tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (23)

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 6: AM – GM Dồn biến

I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):



a  b  2 ab , a ,b  0

2
Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: 
. Đẳng thức xảy ra khi a  b .
ab
,

a
,
b
ab  

 2 




a  b  c  3 3 abc , a , b , c  0

3
Bất đẳng thức Cauchy cho ba số: 
. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c

abc
,

a
,
b
,
c

0
abc  

3






Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm:
a  a  ...  a  nn a a ...a , a , a ,...a  0
n
1 2
n
1 2
n
 1 2
n
. Đẳng thức xảy ra khi a1  a2  ...  an


 a  a  ...  an 
a1a2 ...an   1 2
 , a1 , a2 ,...an  0
n




II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):


a2  b2  2ab, a,b  . Đẳng thức xảy ra khi a  b .



a2  b2  2ab, a,b  . Đẳng thức xảy ra khi a  b .



ab
ab  
 , a,b  . Đẳng thức xảy ra khi a  b .
 2 



a3  b3  c 3  3abc, a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .



abc
abc  
 , a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
3





3  ab  bc  ca    a  b  c   3 a2  b2  c 2 , a , b, c   . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .



a3  b3  ab  a  b  , a, b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .



a2 b2
  a  b, a , b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .
b a

2

3

2





IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:





Bài 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  2 x3  y 3  3 x  y .
Bài 2: Cho các số thực x , y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

Bài 3: Cho các số thực dương x , y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 



1

8 xy x2  y 2



8 x y .

1



9x y x  y
3

3

3

3





1
xy


Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c . Tìm giá trị lớn nhất của: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2
Bài 5: Cho các số thực a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

ab bc ca
  2 abc
c
a b

Bài 6: Cho a, b, c độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

1
 a2 b2 c 2  abc  1 .
 a  b  c  b  c  a  c  a  b 

Bài 7: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  x4 y  y 4 z  z4 x  3 3 xy  yz  zx
Bài 8: Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 

a2  bc b2  ca c 2  ab


 44 a  b  c
bc
ca
ab

Bài 9: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a
1 b

2



b
1 c

2



c
1 a

 a  b  c .
3

2

Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 

a3
a 2  b2



b3
b2  c 2



c3
c 2  a2

 abc

Bài 11: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

a1
b2  1



b1
c2  1



c 1
a2  1

a  b  c


3

54

Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 

a
b3  ab



b
c 3  bc



c

a3  ca

Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1  a 1  b 1  c a  b  c
P



1 b 1 c 1 a
6

2

----------- Hết ---------Chúc các em học tốt, đạt kết quả cao trong học tập!



3 3 3 3
 
2 a b c