tài liệu ôn thi đhqg thpt 2017 (40)

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 16: Bài tập tổng hợp phần 1





2

Bài 1: Giải phương trình: x  x  4  x  4 x  4  2x  x  4  50
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu – Đồng
Tháp 2016)
Điều kiện xác định: x  4





2

 x  4  4

Phương trình 1  x  x  4 


 x 
 x 

x  4  4  2 x  x  4  50

   x  4  2   2x  x  4  50
x  4   x  4  2  2 x  x  4  50
x  4   2  x  x  4   48  0

 x x4

2

2

2

2

 x  x  4  5  x  5.

Bài 2: Giải phương trình: 4 2  x  3  x  x 2  5
(Trích đề Thi Thử Khóa Pen I – Thầy Lê Bá Trần Phương 2016 Đề 1)
Điều kiện xác định: 3  x  2
PT  4
 4.





2  x  1  3  x  2  x2  1

1 x
2x 1



x 1
3x 2

  x  1 x  1



4
1
 1  x  

 x  1  0
3 x 2
 2x 1


x  1
 
4
1

 x  1  0  1
 2  x  1
3 x 2

Xét hàm số f  x  

4
2x 1

Group Tài Liệu Ôn Thi



1
3 x 2

 x1

với x   3 ; 2 

FB: />
Admin: Chương Dương


Ta có f '  x  

2x



2



2 x 1

2


3 x



2
3 x 2



2

1 0

Ta thấy x  2 là nghiệm của phương trình  1 , nên x  2 là nghiệm duy nhất của phương
trình 1 .
Kết luận: Vậy PT có nghiệm x  1 ; x  2.

Bài 3: Giải bất phương trình:

x2  3x  2 x  2  2 x  x 

6
 5 * 
x

(Trích đề Thi Thử THPT Phú Xuyên B – Hà Tĩnh 2016)
Điều kiện xác định: x  0.

*  
x

x  x  3  2 x  2  2x 

 x  2  x  3   2

x3

x

x



x2  5x  6
0
x

x  2  2x  0

 



x3
x x2 2 x x2 0
x



 x3

 x x2 
 2  0


x







 x3
 x3
20 
20

 x
 x
x  x  2  0 x  x  2  0


x  3
 x3
 x3
 x 4

20
2



 x  1

 

x2
Hệ:  x
x
0
x

 x  2
x  x  2  0
x  x  2



 x 2  x  2  0
x  3
 x3
 x3
 x 4
20
2




 x  1

 

0 x1
Hệ:  x
x
0
x

0  x  2
x  x  2  0
x  x  2



 x 2  x  2  0

Kết luận: bất phương trình có tập nghiệm: S   0 ; 1   2 ;  

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Bài 4: Giải bất phương trình: 2 1  2  2x  8  x.
x

x

(Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền – Cần Thơ 2016 Lần 2)
Điều kiện xác định: 2  x  0 hoặc x  2.
Bất phương trình tương đương với: 2
Trường hợp 1: 2  x  0 : *  luôn đúng.

2  x  2  x  2 
x2

 x * 
x
x

Trường hợp 2: x  2. BPT  2 x  2  2  x  2  x  2   x x
 x2





2x  4  2  x x  x  2 .

(do 2 x  4  2  0 , x  2 )
 2 x2  x



2
2x  4  2

 x



2x  4  2  2 x  2  2x2  4x  2 x

 x2  2x  4 x2  2x  4  0 



x2  2x  2

 0 
2

x2  2x  2  0  x  1  5 .





Vậy nghiệm của bất phương trình là: S   2 ; 0   1  5 .




3





Bài 5: Giải bất phương trình:  2   2 x  1  1 
x


4  8x  9x2
3x  2 2 x  1

(Trích đề Thi Thử THPT Trần Hưng Đạo – Đắknông 2016 Lần 1)
Điều kiện xác định: x  1. Bất phương trình đã cho tương đương với:

 2x  3   2

x 1 1

x



  9x

2

 4  2 x  1

3x  2 2 x  1

 2x  3  2

  3x  2

x 1 1

x

2x  1





Do x  1 nên BPT   2 x  3  2 x  1  1  3 x 2  2 x 2 x  1


Vì:  x  1 
 2x  1 

   x  2x  1   2  x  1  x  1  0 * 
x  1   0 ;  x  2 x  1   0 ; 2  x  1  x  1   0 , x  1
x  1    x  2 x  1   2  x  1  x  1  0

 2 x 1 x 1

2

2

2

2

2

2

x  1  x  1

Vậy để BPT xảy ra thì  VT  0   x  2 x  1  x  1.
x  1  0


Bài 6: Giải bất phương trình:

x2  x  2
2
 x2 
1
2
x3
x 3

(Trích đề Thi Thử Thạch Thành I – Bắc Ninh 2016 Lần 1)
Điều kiện: x  3. Bất phương trình đã cho tương đương với:
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương

x2  x  2
2

 x2  1  0 
2
x3
x 3

x2  x  2
4
 2
x3
x 3
2

x x2
2

2
x3
x 3

 x2  1  0



x2  x  6
x2  x  2
2


 x 1
 1  0 với A 

2
  x  3 x  3 A

x3
x2  3


 x 2  1  0  1  x  1 (Với x  3 thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương).





