bài tập tổng hợp xác suất thống kê trong kinh tế

Chương 0: Giải Tích Tổ Hợp
Bài tập:
Bài 1: Trong một lớp gồm 30 sinh viên,cần chọn ra ba sinh viên để làm lớp trưởng,lớp
phó và thủ quỹ( mỗi người chỉ có 1 chức).Hỏi có tất cả bao nhiêu cách bầu chọn?
Giải
Trong số 30 sinh viên thì chọn ra 3 người và có thứ tự nên suy ra là chỉnh hợp chập 3 của
30 phần tử:
Vậy số cách chọn là : A330=24360 cách
Bài 2: Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao cho A và B ngồi cạnh
nhau?
Giải
Có tất cả là 9 vị trí trong số 10 người để A và B đứng cạnh nhau,và 8! cách xếp chỗ cho
các người còn lại,vậy:
Từ vị trí A đứng trước B ta có số cách : 9 x 8! = 362880 cách
Từ vị trí B đứng trước A ta có số cách chọn : 9 x 8! = 362880 cách
Tổng số cách: 362880 x 2 = 725760
Bài 3: Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen.
a) Có tất cả mấy cách chọn ra 5 bi?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng?
Giải
a) Nếu chọn ra 5 bi từ số bi là 6 trắng và 4 đen thì ta có tổ hợp chập 5 của 10 phần tử:
C510 = 252 cách
b) Nếu chọn ra 5 bi mà trong đó có 2 bi trắng thì ta có cách chọn là tổ hợp chập 3 bi đen
của 4 phần tử bi đen và tổ hợp chập 2 bi trắng của 6 phần tử bi trắng:
C26 x C34 = 60 cách
Bài 4 : Trong một nhóm ứng viên gồm 7 nam và 3 nữ
a) Có bao nhiêu cách thành lập 1 ủy ban gồm 3 người?
b) Có bao nhiêu cách thành lập 1 ủy ban gồm 3 người trong đó có đúng 1 nữ?
c) Có bao nhiêu cách thành lập 1 ủy ban gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ?
Giải
Ta có tất cả là 10 người trong đó có 7 nam và 3 nữ

a) Chọn ra 3 người thì là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử
A310 = 120 cách
b) Chọn ra 3 người mà có đúng 1 nữ
C13 x C27 = 63 cách
c) Chọn ra 3 người mà có ít nhất 1 nữ
Trường hợp 1 nữ:
C13 x C27 = 63 cách
Trường hợp 2 nữ:
C23 x C17 = 21 cách
Trường hợp 3 nữ :
C33 x C07 = 1 cách
Vậy tổng số cách chọn là : 63+21+1= 85 cách


Bài 5: Cho các số 0,1,2,3,4,5. Hỏi từ các số đó lập được bao nhiêu số có 4 số khác nhau
mà bắt buộc phải có số 5?
Giải
Trường hợp 1: số 5 đứng đầu vậy 5ABC,trong đó A,B,C là các số còn lại là 0,1,2,3,4
số cách chọn A,B,C là : A35 = 60 cách
Trường hợp 2 : số 5 không ở đầu nên suy ra:
có 3 cách chọn số 5
có 4 cách chọn số đầu tiên loại trừ số 0
còn lại 2 vị trí sẽ có số cách chọn : A42 = 12 cách
Vậy tổng số cách chọn là: 60 + 3 x 4 x 12 = 204 cách

Chương 1: Đại cương về xác suất
Xác suất bằng định nghĩa:
Bài 1: Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. hãy trình bày các cách
biểu diễn qua Ak và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây:
A: tất cả điều xấu

B: có ít nhất một sản phẩm xấu
C : có ít nhất một sản phẩm tốt
D không phải tất cả sản phẩm đều tốt
E có đúng một sản phẩm xấu
F: có ít nhất hai sản phẩm tốt
Giải
Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt
a/ A: tất cả điều xấu
AA A =A +A +A

1
2
3
A= 1 2 3
b/ B: có ít nhất một sản phẩm xấu

B= A1 + A2 + A3
c/ C : có ít nhất một sản phẩm tốt
C=

A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

d/ D không phải tất cả sản phẩm đều tốt
D=B
e/ E có đúng một sản phẩm xấu
E= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
f/ F: có ít nhất hai sản phẩm tốt


F= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

Bài 2: Ba người, mỗi người bắn một phát. Gọi Ai là biến cố thứ I bắn trúng. Hãy biểu
diễn qua Ai các biến cố sau:
A chỉ có người thứ nhất bắn trúng
B người thứ nhất bắn trúng và người thứ 2 bắn trật
C có ít nhât một người bắn trúng
D cả ba đều bắn trúng
E có ít nhất 2 người bắn trúng
G không ai bắn trúng
H không có hơn 2 người bắn trúng
I người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ 2 và người thứ 3 cùng bắn trúng
K người thứ nhất nhắt bắn hay người thứ 2 bắn trúng
Giải
Ai là biến cố bắn trúng thứ i
+ A chỉ có người thứ nhất bắn trúng
A= A1 A2 A3
+ B người thứ nhất bắn trúng và người thứ 2 bắn trật
B= A1 A2 A3 + A1 A2 A3
+ C có ít nhât một người bắn trúng
C= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
+ D cả ba đều bắn trúng
D= A1 A2 A3
+ E có ít nhất 2 người bắn trúng
E= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
+ F chỉ có 2 người bắn trúng
F = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
+ G không ai bắn trúng
A +A +A

