tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (30)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

24H H C TOÁN - CHI N TH NG 3 CÂU PHÂN LO I
Giáo viên Đoàn Trí Dũng

Hà H u H i

BÀI 9: K THU T D N V M T BI N B NG CAUCHY

Bài 1: Cho các s th c d

ng a, b, c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
1
1
6
P 2
 2
 2

a  b  c b  c  a c  a  b  a  b  c 2

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy





SCHWARZ

Schwarz cho các s th c d

ng a, b, c :





 a2  b  c 1  b  c  a  b  c 2

 


2
1
1 b  c
1
1 c  a
1
1 a  b
 2

, 2

, 2

 b  c  a 1  c  a    a  b  c   2
2
2
a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  b  c  c  a  b  a  b  c 2


2
 c 2  a  b 1  a  b    a  b  c 


Do đó

1
a bc

V y P

2



1
b ca
2

3  2a  b  c

a  b  c

2



1



c ab
2

6

a  b  c

2



3  2a  b  c

a  b  c

.

2
3

.
a  b  c  a  b  c 2

P

Đ t t  a  b  c , t   0;   và xét hàm s

f t  

2 3
 . Ta có P  f  a  b  c  .
t t2

L p b ng bi n thiên ta có P  f  a  b  c   f  3  
Bài 2: Cho các s th c d

2

1
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  1 .
3

ng a, b, c th a mãn a2  b2  c 2  a  b  c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
1
1
15
 2 2
 2

P 2
2
2
a  b  1 b  c  1 c  a  1 2  a  b  c 2

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

Schwarz cho các s th c d









ng a, b, c :





 a2  b2  1 1  1  c 2  a  b  c 2



2
 2
2
2
 b  c  1 1  1  a  a  b  c

2
 c 2  a2  1 1  1  b2   a  b  c 




1
a 2  b2  1





1
b2  c 2  1
1

a 2  b2  1





1
c 2  a2  1
1

b2  c 2  1





c2  2

a  b  c

1

c 2  a2  1

2





a2  2

a  b  c

2



b2  2

a  b  c

a 2  b2  c 2  6

a  b  c

2

Chú ý r ng ta có đi u ki n: a2  b2  c 2  a  b  c Do đó

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

P

abc6

a  b  c

2



Đ t t  a  b  c , t   0;   và xét hàm s

15
2a  b  c
f t  

1
3

a  b  c 2  a  b  c 2

1 3
.


t 2t 2

L p b ng bi n thiên ta có P  f  a  b  c   f  3  
Bài 3: Cho các s th c d

P

2

1
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  1 .
6

ng a, b, c th a mãn a2  b2  c 2  a  b  c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
1
1
6
P 2
 2
 2

a  b  1 b  c  1 c  a  1  a  b  c 2

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

Schwarz cho các s th c d










ng a, b, c :





 a2  b  1 1  b  c 2  a  b  c 2



2
 2
2
 b  c  1 1  c  a  a  b  c

2
 c 2  a  1 1  a  b2   a  b  c 




1
a2  b  1





1
b2  c  1

1
a2  b  1





1
c2  a  1

1
b2  c  1



c2  b  1

a  b  c

1



c2  a  1



2



a2  c  1

a  b  c

2



b2  a  1

a  b  c

2

a2  b2  c 2  a  b  c  3

a  b  c

2

Chú ý r ng ta có đi u ki n: a2  b2  c 2  a  b  c Do đó

P

2a  b  c  3

a  b  c

Đ t t  a  b  c , t   0;   và xét hàm s

2



6

a  b  c

f t  

2

P

2
3

a  b  c  a  b  c 2

2 3
 .
t t2

L p b ng bi n thiên ta có P  f  a  b  c   f  3  

1
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  1 .
3

Bài 4: Cho các s th c không âm a, b, c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P  a  2b  3c 

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

 a  2b  3c 
V y P  a  2b  3c 



2

a 2  b2  c 2
2

Schwarz cho các s th c không âm a, b, c :







