/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
15
15
Giả sử khai triển 1  2x  có 1  2 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15 .

b/ Tính a0  a1  a2  ...  a15 .

a/ Tính a9 .
c/ Tính a0  a1  a2  a3  ...  a14  a15 .

a/ Biết rằng hệ số của x 2 trong khai triển của 1  3x  bằng 90. Tìm n.
n

b/ Trong khai triển của  x  1 , hệ số của x n  2 bằng 45. Tính n.
n

Trong khai triển của 1  ax  ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x , số
n

hạng thứ ba là 252x 2 . Hãy tìm a và n.
Cho n là một số nguyên dương, chứng minh các đẳng thức sau :
a/ Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n ;
b/ Cn0  Cn2  Cn4  ...  Cn1  Cn3  ...  2n1

(với n  4 ) ;

c/ C20n  C22n  C24n  ...  C22nn  C21n  C23n  ...C22nn1 ;
d/ C20n1  C21n1  C22n1  ...C2nn1  4n
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử “gieo một con súc sắc”.
Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử “gieo hai đồng xu phân biệt”.
Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt”.
Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử “gieo hai con súc sắc phân biệt”.
Gieo hai con súc sắc khác nhau. Hãy viết liệt kê các biến cố sau :
Biến cố A : “Tổng số chấm trên hai con súc sắc bằng 5” ;
Biến cố B : “Mặt 6 chấm xuất hiện”.

Gieo 1 đồng tiền có 2 mặt sấp, ngữa 2 lần
a/ Hãy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau :
A : “lần thứ 2 xuất hiện mặt ngửa.” ;
B : “Kết quả 2 lần khác nhau”.
Tính xác suất để được :
a/ Số 6 khi thảy hạt xí ngầu 1 lần.
b/ Tổng số 4 khi thảy 2 lần hạt xí ngầu 1 lần
c/ Được 1 số chẵn khi thảy 1 hạt xí ngầu 1 lần.
d/ Không được số 1 khi thảy 1 hạt xí ngầu 1 lần.
e/ Được số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 6 khi thảy 1 hạt xí ngầu 1 lần.
Một hộp có chứa những quả cầu bằng nhau về kích cỡ, trong đó có 4 quả
mang số 1; 3 quả ghi số 2 và 1 quả ghi số 3. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất để:
a/ Lấy được quả cầu mang số 1.
b/ Lấy được quả cầu mang số 2.
c/ Lấy được quả cầu mang số 3
Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 2 bi đỏ và bi vàng lấy ngẫu nhiên 2 bi.
a/ Mô ta không gian mẫu.
b/ Xác định các biến cố sau :

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
A : “2 bi được lấy ra có cùng màu” ;
B : “2 bi được lấy ra khác màu”.
c/ Tính P(A), P(B).
Gieo hai con súc sắc khác nhau. Tính xác suất của các biến cố sau :

A : “Số chấm của hai con súc sắc bằng nhau” ;
B : “Tổng số chấm trên hai con súc sắc bằng 8”
C : “Số chấm trên hai con súc sắc khác nhau”.
Một hộp kín đựng 12 viên bi (chỉ khác nhau về màu) gồm 5 viên bi đỏ và 7
viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ trong hộp. Tính xác xuất để được 1 bi đỏ
và 2 bi xanh.
Một tổ có 6 ho ̣c sinh nam và 4 ho ̣c sinh nữ. Cho ̣n ngẫu nhiên hai em. Tính xác
suấ t để hai em đó khác phái.
Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg,
8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong số đó. Tính xác suất để 3 quả cân được chọn
có trọng lượng không vượt quá 9kg.
Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” có thể dừng lại ở
một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay chiếc
kim dừng lại ở 3 vị trí khác nhau.
Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong dó có 2 phế phẩm. Lấy 6 sản phẩm từ lô
hàng đó. Tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra đó có không quá một phế phẩm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Một cái bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu vàng. Lấy ra 3 quả cầu từ
bình. Tính xác suất để:
a/ được đúng 2 quả cầu xanh;
b/ được đủ hai màu ;
c/ được ít nhất 2 quả cầu xanh.
Có hai hộp đựng các viên bi. Hộp thứ nhất đựng 2 bi đen, 3 bi trắng. Hộp thứ