3
G= A1 A2 A3 = 1 2

+ H không có hơn 2 người bắn trúng

H= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
+ I người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ 2 và người thứ 3 cùng bắn trúng
I= A1 + A2 + A3
+ K người thứ nhất nhắt bắn hay người thứ 2 bắn trúng

K= A1 + A2
Bài 3: Ba sinh viên A,B,C cùng thi môn xác suất thống kê. Xét các biến cố:
A: sinh viên A đậu
B: sinh viên B đậu


C: sinh viên C đậu
D:sinh viên D đậu
Hãy biểu diễn qua A,B,C các biến cố sau:
a/ chỉ có A đậu
b/ A đậu và B rớt
c/ Có ít nhất một người đậu
d/ Cả 3 cùng đậu
e/ Chỉ có 2 người
f/ không ai đậu
g/ Có ít nhất
h/ không quá 2 người đậu
Giải
Gọi A:biến cố sinh viên A đậu
B: biến cố sinh viên B đậu
C: biến cố sinh viên C đậu
D:biến cố sinh viên D đậu
a/ chỉ có A đậu : A BC

b/ A đậu và B rớt : A BC + ABC
c/ Có ít nhất một người đậu
A BC + A BC + ABC + ABC + ABC + A BC + ABC

d/ Cả 3 cùng đậu : ABC
e/ Chỉ có 2 người đậu : ABC + ABC + ABC
f/ không ai đậu: ABC = A + B + C
g/ Có ít nhất : ABC + ABC + ABC + ABC
h/ không quá 2 người đậu : A BC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
Bài 4: quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bj (j = 1,2,3,4) là biến cố sinh viên j làm
bài thi đạt yêu cầu. Hãy viết các biến cố sau đây
a)
b)
c)
d)


a)
b)
c)
d)

Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu,
Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu,
Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu,
Không có sinh viên đạt yêu cầu.
Bài làm:


Bài 5. Một công ty liên doanh cần tuyển một kế toán trưởng, một trưởng phòng tiếp thị,

có 40 người dự tuyển trong đó có 15 nữ. Tính xác suất trong 2 người được tuyển có:
a) Kế toán trưởng là nữ,
b) Ít nhất 1 nữ.

Giải
a) Gọi A là biến cố nhận được 2 người được tuyển có 1 kế toán trưởng là nữ.

P(A) = = = 0,375
b) Gọi C là biến cố nhận được 2 nam.

|C| =
P() = 1 – P(C) = 1 – = 0,615
Bài 6: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy
ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm
tốt.


Bài làm:
Gọi A là biến cố có 3 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra.
P(A) = .

Bài 7. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận được bi đen.
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.

Giải
a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp :

Gọi A là biến cố nhận được bi đen .

P(A) = = 0,3
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi.


Gọi B là biến cố nhận được 2 bi đen.
P(B) = = 0,6
c) Lấy ngẫu nhiên 2 viên từ hộp :

Gọi C là biến cố nhận được 2 bi đen.
P(C) = =
Công thức cộng – nhân – xác suất có điều kiện.
Bài 8: Trong 100 người phỏng vấn có 40 người thích nước hoa A, 28 người thích dùng
nước hoa B, 10 người thích dùng cả 2 loại A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100
người trên. Tính xác suất người này:
a)
b)


Thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên,
Không dùng loại nào cả.
Bài làm:
Gọi A là biến cố chọn được 1 người thích dùng nước hoa A
B là biến cố chọn được 1 người thích dùng nước hoa B
P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,28 ; P(AB) = 0,1

a)
b)

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,58.
P() = 1 – P(A + B) = 0,42.

Bài 9. Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người ở gần cơ quan, 60 người trong
100 người là nữ, biết rằng số nữ chiếm gấp đôi số nam trong cơ quan.
Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cơ quan. Tính xác suất:
a) Người này là nam,
b) Người này ở gần cơ quan,
c) Người này phải trực đêm (người trực đêm phải ở gần cơ quan hoặc là nam).

Giải
Số nữ chiếm gấp đôi số nam trong cơ quan => số nữ = số người trong cơ quan => số nữ
là: 210 = 140 (người) => số nam là: 210 – 140 = 70 (người).
a) Gọi A là biến cố nhận được 1 người là nam.

P(A) = =


b) Gọi B là biến cố nhận được 1 người ở gần cơ quan.

P(B) = = 0,476
c) Gọi C là biến cố nhận được 1 người trực đêm (ở gần cơ quan hoặc là nam).

P(C) = = 0,619
Bài 10: Mỗi sinh viên được thi tối đa 2 lần một môn thi. Xác suất để một sinh viên đậu
môn xác suất thông kê ở lần thi thứ nhất là P1, lần thứ hai là P2. Tính xác suất để sinh viên
này vượt qua được môn xác suất thống kê.


Bài làm:
Gọi A là biến cố một sinh viên đậu môn xác suất thống kê ở lần thứ 1.
B là biến cố một sinh viên đậu môn xác suất thống kê ở lần thứ 2.

C là biến cố một sinh viên vượt qua môn xác suất thống kê.
P(A) = ; P(B) = ; P(B) = (1 − ).
P(C) = P(A) + P(B) = + (1 − )..

