Một số vấn đề cơ bản về xác suất thống kê trong kinh tế lượng

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

1

BÀI GIẢNG 3
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN
VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
TRONG KINH TẾ LƯỢNG

MỤC TIÊU BÀI GIẢNG:
1. Ký hiệu tổng
2. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Biến ngẫu nhiên
4. Xác suất
5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất
6. Hàm mật độ xác suất đa biến
7. Đặc điểm của các phân phối xác suất
8. Một số phân phối xác suất quan trọng
9. Một số phép toán ma trận
10. Suy diễn thống kê

ĐỐI TƯỢNG BÀI GIẢNG:
1. Tài liệu bài giảng cho sinh viên đại học
2. Tài liệu tham khảo ôn tập cho học viên cao học

KÝ HIỆU TỔNG

Ký hiệu tổng
Ký tự  (sigma) được thống nhất sử dụng để chỉ tổng:
n21

n
1i
ii
X XXXX 
 


(3.1)
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar sumX=@sum(x)
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

2

Tính chất của phép toán tổng
1. Khi k là một hằng số
nkk
n
1i



(3.2)
2. Khi k là một hằng số




n

1i
i
n
1i
i
XkkX
(3.3)
3. Tổng của tổng hai biến X
i
và Y
i

  

iiii
YX)YX(
(3.4)
4. Tổng của một hàm tuyến tính

 

ii
Xbna)bXa(
(3.5)

PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU, VÀ BIẾN CỐ

Phép thử
Một phép thử có hai đặc tính:
1) Không biết chắc kết quả nào xảy ra

2) Nhưng biết được các kết quả có thể xảy ra
Không gian mẫu hay tổng thể
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử
được gọi là tổng thể hay không gian mẫu.
Biến cố
Một biến cố là một nhóm các kết quả có thể xảy ra củ một
phép thử. Nói cách khác, đó là một tập hợp con của không
gian mẫu.
Các phép tính về biến cố:
 Biến cố hội (AB): A xảy ra hay B xảy ra
 Biến cố giao (AB): A xảy ra vả B xảy ra
 Biến cố phụ (
A
):
A
xảy ra, A không xảy ra
 Biến cố xung khắc: AB = 

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

3

BIẾN NGẪU NHIÊN

Ví dụ, tung hai đồng xu, quan sát và lập thành bảng kết
quả của các phép thử như sau:
 BẢNG 3.1: Định nghĩa khái niệm biến ngẫu nhiên
Đồng xu thứ
nhất

Đồng xu thứ
hai
Số mặt ngửa
T
T
T
H
H
T
H
H
T
H
0
1
1
1
2
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 25
Ta gọi biến “số mặt ngửa” là một biến ngẫu nhiên. Nói một
cách tổng quát, một biến mà giá trị (bằng số) của nó được
xác định bởi kết quả của một phép thử được gọi là một
biến ngẫu nhiên. Như vậy, biến ngẫu nhiên là biến mà giá
trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên.
Một biến ngẫu nhiên có thể có giá trị rời rạc hoặc
liên tục. Một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ có một số giá
trị hữu hạn (hoặc vô hạn có thể đếm được). Một biến ngẫu
nhiên liên tục là một biến ngẫu nhiên có bất kỳ giá trị
nào trong một khoảng giá trị nào đó.

XÁC SUẤT

Xác suất của một biến cố: Định nghĩa cổ điển
Nếu một phép thử có thể có n kết quả loại trừ nhau và có
khả năng xảy ra như nhau, và nếu m kết quả từ phép thử
này hợp thành biến cố A, thì P(A), xác suất để A xảy ra,
là tỷ số m/n.

n
m
)A(P 
(3.6)
Xác suất của một biến cố: Tần suất tương đối
Để giới thiệu khái niệm này, ta xem ví dụ sau đây. Dữ
liệu trong bảng 3.1 là phân phối điểm điểm thi mô kinh tế
vi mô của 200 sinh viên. Đây là một ví dụ về phân phối
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

4

tần suất cho biết các điểm ngẫu nhiên được phân phối như
thế nào. Các con số trong cột 3 là các tần suất tuyệt
đối, nghĩa là số lần xảy ra của một biến cố nhất định.
Các con số trong cột 4 được gọi là các tần suất tương
đối, nghĩa là số tần suất tuyệt đối chia tổng số lần xảy
ra.
 BẢNG 3.2: Phân phối điểm KTL của 200 sinh viên
Điểm
Điểm giữa của

khoảng
Tần suất
tuyệt đối
Tần suất tương
đối
0-9
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
0
0
0
10
20

35
50
45
30
10
Tổng 200
0
0
0
0.050
0.100
0.175
0.250
0.225
0.150
0.050
1.000
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 28

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị
x
1
, x
2
, thì hàm f được xác định bởi
f(X=x
i