2





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1; 1 .
Bài 7: Giải bất phương trình: 3x  2  3 x  1  x 3  3x 2  4 x  1 1
(Trích đề Thi Thử THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng 2016)
2
3

Điều kiện xác định: x  . Nhận xét rằng x  1 không thỏa mãn bất phương trình nên ta có

 1  




3x  2  1  3 x  1  x3  3x2  4 x  2

3  x  1



 x  1   x  1 x  2 x  2
2

3x  2  1

2




 
3
 2
  x  1  x  2 x   1 
  1
3x  2  1  






3x  2  2

  x  1  x 2  2 x 

3
x
2
1




3




2

  x  1  x 2  2 x  2 

3
x
2
1





1
3

 x  1

2



0
2 
3 x 1
  
1



  0



 x  1  1 
0
2
3 x 1
  
2


3  x  2  x2  2x 

3 x
  x  1  x 2  2 x 

  0   x  1 x  2   x     0
A
B 
A B



Với: A 



3x  2  1

  x  1 x  2   0 ,





2 
4
2

3 x  2  2 ; B  3  x  1  3  x  1   3  x  1   1 




)vì x 

2
và x  1, biểu thức trong ngoặc vuông luôn luôn dương)
3

x  1
2

. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là  x  1 hoặc x  2.
3
x  2

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Bài 8: Giải bất phương trình:

5x  13  57  10 x  3x 2
x  3  19  3x

 x2  2x  9

(Trích đề Thi Thử THPT Phủ Cừ - Hưng Yên 2016)

Điều kiện xác định: 3  x 

19
;x  4
3

Bất phương trình tương đương:





x  3  19  3 x 2 x  3  19  3 x
x  3  19  3 x

x

2

 2x  9

 2 x  3  19  3 x  x 2  2 x  9


x5 
13  x 
2
 2 x  3 
   19  3 x 
 x x2

3
3

 






2 x2  x  2




x5
9 x  3 
3 




x2  x  2
 x2  x  2

13  x 
9  19  3x 
3 






2
1
2

  0 * 
 x x2

 

x5
13  x  
9  19  3 x 
 9 x  3 

3 
3  

 



Vì



2


x5
9 x  3 
3 





19 
 0 với x   3 ;  \4
3

13  x 

9  19  3 x 

3 

1

Do đó *   x 2  x  2  0  2  x  1 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2 ; 1 .

Bài 9: Giải bất phương trình: 9 x 2  3  9 x  1  9 x 2  15
(Trích đề Thi Thử THPT Việt Trì – Phú Thọ 2016 Lần 1)
1
9

Nhận xét: 9 x  1  9 x 2  15  9 x 2  3  0  x  .

BPT 





9 x 2  3  2  3  3 x  1  9 x 2  15  4 

9x2  1
9x2  3  2

 3  3 x  1 

9x2  1
9 x 2  15  4

0



3x  1
3x  1
  3x  1 

 3  0


2
9 x 2  15  4
 9x  3  2




 
1
1
  3 x  1   3 x  1 

  3   0

2

9 x 2  15  4  
 9x  3  2
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


1
 3x  1  0  x  .
3

1
3

Kết hợp các điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là x  .
Bài 10: Giải bất phương trình: 1  4 x2  20  x  4 x2  9 1
(Trích đề Thi Thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc 2016 Lần 2)

Bất phương trình đã cho tương đương với:
4 x 2  9  5  6  4 x 2  20  x  2  0

4 x 2  16

16  4 x 2

x20
4 x 2  9  5 6  4 x 2  20


4x  8
4x  8
  x  2

 1  0


2
2
 4 x  8  5 6  4 x  20






Từ  1 suy ra x  1  4 x 2  20  4 x 2  9  0  x  1.
Do đó

4x  8
4x2  9  5



4x  8
6  4 x 2  20

 1   4x  8  .

1  4 x 2  20  4 x 2  9





4 x 2  9  5 6  4 x 2  20



 1  0 Vậy nghiệm của bất

phương trình là x  2.
Bài 11: Giải bất phương trình:  x  1 x2  2 x  5  4 x x2  1  2  x  1 .
(Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1)
Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:
Điều kiện xác định: x   .
Bất phương trình tương đương với:

 x  1 

 
  x  1  x  2 x  5  2  
2



x2  2x  5  2  2x 2 x2  1  x2  2x  5  0
2

2 x  x  1 3 x  1

0
x2  1  x2  2x  5

2 x  3x  1
x2  2x  5  2 
0
2 x 2  1  x 2  2 x  5 


  x  1 

 4 x2  1  2 x2  2x  5  2 x2  1 x2  2x  5  7 x2  4x  5 


  x  1 
0
2
2

2 x  1  x  2x  5





Do:

4 x2  1  2 x2  2x  5  2

x

2









 1 x2  2x  5  7 x2  4x  5

2 x2  1  x2  2x  5

0.

Vì vậy bất phương trình có tập nghiệm: S    ; 1 .
Cách 2: Sử dụng hàm đặc trưng:

Điều kiện xác định: x   .
Bất phương trình tương đương với:

 x  1  x  1

2

 4  2  x  1   2 x 

 2x 

2

 4  2  2x 

Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t t 2  4 với t   .
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Ta có: f '  t   2  t 2  4 

t2
t2  4

 0 , t   . Do đó f  t  là hàm số đồng biến và liên tục trên  .

Do đó: f  x  1  f  2 x   x  1  2 x  x  1 .

Vì vậy bất phương trình có tập nghiệm: S    ; 1 .
Bài 12: Giải phương trình: 4 x 2  7 x  5  3 x  3  5 x 2  x  2
(Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền – Cần Thơ 2016 Lần 2)
Phương trình tương đương với:
x 2  x  2  3  x  1   5 x 2  x  2  3  x  1 .
2

Đặt a  x2  x  2 ,a  0 và b  x  1.
5a  3b  0


Phương trình trở thành: a2  3b2  5a  3b  

 a  b  4a  b   0

Với a  b  x 2  x  2  x  1  x  1.
x  1  0


Với 4a  b  4 x2  x  2  x  1  





2
16 x  x  2   x  1

2

(Vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất nghiệm x  1.
Bài 13: Giải phương trình: 1  x





x 2  2  2   x  1 x 2  2 x  3  0

(Trích đề Thi Thử Khóa Pen I – Thầy Lê Bá Trần Phương 2016
Đề 2)
Ta có: 1  x





x 2  2  2   x  1 x 2  2 x  3  0

 x  1   x  1 x 2  2 x  3   x  x x 2  2
  x  1   x  1

 x  1

2

 2   x    x 

x

2

2

 1

Xét hàm số f  t   t  t t 2  2 với t  .
Ta có f '  t   1  t 2  2 

t2
t2  2

 0 t   .