Bài 11. Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) = , P(B) = , P(AB) = . Hãy tính:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

P(A + B),
P(),
P(),
P(),
P(A),
P(B),
P( + B),

8) P(A|B),
9) P(|B),
10) P(AB|B),
11) P(A|B),
12) P(A|),
13) P(A + B|A),
14) P(B| + B).
15) Giải

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = = 0,67
P() = P() = 1 – P(AB) = 0,83
P() = 1 – P(A + B) = 0,33
P() = 1 – P(AB) = 0,83
P(A) = P(A) – P(AB) = 0,33
P(B) = P(B) – P(AB) = 0,167
P( + B) = 1 – P() = 1 – P(A) = 0,67


8) P(A|B) = = 0,5
9) P(|B) = = 0,5
10) P(AB|B) =
11) P(A|B) =
12) P(A|) =
13) P(A + B|A) =
14) P(B| + B) =
16) Bài 12: Đội tuyển cầu lông của Trường ĐH Tài Chính – Marketing có 3 vận động

viên, mỗi vận động viên thi đấu một trận. Xác suất thắng trận của các vận động
viên A, B, C lần lượt là: 0,9; 0,7; 0,8. Tính xác suất :
Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận,
Đội tuyển thắng 2 trận,

C thua, biết rằng đội tuyển thắng 2 trận.
Bài làm:

a)
b)
c)


17) Gọi A là biến cố vận động viên A thắng trận.
18)

B là biến cố vận động viên B thắng trận.

19)

C là biến cố vận động viên C thắng trận.

20) P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,7 ; P(C) = 0,8.

1 – P( = 1 – 0,1.0,3.0,2 = 0,994.
P(AB + AC + BC) = P(AB + P(AC) + P(BC) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 +
0,1.0,7.0,8 = 0,398.
c)
P(AB = 0,9.0,7.0,2 = 0,126.
a)
b)

21)
22) Bài 13. Một lớp học có 50 học sinh trong kỳ thi giỏi Toán và Văn, trong đó có 20

người giỏi Toán, 25 người giỏi Văn, 10 người giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu
nhiên 1 học sinh của lớp này. Tính xác suất để học sinh được chọn giỏi Toán hoặc
Văn.
23) Giải
24) Gọi A là biến cố nhận được 1 học sinh giỏi Toán.
25) P(A) = 0,4
26) Gọi B là biến cố nhận được 1 học sinh giỏi Văn.
27) P(B) = 0,5
28) AB là biến cố nhận được 1 học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn.
29) => P(AB) = 0,2
30) Xác suất để học sinh được chọn giỏi Toán hoặc Văn:


31) P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7
32) Bài 14: Trong 1 khu phố, tỉ lệ mắc bệnh tim là 6%; mắc bệnh phổi là 8% và mắc

cả hai bệnh là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong khu phố đó. Tính xác suất để
người đó không mắc cả 2 bệnh tim và bệnh phổi.
Bài làm:



33) Gọi A là biến cố 1 người mắc bệnh tim.
34)

B là biến cố 1 người mắc bệnh phổi.

35) P(A) = 0,06 ; P(B) = 0,08 ; P(AB) = 0,05
36) P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,09
37) P() = 1 − P(A + B) = 0,91.

38)
39)
40) Bài 15. Cho 3 biến cố A, B, C sao cho
41) P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6;
42) P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2 và P(ABC) = 0,1.
a) Tính xác suất để cả 3 biến cố A, B, C đều không xảy ra.
b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra.
c) Tìm xác suất để chỉ có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra.
43) Giải

Gọi D là biến cố cả A, B, C đều không xảy ra

a)

44) P() = P() = 1 – P(A + B + C) = 1 – [P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC)

+ P(ABC)] = 0
P(AB + AC + BC) do xung khắc từng đôi một nên bằng

b)

45) P(AB) + P(AC) + P(BC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) – 3P(ABC) = 0,6
c)

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)

46) = P(A) – P(AB) – P(AC) + P(B) – P(AB) – P(BC) + P(C) – P(AC) – P(BC) +

3P(ABC) = 0,3

47)


48) Bài 16: Một người có 5 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một cái lồng. một

người đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên 1 con. Người mua chấp nhận con đó.
a)

Tính xác suất để người đó mua được con gà mái.
49) Người thứ hai lại đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên 1 con.

Tìm xác suất để người thứ hai mua được con gà trống.
Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho
người thứ nhất là gà trống hay gà mái.

Bài làm:
b)
c)

50) Gọi A là biến cố người thứ nhất mua được con gà mái.
a)

P(A) = .

b)

Gọi B là biến cố người thứ hai mua được con gà trống.
51) P(B)=

c)

Gọi C là biến cố người bán quên mất bán cho người thứ nhất mái hay trống:
52)

P(C)=

53) Bài 18: Một thủ quỷ có một chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt

nhau, trong đó có 4 chiếc mở được cửa chính của thư viện. cô ta thử từng chìa một
một cách ngẫu nhiên, chìa nào không trúng thì bỏ ra. Tìm xác suất d963 cô ta mở
được cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5.


Bài làm:
54) Gọi Ai là biến cố thủ quỷ mở được cửa ở lần thứ i (i = ).
55) Gọi B là biến cố cô ta mở được cửa chính của thư viện lần thứ 5.
56) P(B) = P() = P().P().P().P().P() = = 0,071.
57) Bài 17. Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty A

thua lỗ là 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế, khả
năng cả 2 công ty cùng thua lỗ là 0,1. Tìm xác suất để
a) Chỉ có một công ty thua lỗ,
b) Có ít nhất một công ty làm ăn không thua lỗ.
58) Giải


59) Gọi A là biến cố nhận được công ty A thua lỗ.
60) Gọi B là biến cố nhận được công ty B thua lỗ.
61) AB là biến cố nhận được cả công ty A, B thua lỗ.