 

a2  b2  c 2
1
 14 a 2  b2  c 2  a 2  b2  c 2
2
2







 a2  b2  c 2 12  22  32  a  2b  3c  14 a2  b2  c 2







1
Khi đó P    a2  b2  c 2  2 14 a2  b2  c 2  14   7
2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1
P
2



a  b  c  14
2

2

2



2

a2  b2  c 2  14

 a  1, b  2, c  3
 7  7 Đ ng th c x y ra khi và ch khi:  a b c
   0
1 2 3

Bài 5: Cho các s a, b, c  0 th a mãn

1
1
1


 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
bc 1 c  a1 ab1

P  a  b  c  2 3  ab  bc  ca  .
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy





Schwarz cho các s th c d

ng a, b, c :





 1  b  c a2  b  c  a  b  c 2




2
a2  b  c

b2  c  a
c2  a  b
1
1
1

2


,

,

1

c

a
b

c

a

a

b

c


 bc 1


2
2
2

a  b  c c  a  1 a  b  c a  b  1 a  b  c
2
2
 1  a  b  c  a  b   a  b  c 


a 2  b2  c 2  2  a  b  c 
1
1
1




2
bc 1 c  a1 ab1
a  b  c
M t khác, vì

a2  b2  c 2  2  a  b  c 
1
1
1

1


1
2
bc 1 c  a1 ab1
a
b
c





 a2  b2  c 2  2  a  b  c    a  b  c   a2  b2  c 2  2  a  b  c   a2  b2  c 2  2  ab  bc  ca 
2

 a  b  c  ab  bc  ca . V y P   ab  bc  ca   2 3  ab  bc  ca 

P



ab  bc  ca  3



2

 3  3 Đ ng th c x y ra khi a  b  c  1 .

Bài 6: Cho các s th c x, y , z  1 th a mãn

1 1 1
   2 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
x y z

P  x 1  y 1  z 1 

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

xyz
3 2

Schwarz cho các s th c x, y , z  1 :

x 1  y 1  z 1  x  y  z

x 1 y 1 z 1


x
y
z

 1 1 1
 x 1  y 1  z 1  x  y  z 3       x 1  y 1  z 1  x  y  z
x y z

Do đó P  x  y  z 

xyz
3 2

L p b ng bi n thiên ta đ

Đ t t  x  y  z , t   3;   và xét hàm s

f t   t 

t
3 2

.

9 3 2
3
c P  f a  b  c  f   
Đ ng th c x y ra khi x  y  z  .
2
4
2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bài 7: Cho các s th c d

ng x , y , z th a mãn x  y  z 

1 1 1
  . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
x y z

y2  1
x2  1
z2  1  x  y  z 
.



2
2
2
6
2

P

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

Schwarz cho các s th c d

ng x , y , z :

y2  1
x2  1
z2  1
x2  1 y 2  1 z 2  1



 xyz


2
2
2
2x
2y
2z


y2  1
1
1 1 1
x2  1
z2  1


 xyz
x  y  z    
2
2
2
2
x y z

y2  1
x2  1

z2  1
1


 xyz
x  y  z  x  y  z 
2
2
2
2



Do đó

x  y  z
P xyz

2

P

6

P

ng a, b, c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy

V y



2
1
3
x  y  z  6x  y  z  9 

6
2

2
1
3 3
Đ ng th c x y ra khi x  y  z  1 .
x  y  z  3  

6
2 2

Bài 8: Cho các s th c d

V y



y2  1
x2  1
z2  1



 xyz
2
2
2

1

 a  b

2

1

 a  b

Do đó P 

2





a

c

2

1

a  c

1
a  bc
2



 bc  b  c 

2



a

Schwarz cho các s th c d

 a  b



T

1



 bc  b  c 



a  c

1

 a  b

2



2



a

b

2

1

a  c

2



 bc  b  c 





1

a  c

2



a2  bc  b  c 
2
b
  a  b 
c
c

ng t ta có:

2

ng a, b, c :

a  b  a2  bc 1 

bc

2

1

1
a  bc
2

.

.

 2 a2  bc . Áp d ng b t đ ng th c AM GM ta có:

P

1
a  bc
2

 a2  bc  a2  bc  3 3

Đ ng th c x y ra khi và ch khi a  b  c 

1
2

1
a  bc
2

a2  bc a 2  bc  P  3

.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 2 a2  bc