tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (37)

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

08. KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép.
Cách 1. Dùng bảng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát đồ thị hàm số.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x + 1 = 2 x + 2 x − 1
( x ∈ ℝ) .
Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) với điều kiện x ≥
X
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

1
nên ta có bảng sau:
2

F(X)
0.5857
0
0.1362
0.4395

0.8377
1.2998
1.8088
2.3542
2.9289
3.5178

Từ bảng giá trị trên, ta nhận đấy đồ thị có dấu hiệu như một parabol tiếp xúc với trục hoành tại nghiệm
duy nhất.
Cách 2. Dùng tính chất đạo hàm.
Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x + 1 = 2 x + 2 x − 1
( x ∈ ℝ) .
Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình, với
d
2x + 1 − 2 x − 2x − 1
được hiểu là
bài trên ta tìm được nghiệm là x = 1 . Sau đó ta xét giá trị
dx
x =1

(

)

thay giá trị x = 1 vào biểu thức đạo hàm cấp 1 của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 − 2 x − 2 x − 1 và

(

)

d
2x + 1 − 2 x − 2x − 1
= 0.
dx
x =1
Do đó kết luận x = 1 chính là nghiệm kép của phương trình.
2 ( 2 x − 1)
x
Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình
+
=1
33 x 2 − 32 x + 8
20 x 2 − 12 x + 1
Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình 2 x x 2 + 3 + ( x + 1) 4 − 3x 2 = 6 x + 2
Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình x 2 − 2 x + 1 + 2 x 2 − x + 4 = x 2 + x + 3.
Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 − 11x + 21 = 3 3 4 x − 4.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính 2 X 2 − 11X + 21 − 3 3 4 X − 4 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3.

(

)

Nhập vào máy tính 2 X 2 − 11X + 21 − 3 3 4 X − 4 : ( X − 3) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 3.
Ta có f ( x ) = 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 ⇒ f ' ( x ) = 4 x − 11 −

4
3

Ta tính được f ' ( 3) = 0. Để tính f '' ( 3) ta bấm như sau:

d 
d
Bấm SHIFT
và nhập
4 x − 11 −
dx 
dX


( 4x − 4)

2

.




2  x =3
3
( 4 x − 4) 
13
13
Bấm dấu = đợi một lúc máy tính sẽ hiện
⇒ f '' ( 3) = ≠ 0.
3
3
 f ( 3) = 0

Như vậy  f ' ( 3) = 0 ⇒ x = 3 là nghiệm kép của (1)

 f '' ( 3) ≠ 0
3a + b = 3 4.3 − 4 = 2
1


a=

3
4
4
1⇒
Ta cần cân bằng ax + b = 4 x − 4 ⇒ 
3
a=
=
=
2

2

b = 1
3
3
3
3 ( 4x − 4)
3 ( 4.3 − 4 )

4

B. Lời giải

ĐK: x ∈ ℝ

(*)
1

Khi đó (1) ⇔ 3  x + 1 − 3 4 x − 4  − x − 3 + 2 x 2 − 11x + 21 = 0
3


(

)

⇔ x + 3 − 3 3 4 x − 4 + 2 x 2 − 12 x + 18 = 0

(2)

x+3 3
2
2
2

Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) =  3 4 x − 4 +
 + ( x + 3) ≥ 0.
2  4

2
 x = −3
x+3
3
2

Dấu " = " xảy ra ⇔  3 4 x − 4 +
 = ( x + 3) = 0 ⇔  3
2 
4

 4 x − 4 = 0
Điều này là vô lý nên dấu " = " không xảy ra ⇒ T > 0.
2

Khi đó (2)

( x + 3)
⇔

3

− 27 ( 4 x − 4 )

T

+ 2 ( x2 − 6x + 9) = 0

( x − 3) ( x + 15) + 2 x − 3 2 = 0
x + 9 x 2 − 81x + 135
2
⇔
+ 2 ( x − 3) = 0 ⇔
( )
T
T
x = 3
( x − 3 ) 2 = 0
2  x + 15