62) P(A) = 0,2
63) P(B) = 0,4
64) P(AB) = 0,1
a) P(A + B) = P(A) + P(B) = P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = 0,44
b) P( + ) = P() = 1 – P(AB) = 0,9
65) Bài 19. Một lô hàng có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên không

hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 2 sản phẩm tốt thì ngừng,
a) Tính xác suất để ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 2,
b) Biết đã ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 4. Tính xác suất để lần lấy thứ nhất lấy được

sản phẩm tốt.
66) Giải
67) Gọi AI là biến cố lấy được sản phẩm tốt lần thứ I.
a) Biến cố lấy được 2 sản phẩm tốt ở lần lấy sản phẩm thứ 2 là A 1A2.
68)

P(A1A2) = P(A1) P(A2|A1) =

b) Biến cố lấy được sản phẩm tốt ở lần thứ nhất và ngừng lại ở lần lấy thứ 4 là
69)

A1 A4.

70)
P(A1 A4) = P(A1) P() P() P(A4) =
71) Bài 20: Một chàng trai viết 4 là thư cho 4 cô gái; nhưng vì đãng trí nên anh ta bỏ 4

lá lá thư vào 4 phong bì một cách ngẫu nhiên, dán kín rồi mới ghi địa chỉ gửi,

Tính xác suất để không có cô nào nhận đươc đúng thư viết cho mình,
Tính xác suất để có ít nhất 1 cô nhận đúng lá thư của mình,
Tổng quát hóa với n cô gái. Tính xác suất có ít nhất 1 cô nhận đúng thư. Xấp xỉ giá
trị xác suất này khi cho n → ∞.

Bài làm:
a)
a)
b)
c)

72)
73)
74) Bài 21. Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để

phát hiện ra 2 sản phẩm xấu, khi nào chọn đươc sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại.
Trang 12


a) Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4.
b) Biết rằng đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại ở lần

chọn thứ 4.
c) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu được sản phẩm
xấu.
75) Giải
76) Gọi AI là biến cố chọn được sản phẩm xấu lần thứ I.

a) Biến cố chọn được 2 sản phẩm xấu ở lần chọn thứ 4 là:
77)

B = A1 A4 + A2A4 + A3A4.

78)

P(B) = P(A1 A4) + P(A2A4) + P( A3A4) (xung khắc từng đôi một)

= P(A1) P(|A1) P(|A1) P(A4|A1 ) + P( P(A2| P(||A2) P(A4|A2) + P(
P(|) P(A3| ) P(A4| A3)
79)

80)

=

81)

= 0,067

b) Biến cố chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất và dừng lại ở lần chọn thứ 4 là:
A1 A4 .
P(A1 A4) = P(A1) P(|A1) P(|A1) P(A4|A1 )

82)

83) = = 0,022

c) Biến cố lần chọn đầu được sản phẩm xấu nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3
là: A1A3.
P(A1A3) = P(A1) P(|A1) P(A3|A1)

85)
= = 0,022
86) Bài 22: Đội tuyền bóng bàn thành phố có 4 vận động viên A, B, C, D. mỗi vận
động viên thi đấu 1 trận, với xác suất thắng trận lần lượt là : 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Tính
84)

a)
b)
c)
d)


Xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận,
Xác suất đội tuyển thắng 2 trận,
Xác suất đội tuyển thắng 3 trận,
Xác suất D thua, trong trường hợp đội tuyển thắng 3 trận.
Bài làm:
Trang 13


87) Gọi A là biến cố vận động viên A thắng trận
88)
B là biến cố vận động viên B thắng trận
89)
C là biến cố vận động viên C thắng trận
90)
D là biến cố vận động viên D thắng trận
91) P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,7 ; P(C) = 0,8 ; P(D) = 0,9.
a)
b)

c)
d)

1 – P() = 1 – 0,4.0,3.0,2.0,1 = 0,9976.
P( = P() + P() + P() + P() + P() + P() = 0,2144.
P() = P() + P() + P() + P() = 0,4404.
P() = 0,0336.
92)
93)
94) Bài 23. Ở một cơ quan nọ có 3 chiếc ô tô. Khả năng có sự cố của mỗi xe ôtô lần

lượt là 0,15; 0,20; 0,10.

a)
b)
c)
d)

Tìm khả năng 3 ôtô cùng bị hỏng.
Tìm khả năng có ít nhất 1 ôtô hoạt động tốt.
Tìm khả năng cả 3 ôtô cùng hoạt động được.
Tìm xác suất có không quá 2 ôtô bị hỏng.
95) Giải
96) Gọi AI là biến cố chiếc ôtô thứ I bị hỏng, với I = 1, 2, 3.
97) P(A1) = 0,15; P(A2) = 0,2;
P(A3) = 0,1.

a) Biến cố nhận phải 3 ôtô cùng bị hỏng là: A1A2A3.
98)

P(A1A2A3) = = 0,003

b) Biến cố nhận được ít nhất 1 ôtô hoạt động tốt: A2A3 + A3 + .
99)

P(A2A3 + A3 + )

100)

= P(A2A3) + P( A3) + P( ) (xung khắc từng đôi một)

101)

= P() [P(A2) P(A3) + P() P(A3) + P() P()]

102)

= 0,85 (0,2 0,1 + 0,8 0,1 + 0,8 0,9)

103)

= 0,697

c) Biến cố nhận được cả 3 ôtô cùng hoạt động là: .

