tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (33)

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 4: Nghiệm vô tỷ
Bài 1: Giải phương trình: x2  2x  1   x  1 x  2  0
Điều kiện xác định: x  2 . Ta bấm máy tính tìm được x  0,6180339887 do đó









pt  2x2  2x  2   x  1 x  1  x  2  0  2 x2  x  1   x  1

x2  x  1
x 1 x  2

x  2  1,618033989  x  1
0

 x 2  x  1  0(1)


x 1

 2 x  x  1 2 
x 1
0 
2

 0(2)
x 1 x  2 


x 1 x  2



2




3
2 3
1  5
2  x   2
x
; (2)    2 x  3   2 x  2  
(1)  x 
2
2
 2x  3 2  4  x  2 


 1  5 2  3 
;
Vậy phương trình có tập nghiệm: S  

2 

 2



Bài 2: Giải bất phương trình: x2  5x



5x2  3x  6  2x3  12x2  16x  15

Điều kiện xác định x  . Ta bấm máy tính tìm được x  0,8074175964 do đó:
5x2  3x  6  2,614835193  2x  1

Xét:

5x 2  3x  6  2 x  1  0 


1
x  
(không có giá trị thỏa mãn)
5x 2  3x  6  2 x  1  
2
2
x  7 x  5  0


 5x 2  3x  6  2 x  1  0



pt  3x2  21x  15  x2  5x









x 2  5x
2
 x2  7 x  5 3 
  0  x  7x  5
2
5x  3x  6  2 x  1 








2



 x2  7 x  5




1  11
x 2  4


5x 2  3x  6  2 x  1

nên (*)  x2  7 x  5  0  x 

 

5x 2  3x  6  2 x  1  0  3 x 2  7 x  5  x 2  5x



x2  x  3
5x 2  3x  6  2 x  1



x2  7 x  5
5x 2  3x  6  2 x  1

0

2

 0 (*) Do


1  11
x 2  4


5x 2  3x  6  2 x  1

 0x  R

 7  29 7  29 
7  29
;
Vậy tập nghiệm của BPT là: S  

2 
2
 2

Chúý: Học sinh có thể giải bằng phương phápẩn phụ không hoàn toàn

0


Bài 3: Giải phương trình sau: 2x2  16x  18  x2  1  2  x  2 
 x  1

 x  1
Điều kiện xác định: 

 x  ; 4  7    4  7 ; 1  1;  
 


  x  4  7

  x  4  7



Bấm máy tính ta thấy bài toán có 3 nghiệm: x  1 và x  1,335785242
Ta tạo liên hợp với

2 x2  16 x  18  ax  b


b  4

 2 x 2  16 x  18  2 x  4
x 1

a  2
x  1

2 x2  2

Ta có pt   2 x2  16 x  18  2  x  2   x 2  1  0 



2 x  16 x  18  2  x  2 
2

 x2  1  0



2 x 2  1
 x2  1 
 1   0  x 2  1 2 x  2  2 x 2  16 x  18  2 x 2  1  0
 2 x 2  16 x  18  2 x  2
  






 x 2  1  0(1)

 2 x  2  2 x 2  16 x  18  2 x 2  1  0(2)


(1)  x2  1  0  x  1
(2): 2x  2  2x2  16x  18  2 x2  1  0 . Đến đây ta kết hợp với phương trình ban đầu:
2 x  2  2 x 2  16 x  18  2 x 2  1  0

. Trừ vế với vế ta được:

2

2
2
x

16
x

18

x

1

2
x

2





 x  2
3 57  32
2 x  2  2 x2  1  x2  1  2  x  2   4  x  2   3 x 2  1  
x
2
2
7
16  x  2   9 x  1






3 57  32 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1; 1;

7









Bài 4: Giải bất phương trình: x2  x  1

2x2  8x  3  x3  2x2  x  9



4  22   4  22

;   . Tương tự những bài trước kiểm tra máy tính và thay
Điều kiện xác định x   ;