⇔ ( x − 3) 
+ 2 = 0 ⇔ 
⇔
(3)
T + x + 15 = 0
 T

 2T + x + 15 = 0

2
x + 15

x + 15
2
2
= 0 ⇒ ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) +
=0
(4)
Ta có T +
2
2
2

3

x+3 3
x + 15
2

VT ( 4 ) =  3 4 x − 4 +
=0
 + ( x + 3) +
2  4
2

2
2
x + 3  3 ( x + 6 x + 9 ) + 2 ( x + 15 )
3
=  4x − 4 +
 +
2 

4

2

x + 3  3 x 2 + 20 x + 57

=  3 4x − 4 +
 +
2 
4

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
2

10  71

x 3+
2

 + 3
x+3 
3
3
=  4x − 4 +
> 0.

 +
2 
4

Do đó (3) ⇔ x = 3 thỏa mãn (1)
Đ/s: x = 3
C. Nhận xét
Cũng với hướng làm như trên ta có thể làm mịn hơn như sau:
1

Phương trình ⇔ 3  x + 1 − 3 4 x − 4  − x − 3 + 2 x 2 − 11x + 21 = 0
3


(

)

⇔ x + 3 − 3 3 4 x − 4 + 2 x 2 − 12 x + 18 = 0

(2)

2

11  47

3
Ta có VT (1) =  x 2 −
 + 8 > 0 ⇒ 3 4 x − 4 > 0 ⇒ 4 x − 4 > 0 ⇒ x > 1.
2 2


Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) > 0, ∀x > 1.
2

Do đó (2)

2

( x + 3)
⇔

3

− 27 ( 4 x − 4 )
T

+ 2 ( x2 − 6x + 9) = 0

( x − 3) ( x + 15) + 2 x − 3 2 = 0
x + 9 x 2 − 81x + 135
2
⇔
+ 2 ( x − 3) = 0 ⇔
( )
T
T
2  x + 15

(3)
⇔ ( x − 3) 

+ 2 = 0
 T

x + 15
2
Với x > 1 và T > 0 ⇒
+ 2 > 0 nên (3) ⇔ ( x − 3) = 0 ⇔ x = 3 thỏa mãn (1)
T
2

3

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 2 x + 2 = 2 x − 3 + 3 3 x − 5.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 2 − 2 X − 3 − 3 3 X − 5 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2.

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 2 − 2 X − 3 − 3 3 X − 5 : ( X − 3) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 2.
1
1

Ta có f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 − 2 x − 3 − 3 3 x − 5 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 2 −
−
.
2 x − 3 3 ( 3x − 5 )2

Ta tính được f ' ( 2 ) = 0. Để tính f '' ( 2 ) ta bấm như sau:


d
d 
1
1
Bấm SHIFT
và nhập
2x − 2 −
−
dx 
dX
2 x − 3 3 ( 3x − 5)2

Bấm dấu = đợi một lúc máy tính sẽ hiện 5 ⇒ f '' ( 2 ) = 5 ≠ 0.



 x=2


 f ( 2) = 0

Như vậy  f ' ( 2 ) = 0 ⇒ x = 2 là nghiệm kép của (1)


 f '' ( 2 ) ≠ 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

2a + b = 2.2 − 3 = 1
a = 1

⇒
Ta cần cân bằng ax + b = 2 x − 3 ⇒ 
1
1
=
= 1 b = −1
a =
2x − 3
2.2 − 3

2c + d = 3 3.2 − 5 = 1

c = 1
1
1
Ta cần cân bằng cx + d = 3 3x − 5 ⇒ 
⇒
c=
=

= 1  d = −1
2
2

3
3
3
x
−
5
3.2
−
5
(
)
(
)