Trang 14


104)

P( ) = 0,85 0,8 0,9 = 0,612

d) Biến cố nhận được không quá 2 ôtô bị hỏng là:
105)
106)
107)
108)

A1A2 + A1A3 + A2A3 + A1 + A2 + A3 +
P(A1A2 + A1A3 + A2A3 + A1 + A2 + A3 + )
= P(A1A2) + P(A1A3) + P(A2A3) + P(A1 ) + P(A2) + P( A3) + P( )
= 0,997

109)
110)
111)

Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes.

Bài 24: Một nhà máy sản xuất bóng đèn, máy A sản xuất 25%, máy B:
35%, máy C: 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm của mồi máy trên số sản phẩm do
máy đó sản xuất lần lượt là: 3%, 2%, 1%. Một người mua 1 bóng đèn do nhà máy
sản xuất.

112)

a)
b)

a)

Tính xác suất để sản phẩm này tốt.
Biết rằng sản phẩm này là xấu. Tính xác suất để sản phẩm do máy C sản xuất.
Bài làm:
Gọi Ai là biến cố mua được một bóng đèn của xí nghiệp thứ i, i = 1;2;3
113)

B là biến cố mua được một bóng đèn hỏng do nhà máy sản xuất.

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + p(A3).P(B/A3) = 0,25.0,03 + 0,35.0,02
+ 0,4.0,01 = 0,0185

114)

115)
116)

Gọi D là biến cố mua được một bóng đèn tốt do nhà máy sản xuất.
P(D) = 1 – P(B) = 0,9815.
P(C/B) = = = ≈ 0,2162.

b)

117)
Bài 25. Trong một trạm cấp cứu bỏng: 80% bệnh nhân bỏng do
nóng, 20% bỏng do hóa chất. Loại bỏng do nóng có 30% bị biến chứng, loại bỏng
do hóa chất có 50% bị biến chứng.

118)

a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh án. Tính xác suất để gặp một bệnh án của bệnh nhân bị

biến chứng.
b) Rút ngẫu nhiên được một bệnh án của một bệnh nhân bị biến chứng. Tính xác suất để
bệnh án đó là của bệnh nhân bị biến chứng do nóng gây ra? Do hóa chất gây ra?
Trang 15


Giải
Gọi A1 là biến cố nhận được bệnh nhân bỏng do nóng.
A2 là biến cố nhận được bệnh nhân bỏng do hóa chất .
P(A1) = 0,8
P(A2) = 0,2
Gọi B là biến cố nhận được bệnh nhân bị biến chứng.
P(B|A1) = 0,3
P(B|A2) = 0,5
119)

120)
121)
122)
123)
124)
125)
126)

a) P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) = 0,8 0,3 + 0,2 0,5 = 0,34
b) P(A1|B) = = 0,705

P(A2|B) = = 0,294

Bài 26: Một lô hạt giống được phân thành 3 loại. loại 1 chiếm 2/3 số hạt cả
lô, loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Loại 1 có tỉ lệ nảy mầm 80%, loại 2 có tỉ lệ
nảy mầm 60% và loại 3 có tỉ lệ nẩy mầm 40%. Hỏi tỉ lệ nảy mầm chung của cả lô
hạt giống là bao nhiêu ?

127)
128)



Bài làm:
129)
130)

Gọi Ai là biến cố chọn được hạt giống ở lô thứ i, i = 1;2;3
B là biến cố chọn dược hạt giống nẩy mầm.

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + p(A3).P(B/A3) = 2/3.0,8 + 0,25.0,6
+ 1/12.0,4 ≈ 0,7167.

131)

132)
133)
Bài 27. Hai nhà máy cùng sản xuất 1 loại linh kiện điện tử. Năng
suất nhà máy hai gấp 3 lần năng suất nhà máy một. Tỷ lệ hỏng của nhà máy một và
hai lần lượt là 0,1% và 0,2%. Giả sử linh kiện bán ở Trung tâm chỉ do hai nhà máy
này sản xuất. mua 1 linh kiện ở Trung tâm.

134)

a) Tính xác suất để linh kiện ấy hỏng.
b) Giả sử mua linh kiện và thấy linh kiện bị hỏng. Theo ý bạn thì linh kiện đó do nhà

máy nào sản xuất.

136)
137)
138)

135)
Giải
Gọi A1 là biến cố nhận được sản phẩm của nhà máy 1.
A2 là biến cố nhận được sản phẩm của nhà máy 2.
P(A1) = 0,25
Trang 16


P(A2) = 0,75
Gọi B là biến cố nhận phải sản phẩm hỏng ở trung tâm.
P(B|A1) = 0,01
P(B|A2) = 0,02

139)
140)
141)
142)

a) P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) = 0,0175
b) P(A1|B) = = 0,143

143)

P(A2|B) = = 0,857

144)

Do P(A2|B) > P(A1|B) nên linh kiện bị hỏng đó là do nhà máy 2

sản xuất.
Bài 28: Có 3 loại súng bề ngoài hoàn toàn giống nhau, với xác suất bắn
trúng bia tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8. Loại thứ I có 5 khẩu, loại thứ II có 3 khẩu,
loại thứ III có 2 khẩu. Chọn ngẫu nhiên 1 khẩu và bắn vào bia. Tính xác suất bắn
trúng bia.

145)



Bài làm:
146)

Gọi Ai là biến cố chọn được loại súng thứ i, i = I; II; III

147)

B là biến cố bắn trúng bia.

148)

P(AI) = = 0,5; P(AII) = = 0,3; P(AIII) = = 0,2.