) = P(X=x
i
) i = 1, 2, … (3.7)
=0 nếu x ≠ x
i

được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X,
ký hiệu là PMF hay PF, trong đó, P(X=x
i
) là xác suất X có
giá trị x
i
. Hàm PMF có các tính chất sau:
0  f(x
i
)  1 (3.8)



n
1i
i
1)x(f
(3.9)
Ví dụ, biến X là số mặt ngửa khi tung hai đồng xu, ta xét
bảng sau đây:
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

5

0.25
0.5
0.25
0 1 2
Hình 3.1: PMF của biến ngẫu nhiên rời rạc
 BẢNG 3.3: PMF của biến ngẫu nhiên rời rạc

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 34
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ, gọi X là biến chiều cao của một người, được đo
bằng mét. Giả sử ta muốn tính xác suất để chiều cao của
một người trong khoảng 1.56m đến 1.80m.
Hình 3.2: PDF của một biến ngẫu nhiên liên tục
0.04924276
0.54924276
1.04924276
1.54924276
2.04924276
2.54924276
3.04924276
3.54924276
4.04924276
1.4 1.44 1.48 1.52 1.56 1.6 1.64 1.68 1.72 1.76 1.8 1.84 1.88 1.92 1.96
Xác suất để chiều cao của một cá nhân nằm trong khoảng từ
1.56m đến 1.80m là diện tích dưới dường phân phối giữa
hai giá trị 1.56 và 1.80. Đối với một biến ngẫu nhiên
liên tục X, thì hàm mật độ xác suất f(X) như sau:
P(x
1

 X x
2
) =

2
1
x
x
dx)x(f
(3.10)
Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên X có các tính
chất sau đây:
Số mặt ngửa
X
PMF
f(X)
0
¼
1
½
2
¼
Tổng
1.00
Xác suất để chiều cao trong
khoảng 1.56 đến 1.8
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

6

 Tổng diện tích dưới đường f(x) bằng 1
 P(x
1
 X  x
2
) là diện tích dưới đường f(x) giữa x
1
và
x
2
, với x
2
> x
1
.
 Vì xác suất để một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị
nhất định bằng không, nên các công thức dưới đây là
tương đương nhau:
P(x
1
 X  x
2
) = P(x
1
 X  x
2
) = P(x
1
 X x

2
) = P(x
1
 X  x
2
) (3.11)

Hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên
Liên quan đến PMF hay PDF của một biến ngẫu nhiên X là
hàm phân phối tích lũy của biến đó, được xác định như
sau:
F(X) = P(X  x) (3.12)
P(X  x) nghĩa là xác suất để một biến ngẫu nhiên X có
giá trị nhỏ thua hoặc bằng x, với x đã biết. CDF có các
tính chất như sau:
 F(-) = 0 và F(+) = 1
 F(x) là một hàm không giảm, nghĩa là nếu x
2
> x
1
, thì
F(x
2
)  F(x
1
)
 P(X  k) = 1 – F(k)
 P(x
1
 X  x

2
) = F(x
2
) – F(x
1
)
 BẢNG 3.4: Hàm phân phối xác suất tích lũy của một biến ngẫu nhiên
Số mặt ngửa
(X)
PDF
CDF
X
PDF
X
CDF
0
0  X < 1
1/16
X  0
1/16
1
1  X < 2
4/16
X  1
5/16
2
2  X < 3
6/16
X  2
11/16

3
3  X < 4
4/16
X  3
15/16
4
4  X
1/16
X  4
16/16
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 37
Như vậy, CDF chỉ là tích lũy hay đơn giản là tổng của các
PDF của các giá trị X nhỏ thua hoặc bằng x.
Các hàm mật độ xác suất đa biến
Ví dụ, một đại lý bán lẻ máy tính bán hai loại thiết bị
là máy tính cá nhân và máy in. Số máy tính và máy in được
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

7

bán thay đổi giữa các ngày khác nhau, nhưng giám đốc đại
lý đã thu thập doanh số của 200 ngày qua như trong bảng
sau.
 BẢNG 3.5: Phân phối tần suất của hai biến ngẫu nhiên X và Y
Số máy in được bán
(Y)
Số máy tính được bán (X)
Tổng
0

1
2
3
4
0
6
6
4
4
2
22
1
4
10
12
4
2
32
2
2
4
20
10
10
40
3
2
2
10
20

20
54
4
2
2
2
10
30
46
Tổng
16
24
48
48
64
200
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39
Bảng trên cho thấy trong 200 ngày có 30 ngày đại lý bán
được 4 máy tính và 4 máy in, có 2 ngày bán được 4 máy
tính nhưng không bán được máy in nào. Giải thích tương tự
cho các con số còn lại. Đây là một ví dụ về phân phối tần
suất kết hợp. Nếu chia từng con số trong bảng trên cho
200, ta sẽ có các tần suất tương đối.
 BẢNG 3.6: Phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên X và Y
Số máy in được bán
(Y)
Số máy tính được bán (X)
Tổng
0
1