Vậy hàm số f  t  đồng biến và liên tục trên .
1
2

Vậy  1  f  x  1  f   x   x  1   x  x   .
Bài 14: Giải phương trình: x x  1   2 x  3   2 x  2   x  2
2

(Trích đề Thi Thử THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang 2016)
Điều kiện: x  1.
Ta có: x x  1   2 x  3   2 x  2   x  2
2

  x  1 x  1   x  1  x  1   2 x  3    2 x  3   2 x  3 1

3

2

Xét hàm số f  t   t 3  t 2  t  f '  t   3t 2  2t  1
f '  t   0 , t  

suy ra hàm số f  t  đồng biến và liên tục trên .

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


 1

Phương trình

có dạng

f





x  1  f  2x  3 .

Từ hai điều trên phương trình


3
x 
 x  2.
 1  x  1  2 x  3   2
 x  1  4 x 2  12 x  9


Bài 15: Giải phương trình:
2x  1  3  2x  4  2 3  4x  4x2 

2
1
4 x 2  4 x  3  2 x  1
4





(Trích đề Thi Thử THPT Khoái Châu – Hưng Yên 2016 Lần 1)
1
2

3
2

Điều kiện:   x  .
Ta có: 2 x  1  3  2 x  4  2 3  4 x  4 x 2 





2x  1  3  2x

2
1
4 x 2  4 x  3  2 x  1
4





2

2
  2 x  1 2 
2 x  1

 
2x  1  3  2x  
* 


2
2



 



2

Xét hàm số f  t   t 2  t trên  0 ;   có f '  t   2t  1  0 t   0 ;   nên hàm số f  t  đồng biến và
liên tục trên 0;   .
Do đó phương trình *  trở thành f

 2 x  1
3  2x 

  2 x  1 2
2x  1  3  2x  f 

2






2






 2 x  1  3  2 x    2 x  1
2
 4x  4x  1  2  2x  1  3  2x   0
  4x  4x  3   2x  1  2 2x  1    3  2x  2 3  2x   0
  2 x  3 2 x  1  2 x  1  2 x  1  2   3  2 x  3  2 x  2   0
 2x  1 

2

2

2

2

  2 x  3  2 x  1 

2x  1  2x  3
2x  1  2



3  2 x  1  2 x 
3  2x  2

0


3  2x

2x  1 
  2x  1 3  2x  2x  1 3  2x 

0.

2x  1  2
3  2 x  2 

1
3
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x   và x  .
2
2

Bài 16: Giải bất phương trình: x  1 

x2  x  2 3 2x  1
3

2x  1  3

(Trích đề Thi Thử Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa 2016 Lần 1)
Điều kiện xác định: x  1,x  13 .
Ta có: x  1 
 x1 2

x2  x  2 3 2x  1
3

2x  1  3

 x  2 

x1 2
3

 x1 2



2x  1  3

x1 2

x2  x  6
3

2x  1  3

  1   x  2

Trường hợp 1: Nếu 2 x  1  3  0  x  13 1

3

x1 2

2x  1  3

 * 

3

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Thì *    2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
Do hàm số f  t   t 3  t là hàm đồng biến và liên tục trên  , mà *  :



f



Suy ra x    ;


3

 

2x  1  f



x  1  3 2x  1  x  1  x3  x2  x  0

1 5   1 5 
  0 ;
 , kết hợp với điều kiện
2  
2 

 1

suy ra bất phương trình vô

nghiệm..
Trường hợp 2: Nếu 3 2 x  1  3  0  1  x  13  2 
Thì *    2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
Do hàm số f  t   t 3  t là hàm đồng biến và liên tục trên  , mà *  :
f



3

 

2x  1  f

x1



 3 2x  1  x  1

1
2

Với 1  x   , khi đó bất phương trình luôn đúng.
1
2

Với   x  13 , khi đó bất phương trình   2 x  1   x  1
2

1 5

Suy ra: x   1; 0   
 2
1 5

trình x   1; 0   
 2


;   , kết hợp với điều kiện  2  suy ra nghiệm của bất phương




; 13  .



Kết luận: x   1; 0   
 2

1 5


; 13  .



Bài

Giải

17:

3

phương

trình:

3 x 3  2 x 2  2  3 x 3  x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  2

(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2016 Lần 1)
Cách 1: Đưa về hằng đẳng thức:
3x3  2 x2  2  0
3
2
3x  x  2 x  1  0

Điều kiện xác định: 

PT  2 x 2  2 x  2  3 x 3  2 x 2  2  3 x 3  x 2  2 x  1  0
 4 x 2  4 x  4  2 3 x 3  2 x 2  2  2 3 x 3  x 2  2 x  1  0





 
2

3x3  2 x2  2  1 



2

3 x 3  x 2  2 x  1  1   x  1   0
2

 x  1

Dấu bằng xảy ra   3x 3  2 x 2  2  1
 x   1.