P(B) = P(AI).P(B/AI) + P(AII).P(B/AII) + p(AIII).P(B/AIII) = 0,5.0,6 + 0,3.0,7
+ 0,2.0,8 = 0,67.

149)

150)
151)
152)
153)
154)
155)
156)

Bài 29. Có 8 bình đựng bi, trong đó có:
2 bình loại 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đỏ,
3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đỏ,
3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên một bình và từ bình đó lấy ngẫu nhiên 1 bi.

a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi trắng.
b) Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Tính xác suất để bình lấy ra là bình loại 3.

Giải
Gọi A là biến cố nhận được bi trắng.
Bi là biến cố nhận được bình loại i. (i = 1, 2, 3)
P(B1) = ;
P(B2) = ;
P(B3) =
157)

158)
159)
160)

Trang 17


P(A| B1) =;

161)

P(A|B2) = ;

P(A|B3) =

a) P(A) = P(B1) P(A| B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3) = 0,458
b) P(B3|A) = = 0,182

Bài 30: Một chuồng gà có 9 con gà mái và 1 con gà trống. Chuồng gà kia có
1 con gà mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng lấy ngẫu nhiên 1 con đem bán. Các
con gà còn lại được dồn vào chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà nữa
từ chuồng này ra thì xác suất để được con gà trống là bao nhiêu ?

162)



Bài làm:
163)

164)
165)
166)
167)
168)
169)

Gọi A là biến cố nhận được 2 gà trống từ hai chuồng gà.
B
là biến cố nhận được 2 gà mái từ hai chuồng gà.
C là biến cố nhận được 1 gà trống và 1 gà từ hai chuồng gà.
P(A) = = ; P(B) = = ; P(C) =
Gọi D là biến cố nhận được con gà trống từ chuồng thứ ba.
P(D/A) = ; P(D/B) = ; P(D/C) = .
P(D) = P(A). P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = ≈ 0,362.

170)
171)
Bài 31. Có 2 hộp áo; hộp một có 10 áo trong đó có 1 phế phẩm; hộp
hai có 8 áo trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 áo từ hộp một bỏ sang hộp
hai; sau đó từ hộp này chọn ngẫu nhiên ra 2 áo. Tìm xác suất để cả 2 áo này đều là
phế phẩm.
173)
174)
175)
Giải
176)
Gọi A là biến cố lấy được 1 áo tốt từ hộp 1 bỏ sang hộp 2.
177)
=> là biến cố lấy phải 1 phế phẩm từ hộp 1 bỏ sang hộp 2.

178)
P(A) = => P() =
179)
Gọi B là biến cố lấy được 2 phế phẩm từ hộp 2.
180)
P(B|A) = = 0,0278
181)
P(B|) = = 0,083
182)
P(B) = P(A) P(B|A) + P() P(B|) = 0,03332
183)
Bài 32: Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một con thú, mỗi người bắn 1 viên đạn,
với xác suất bắn trúng lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì
xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát thì xác suất để con thú bị tiêu
diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát thì chắc con thú bị tiêu diệt.
172)

a)
b)


Tính xác suất con thú bị tiêu diệt.
Giả sử con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất nó bị trúng 2 phát đạn.
Bài làm:
Trang 18


184)
185)
186)

187)
188)
189)

a)

Gọi Ai là biến cố bắn trúng một phát của người thứ i, i =1; 2; 3.
P(A1) = 0,6; P(A2) = 0,7; P(A3) = 0,8.
Gọi Bi là biến cố bắn trúng i phát để con thú bị tiêu diệt.
P(B1) = P() = 0,118.
P(B2) = P() = 0,452.
P(B3) = P(A1A2A3) = 0,336.

Vậy xác suất đề tiêu diệt con mồi:
190)

b)

P(Bi) = 0,118.0,5 + 0,452.0,8 + 0,336 = 0,7566.

P(B2/Ai) = = ≈ 0,4568.
191)
192)
Bài 33. Có 3 hộp bi; hộp một có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ; hộp hai có
15 bi trong đó có 4 bi đỏ; hộp ba có 12 bi trong đó có 5 bi đỏ. Gieo một con xúc
xắc. Nếu xuất hiện mặt 1 thì chọn hộp một, xuất hiện mặt hai thì chọn hộp 2, xuất
hiện các mặt còn lại thì chọn hộp ba. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên 1 bi

193)

a) Tính xác suất để được bi đỏ,
b) Giả sử lấy được bi đỏ. Tính xác suất để bi đỏ này thuộc hộp hai.

Giải
Gọi Ai là biến cố chọn được hộp thứ i. (i = 1, 2, 3)
P(A1) = ;
P(A2) = ;
P(A3) =
Gọi Bi là biến cố chọn được bi đỏ trong hộp thứ i. (i = 1, 2, 3)
P(B1|A1) = ; P(B2|A2) = ; P(B3|A3) =
194)

195)
196)
197)
198)

a) P(B) = P(A1) P(B1|A1) + P(A2) P(B2|A2) + P(A3) P(B3|A3) = 0,372
b) P(A2|B) = = 0,12
Bài 34: một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 mới 6 cũ, lần đầu chọn
ra 3 quả để sử dụng, sau đó bỏ vào lại, lần hai chọn ra 3 quả.

199)

Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần hai là 3 bóng mới.
Biết rằng lần hai chọn được 3 bóng mới, tính xác suất lần đầu chọn được 2 bóng

a)
b)

mới.