2
3
4
0
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.11
1
0.02
0.05
0.06
0.02
0.01
0.16
2
0.01
0.02
0.01
0.05
0.05
0.23
3
0.01
0.01
0.05
0.10
0.10

0.27
4
0.01
0.01
0.01
0.05
0.05
0.23
Tổng
0.08
0.12
0.24
0.24
0.32
1.00
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39
Do hai biến X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, nên
bảng 3.6 được gọi là hàm phân phối xác suất kết hợp của
hai biến ngẫu nhiên.
f(X,Y) = P(X = x và Y = y) (3.13)
= 0 khi X  x và Y  y
Hàm xác suất kết hợp có các tính chất sau:
 f(X,Y)  0

 

x y
1)Y,X(f

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

ThS Phùng Thanh Bình

8

Hàm xác suất biên
Xác suất X nhận một giá trị nhất định bất kể Y nhận giá
trị gì được gọi là xác suất biên của X, và phân phối của
các xác suất này được gọi là hàm phân phối xác suất biên.
 BẢNG 3.7: Phân phối xác suất biên của X và Y
X
f(X)
Y
f(Y)
0
1
2
3
4
0.08
0.12
0.24
0.24
0.32
0
1
2
3
4
0.11
0.16

0.23
0.27
0.23
Tổng
1.00.

1.00
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 41
Từ bảng xác suất kết hợp giữa X và Y ta có thể tính các
hàm xác suất biên như sau:
f(X) =

y
)Y,X(f

f(Y) =

x
)Y,X(f

Nếu hai biến X và Y là hai biến ngẫu nhiên liện tục thì
ta sẽ thay ký hiệu tổng thành ký hiệu tích phân.
Hàm xác suất điều kiện
Giả sử ta muốn tìm xác suất có 4 máy in được bán nếu biết
có 4 máy tính được bán trong này, và đó chính là xác suất
có điều kiện. Hàm phân phối xác suất có điều kiện của một
biến ngẫu nhiên có thể được định nghĩa như sau:
F(YX) = P(Y=yX=x) (3.14)
F(XY) = P(X=xY=y) (3.15)
Một công thức đơn giản để tính hàm phân phối xác suất có

điều kiện sẽ như sau:
F(YX) =
)X(f
)Y,X(f
(3.16)
F(XY) =
)Y(f
)Y,X(f
(3.17)

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

9

CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Giá trị kỳ vọng: Thước đo định tâm
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu
là E(X), được định nghĩa như sau:
E(X) = 
X
=

x
)X(xf
(3.18)
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là trung bình có
trọng số của các giá trị có thể có của biến đó, với xác
suất của các giá trị này, f(X), đóng vai trò như các

trọng số. Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên cũng
được gọi là giá trị trung bình, mặc dù chính xác hơn là
giá trị trung bình tổng thể.
Tính chất của giá trị kỳ vọng
 E(b) = b (3.19)
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) (3.20)
 E(X/Y) 
)Y(E
)X(E
(3.21)
 E(XY)  E(X)E(Y) (3.22)
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì
E(XY) = E(X)E(Y) (3.23)
 E(X
2
)  [E(X)]
2
(3.24)
 E(aX) = aE(X) (3.25)
 E(aX+b) = aE(X) + b (3.26)

Phương sai: Thước đo phân tán
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên đơn giản chỉ cho
biết trọng tâm của biến đó ở đâu chứ không cho biết các
giá trị riêng lẻ của biến đó phân tán như thế nào xung
quanh giá trị trung bình. Thước đo phổ biến nhất cho sự
phân tán này là phương sai, và được định nghĩa như sau:
var(X) =
2
x


= E(X-
x
)
2
(3.27)
var(X) =

 )X(f)X(
2
x
(3.28)
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

10

Phương sai cho biết các giá trị X riêng lẻ được phân phối
hay phân tán xung quanh giá trị trung bình như thế nào.
Nếu các giá trị X phân tán rộng quanh giá trị trung bình
thì phương sai sẽ tương đối lớn (xem Hình 3.3). Căn bậc
hai của phương sai là độ lệch chuẩn, ký hiệu là 
x
.
Hình 3.3: PDF của các biến ngẫu nhiên liên tục cùng giá trị kỳ vọng

Tính chất của phương sai
 Phương sai của một hằng số bằng không.
 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì
var(X+Y) = var(X) + var(Y) (3.29)

var(X-Y) = var(X) – var(Y)
 Nếu b là hằng số, thì
var(aX) = a
2
var(X) (3.30)
 Nếu a và b là hằng số, thì
var(aX+b) = a
2
var(X) (3.31)
 Nếu X và Y là hai biến độc lập và a và b là hằng số,
thì
var(aX+bY) = a
2
var(X) + b
2
var(Y) (3.32)
Phương sai
quá nhỏ
Phương sai
quá lớn
X
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

11

 Để tiện lợi cho việc tính toán, công thức phương sai
cũng có thể được viết lại như sau:
var(X) = E(X
2