3
2
 3 x  x  2 x  1  1

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM:
3x3  2 x2  2  0
Điều kiện xác định:  3 2
3x  x  2 x  1  0

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:





1  3x3  2 x2  2
2



1  3x3  x2  2 x  1
2

1. 3 x 3  2 x 2  2 



1 . 3 x 3  x 2  2 x  1 

Suy ra: 2 x 2  2 x  2  3 x 3  2 x 2  2  3 x 3  x 2  2 x  1 

3x2  2 x  3
2

  x  1  0  x  1. Thử lại: x  1 thỏa mãn phương trình đã cho.
2

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là: x  1.

Bài

18:

x2  4x  5 

Giải

phương

trình:


3x
2 1 x 
  x  1  1 
 1



2
x  x1
x

x

1


2

(Trích đề Thi Thử THPT Quốc Học Huế 2016)
Điều kiện xác định: x  1 .

1   x2  4 x  5  x2  x  1  3x   x  1  x2  x  1  2









1  x3





 x 2  4 x  5 x 2  x  1  x 2  2 x  1   x  1 x 2  x  1  2  1  x  1  x 3















  x  2  x2  x  1  1  x  1  x  2 1  x 3  x 2  x  1  0
2

  x  2  x 2  x  1  1  x 
2

1  x  x2  x  1

x  2  0
Vì x  1  
2
 1  x  1  x  x  x  1




 0
2

  0  2
2

 x  2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  2.
Bài 19: Giải phương trình:
2 x 5  3 x 4  14 x 3
x2


2 
 4 x 4  14 x 3  3 x 2  2  1 

x2 






(Trích đề Thi Thử THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2016)
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />

Admin: Chương Dương


Điều kiện: x  2 *  .



 

PT  x 3 2 x 2  3 x  14  4 x 4  14 x 3  3 x 2  2



x2 2

 x 3  x  2  2 x  7 



x  2  2  4 x 4  14 x 3  3 x 2  2  x  2  4 

 x 3  x  2  2 x  7 



x  2  2  4 x 4  14 x 3  3 x 2  2  x  2 



 



 







 x  2  0  x  2 TM * 

 x 3  2 x  7  x  2  2  4 x 4  14 x 3  3 x 2  2  1






1  x3  2 x  7  x  2  4 x4  14 x3  4 x4  14 x3  3x2  2
 x3  2 x  7  x  2  3x 2  2
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình  x  0.
3 2
Khi đó, PT   2 x  4  3  x  2   3
x x
2 3
 2 x  2 x  2  3 x  2  3  2
x
x

Xét hàm số: f  t   2t 3  3t với t  . Ta có: f '  t   6t 2  3  0 t  .
Hàm số f  t  đồng biến và liên tục trên .
Do đó  2   f





1
1
x2  f   x2   x x2 1
x
x

 x  0
1  5
(thỏa mãn *  )

x
2
2
 x  1 x  x  1  0





Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 

1  5
,x  2.
2

Bài 20: Giải phương trình: 7 x 2  25 x  19  x 2  2 x  35  7 x  2
(Trích đề Thi Thử THPT Lê Lợi – Thanh Hóa 2016)
Điều kiện: x  7.
Phương trình tương đương 7 x 2  25 x  19  7 x  2  x 2  2 x  35
Bình phương 2 vế suy ra: 3x2  11x  22  7  x  2  x  5  x  7 





 3 x 2  5 x  14  4  x  5   7

 x  5   x2  5x  14 

Đặt a  x 2  5x  14 ; b  x  5  a,b  0  . Khi đó ta có phương trình:
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


a  b
3a 2  4b 2  7 ab  3a 2  7 ab  4b 2  0  
 3a  4b

Với a  b suy ra x  3  2 7 TM  ; x  3  2 7  L  .

Với 3a  4b suy ra x 

61  11137
TM  ; x  61  1811137  L  .
18

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x  3  2 7 ; x 
Bài 21: Giải bất phương trình:

61  11137
.
18

300 x 2  40 x  2  10 x  1  3  10 x
1 x  1 x  2

0

(Trích đề Thi thử THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 2015)
Điều kiện xác định:

1
3
x
,x  0 .
10
10

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

1

2

1 x  1 x 

Do



 12 1  x  1  x   1  x  1  x  2

1
3
x
,x  0 do đó đẳng thức không xảy ra, vậy:
10
10

Do đó bất phương trình:

300 x 2  40 x  2  10 x  1  3  10 x
1 x  1 x  2

 300 x 2  40 x  2  10 x  1  3  10 x  0



 

1 x  1 x  2

0



 300 x 2  50 x  2  10 x  1  10 x  1  1  3  10 x  0

 2  30 x  1 5 x  1  10 x  1
 2  30 x  1 5 x  1 





10 x  1  1 

2 10 x  1  5 x  1

10 x  2
1  3  10 x

0

2  5 x  1

0
1  3  10 x



10 x  1
1
1
3
.
 2  5 x  1  30 x  1 

0  x


5
10
10 x  1  1 1  3  10 x 

10 x  1  1

Bài 22: Giải bất phương trình:



6 x 2  2  3x  1 x 2  1  3x  6



2

x 1 x 1  2  x  2 x  2



0

(Trích đề Thi Thử THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An 2014 Lần 3
Khối A,B)
Điều kiện: x  1; 2 
x  1 ; 2 

ta có:  x  1  x2  2 x  1  x2  x2  1  1  2 x2  2  2 x2  4
2









 x  1  2 x2  2  x  1  x  1  2  x  2 x2  2  0

Suy ra: BPT  6 x 2  2  3x  1 x 2  1  3x  6  0
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương






 4 x 2  1  2  3 x  1 x 2  1  2 x 2  3 x  2  0



1 
x
  x 2  1  x   x 2  1   1   0  1
2 
2



x

Xét x  1; 2  , ta có: x 2  1   1  3  2  0 , x  1; 2 
2
1
2

5
4

Do đó:  1  x 2  1  x   0  1  x  .
Bài 23: Giải bất phương trình: x 

x4  2x3  2x  1
* 
x3  2x2  2x

(Trích đề Thi Thử THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng 2015)
Điều kiện: x  0. Khi đó *   x 

x

 x  1 x  1
x
3
 x  1  1

Xét hàm số f  t  

3

 x  1  x 3  3 x 2  3 x  1



x x2  2x  2



 x    x  1  f x  f  x  1

 
 x   1  x  1  1
3

3

2

2

t3
t 4  3t 2
f
'
t

trên
có

  t 2  1  0 , t  .
t2  1

Do đó hàm số f  t  luôn đồng biến và liên tục trên .
Suy ra f

 

x  f  x  1  x  x  1 

Bài 24: Giải bất phương trình:

 
x

2

x 1 0  0  x 

x7
x 1 2 x  2



3 5
.
2

2 4x
* 
x1

(Trích đề Thi Thử Trung Tâm LTĐH Trí Minh – TP Hồ Chí Minh
2015)
Điều kiện: 2  x  4 , x  1.

*  










x2

x2



2


x  2  1

x2 3



2

 32



2 x2 3


x  2  3 
x2 3

Group Tài Liệu Ôn Thi



2 4x
x2



2

1

2 4x
x  2 1



x 2 1



FB: />
Admin: Chương Dương


2 4x

 x2 3

x  2 1





x2 3





x 2 1  2 4 x

 x 1 2 x  2  2 4  x  0

Xét hàm số f  x   x  1  2 x  2  2 4  x trên đoạn  2 ; 4  \1 có:
1

f ' x  1 

x2



1
4x

 0 , x   2 ; 4 \1 .

Do đó hàm số f  x  đồng biến trên 
 2 ; 1 và  1; 4  .
Mặt khác: f  x   f  1  0  x  1.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của BPT là: x  1; 4  .

Bài 25: Giải phương trình: 2 x 2  6 x  10  5  x  2  x  1 1
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 Lần 6)
Cách 1. Tách ghép đưa về tích số.
Điều kiện: x  1. Khi đó
PT  2  x  2   2
2



  5 x  2 x  1  0

x  1   2  x  1   4  x  2 
 

x1

2


x  1  0

  x  2  2  x  2   x  1   2 x  1  x  1  2  x  2   0





 2  x  2    x  2 


2

2

 x  1  2 x  2
  2  x  2   x  1   x  2   2 x  1   0  



 2 x  1  x  2
x  2
  x  2
 
 2
2
x  1  4 x  4x  4
x  3
 4 x  17 x  15  0
 


  x  2
x  8
  x  2


2
x  8x  0
4 x  1  x 2  4 x  4


  





Cách 2. Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp.
Điều kiện: x  1 *  .
Khi đó  1  2  x  2   2  x  1  5  x  2  x  1  0  2 
2

a  x  2  3
b  x  1  0

Đặt 
 2

 2a  b

trở thành 2a2  2b2  5ab  0   2a  b  a  2b   0  

 a  2b

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương

x  2

Trường hợp 1: 2a  b  2  x  2   x  1  

4  x  2   x  1
2

 x  2
 2
 x  3 (Thỏa mãn điều kiện).
4 x  17 x  15  0
x  2
Trường hợp 2: a  2b  x  2  2 x  1  
2
 x  2   4  x  1
 x  2
 2
 x  8 (Thỏa mãn điều kiện).
 x  8 x  0

Vậy nghiệm của phương trình là x  3 ; x  8.
Cách 3. Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai.



Do x  1 là nghiệm nên chia hai vế cho

x1



2

 0 thì:

2



1  2  x  2   5. x  2  2  0  x  2  2 hoặc x  2  21 .
x1
x1
x1
 x1 

Giải tương tự như trên ta cũng được x  3 ,x  8.
Cách 4. Nhân liên hợp từng nghiệm đơn.
Điều kiện: x  1 *  .
Khi đó  1  5  x  2 


5  x  2  x  1  4 
x1  2

 x  3 hoặc





x  1  2  2 x 2  6 x  10  10  x  2 

 2 x 2  6 x  30 

5 x  2

2 x1

2 x1

  x  3  x  10 

 2 x  10  2  .

Đặt t  x  1  0   2  thành



5  x  2  x  3 





5 t2  3
t2

 2 t


2



 1  10





  t  2  2t 2  12  5t 2  15  2t 3  t 2  12t  9  0   t  3  2t 2  5t  3  0  t  3  t  0 
 x1  3  x  8

Vậy nghiệm của phương trình là: x  3 ; x  8.
Cách 5. Nhân liên hợp hai nghiệm đơn.

 1   x  2   x  7   5

x  1   x 2  11x  24  0




 x 2  11x  24  0

 x  2   x2  11x  24 
5 x1  x7





 x 2  11x  24  0


x2
 x 2  11x  24 
 1  0  
 5 x  1  x  7  2  x
 5 x1  x7






Giải tương tự như trên, ta cũng được kết quả x  3 ,x  8.
Cách 6. Nâng lũy thừa.

Điều kiện: x  1 *  . Khi đó ta có 4  x2  3x  5   25  x  1 x  2 
2











 4 x 4  6 x 3  19 x 2  30 x  25  25  x  1 x 2  4 x  4  25 x 3  3x 2  4

2



 4 x 4  49 x 3  151x 2  120 x  0  x  x  3  x  8  4 x  5   0 .