hai đựng 4 bi đen, 5 bi trắng.
a/ Lấy mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để được 2 bi trắng.
b/ Dồn bi trong hai hộp vào một hộp rồi lấy ra 2 bi. Tính xác suất để được 2 bi trắng.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có đúng 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3
bóng. Tính xác suất để được
a/ 3 bóng tốt;
b/ 2 bóng tốt;
c/ ít nhất 1 bóng tốt.
Gieo hai con súc sắ c phân biê ̣t. Tính xác suất để
a/ Tích số chấ m trên hai mă ̣t là mô ̣t số lẻ;
b/ Tích số chấ m trên hai mă ̣t là mô ̣t số chẵn.
Một hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên ra hai thẻ rồi nhân
hai số ghi trên hai thẻ với nhau.
a/ Tính xác suất để số nhận được là một số lẻ.
b/ Tính xác suất để số nhận được là một số chẵn.
Một lớp có 30 học sinh, gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh
trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em để dự đại hội. Tính xác suất để:
a/ 3 học sinh được chọn đều là học sinh giỏi;
b/ có ít nhất một học sinh giỏi;
c/ không có học sinh trung bình.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát đạn vào bia. Xác suất để người thứ nhất
bắn trúng bia là 0.9, và của người thứ hai là 0.7. Tính xác suất để:
a/ cả hai cùng bắn trúng;

b/ ít nhất một người bắn trúng ;
c/ chỉ một người bắn trúng.
Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả. Xác suất
trúng mục tiêu của 2 máy bay lần lượt là 0.7 và 0.8. Tính xác suất để mục tiêu bị
trúng bom.
Một chiếc máy có hai động cơ I và II chạy độc lập với nhau. Xác xuất để động cơ I
và II chạy tốt lần lượt là 0,7 và 0,8. Hãy tính xác xuất để :
a/ Cả hai động cơ đều chạy tốt ;
b/ Cả hai động cơ đều không chạy tốt ;
c/ Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sỹ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:
a) 1 + 2 + … + n =
c)
e)

n(n  1)
2
2

 n(n  1) 
1  2  ...  n  
 2 
n(n  1)(n  2)
1.2  2.3  ...  n(n  1) 
3
3

3

3

b) 12  22  ...  n2 

n(n  1)(2n  1)
6

d) 1.4  2.7  ...  n(3n  1)  n(n  1)2
f)

1
1
1
n

 ... 

1.2 2.3
n(n  1) n  1

Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:
a) 2n  2n  1 (n  3)
b) 2n2  2n  5
c) 1 
e)

1
22
1

 ... 

1

 2

1
n

n2
1
1
 ... 
2 n
2
n

(n  2)

1 3
2 4

2n  1
1

2n
2n  1
1
1
1 13

 ... 

f)
n 1 n  2
2n 24

d) . ...

(n > 1)

Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:
a) n3  11n chia hết cho 6.
b) n3  3n2  5n chia hết cho 3.
c) 7.22 n2  32 n1 chia hết cho 5.
d) n3  2n chia hết cho 3.
e) 32 n1  2n2 chia hết cho 7.
f) 13n  1 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là

Dãy số (an) được cho như sau: a1  2, an1  2  an
Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có: an  2 cos

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


2n1

.

n(n  3)
.
2

với n = 1, 2, …


Đ

FB: />
§2. DÃY SỐ

Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a) un 
d)

2n2  1

b) un 

n2  1

 1
un    
 3

n

n  (1)n
2n  1

e) un  n  cos2 n

n 1

c) un 
f) un 

n2  1
(n  1)!
2n

Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a) u1  2, un1 
c) u1  0, un1 

1
 u  1
3 n
2

un2  1

b) u1  15, u2  9, un2  un  un1
d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un

Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát
un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:
a) u1  1, un1  2un  3
b) u1  3, un1  1  un2
c) u1  3, un1  2un

ĐS:

5
4

e) u1  1, un1  un  7

e) u1  , u n1 

a) un  2n1  3

b) un  n  8

c) un  3.2n1

d) un  1

e) un  7n  6

f) un 

d) u1  1, un1  2un  1

un  1
2

2n1  1
2n1

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:
a)

2n  1
un 
3n  2

d) un 

n2  n  1
2

n 1

b) un 

4n  1
4n  5

e) un  n  cos2 n

c)