) – [E(X)]
2
(3.33)
Hệ số biến thiên
Lưu ý rằng, vì độ lệch chuẩn (hay phương sai) phụ thuộc
vào các đơn vị đo lường khác nhau, cho nên sẽ khó cho
việc so sánh giữa các độ lệch chuẩn nếu chúng có các
thước đo khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể
sử dụng hệ số biến thiên (V) như sau:
V =
100.
x
x


(3.34)
Hiệp phương sai
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên với E(X) = 
x
và E(Y)
= 
y
, thì hiệp phương sai (cov) giữa hai biến sẽ như sau:
Cov(X,Y) = E[(X-
x
)(Y-
y
)]
= E(XY) - 
x


y
(3.35)
Hiệp phương sai giữa hai biến có thể dương, âm, hoặc bằng
không. Nếu hai biến vận động theo cùng chiều, thì hiệp
phương sai sẽ dương, nếu khác chiều, thì hiệp phương sai
sẽ âm. Nếu hiệp phương sai giữa hai biến bằng không, thì
có nghĩa là không có mối quan hệ tuyến tính nào giữa hai
biến đó.
Ta có thể tính hiệp phương sai theo công thức sau
đây:
cov(X,Y) =


x y
yx
)Y,X(f)Y)(X(

=


x y
yx
)Y,X(XYf
(3.36)
= E(XY) - 
x

y

Tính chất của hiệp phương sai
 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, hiệp
phương sai của chúng bằng không vì khi đó E(XY) =
E(X)E(Y) = 
x

y
.
 cov(a+bX, c+dY) = bdcov(X,Y) (3.37)
 cov(X,X) = var(X) (3.38)
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

12

 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên nhưng không nhất
thiết phải độc lập, thì công thức tính phương sai
(3.29) được viết lại như sau:
var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y) (3.39)
var(X-Y) = var(X) + var(Y) – 2cov(X,Y) (3.40)
Hệ số tương quan
Hệ số tương quan là thước đo mối quan hệ tuyến tính giữa
hai biến ngẫu nhiên, nghĩa là nó cho biết hai đó có quan
hệ với nhau như thế nào: mạnh hay yếu. Hệ số tương quan
tổng thể (, rho) được xác định như sau:
 =
yx
)Y,Xcov(

(3.36)

Tính chất của hệ số tương quan
 Giống hiệp phương sai, hệ số tương quan có thể âm
hoặc dương.
 Hệ số tương quan là một thước đo mối quan hệ tuyến
tính giữa hai biến.
 -1    1 (3.37)
 Hệ số tương quan là một con số thuần túy không có đơn
vị đo lường.
 Nếu hai biến độc lập, hệ số tương quan bằng không.
 Hệ số tương quan không hàm ý mối quan hệ nhân quả.
Kỳ vọng có điều kiện
Một khái niệm thống kê khác đặc biệt quan trọng trong
phân tích hồi qui là khái niệm kỳ vọng có điều kiện.
E(XY=y) =


X
)yY/X(Xf
(3.38)
Độ nghiêng và độ nhọn
Độ nghiêng và độ nhọn cho ta biết điều gì đó về hình dạng
của phân phối xác suất. Độ nghiêng (S) là một thước đo sự
mất cân xứng của đồ thị phân phối xác suất, và độ nhọn
(K) là một thước đo độ cao hay thấp của đồ thị phân phối
xác suất.
Mô men thứ ba: E(X-
x
)
3
(3.39)

Mô men thứ tư: E(X-
x
)
4
(3.40)
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

13

S =
3
x
3
x
)X(E


(3.41)
Hình 3.4: Độ nghiêng của phân phối

Có ba khả năng xảy ra như sau:
 Nếu S = 0, PDF đối xứng quanh giá trị trung bình
 Nếu S > 0, PDF bị nghiêng phải
 Nếu S < 0, PDF bị nghiêng trái
K =
2 2
x
4
x

])X(E[
)X(E


(3.42)
Có ba khả năng xảy ra như sau:
 Nếu K = 3, PDF có độ nhọn chuẩn và được gọi là
mesokurtic
 Nếu K < 3, PDF có đuôi ngắn và được gọi là
platykurtic
 Nếu K > 3, PDF có đuôi dài và được gọi là
leptokurtic
X
Nghiêng phải
Nghiêng trái
Đối xứng
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

14

Hình 3.5: Độ nhọn của phân phối


TỪ TỔNG THỂ ĐẾN MẪU

Trung bình mẫu
Trung bình mẫu của một biến ngẫu nhiên X có n quan sát
được ký hiệu là
X

(đọc là X ngang) và được định nghĩa như
sau:



n
1i
i
n
X
X
(3.43)
Trung bình mẫu được xem là một ước lượng của E(X), từ
trung bình tổng thể. Một ước lượng đơn giản là một qui
tắc, một công thức, hay một thống kê cho ta biết làm sao
để ước lượng một đại lượng của tổng thể. Giả sử X có 7
quan sát với các giá trị như sau: 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14. Vậy
X
= 11, và con số 11 này được gọi là một giá trị
ước lượng của trung bình tổng thể.
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar
meanX=@mean(x)
Đuôi ngắn
Đuôi dài
Độ nhọn chuẩn
X
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