Thử lại ta thấy chỉ có x  3 ; x  8 thỏa mãn phương trình đã cho.
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Bài 26: Giải phương trình:



x 3  2 x 2  x  2   x  1 x 3  x 2  x  2  2 x 2  x  1

 * 

(Trích đề Thi Thử Diễn Đàn K2pi.net.vn Năm Học 2016 Lần 1)
Điều kiện: x  2.

*   

x3  2 x2  x  2   x  1    x  1  x 3  x 2  x  2   2 x  1  0






1
x1
 x 3  3x 2  3x  3 

0

 3

2
3
2
x

2
x

x

2

x

1

x

x

x

2

2
x

1







 x 3  3x 2  3x  3   x  1  2  x  1  3 2 .
3

Bài 27: Giải bất phương trình sau:

1  2 x  2 x2  3x  1
1  2 x2  x  1

 1.

(Trích đề Thi Thử THPT Hiền Đa – Phú Thọ 2015)

x  0

x0
Điều kiện:  x 2  3x  1  0

2
1  2 x  x  1  0
1



2

3

Ta có 2 x 2  x  1  2  x     3  1  x  0   1  2 x 2  x  1  0
2
4

Do đó: BPT  x  x 2  x  1  x 2  3 x  1
 1 x 

1
1
1  x  3
x
x

(Vì x  0 không thỏa mãn bất phương trình)

1
x

Đặt x   t  t  2 vì x  0 . Ta có 1  t  1  t  3  2 t  1  3  t 
Suy ra 2  t 

Bài

13
4

13
1 13
13  105
13  105
.
 2 x 

x
4
x 4
8
8

28:

Giải

bất

phương

trình:

x  x  2  x 3  4 x 2  5x  x 3  3x 2  4 .

(Trích đề Thi Thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2015 Lần 3)
BPT  x  x  2  x  x  2   1 


2


  x  2   x  2 x  1  x 1 

Group Tài Liệu Ôn Thi

 x  2   x  1

 x  2

2

2


 1 .


 x  0 .

(1)

FB: />
Admin: Chương Dương


 x2:

 1  0  2

 x2:

 1   x  2   1 

2 (loại).

 1   2  2

x0:




x  1  x 1 


Chia 2 vế cho x. x  2   0 :  1 

1

 x  2
 1

x

Xét hàm s f  t   t  1  t 2 , t  0  f '  t   1 

2

(loại).


 1


1
1
1

 1
.
2
x x2
 x  2
t
1  t2

 0 t  0  f  t  đồng biến và liên tục t  0 .

Do đó:  1  1  1  x  2  x  x 2  5 x  4  0  x  4 ; x  1 .
x

x2

Kết hợp x  2  x  4 .







 0  x  2 : 1   x  2  1  x  1  x 1 

 x  2



Chia 2 vế cho x. x  2   0 :  1 

1
x

 1

Xét hàm f  t   t  1  t 2 , t     f '  t   1 
 f t 

2


 1


1
1
1

 1
.
2
x x2
 x  2
t
1  t2



1  t2  t
1  t2

 0 t

đồng biến t . Từ đó  1  1  1 .
x

x2

1

 0 . Đáp số: x  4 .
x2

Trường hợp này vô nghiệm vì

Bài 29: Giải phương trình: 2  x  4  x  3   x  6  2 x  1  3  x  2 
(Trích đề Thi Thử Diễn Đàn K2pi – Lần 6 – Năm 2015)
Đặt



Ta có

t  x  3 ,t  3.

 

2 t2  7 t  t2  9





2t 2  5  3 t 2  5



 2t 3  3t 2  14t  15  t 2  9





x  t 2  3.

Thay vào




* 

 

ta thu được phương trình:

2t 2  5  0   t  3  2t 2  3t  5  t 2  9





2t 2  5  0

  t  3  2t 2  3t  5   t  3  2t 2  5  0

t  3
 2
 2t  3t  5   t  3  2t 2  5  0 * 

Với t  3  x  3  3  x  6  y  6.
t 2  5

Ta có *    2t 2  3t  5    t  3   2t 2  5   t 4  12t 2  35  0  
2

2

2
t  7

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


t  5

 x3  5
x  2  y  2


t  7
 x  3  7
x  4  y  4

Đối chiếu điều kiện ta có: 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    2 ; 2  ;  4 ; 4  ;  6 ; 6 .

Bài 30: Giải phương trình: 3 x  2  2 x  1  x  1
(Trích đề Thi Thử THPT Hai Bà Trưng – Thừa Thiên Huế 2015
Lần 3)
Điều kiện: x  

1
*  . Khi đó  1  3x  2  2 x  1   3x  2    2 x  1
2

 3x  2  2 x  1 



3x  2  2 x  1

 3x  2  2 x  1  0

 3x  2  2 x  1  1

2 



3x  2  2 x  1



1
x    3 x  2  2 x  1  0 nên:
2

 2  . Với

3x  2  2 x  1  1  3x  2  1  2 x  1



1
1
x  
x  
 x42 5


2
2



3x  2  2 x  2  2 2 x  1
x  2 2x  1

Bài 31: Giải phương trình: 3 3  x 3  2 x 3  x  3
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 Lần 1)
Điều kiện: x .