(1)n
un 
n2

f) un 

2n
n

Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:
a) un 
d) un 

2n  3
n2
n2  2n
n2  n  1

b) un 
e) un 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1
n(n  1)

n
n2  2n  n

c) un  n2  4
f) un  (1)n cos


2n


Đ

FB: />
§3. CẤP SỐ CỘNG

Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số
hạng đầu và công sai của nó:
3n  2
5
7  3n
un 
2

a) un = 3n – 7

b) un 

c) un  n2

d) un  3n

e)

f) un   1

n
2

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
u1  u5  u3  10
u1  u6  17


b) 

c)  3
u14  18

u  u  8

u  u  60
e)  72 152

f) 

a) 

d)  7 3
 u2 .u7  75

u2  u5  u3  10
u4  u6  26



u4  u12  1170

 u  15

u1  u3  u5  12
u1u2u3  8


a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và
tổng các bình phương của chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng
các bình phương của chúng bằng 66.
a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các
góc đó.
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai
d = 30. Tìm số đo của các góc đó.
c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5
lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó.
Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z
cũng lập thành một cấp số cộng, với:
a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2
b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c2  ab
Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

a) a  10  3x; b  2 x 2  3; c  7  4 x
b) a  x  1; b  3x  2; c  x 2  1
Tìm các nghiệm số của phương trình: x3  15x 2  71x  105  0 , biết rằng các
nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1
cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


Đ

FB: />
§4. CẤP SỐ NHÂN
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
u  u  72

a)  4 2
u5  u3  144
u  u  u  14
d)  1 2 3
 u1.u2 .u3  64

u1  u3  u5  65
u1  u7  325


c)  3 5
u2  u6  240

u1  u2  u3  21

1  1  1  7
 u u u 12
 1
2
3

u  u  u  u  30
f)  12 22 32 42

b) 
e)

u  u  90


u1  u2  u3  u4  340

a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích
là 216.
a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các
số hạng là 728 và số hạng cuối là 486.
b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng
số các số hạng là 889.
a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân
và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
b) Độ dài các cạnh của ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng ABC có

hai góc không quá 600.
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ
hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.
Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của
nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.
Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là

148
,
9

đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số
cộng.
Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2
thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì
chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn
ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32,
tổng hai số giữa bằng 24.
Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng
và (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh rằng nếu 3 số
x, y, z lập thành một cấp số nhân.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2
1 2
, ,
yx y yz

lập thành một cấp số cộng thì 3 số


Đ

FB: />
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Tính tổng : S  1.2  2.3  ...  n(n  1)
u1  1
Dãy số (un ) xác định bởi công thức: 

un 1  3un  1

với n  1 .

Chứng minh dãy số tăng bằng phương pháp quy nạp
Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1 

5
4

và u n1 

un  1
2

với mọi n  1 .

a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi n  1 ta có u n 

1
2 n 1

 1.

b) Chứng minh rằng dãy số (u n ) là dãy giảm và bị chặn.
Xét tính tăng, giảm của dãy số (un ) với:
a) un  2n

b) un 

3n n  1
4n

Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2 và un1  un  2 với mọi n  1 . Chứng minh
un=2 với mọi n  1 . Có nhận xét gì về dãy số này ?
Cấp số cộng:
a) Tìm các nghiệm của phương trình: x3 –15x 2  71x –105  0 . Biết rằng các nghiệm
này tạo thành một cấp số cộng.
b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình
phương của chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đó.
c) Cho phương trình x 4 –(3m  4)x 2  (m  1)2  0 . Định m dể phương trình có bốn
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
d) Cho các số a, b, c thoả mãn

1
1
1

,
,
ab ac bc

tạo thành một cấp số cộng. Chứng

minh rằng a2 , b2 , c2 cũng tạo thành một cấp số cộng
e) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh
rằng:
(q – r )a  (r – p)b  (p – q)c  0

f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là Sn  n(5n –3) . Tìm số hạng thứ p
của cấp số cộng đó.
g) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là Sn  7n  1 và Tn  4n  7 . Tìm tỉ số
u11
của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đó.
v11

Cấp số nhân:
a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba
số hạng đầu bằng 56.
b) Một cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết công bội q 
hạng của cấp số nhân này.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1
4

và u1  u4  24 . Tìm các số