15

Phương sai mẫu
Phương sai mẫu được ký hiệu bằng
2
x
S
, là ước lượng của
phương sai tổng thể
2
x

. Phương sai mẫu được định nghĩa
như sau:





n
1i
2
i
2
x
1n
)XX(
S
(3.44)

n-1 được gọi là số bậc tự do (d.f.). Bậc tự do là số
nguồn thông tin (piece of information) về một biến ngẫu
nhiên. Để hiểu khái niệm này, ta xét ví dụ sau đây.
 BẢNG 3.8: Định nghĩa khái niệm bậc tự do
Quan sát
X
(X-
)X

(X-
)X
2

1
8
-3
9
2
9
-2
4
3
10
-1
1
4
11
0
0
5

12
1
1
6
13
2
4
7
14
3
9

Tổng
0
28
Nguồn: Tác giả
Ta biết rằng tổng độ lệch luôn luôn bằng không
1
, nên để
xem độ lệch của các giá trị X so với giá trị trung bình
ta phải lấy độ lệch bình phương. Tổng của 7 độ lệch bình
phương là 28, nhưng thực sự con số 28 này chỉ do 6
“nguồn” đóng góp, vì quan sát thứ tư trùng với giá trị
trung bình. Như vậy, để xem độ lệch trung bình ta chỉ lấy
28 chia cho số nguồn thực sự tạo ra nó, tức 7-1 = 6. Vậy
phương sai là 4.67 (là một giá trị ước lượng của phương
sai tổng thể) và căn bậc hai của phương sai mẫu được gọi
là độ lệch chuẩn mẫu (s.d.). Độ lệch chuẩn (2.16) được
xem như một thước đo sấp xỉ cho trung bình của 6 độ lệch
tuyệt đối ở trên. Mở rộng cho trường hợp một biến ngẫu

nhiên liên tục.
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar varX=@var(x)


1
Chứng minh:
   
 0XXXnXXX)XX(

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

16

Hiệp phương sai mẫu
Hiệp phương sai mẫu giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y là
ước lượng của hiệp phương sai tổng thể, và được định
nghĩa như sau:
Cov(X,Y) =
1n
)YY)(XX(
ii



(3.45)
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar
covXY=@cov(x,y)

Hệ số biến thiên mẫu
Hệ số biến thiên mẫu của X được xác định bằng công
thức sau đây:
V =
100.
X
S
x
(3.46)
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eview ta nhập: scalar
cvX=@stdev(x)/@mean(x)
Hệ số tương quan mẫu
Hệ số tương quan mẫu giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y là
ước lượng của hệ số tương quan tổng thể, và được định
nghĩa như sau:
)Y.(d.s)X.(d.s
)1n/()YY)(XX(
r
ii



(3.47)
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar
corXY=@cor(x,y)
Độ nghiêng và độ nhọn mẫu
Để tính độ nghiêng và độ nhọn mẫu, ta sử dụng các mô men
mẫu thứ ba và thứ tư như sau:

Mô men thứ ba:
)1n(
)XX(
3



(3.48)
Mô men thứ tư:
)1n(
)XX(
4



(3.49)

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

17

Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập:
scalar skewX=@skew (x)
scalar kurtX=@kurt(x)

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG

Phân phối chuẩn

Kinh nghiệm cho thấy rằng phân phối chuẩn là một mô hình
hợp lý cho một biến ngẫu nhiên liên tục với giá trị của
nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố, nhưng mỗi yếu tố chỉ có
ảnh hưởng tương đối nhỏ lên giá trị của biến số đó. Phân
phối chuẩn của một biến ngẫu nhiên X được thể hiện thông
qua hai tham số cơ bản là giá trị trung bình và phương
sai. Cụ thể như sau:
X ~ N(
x
,
2
x

) (3.50)
Hình 3.6: Đồ thị phân phối chuẩn
-3 -2 -1 0 1 2 3


-

khoảng 68%
-2
2
-3
3
khoảng 99.7%
khoảng 95%
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

18

Tính chất của phân phối chuẩn
 Đường phân phối chuẩn đối xứng quanh giá trị trung
bình 
x
.
 Hàm phân phối xác suất PDF của một biến ngẫu nhiên
theo phân phối chuẩn cao nhất tại giá trị trung bình
nhưng nhỏ dần về các cực trị của nó. Nghĩa là, xác
suất để có một giá trị của một biến ngẫu nhiên theo
phân phối chuẩn càng xa giá trị trung bình càng nhỏ.
 Theo kinh nghiệm, khoảng 68% diện tích dưới đường
phân phối chuẩn nằm giữa giá trị 
x
±
x
, khoảng 95%
diện tích nằm giữa 
x
±2
x
, và khoảng 99.7% diện tích
nằm giữa 
x
±3
x
.
 Một phân phối chuẩn được định nghĩa hoàn toàn bởi hai
tham số 

x
và
2
x

. Một khi biết được hai tham số này
thì ta có thể tính được xác suất của X nằm trong một
khoảng nhất định theo công thức sau:
f(X) =



