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
3
(*)
2
Khi đó (1) ⇔ x − 1 − 2 x − 3 + x − 1 − 3 3 x − 5 − 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 = 0

ĐK: x ≥

(

) (

Đặt T = ( x − 1) + ( x − 1) 3 x − 5 +
2

3

)

3

( 3x − 5 )

x −1  3
3
2

=  3 3x − 5 +
 + ( x − 1) > 0, ∀x ≥ .
2  4
2

2

2

( x − 1) − ( 2 x − 3) + ( x − 1) − ( 3x − 5) + x 2 − 4 x + 4 = 0
⇔
2

Do đó (2)

(2)

3

T
x −1 + 2x − 3
2
x − 4x + 4
x3 − 3x 2 + 4
2
⇔
+
+ ( x − 2) = 0
T
x −1 + 2x − 3

( x − 2)

⇔

2

( x + 1)( x − 2 )
+

2

+ ( x − 2) = 0
2

T
x −1 + 2x − 3
1
x +1 
2
⇔ ( x − 2) 
+
+ 1 = 0
(3)
T
 x −1 + 2x − 3

3
1
x +1
Với x ≥ > 1 và T > 0 ⇒
+
+ 1 > 0 nên (3) ⇔ x = 2 thỏa mãn (*)
2
T
x −1 + 2x − 3
Đ/s: x = 2
81
=2 x−2
( x ∈ ℝ) .
x −1+ 2 x − 2
PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức là cực kỳ khó
khăn.
Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm được nghiệm của phương trình là x = 6 và kiểm tra tính chất

81
nghiệm bằng cách xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 10 x + 19 +
−2 x−2.
x −1+ 2 x − 2
1 

81 1 +

1
x−2

Ta có f ' ( x ) = 2 x − 10 −
−
⇒ f ' ( 6 ) = 0 nên suy ra x = 6 là nghiệm kép của
2
x−2
x −1+ 2 x − 2

Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 10 x + 19 +

(

)

phương trình đã cho. Vì thế, trước tiên ta sẽ tạo hằng đẳng thức ( x − 6 ) sau đó giải phương trình còn lại
2

để tìm nhân tử chung là ( x − 6 ) , như sau:
2

x 2 − 10 x + 19 +

81
81
= 2 x − 2 ⇔ ( x 2 − 12 x + 36 ) + 2 x − 17 +
−2 x−2 =0
x −1 + 2 x − 2
x −1 + 2 x − 2

2 x 2 − 23x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 2
81


2
⇔ ( x − 6 ) +  2 x − 17 − 2 x − 2 +
=0
 = 0 ⇔ ( x − 6) +
x −1+ 2 x − 2 
x −1+ 2 x − 2

.
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Bây giờ, ta chỉ cần xét đến phương trình 2 x 2 − 23 x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 2 = 0

( ∗) .

1

ax + b = x − 2
a=

1
1
x =6


4 nên nhân tử cần tìm là 
Ta lại xét 
⇒
 x−2 − x− .
4
2

( ax + b ) ' = x − 2 '
b = 1
x =6


2

(

)

(

)

Do đó 2. ( ∗) ⇔ 4 x 2 − 46 x + 212 + 4 ( x − 16 ) x − 2 = 0 ⇔ 5 x 2 − 60 x + 180 + ( x − 16 ) 4 x − 2 − x − 2 = 0

( x − 16 )( x − 6 )
−

2

x − 16
4 x + 26

2
2
= 0 ⇔ ( x − 6)  5 −
= 0.
 = 0 ⇔ ( x − 6) .
x+2+4 x−2
x+2+4 x−2 
x+2+4 x−2

Nên
phương
trình
đã
cho
4 x + 26
1

2
2
2
⇔ 2 ( x − 6) + ( x − 6) .
.
= 0 ⇔ ( x − 6) = 0 ⇔ x = 6 .
x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 2
4 x + 26
Vì 2 +
> 0; ∀x ≥ 2 .
x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 2
⇔ 5 ( x − 6)

