tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (2)

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 15: Bất đẳng thức kết hợp điều kiện

3
Bài 1: Cho các số thực x , y , z   thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
y
x
z
A 2
 2
 2
x 1 y 1 z 1





x

36
3
(1)
x
50

x  1 50
y
36
3
(2)
y

2
50
y  1 50
2

z
2

z 1





36
3
(3)
z
50
50

Thật vậy: (1)   3x  1  4 x  3   0 luôn đúng x  
2

Chứng minh tương tự cho (2) và (3).  A 

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z 

x
2

x 1

3
1
3
. Đẳng thức xảy ra khi x  hoặc x  
4
3
4

y



2

y 1

z



2

z 1



36
3 36
3
9
x  y  z 
 .3 


50
50 50
50 10

1
.
3

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của A là

9
1
khi x  y  z  .
10
3

Bài 2: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn

1
x

2



1
y

2



1
z2

 1 . Chứng minh rằng:

y
x
z
3 3 9



x 1 y 1 z 1
2

Ta có đánh giá:



x
96 3 1 3

 (1). (1)  x  3
x 1
4
x2 4

Đẳng thức xảy ra khi x  3 . Tương tự ta có:



y
x
z
96 3  1
1
1



 2  2  2
x 1 y 1 z 1
4
y
z

x

Bài 3: Cho a , b, c  0 và

  x  3  2 3   0 đúng x  0 .
2

y
96 3 1 3
z
96 3 1 3

 và

 .
2
y 1
4
4
z 1
4
y
z2 4

 9 3 3 9
. Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  3 .
  
2
 4

a
b
c
a2
b2
c2


 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 


a2 b2 c2
a1 b1 c1

x2
27  x  5  8 x  10  x  1
 
 0, x  0 .
Ta có: f  x  
 
x1 8  x 2 8
8  x  1 x  2 
2

Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn


Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />

Do đó: P  f  a   f  b   f  c  

Admin: Chương Dương

27  a
b
c  15
27  a
b
c  15
3


P


P .




8 a2 b2 c2 8
8 a2 b2 c2 8
2

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .
Bài 4: Cho a , b, c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P  a 3  b 3  c 3   a  1 a  3   b  1  b  3   c  1  c  3





Ta có: f  x   x 3   x  1 x  3  x   x  1 x 2  x  x  3   x  1




x3 2


2

x3 2

  x  2 



x3 2

  x  2 

x  3  2x  3





x  3  2 x  3  0x  0 .Do đó: P  f  a   f  b   f  c    a  b  c   3 .

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .
Bài 5: Cho a , b, c  0 và a 2  b 2  c 2  a  b  c  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 





2
1 2
1  x  1 x  x  1
Ta có: f  x   2
 x x  
 0, x  0 .
2
x 1 2
2 x2  1

x4



2



Do đó: P  f  a   f  b   f  c  





a4
a2  1



b4
b2  1



c4
c2  1

1 2
3 3
a  b 2  c 2  a  b  c   .Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .
2
2 2





Bài 6: Cho a , b, c  0 và a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 a  b   b  c   c  a .
P

2
2
2
2  a  b  1 2  b  c   1 2 c  a  1
 22x2  7 x  7   x  2 2
28
3

x3

11 2
x 

81
2 x  1 81

Ta có: f  x  

2



 P  f  a  b  f b  c   f c  a  

3



81 2 x 2  1



3

 0, x  0 .





2
2
2
11
28 8
a  b   b  c   c  a  
 .Đẳng thức xảy ra: a  b  c  1 .

81
27 3

Bài 7: Cho a , b, c  0 và abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : P 
Xét: f  x  

a3
a2  a  1



b3

b2  b  1



c3
c2  c  1

x3

2
1
 ln x  , với x   0;   . Khi đó ta có:
3
x  x1 3
2

f ' x 



x2 x2  2 x  3

x

2

 x1



2

  2   x  1  3 x
3x

4

 7 x 3  12 x 2  6 x  2







2

3 x2  x  1 x

Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f  1  0 .
Vậy: P  f  a   f  b   f  c  



2
 ln a  ln b  ln c   1  1 .Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .
3







Bài 8: Cho a , b, c  0 và a2  2 b2  2 c 2  2  27 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  a3  b3  c 3  a2  b2  c 2 .
Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn


Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
15
15ln 3
Xét: f  x   x 3  x 2  ln x 2  2 
 2 , với x   0;   . Khi đó ta có:
2
2



Admin: Chương Dương



f ' x  3x  2 x 
2

15 x
2

x 2

 3x


3



 5 x 2  11x  x  1
2

x 2

 f ' x  0  x  1

Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f  1  0 .
 P  f  a   f b  f c  

 



15
45ln 3
.
ln a 2  2  ln b 2  2  ln c 2  2  6 
2
2









 P  6 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .









Bài 9: Cho a , b, c  0 và a2  b2  c 2  a  b  c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a2  1 b2  1 c 2  1 .



 



Xét: f  x   ln x 2  1  2 x 2  x  ln 2 , với x   0;   . Khi đó ta có:
f 'x 

2x
2

x 1

 2x
 2x  1  

2



 x  1  x  1
2

x 1

 f ' x  0  x  1

Sử dụng khảo sát bảng biến thiên của hàm số ta được f  x   f  1  0 .





 ln P  f  a   f  b   f  c   2 a2  b2  c 2  a  b  c  3ln 2  ln 8 .
 P  8 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .

Bài 10: Cho a , b, c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của : P 
Xét: f  x 

a2   b  c 

2



b3
b2   c  a 

2



c3
2

c2  a  b 

9  x  12  x  1
17
12
 x

 0x   0; 3 
25
25
25 2 x 2  6 x  9
2

x3
x 2   3  x

a3

2



Khi đó: P  f  a   f  b   f  c  



17
3
 .Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .
 a  b  c   36
25
25 5

Bài 11: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 3  z 4  x 3  y 4  z 5 .
Chứng minh rằng:

x3  y3  z3  3

Đề thi thử THPT Chuyên Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2016 lần 1
Ta có các đánh giá:
x3  x2 

2

1 3 1
x    x  1  x  2   0 đúng x  0 . Đẳng thức xảy ra khi x  1 .
3
3

y4  y3 

2
1 3 1
y    y  1 3 y 2  2 y  1  0 đúng y  0 .Đẳng thức xảy ra khi y  1 .
3
3

z5  z4 

2
1 3 1
z    z  1 3z 3  3z 2  2 z  1  0 đúng z  0 .Đẳng thức xảy ra khi z  1 .
3
3









Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương

1
 x3  x2  y 4  y 3  z 5  z 4  x3  y 3  z 3  3  0  x3  y 3  z 3  3 . Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
3





Bài 12: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

25a 2

P

25a 2

Ta có bất đẳng thức:



2 a 2  7 b2  16ab

2 a 2  7 b 2  16 ab

c2  3  a

25b2


a
2b2  7 c 2  16bc
Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo DakNong 2016 lần 1

 a  3b (1)

TH: 8 a  3b  0  (1) đúng.





TH: 8 a  3b  0 . (1)  625a 4   8 a  3b  2 a 2  7 b 2  16 ab   a  b   71a  21b  7 a  3b   0 (luôn đúng).
2

2

25b 2

Nên (1) đúng với mọi a, b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .Tương tự ta có:
thức xảy ra khi b  c .  P  a  3b  8b  3c 
 P  3 a  5  a  b  c   8c 

Áp dụng AM-GM: a 


3c 2
c2
 c2  3 a 

a
a


c2  3  a
a

 8 a  5b  3c 

2b 2  7 c 2  16bc

 b  3c . Đẳng

c2 3  a 
a

 2
  c  8c  15


2
c2
 c .  P  3.2c  c 2  8c  15  c 2  2c  15   c  1  14  14
a

c  1

c
b
Đẳng thức xảy ra khi   1,  1  a  b  c  1 .
b
a
 a  b  c  3

Bài 13: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  3 .

x

Chứng minh rằng:

7







 x 4  3 y7  y 4  3 z7  z 4  3  27



Đề Khảo Sát Chất Lượng THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2015



x  x  3  x  2   x  1 x5  2 x4  3x3  3x2  2 x  1  0 đúng x  0
7

Ta có đánh giá :

4

2

3

Đẳng thức xảy ra khi x  1 .Tương tự ta có: y 7  y 4  3  y 3  2 và z 7  z 4  3  z 3  2







 





Khi đó: x7  x 4  3 y7  y 4  3 z7  z 4  3  x 3  2 y 3  2 z 3  2











Áp dụng bất đẳng thức Holder: x 3  1  1 1  y 3  1 1  1  z 3   x  y  z 
Mà ta có: x  y  z 





 x  y  z

2

3

 3  xy  yz  zx   3



 







 x7  x 4  3 y7  y 4  3 z7  z 4  3  x 3  2 y 3  2 z 3  2  27
Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn


FB: />
Group Tài Liệu Ôn Thi

Admin: Chương Dương

Bài 14: Cho a , b, c là các số thực thỏa mãn a  b  c  6 . Chứng minh rằng:



a4  b4  c 4  2 a3  b3  c 3
4

3

4

3

4



3

Bất đẳng thức  a  2 a  b  2b  c  2c  0





Ta có đánh giá: a 4  2 a 3  8 a  16   a  2  a 2  2 a  4  0 đúng a
2





Tương tự: b 4  2b 3  8b  16 , c 4  2c 3  8c  16  a4  b4  c 4  2 a 3  b3  c 3  8  a  b  c   48  0





 a4  b4  c 4  2 a 3  b3  c 3 .Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 .
Bài 15: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng:
a
b
c




1  bc 1  ac 1  ab

Áp dụng AM-GM:



a
bc
1 

 2 

4a
4  1  a 

Do a  b  c  1  a , b , c   0,1 . Ta có đánh giá:

Tương tự :



4b
4  1  b 

4a
4  1  a 

2



2



2





2

b
ac
1 

 2 

4b
4  1  b 

4a



4  1  a 

2

2



2



a
b
c
9



1  bc 1  ac 1  ab 10

c
ab
1 

 2 

2

4c
4  1  c 

2

2
99a  3
  3a  1 11a  15  0 đúng a   0,1
100

99b  3
4c
99c  3

,
2
100
100
4  1  c 

4b
4  1  b 

2



4c
4  1  c 

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c 

2



99  a  b  c   9
100



9
a
b
c
9




10
1  bc 1  ac 1  ab 10

1
.
3

Bài 16: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:
2

2

a  b  c  ab  bc  ca

2

Bất đẳng thức  a  b  c  2 a  2 b  2 c  9
Ta có đánh giá: a 2  2 a  3a 



a 1

  a  2 a   0 đúng a  0 . Tương tự: b
2

2

 2 b  3b , c 2  2 c  3c

 a 2  b 2  c 2  2 a  2 b  2 c  3  a  b  c   9 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 .

Bài 17: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

Ta có đánh giá:

a2
2 a 2  ab  b 2



a2
2 a 2  ab  b 2



b2
2b 2  bc  c 2



c2
2c 2  ca  a 2

11a  3b
(1)
16

TH: 11a  3b  0  (1) đúng
Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn


Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương

TH: 11a  3b  0 . (1)   a  b   a  3b  3b  14a   0 đúng do 3b  14 a  3b  11a  0 .
2

Vậy (1) đúng, đẳng thức xảy ra khi a  b .Tương tự:

P

11  a  b  c   3  a  b  c 
16



8a  b  c

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

2

2b  bc  c

2



c2

11b  3c
,
16

2

2c  ca  a

2



11c  3a
16

1
1
. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  .
2
3



16

b2

1
1
khi a  b  c  .
2
3

Bài 18: Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  x ln y  y ln z  z ln x
Ta có đánh giá: ln x  x  1 . Xét hàm số: f  x   ln x  x  1 với x  0
 f 'x 

1
1 x
1

 f '  x   0  x  1 . BBT:
x
x

x
f’(x)

0

1



0





0

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên  f  x   f  1  0  ln x  x  1 . Tương tự: ln y  y  1 , ln z  z  1

 P  x  y  1  y  z  1  z  x  1

 x  y  z
 xy  yz  zx  3 . Mà: xy  yz  zx 
3

2

3  P330

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi x  y  z  1 .
Bài 19: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P
Áp dụng AM-GM:

a2

b  c

4bc   b  c  
2

4 ac   a  c  
2

2

3  a  b
b2


4
 5bc  a  c   5ac

a2

b  c 

2

 5bc

b2

a  c

2

 5ac

Do a  b  c  1  a , b , c   0,1 . Ta có đánh giá:





4a2
9 b  c 

2

4b 2
9a  c

2





2

4a2
9 1  a 

2

4b 2
9 1  b 

2

2
a
9a  1

  3a  1  0 đúng a   0,1
1 a
4

Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Tương tự:

2

2

 a  b
2
9
1
1 3
 P  a2  b2   a  b  
  a  b  . Áp dụng AM-GM: a 2  b 2 
2
4
2
18 4



Admin: Chương Dương

2
2
2
4  a   b 
3

4   9 a  1   9b  1   3
b
9b  1


 P  


a

b





 


 
    a  b
9  1  a   1  b   4
9  4   4   4
1 b
4




2



2

2

2
2
9
ab 1 3
3
2 1
1
 P   a  b 

  a  b   a  b     
8
2
18 4
8
3 9
9

a  b  c

2
1

Đẳng thức xảy ra khi  a  b 

abc .
3
3

 a  b  c  1

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 

1
1
khi a  b  c  .
9
3

Mọi bài giảng, tài liệu đều được chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán dưới mọi hình thức hoặc coppy nhớ ghi nguồn