2
x

x
x
σ
μX
2
1
-exp
2Πσ
1
(3.51)
 Một kết hợp (hay một hàm) tuyến tính của hai hay
nhiều biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn sẽ theo
phân phối chuẩn – đây là một tính chất đặc biệt quan
trọng của phân phối chuẩn trong kinh tế lượng.
 Đối với phân phối chuẩn, thì độ nghiêng S là 0 và độ
nhọn K là 3.
Phân phối chuẩn hóa
Mặc dù một phân phối chuẩn hoàn toàn được xác định bằng
hai tham số, giá trị trung bình và phương sai tổng thể,
nhưng các phân phối chuẩn có thể khác nhau hoặc ở giá trị
trung bình, hoặc phương sai, hoặc cả hai.
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

19

Hình 3.7: So sánh các phân phối chuẩn có trung bình và phương sai khác nhau
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ta không thể so sánh các phân phối chuẩn có các tính chất

khác nhau. Cho nên, người ta qui về cùng một biến chuẩn
hóa Z như sau:
x
x
X
Z



(3.52)
Theo tính chất của phân phối chuẩn, nếu X là một biến
ngẫu nhiên có trung bình là 
x
và phương sai là 
x
, X ~
N(
X
, 
2
X
), thì Z là một kế hợp tuyến tính của X sẽ là một
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là
không và phương sai là một, Z ~ N(0, 1)
2
.
Như vậy, bất kỳ một biến ngẫu nhiên theo phân phối
chuẩn với một giá trị trung bình và phương sai nhất định
đều có thể được chuyển đổi thành một biến chuẩn hóa, điều
này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính xác suất. Để

hiểu vai trò của phân phối chuẩn hóa, ta xem xét ví dụ
sau đây.


2
Chứng minh: E(Z) = E
0)
x
X(E
x
1
x
x
X













do E(X-
x
) = E(X) – E(

x
) = 
x
- 
x
= 0. Và Var(Z) =
E[Z-E(Z)]
2
= E(Z
2
), do E(Z) = 0, vậy E(Z
2
) = E
1
2
x
2
x
1
2
)
x
X(E
2
x
1
2
x
x
X


















1


2

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

20

Giả sử X, số lượt khách du lịch quốc tế hàng ngày của một
công ty du lịch, theo phân phối chuẩn với giá trị trung
bình là 70 và phương sai là 9; nghĩa là, X ~ N(70,9). Hãy

tính xác suất cho một ngày bất kỳ công ty có số khách du
lịch quốc tế nhiều hơn 75 khách?
Ta thấy, do X theo phân phối chuẩn với giá trị trung
bình và phương sai đã biết, nê ta có:
67.1
3
7075
Z 



sẽ theo phân phối chuẩn hóa với trung bình bằng 0 và
phương sai bằng 1. Thay vì tìm P(X > 75), ta có thể tìm
P(Z > 1.67). Lưu ý, trong các sách thống kê và kinh tế
lượng thường có kèm phụ lục bảng thống kê giá trị hàm
phân phối xác suất tích lũy (CDF) hay giá trị xác suất
tích lũy của phân phối chuẩn hóa giữa các giá trị Z = -3
và Z = 3 (tại sao?). Theo bảng thống kê này thì xác suất
Z nằm từ -3 đến 1.67 là 0.9525
3
. Cho nên,
P(Z > 1.67) = 1 – P(Z < 1.67) = 1 – 0.9525 = 0.0475
Vây xác suất để một ngày bất kỳ công ty có số lượt khách
du lịch nhiều hơn 75 người là 4.75%.
Tóm lại, một biến ngẫu nhiên bất kỳ mà giá trị của nó
phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, nhưng không có yếu tố nào
có ảnh hưởng quyết định giá trị đó, thì biến ngẫu nhiên
đó sẽ theo phân phối chuẩn
4
. Và bất kỳ một biến X có phân

phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai đã biết
thì đều có thể chuyển được sang biến chuẩn hóa Z có giá
trị trung bình là 0 và phương sai là 1.

Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập:
scalar probm167=1-@cnorm(1.67) = 0.0475
scalar probs167=@cnorm(1.67) = 0.9525
scalar probs_167=@cnorm(-1.67) = 0.0475
scalar Zval09525=@qnorm(0.9525) = 1.67


3
Nếu quí vị đang sử dụng máy vi tính mà lụi cụi tra bảng thống kê thì cô ấy nhà bên nhìn qua cười khúc khít đó.
Hãy mở Excel ra là làm thế này: = NORMDIST(X, Mean, Standard_dev, Cumulative). Trong đó, “X” là giá trị
cần tính xác suất tích lũy (1.67), “Mean” và “Standard_dev” ở đây lần lượt là trung bình (0) và độ lệch chuẩn (1)
của biến X, và “Cumulative” có hai lựa chọn là “True” (đồng ý tính xác suất tích lũy) và “False” (không tính
xác suất tích lũy). Ở trường hợp đang xét, ta chọn “True”. Ngược lại, nếu ta đã biết xác suất tích lũy, giá trị
trung bình và phương sai thì ta dễ dàng tính giá trị của biến đó như sau: =NORMINV(0.9525,0,1) = 1.67.
4
Đây là cơ sở quan trọng cho việc giả định rằng hạn nhiễu u
i
có phân phối chuẩn (sẽ được nói đến ở bài giảng
6).
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

21

Phân phối xác suất của trung bình mẫu

X

Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một mẫu với n quan sát gồm các
giá trị X
1
, X
2
, …, X
n
từ một tổng thể có cùng hàm phân
phối xác suất. Nếu ta thực hiện m mẫu như thế thì giá trị
trung bình mẫu
X
sẽ là một biến ngẫu nhiên. Như vậy, vấn
đề đặt ra là
X
sẽ có phân phối như thế nào?
 BẢNG 3.9: Định nghĩa biến trung bình mẫu và phương sai mẫu
Mẫu
Giá trị của mẫu
Giá trị trung bình mẫu
X

Phương sai mẫu
2
x
S

1
2

3
.
.
M
X
11
X
12
. . . X
1n
X
21
X
22
. . . X
2n

X
31
X
32
. . . X
3n

.
.
X
m1
X
m2

. . . X
mn

1
X

2
X

3
X

.
.
m
X

2
1x
S

2
2x
S

2
3x
S

.

2
xn
S

Ví dụ, một tổng thể có phân phối chuẩn với giá trị trung
bình là 10 và phương sai là 4, tức N(10,4). Từ tổng thể
này ta thu thập 20 mẫu ngẫu nhiên với 20 quan sát/mẫu.
Như vậy ta sẽ có các giá trị trung bình,
X
như sau.
 BẢNG 3.10: Phân phối xác suất của trung bình mẫu
Các trung bình
mẫu (
X
)
Khoảng của trung
bình mẫu
Tần suất
tuyệt đối
Tần suất
tương đối
9.641
10.040
9.174
10.840
10.480
11.386
9.740
9.937
10.250

10.334
10.134
10.249
10.321
10.399
9.404
8.621
9.739
10.184
9.765
10.410
8.5 – 8.9
9.0 – 9.4
9.5 – 9.9
10.0 – 10.4
10.5 – 10.9
11.0 – 11.4
Tổng
1
1
5
8
4
1
20
0.05
0.05
0.25
0.40
0.20

0.05
1.00
Nguồn: Gujarati, 2006, trang 86
Tổng của 20 giá trị trung bình là 201.05,
052.10
n
X
X
i



,
và var(
X
) =
339.0
19
)XX(
2



.
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

22

0.00

0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
8.75 9.25 9.75 10.25 10.75 11.2
Hình 3.8: Phân phối của 20 giá trị trung bình mẫu từ tống thể có N(10,4)

Lý thuyết thống kê cho rằng, nếu X
1
, X
2
, …, X
n
là một mẫu
ngẫu nhiên từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung
bình 
x
và phương sai
2
x

, thì trung bình mẫu,
X
,cũng theo
phân phối chuẩn với trung bình 

x
nhưng phương sai
n
2
x

5
.
Nghĩa là,

X
~ N(
x
,
n
2
x

) (3.53)
Căn bậc hai của phương sai trung bình mẫu,
n
x

, được gọi
là sai số chuẩn (se) của
X
, tương tự như khái niệm độ
lệch chuẩn. Lưu ý, căn bậc hai của phương sai của một

5
Chứng minh: Do



n
1i
i
X
n
1
X
nên ta có:
x
)
x
n(
n
1
]
x

xx
[
n
1
)]
n
X(E )
2

X(E)
1
X(E[
n
1
)X(E 

n
2
x
)
2
x
n(
2
n
1

)]
n
Xvar( )
2
Xvar()
1
X[var(
2
n
1
n
n

X
2
X
1
X
var)Xvar(












BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

23

biến ngẫu nhiên được gọi là độ lệch chuẩn (s.d.), và căn
bậc hai của một ước lượng được gọi là sai số chuẩn (se).
Định lý giới hạn trung tâm
Như ta vừa phân tích, trung bình mẫu của một mẫu rút ra
từ một tổng thể phân phối chuẩn cũng theo phân phối chuẩn
(bất kể cở mẫu bao nhiêu). Vấn đề đặt ra là nếu các mẫu
rút ra từ các tổng thể khác không theo phân phối chuẩn

thì sao? Định lý giới hạn trung tâm cho rằng nếu X
1
, X
2
,
…, X
n
là một mẫu ngẫu nhiên từ bất kỳ tổng thể nào với
trung bình là 
x
và phương là
2
x

, thì trung bình mẫu
X
sẽ
có xu hướng theo phân phối chuẩn với trung bình là 
x
và
phương sai là
n
2
x

khi cỡ mẫu tăng lên vô cùng
6
.
Hình 3.9: Định lý giới hạn trung tâm: Các mẫu được rút ra từ một tổng thể chuẩn hay
không chuẩn đều có phân phối chuẩn

Phân phối mẫu của giá
trị trung bình
Tổng thể có phân
phối chuẩn
Tổng thể không có phân
phối chuẩn


Phân phối t
Phân phối xác suất được sử dụng rất nhiều trong phần kinh
tế lượng căn bản là phân phối t, cũng được gọi là phân
phối t Student.