Bài làm:
Gọi Ai là biến cố chọn được i quả bóng mới trong 3 trái lần đầu lấy ra; i = 0;
1; 2; 3.

200)

Trang 19


201)
a)

P(A0) = ; P(A1) = ; P(A2) = ; P(A3) = .

Gọi B là biến cố 3 quả bóng lấy ra lần hai là 3 bóng mới.
P(B/A0) = ; P(B/A1) = ; P(B/A2) = ; P(B/A3) = ;
P(B) = P(A0). P(B/A0) + P(A1). P(B/A1) + P(A2). P(B/A2) + P(A3). P(B/A3)
= 0,0893.

202)
203)

b)

P(A2/B) = = 0,4091.
204)
205)

Bài 35. Có 3 cái thùng. Thùng 1 có 6 bi trắng, 4 bi đỏ; thùng 2 có 5
bi trắng, 5 bi đỏ và thùng 3 có 10 bi trắng. Giả sử người ta lấy ngẫu nhiên 2 bi từ
thùng 1 bỏ vào thùng 2. Sau đó, lại lấy ngẫu nhiên 1 bi từ thùng 2 bỏ vào thùng 3
rồi từ thùng 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. Tìm xác suất để bi lấy ra là đỏ.
207)
208)
209)
Giải
210)
Gọi A1 là biến cố lấy được 2 bi đỏ từ thùng 1.
211)
A2 là biến cố lấy được 2 bi trắng từ thùng 1.
212)
A3 là biến cố lấy được 1 bi trắng, 1 bi đỏ từ thùng 1.
213)
P(A1) = =
214)
P(A2) = =
215)
P(A3) = =
216)
A1, A2, A3 là họ đầy đủ.
217)
Gọi B là biến cố lấy được 1 viên bi đỏ từ thùng 2.
218)
P(B|A1) = =
219)
P(B|A2) = =
220)
P(B|A3) = =

221)
Gọi C là biến cố lấy được 1 viên bi đỏ từ thùng 3.
222)
P(C) = =
223)
Gọi D là biến cố lấy được bi đỏ.
224)
Xác suất để bi lấy ra là bi đỏ là :
225)
P(D) = P(C) [P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3)]
226)
= 0,044
227)
Công thức Bernoulli:
228)
Bài 36:Một bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người với xác suất
95%. Gỉa sử có 10 người bị bệnh A đến chữa một cách độc lập nhau. Tính xác suất
để
206)

a)

Có 8 người khỏi bệnh

Trang 20


Có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh.

b)

229)

Ta có: n=10, p=0,95
Gọi X là số người khỏi bệnh trong 10 người

a)
230)

X~B(10;0,95)

231)

P(X=8)==0,0764
P(X≤9)=1-P(X>9)=1-P(X=10)= 1- [

b)

Bài 37:Một thiết bị có 10 chi tiết với độ tin cậy của mỗi chi tiết là
0,9.(Xác suất làm việc tốt trong khoảng thời gian nào đó)
233)
Tính xác suất để trong khoảng thời gian ấy:
232)

a)

Có đúng 1 chi tiết làm việc tốt

b)

Có ít nhất 2 chi tiết làm việc tốt.

234)

Gọi X là số chi tiết làm việc tốt

a)

P(X=1)=

b)

P(X≥2) = 1- P(X<2) = 1- [P(X=1) + P(X=0)] = 1- [ +
235)

Bài 38: một cầu thủ đá thành công quả phạt 11m với xác suất 80%

-

Đá 4 thành công 2

-

Đá 6 thành công 3
236)
237)
238)
239)
240)
241)
242)

Công việc nào dễ thực hiện?
Giải:
p=0,8
TH1: n=4
P(X=2)=
TH2: n=6
P(X=3)=
TH1 dễ thực hiện hơn.



Bài 39: Trong một thành phố có 70% dân cư thích xem bóng đá.
Chọn ngẫu nhiên 10 người, tính xác suất có:

243)

Trang 21


a)

5 người thích xem bóng đá

b)

Ít nhất 2 người thích xem bóng đá
244)
245)
246)

Giải;
p=0,7, n=10
gọi X là số người thích xem bóng đá

a)

P(X=5)=

b)

P(X≥2)= 1- [P(X=1) + P(X=0)] = 1- [
Bài 40: Một nhà toán học có xác suất giải được một bài toán khó là
0,9. Cho nhà toán học này 5 bài toán khó được chọn một cách ngẫu nhiên.

247)

a)

Tính xác suất để nhà toán học này giải được 3 bài

b)

Tính xác suất để nhà toán học này giải được ít nhất 1 bài
248)

Giải:

249)

p=0,9, n=5

250)

gọi X là số bài toán giải được

a)

P( X=3) =

b)

P(X≥1)= 1- P(X<1) = 1- P(X=0) = 1-[
Bài 41: Tỷ lệ mắc bệnh Basedow ở một vùng núi nào đó là 7%.
Trong đợt khám tuyển sức khỏe để xuất cảnh, người ta khám cho 100 ngưới. tìm
xác suất để:

251)

a)

Trong 100 người có 6 người bị bệnh

b)

Trong 100 người có 95 người không bị bệnh

c)

Trong 100 người có ít nhất 1 người bị bệnh.
252)

Giải:

253)

p=0,07, n=100

254)

gọi X là số người bị bệnh Basedow
Trang 22


a)

P(X=6)=

b)

P(X=5)=

c)