2
2

 

 x  2

vào căn ta sẽ tìm được liên hợp của bài toán. Xét: x  2  2 x2  8 x  3  0   2
 x  2  11

x  4x  7  0





Pt  x2  x  1







2 x 2  8 x  3   x  2   x2  4 x  7  0  x 2  x  1

x2  4 x  7

x  2  2x  8x  3
2

 x2  4x  7  0


 x 2  4 x  7  0(1)
2



x

x

1
 x2  4x  7 
 1  0  
x2  x  1
2
 1  0(2)

 x  2  2 x  8 x  3

2
 x  2  2x  8x  3





(2)  x2  2x  3  2x2  8x  3  0   x  1  1  2 x2  8 x  3  0(VN)
2

(1)  x  2  11 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  2  11

Chúý: Học sinh có thể giải bằngẩn phụ không hoàn toàn



Bài 5: Giải phương trình: x2  5



2x2  x  11  x3  16x  21

Điều kiện xác định x  .
 x  3

(không có giá trị thỏa mãn)
2 x 2  x  11  x  3  0   2

x  7 x  2  0

Xét:

 2x2  x  11  x  3  0



pt  x2  5







2x2  x  11   x  3   3x2  21x  6  0  x2  5



x2  7 x  2
2 x  x  11   x  3 
2

 3x 2  21x  6  0

 x 2  7 x  2  0(1)


2

x 5
x2  5
 x2  7 x  2 
 3  0  
 3  0(2)
2
 2 x  x  11   x  3 



2


2
x

x

11

x

3








2


3 7
(2)  x  3x  4  3 2 x  x  11  0   x     3 2 x2  x  11  0(VN )
2 4


2

(1)  x 

2

 7  41 7  41 
7  41
;
Vậy tập nghiệm của PT là: S  

2 
2
 2

Chúý: Học sinh có thể giải bằngẩn phụ không hoàn toàn



Bài 6: Giải phương trình: 15x3  x2  3x  2  15x2  x  5



x2  x  1  0

Điều kiện xác định x  . Bấm máy tính thu được x  0,7675918792 . Tìm mối quan hệ:
x2  x  1  1,535183758  2x do đó:







pt  15x2  x  5 2 x  x 2  x  1  15x 3  x 2  7 x  2  0











 15x2  x  5 2 x  x 2  x  1   5x  2  3x 2  x  1  0







Do : 2 x  x2  x  1 2 x  x2  x  1  3x2  x  1 nên













 15x2  x  5 2x  x2  x  1   5x  2  2x  x2  x  1 2x  x 2  x  1  0













 2 x  x2  x  1  15x2  x  5   5x  2  2 x  x2  x  1   0


 2 x  x2  x  1  5x2  3x  5   5x  2  x2  x  1   0







 2 x  x2  x  1  5x2  3x  5   5x  2  x2  x  1   0 (*)







Xét: 5x2  3x  5   5x  2  x2  x  1   5x  2  x  x2  x  1  5  x  1



 



 



  5x  2  x  x2  x  1  5 x  x2  x  1 x  x2  x  1  x  x2  x  1 10x  2  5 x2  x  1 









( do x  x2  x  1 x  x2  x  1    x  1 )









Nên (*)  2 x  x2  x  1 10 x  2  5 x2  x  1 x  x2  x  1  0

1  13
x  0
x
Trường hợp 1: 2 x  x2  x  1  0   2
.
6

3x  x  1  0





2

2
2


1  29
25 x  x  1  10 x  2 
75x  15x  21  0
Trường hợp 2:  5 x  x  1  10x  2  

x
10

10 x  2  0
10 x  2  0


2

 1  29 1  13 
x  0

Trường hợp 3: x  x2  x  1   2
(vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của PT là: S  
;

2


10
6


x  x  x  1



Chúý: Học sinh có thể giải bằngẩn phụ không hoàn toàn
Bài 7: Giải phương trình: x2  x  1  x  1  3x  2
Điều kiện xác định:

1  x 

3

1  5
 x1
2





PT  x2  3x  2  1  x  1  x  x  1  x  1  0  x2  x  1  2  1  x  x  1  x  x  1  x  0





 1  x   x2  2 1  x  x  1  x  x  1  x  0



 x  1 x

Đặt











1  x  x  2 1  x  x  1  x  x  1  x  0  x  1  x











1 x  x  2  x  1 x  0



x  1  x  t . Phương trình trở thành: t 2 t 2  2  t  0  t t 3  2t  1  0  t  0, t  1, t 

Trường hợp 1: t  0  x  1  x  0  1  x   x  x 

5 1
2

1  5
.
2

Trường hợp 2: t  1  x  1  x  1  1  x  1  x  x  0, x  1 .
Trường hợp 3: t 

5 1
5 1
3 5
5 1
 x  1 x 
 x  1 x 
 1  x   1  x 
2
2
2
2

2



1 2 5 1
5  2 5 1
2  5  2 5 1
1
2 5 1
.
 1 x 
 1 x 
x
  1 x   
2
2
2
2
4


Chúý: Học sinh có thể giải bằngẩn phụ không hoàn toàn sau khi đặtẩn phụ t  1  x



Bài 8: Giải phương trình: x4  2 x3  2 x2  2 x  1  x3  x



1
x
x

 x  1
Điều kiện xác định: 
0  x  1



Ta có: x3  x





1
 x  x4  2x3  2x2  2x  1  x2  x
x







2

 

Do đó PT  x2  1  2 x  x3  x2  x



   x  1
2

2

0x

1
x 00 x1
x

x  x3 . Đặt a  x2  1, b  x  x3  a2  ab  2b2  0





  a  2b  a  b   0  a  2b  x2  1  2 x 1  x2  x4  2x2  1  4 x 1  x2  x4  4x3  2x2  4x  1  0





2

 x2  2 x  1  0  x  1  2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  1  2

Bài 9: Giải bất phương trình:

x x



1 2 x  x 1
2



1
2


1
3
Điều kiện: x  0 . Ta có: 1  2 x  x  1  1  2  x     0 do đó BPT  x  x  1  2 x2  x  1
2 2






2





 x 1 x  0



 x 1 x  0
 2 x2  x  1  x  1  x  

 2
2 x2  x  1  x  2 1  x  x  1  2 x  x 2


x  x  1  2 1  x  x  0










 x 1 x  0
 x 1 x  0

3 5


 x 1 x  0



x

2

2
2
 1  x   2 1  x  x  x  0
 1 x  x  0
1  x  x





x

Bài 10:Giải bất phương trình sau:



1 1
1
  1 1
x x
x

Điều kiện: x  1  1  x  0 .


Nếu 1  x  0 , khi đó: 1 



Nếu x  1 , BPT 

 x x 1



1
1
1
, 1   x  . Bất phương trình vô nghiệm.
x
x
x

x 1 x 1
x



1
x 1
 1
 x x 1 x 1 1 x  x x 1
x
x



x 1 1  x 1 x 1



x  1

x x 1  x  x 1  0  

 x x 1  x  x 1



x  1


x  1
x  1

 2
 2


2
x  x  2 x2  x  1  0


 x  x 1
x  x  2x  1  2 x x  1









Bài 11: Giải phương trình: 4x  3  2 1  x2  4 1  x  0





2



x  1


1 5
0
x 
2






Đặt t  1  x , phương trình trở thành: 4t 2  4t  1  2t 2  t 2  0  2t t  1  2  t 2  2t 2  2t  1  0





 2t t  1  2  t 2  t  1  2  t 2





 3 1 x  1 x 1

t  1 






2  t 2  0  3t  1  2  t 2

t  1 

1  x  1  x  1  0 . Tới đây các em tự giải tiếp.



2  t2  0