Khi đó  1  2 x 3  3  x  3 3  x 3  0  2 
Ta có x  x 3  x 
3

2

3

3

3  x 
3

2

2


x  3x 2
  3 3  x3   
0
2
4


2
 x  0
3
x  3x 2
3

0
Dấu bằng xảy ra   3  x   
3
2
4

 x  3

Điều này vô lý nên dấu bằng không xảy ra  x 2  x 3 3  x 3  3  3  x 3   0.
2

Do đó  2   2 x 3  3 



x3  3  x3
3

2

2

3



3

x  x 3x  3 3x

2x3  3

 2x3  3 

3

x x 3x 

3

3  x 
3

2





3



2

0

0




1
 2x3  3  1 

x2  x 3 3  x3  3 3  x3








2



3
3
  0  2x  3  0 x  3
2







Bài 32: Giải phương trình: 3 x 3 x  7 x  3 x  7  7 x 3  12 x 2  5 x  6
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2015 Lần 5)

Điều kiện: x .
Khi đó 1  x 3  x  7  3 x 3 x  7 x  3 x  7  8 x 3  12 x 2  6 x  1



Group Tài Liệu Ôn Thi



FB: />
Admin: Chương Dương




 x 3 x7



3

  2 x  1  x  3 x  7  2 x  1  3 x  7  x  1
3





  x  1  x  7  x 3  3 x 2  2 x  6  0   x  1  x 2  4 x  6  0
3

2
  x  1  x  2   2   0  x  1.



Bài 33: Giải phương trình 8 x 2  10 x  11  14 x  18  11.
(Trích đề Thi Thi Thử THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2015 Lần
4)
Điều kiện: x  





2

 4 2x  x  1 

 

11
*  . Khi đó  1  4 2 x 2  x  1 

10





2 2 x2  x  1



10 x  11  2 x  3







2 2 x2  x  1

14 x  18  2 x  4



14 x  18  2 x  4  0

0


1
1
 2 x2  x  1  2 

2 x  3  10 x  11 2 x  4  14 x  18

2

2x  x  1  0


1
1
f x 2

0
  
2 x  3  10 x  11 2 x  4  14 x  18



 

10 x  1  2 x  3 




0


 x  1
Trường hợp 1: 2 x  x  1  0   1 TM  .
x 

2
11
Trường hợp 2: f  x   0 . Ta có: x  

và:
10
5
7
2
2
10 x  11
14 x  18
f ' x 

2
2 x  3  10 x  11
2 x  4  14 x  18
2



 



2

 0 , x  

11
10

 11


 f  x  đồng biến và liên tục trên   ;   .
 10

 11 
Do đó f  x   f     0 nên phương trình f  x   0 vô nghiệm.
 10 


1
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1;  .


Bài 34: Giải phương trình:
2 x 2  3 x  2  3 x  6  4  2 x 2  11x  6  3 x  2 .

(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 Lần 1)
 x  2
 x  2

 2
1
Điều kiện: 2 x  3x  2  0   x  2  2 x  1  0  x  *  .
2
 2

2 x  11x  6  0
 x  6  2 x  1  0

Khi đó: 1 
 2x  1






 x  2  2x  1  3

 

x2  x6 3

2x  1  3



x6  4



 x  6  2x  1  3

x2

x2  x6  4



x6  x2  4

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương






2x  1  3



 

x6  x2 

x6  x2



x6  x2

 x  2  x  6 

2 x  1  3  x  6  x  2  2x  8  6 2x  1  2x  8  2





 x  2  x  6   9  2x  1  x2  8x  12

 3 2x  1 

x  3
 x 2  10 x  21  0  
x  7

Thử lại x  3 hoặc x  7 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình là x  3 ; x  7.
Bài 35: Giải phương trình: 3 x 2  3 x  3  3 2 x 2  3 x  2  6 x 2  12 x  8.
(Trích đề Thi Thử THPT Tĩnh Gia – Thanh Hóa 2015 Lần 3)
3



2

3



3

2

7

Ta có x2  3x  3   x     0 và 2 x2  3x  2  2  x     0
2 4
4 8


Khi đó áp dụng BĐT AM – GM ta được:






 x2  3x  3  1  1  3 3 x2  3x  3
3x2  6 x  9


VT
1

 x 2  2 x  3  6 x 2  12 x  8  x 2  2 x  3


3
2
2
3
 2 x  3x  3  1  1  3 2 x  3x  3




 5x 2  10 x  5  0  5  x  1  0  x  1.
2

Thử lại thỏa mãn phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là x  1 .





Bài 36: Giải phương trình: 2 x 3  9 x 2  6 x 1  2 6 x  1  2 6 x  1  8  0
(Trích đề Thi Thử Sở Giáo Dục Quảng Nam 2015)
Điều kiện: x 

1
*  . Khi đó 1  2 x3  9 x2  6 x  8  2  6 x  1 6 x  1
6





 2 x 3  9 x 2  6 x  8  2  x  1 6 x  1  2  6 x  1 x  1  6 x  1  0

 x  1   6x  1  0
 16 x  10  2  6 x  1 .
2

3

 2 x  3x

2





  2 x  5 x  4 x  2 
2



x  1  6x  1

2  6 x  1 x 2  4 x  2

 0

x  1  6x  1

2  6 x  1 
 x2  4x  2  2x  5 
  0 2


x
x


1

6

1


2  6 x  1
1
Với x   2 x  5 
 0 nên  2   x 2  4 x  2  0  x  2  2 (Thỏa mãn điều kiện).
6
x  1  6x  1





Vậy nghiệm của phương trình là x  2  2 .
Bài 37: Giải phương trình  x  5  x  1  1  3 3x  4 .
(Trích đề Thi Thử THPT Mang Thít – Vĩnh Long 2015)

Điều kiện: x  1 *  .

Ta có:  x  5  x  1  1  3 3x  4
  x  1 x  1  3  x  1  4 x  1  2  3 x  4  3 3 x  4
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />

Admin: Chương Dương






 



3

x  1  1  3x  4  3 3x  4 .

x1 1 

Xét hàm số f  t   t 3  t trên  . Vì: f '  t   3t 2  1  0 vậy f  t  đồng biến và liên tục trên  . Do
đó: f



 

x1 1  f

3



3x  4  x  1  1  3 3x  4 .