P(X≥1)= 1- P(X<1) = 1- P(X=0)= 1- [
Bài 42: Một lô hàng với tỉ lệ phế phẩm là 5%. Cần phải lấy mẫu cỡ
bao nhiêu sao cho xác suất để bị ít nhất một phế phẩm không bé hơn 0,95.
256)
257)
p=0,95, n
258)

P(X≥1) = 1- P( X=0) = 1- [
259)
Để P(X≥1) ≥ 0,95
260)
 1- (0,95)n ≥ 0,95
261)
 (0,95)n ≤ 0,05  nln(0,95) ≤ ln(0,05)  n≥ 58
262)
Bài 43: Hai đấu thủ A,B thi đấu cờ. Xác suất thắng của người A
trong một ván là 0,6( không có hòa). Trận đấu bao gồm 5 ván, người nào thắng
một số ván lớn hơn là người thắng cuộc. tính xác suất để người B thắng.
263)
Giải:
264)
n=5, p= 0,6
265)
Gọi X là số trận A thắng
266)
Để B thắng thì số trận thắng của A phải bé hơn 3
267)
P(X<3)= P(X=2)+ P(X=1) + P(X=0)= = 0,31745
268)
Bài 44: một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất
ra 1 phế phẩm của máy là 0,01.
255)

a) Cho máy sản xuất 10sp. Tính xác suất để có 2 phế phẩm.
b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm xác suất có ít nhất 1 chính phẩm trên

0,99.

269)

Giải:

270)

p=0,01

a) n=10
271)
272)

gọi X là số phế phẩm sản xuất ra
P(X=2)=

b) Xác suất để ít nhất có một chính phẩm trên 0,99

P( X<1) > 0,99
 P(X=0) > 0,99
273)

Trang 23


 >0,99
(0,99)n> 0,99  n>1
Vậy cần sản xuất ít nhất 2 sp để có ít nhất 1 chính phẩm có xác suất

274)
275)

276)

trên 0,99.
277)
CHƯƠNG 2
BÀI TOÁNVỀ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ
Bài 1: Cho X là một biến số ngẫu nhiên có phân phối xác suẩ như sau:

278)
279)
280)
281)

282)

283)

284)

285)

286)

287)

288)

289)

X

0

1

2

3

4

5

6

7

290)

291)

292)

293)

294)

295)

296)

297)

PX

0

A

2a

2a

3a

a

2

2a

2

298)

7a2
+
a

a/ Xác định a

b/ Tính P[ X ≥ 5] , P[X<3]

299)

c/ Tính K nhỏ nhất sao cho P[X

≤ k] ≥

1
2

300)
Giải
a/ Ta có:
0+ a + 2a + 2a + 2a + 3a + a2 + 2a2 + 7 a2 + a =1
b/ P[ X ≥ 5] = P[X=5] + P[X=6] +P[X=7]
= 0,01 + 0,02 + 0,17 = 0,2
P[X<3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= 0 + 0,1 + 0,2 = 0,3
c/ P(X K) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= 0 +0,1 + 0,2 + 0,2 = 0,5

301)



K=3
Bài 2 : Xét trò chơi tung một con xúc xắc 3 lần: nếu cả 3 lần được 6 nút thì
thưởng 6 ngàn đồng , nếu hai lần 6 nút thì thưởng 4 ngàn đồng, một lần 6 nút thì
thưởng 2 ngàn đồng nếu không có 6 nút thì không thưởng gì hết . Mỗi lần chơi

phải đóng A ngàn đồng. Hỏi:
303)
a/ A bao nhiêu thì người chơi về lâu về dài huề vốn( gọi là trò chơi công
bằng)
b/ A bap nhiêu thì trung bình mỗi lần người chơi mất 1 ngàn đồng.
304)
Giải
302)

Trang 24


305)

Gọi Ai là biến cố nhận được mặt ở lần tung thứ i
P(Ai ) = P(A2 ) = P(A3 ) =
Gọi X = 0,2,4,6
Ta có :

P ( X = 0) = P ( A A A ) =
1
2
3

5
125
( )3 =
6
216

75
P( X = 2) = P ( A A A ) +P(A A A ) + P( A A A ) = 216
1
2
3
1
2
3
1
2 3
15
P( X = 4) = P ( A A A ) + P( A A A )+ P( A A A ) = 216
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
=
P( X = 6) = P ( A A A ) 216
1
2
3

Bảng phân phối xác suất
X

307)
0
312)
P(
125
X)

306)
311)

308)
313)
75
216

216

2

309)
314)
15
216

4

310)
315)

6

1
216

E(X)=1
a/ Để hoà vốn : A=P(X=1)=1 ngàn đồng
b/ E(X) – A=1 => A=2 ngàn đồng
317)
Bài 3 : Một nhà đầu tư có 3 dự án . Gọi Xi (i=1,2,3) là số tiền thu được khi
thực hiện dự án thứ i( giá trị âm chỉ sô tiền bị thua lỗ). Xi là biến số ngẫu nhiên .
Qua nghiên cứu , giả sử có số liệu như sau : ( Đơn vị tính : 10 triệu đồng).
316)

318)
319)

320)

321)

322)

X1

-20

30

60

323)

324)

325)

326)

P

0,3

0,2

0,5

328)

329)

330)

331)

X1

-20

-10

100

332)

333)

334)

335)

P

0,4

0,2

0,4

337)

338)

339)

340)

X1

-25

-30

80

341)

342)

343)

344)

327)

336)

345)

P
0,2
0,3
Theo anh chị , ta nên chọn dự án nào?
346)
Giải
Trang 25

0,5