2

(

)(

)

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 2 .
Phương trình đã cho tương đương với: ( x 2 − 12 x + 36 ) + 2 x − 17 +

⇔ ( x − 6) +
2

⇔ 2 ( x − 6)
Vì 2 +

2

2 x 2 − 23 x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 2

81
−2 x−2 =0
x −1+ 2 x − 2

=0
x −1+ 2 x − 2
4 x + 26
1
2
2
+ ( x − 6) .
.
= 0 ⇔ ( x − 6) = 0 ⇔ x = 6 .
x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 2

(x + 2 + 4

4 x + 26
x−2

)( x − 1 + 2

x−2

)

> 0; ∀x ≥ 2 . Nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 6 .

(

Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x

)

( x ∈ ℝ)

Lời giải:
9
1
Điều kiện: ≥ x ≥ . Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm kép x = 1 .
5
5
2
2

 5 x − 1 = 2 = 2 x
 5 x − 1 = 2 = 2 x  2 x − 5 x − 1 = 4 x + 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1
Khi đó 
là các
suy ra 
⇒
2
9
−
5
x

=
2
9
−
5
x
=
2

 9 − 5 x − 2 = 13 − 5 x − 4 9 − 5 x


hằng đẳng thức cần tạo nên phương trình đã cho tương đương với:

(
(

( 4x

2

)

)

) (

)

+ 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1 + 13 − 5 x − 4 9 − 5 x + x − 1 = 0

2 x = 5 x − 1

⇔ 2 x − 5x − 1 + 9 − 5x − 2 + x − 1 = 0 ⇔  9 − 5x = 2 ⇔ x = 1

 x − 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .

(

) (

)

2

Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình 4

(

)

(

2

)

(

)

x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x = 4 x − 1 + 3

Lời giải:

(

)

( x ∈ ℝ)

Điều kiện: x ≥ 1 . Ta có − 4 x − 1 + 3 = 4 ( x − 1) − 4 x − 1 + 1 − 4 x = 2 x − 1 − 1 − 4 x .
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nên phương trình đã cho tương đương với: 4

(

)

(

)

(

)

2

x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x − 4 x + 2 x − 1 − 1 = 0 .

(

)

2

⇔ 4 x 2 x + 1 + 13 x x + 1 − 12 x 2 − 12 x + 2 x − 1 − 1 = 0

(

) (
)
⇔ x  x + 1 ( 4 x + 13) − 12 ( x + 1)  + ( 2 x − 1 − 1) = 0
⇔ x x + 1 ( 4 x + 1 − 12 x + 1 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0
⇔ x x + 1 ( 4 x + 4 − 12 x + 1 + 9 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0
⇔ x x + 1 ( 2 x + 1 − 3) + ( 2 x − 1 − 1) = 0
( ∗)
x x + 1 2 x + 1 − 3 ≥ 0
(
) nên phương trình ∗ trở thành:

x +1 > 0 ⇒ 

( )
( 2 x − 1 − 1) ≥ 0

2

⇔ x 4 x x + 1 + 13 x + 1 − 12 x − 12 + 2 x − 1 − 1 = 0
2

2

2

2

2

2

Vì x ≥ 1 ⇒ x

2

2 x + 1 = 3
5
2 x +1 − 3 = 2 x −1 −1 = 0 ⇔ 
⇔x= .
4
2 x − 1 = 1
5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = .

4
1

Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình ( x − 3)  x + x  = ( x − 1) 2 x + 1 + 3 x − 11
2

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương với:

(

( x ∈ ℝ) .