6
Trên thực tế, cho dù phân phối xác suất nền tảng là gì, trung bình mẫu của một cở mẫu ít nhất có 30 quan sát sẽ
có thể xấp xỉ chuẩn (Gujarati, 2006, pp.88).

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

24

Nếu
X
~ N(
x
,
n
2

x

), thì biến chuẩn hóa Z được định nghĩa
như sau: Z =
n
)X(
x
x


~ N(0,1) nếu cả hai tham số 
x
và
n
2
x

đều được biết. Nhưng giả sử ta chỉ biết 
x
và giá trị
ước lượng của
2
x

bởi ước lượng mẫu
1n
)XX(
S
2
i

2
x




. Như vậy,
nếu thay
x

bằng
x
S
ta sẽ có một biến mới như sau:
t =
n
S
)X(
x
x

(3.54)
Lý thuyết thống kê cho rằng biến t sẽ theo phân phối t
với số bậc tự do là (n-1), đây là tham số duy nhất của
phân phối t.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Phân phối chuẩn
Phân phối t với df=1
Phân phối t với df=4
Phân phối t với df=10

Hình 3.10: Phân phối t với một số bậc tự do khác nhau

t
BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ThS Phùng Thanh Bình

25

Tính chất của phân phối t
 Giống như phân phối chuẩn, phân phối t đối xứng quanh
giá trị trung bình.
 Trung bình của phân phối t, giống như phân phối chuẩn
hóa, là không, nhưng phương sai là k/(k-2), với k là
số bậc tự do. Vì vậy, phương sai của phân phối t chỉ
được xác định khi số bậc tự do d.f. > 2.
Để mimh họa ứng dụng của phân phối t trên thực tế ta xét
tiếp ví dụ về số lượt khách du lịch quốc tế tại một công
ty du lịch như đã đề cập. Biết rằng, trong giai đoạn 15
ngày qua, số lượt khách quốc tế trung bình một ngày là 72
và phương sai mẫu là 4. Hãy tính xác suất để có được số
lượt khách trung bình đó, biết rằng giá trị trung bình
thực là 70 khách một ngày?
Nếu biết độ lệch thực của tổng thể () thì ta có thể
dễ dàng sử dụng phân phối chuẩn hóa để tính xác suất
trên. Nhưng ở đây ta có S, là một ước lượng của , nên ta
có thể sử dụng phân phối t như sau:
153
7072
t



=1.9365
sẽ theo phân phối chuẩn hóa với trung bình bằng 0 và
phương sai bằng 1.17. Thay vì tìm
)72X(P 
, ta có thể tìm
P(t > 1.9365). Áp dụng hàm phân phối t
7
cho trường hợp một
đuôi ta có:
P(t > 1.9365) = 1 – P(t < 1.9365) = 0.0366
Vây xác suất để số lượt khách trung bình một ngày của
công ty du lịch này là 3.66%.
Thao tác với Eviews
Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập:
scalar probm19365=1-@ctdist(1.9365,14) = 0.0366
scalar probs19365=@ctdist(1.9365,14) = 0.9634
scalar probs_19365=@ctdist(-1.9365,14) = 0.0366
scalar tval09634=@qtdist(0.9634,14) = 1.9365


7
Hàm phân phối xác suất t trên Excel là: =TDIST(X, Deg_freedom, Tails). “X” nghĩa là giá trị t cần tính xác
suất (1.9365), nghĩa là diện tích dưới đường phân phối t từ t đến + (ta sẽ biết đây chính là vùng bác bỏ giả thiết
H
0
). “Deg_freedom” là số bậc tự do (14). “Tails” có hai lựa chọn: “1” (một đuôi), và “2” (hai đuôi). Giá trị xác
suất ta tính được từ công thức này chính là P-Value (sẽ được giới thiệu ở bài giảng 4). Nếu ta đã biết mức ý
nghĩa (sẽ được trình bày ở bài giảng 4) và số bậc tự do, ta sẽ tìm được giá trị t theo công thức sau:
=TINV(Probability, Deg_freedom). Ví dụ, =TINV(3.66%,14) = 1.9365. Lưu ý, Phụ lục B ở cuối bài giảng 3 sẽ

hướng dẫn cách vẽ đồ thị phân phối t bằng Excel.