)

pt ⇔ ( x − 3) x + 2 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22
⇔ x 2 − 3 x + 2 x x − 6 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22
⇔ x 2 − 3 x − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x x − 12 x + 22 = 0

(

)

⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x + 1 + 2 x x − 3 x − 12 x + 20 = 0

(

) (
2

⇔ x − 1 − 2x + 1 + 2 x + 5

(
(

)(

x −2

)

2

( ∗)

=0

)

 x −1 − 2x + 1 2 ≥ 0

Vì x ≥ 0 ⇒ 2 x + 5 > 0 ⇒ 
nên phương trình ( ∗) trở thành:
2
 2 x +5
x −2 ≥0

 x − 1 = 2 x + 1
x − 1 − 2x + 1 = x − 2 = 0 ⇔ 
⇔ x = 4.

 x = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4 .

)(

)

(

Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình x 4 + 7 x 2 + 4 x + 3 = 2 x x 2 + x + 1 + 2 3 x 2 + x + 1
Lời giải:

(

)

 x2 − 2 x x + 1 + x + 1 = x − x + 1 2

Điều kiện: x ≥ −1 . Ta có 
4 x 2 − 4 x 3x 2 + x + 1 + 3 x 2 + x + 1 = 2 x − 3x 2 + x + 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

(

)

)

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

) (

(

2

pt ⇔ x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x + 1 + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 1

(

) (

)

2

=0

⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x3 − 2 x − 1) + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 1
2

(

⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x + 1) ( x 2 − x − 1) + x − x + 1

(

⇔ ( x 2 − x − 1) + x − x + 1
2

) + ( 2x −
2

) + ( 2x −

3x 2 + x + 1

2

)

2

)

2

=0

3x 2 + x + 1

)

2

=0

=0

 x2 − x − 1 = 0

x ≥ 0
1+ 5
⇔ x = x + 1
⇔ 2
⇔x=
2
x − x −1 = 0

2
2 x = 3 x + x + 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =

1+ 5
.
2

Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − x + 4 = ( x − 1) x + 2 + x3 + x 2 − 4 x + 6
PHÂN TÍCH CASIO
Sử dụng SHIFT SOLVE với x = 2 ta được nghiệm x ≃ 3.302774567 .
Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode 7 ).
Xét F ( X ) = X − X + 4 − ( X − 1) X + 2 + X + X − 4 X + 6 .
Nhập các giá trị

• Start ? START = 3.1 .
• End ? END = 4 .
• Step ? STEP = 0.1 .
Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm trong lân cận giá trị 3.3
đồng thời hàm số F ( X ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành. Vì
2

3

Đồng thời ta lại có:

x3 + x 2 − 4 x + 6 =

BẢNG GIÁ TRỊ

X

F(X )

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0

0.0228
5.919.10 −3
4.346.10 −6
5.366.10 −3
0.0222
0.0507
0.0911
0.1435
0.208
0.2849

2

vậy nghiệm x ≃ 3.302774567 là nghiệm kép của F ( X ) = 0 .

( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 )

Thay x ≃ 3.302774567 vào các căn thức ta được:
 x + 2 ≃ 2.302775405

 x + 2 ≃ 3.302774567 − 1 = x − 1
⇒
 x + 3 ≃ 2.510532726
2
 2
 x + 3 ≃ x − 2 x + 2
x
2
x
2

2.510531957
−
+
=


(

Vậy ta tạo hằng đẳng thức để có các biểu thức x − 1 − x + 2

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ −2 .
Vì x ≥ −2 nên x + 3 > 0 do đó

x3 + x 2 − 4 x + 6 =

)

2

và

(

( x ∈ ℝ) .

)

2

x + 3 − x2 − 2 x + 2 .

( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 ) =

x + 3. x 2 − 2 x + 2 .

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

pt ⇔ 2 x 2 − 2 x + 8 = 2 ( x − 1) x + 2 + 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2

(

)

⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) x + 2 + x + 2  + x + 3 − 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 = 0
3 + 13
 x − 1 = x + 2
=0⇔
⇔x=
2
2
 x + 3 = x − 2 x + 2
3 + 13
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =
2

(

⇔ x −1− x + 2

) +(
2

x + 3 − x2 − 2 x + 2

)

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016