Thay vào phương trình đầu, ta được:

 x  5

x  1  1  x  1  1   x  4  x  1  0  x  1

Bài 38: Giải phương trình: 4  x2  2 3 x4  4 x3  4 x2   x  1  1  x .
2

(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Đại Học Vinh 2015 Lần 2)
Điều kiện: 2  x  2 *  .
Khi đó 1  4  x 2  x  2  2 3  x 2  2 x    x 2  2 x   0  2 
2



Ta có

4  x2  x

  42 x
2

4  x 2  4  4  x2  x  2

 4  x2  x  2  0  3 

Mà 8  x 2  2 x    x 2  2 x    x 2  2 x   8  x 2  2 x 

2



3

2

  x  2  4  x 
Do *    x  2 x   x  2  4  x   0  8  x  2 x    x  2 x 
 8  x  2 x    x  2 x    x  2 x    x  2 x   0.
 x2  2x

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

3

0

2

x  0

Kết hợp với  3   VT  2   0. Dấu bằng xảy ra  

 x  2

Thử lại x  0 hoặc x  2 thỏa mãn phương trình đã cho.
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là x  0 ; x  2 .
Bài 39: Giải phương trình:
xx  7 

 x  7  x  17    x  17  x  24   12  17

2.

(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 Lần 5)
t  12

x  0

Điều kiện: 
*  . Đặt x  12  t  t  12

 x  24
Khi đó: f  t  

t  12 t  5    t  5 t  5   t  12  t  5  12  17 2 .
Vì: f  t   f  t   f  t  là hàm số chẵn trên tập D    ; 12   12 ;   .
Do đó ta chỉ cần xét trên 12;   . Ta có:
f ' t  

2t  17

2

 t  12  t  5 



t

 t  5 t  5



2t  17

2

 t  13 là nghiệm duy nhất thuộc

nghiệm duy nhất thuộc   ; 12  .

 0 , t   12 ;   .

 t  12  t  5
12;   . Mặt

khác f  t  là hàm số chẵn nên t  13 là

x  1

Từ đó ta được t  13  

 x  25

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


Bài 40: Giải phương trình 3 5 x  4  3 x  4  4 x 2  18 x  12  0
(Trích đề Thi Thử Sở Giáo Dục Bắc Ninh 2015)
Điều kiện: x  

4
*  .
5

Khi đó 1    5 x  4   x  1  3  x  4   x  1   4  x 2  3 x  3   0




3 5x  4  x 2  2 x  1
x  1  5x  4



3 x 2  3x  3

  3x  4  x

  3 x

2

 2x  1

x 1 x  4

2

 4 x


x4

 3x  3

4 x


2



 3x  3  0



2

 3x  3  0
x  1  5x  4 x  1 


3
3
 x2  3x  3  4 

0
x  1  5x  4 x  1  x  4 

 x 2  3x  3  0



3
3

0
f  x  4 

x  1  5x  4 x  1  x  4






Trường hợp 1: Với: x 2  3x  3  0  x 

3  21
.
2

3  21
thỏa mãn.
2
3
3
Trường hợp 2: f  x   4 

0.
x  1  5x  4 x  1  x  4

4
Ta xét hàm số trên với x   . Khi đó ta có:
5




3
5
3
1
f 'x 
1
1


2 
2 
2 5x  4  x  1  x  4 
2 x4 
x  1  5x  4 

Thử lại thì chỉ có x 







 4





Vậy: f '  x   0 với mọi x    ;   .
 5

 4
 5

 4
 5





Kết hợp với f  x  liên tục trên   ;    f  x  đồng biến trên   ;   .
 4







Đó đó trên   ;   phương trình f  x   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. Mặt
 5


khác f  0   0  x  0 là nghiệm duy nhất của f  x   0. Vậy nghiệm của phương trình là x  0
và x 

3  21
.
2

Bài 41: Giải phương trình: 2 x 3  x 2  6 x  9  3 9  3 x 2
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2015
Lần 1)

Điều kiện:  3  x  3 *  . Khi đó ta có  2 x3  x2  6 x  9   9  9  3x2 
2

 x 6  4 x 5  23 x 4  48 x 3  45 x 2  108 x  0


 x  2 x  3   16 x



 x  2 x  3  2 x 4  x 3  10 x 2  9 x  36  0
4



 8 x 3  30 x 2  72 x  288  0

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương



 x  2 x  3   4 x 2  x  14






2


 x  2 x  3   4 x 2  x  14





2

Thử lại x  0 hoặc x 

3
thỏa mãn là nghiệm của phương trình đã cho.
2




 31x 2  100 x  92   0

2
x  0

50  352 
0 
  x 31 
 
x  3
31

31




2

Bài 42: Giải phương trình: 2 x 2  11x  21  3 4 x  4
(Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 Lần 7)
Cách 1: Nhân liên hợp cơ bản và đánh giá chứng minh vô nghiệm:
Điều kiện: x . Khi đó  1  2 x 2  11x  15  3 3 4 x  4  2
  x  3  2 x  5  
x  3

 2x  5 




12  x  3 
3

 4x  4 

2

 4x  4

2



 2 3 4x  4  4

12
3



 2 3 4x  4  4

2

Ta có  2    2 x  5   3  4 x  4   2 3 4 x  4  4   12
2



Do

3

 4x  4 

2





 2 3 4x  4  4  1  3 4x  4

  3  0  2x  5  0  x  25 .
2

Với x  3  VT  3    2.3  5  4  4  4   12  VP  3   Loại.

5
 x  3  VT  3    2.3  5  4  4  4   12  VP  3   Loại.
2
Với x  3 thì đã thỏa mãn  3  . Do đó  3   x  3.

Với

Cách 2: Nhân liên hợp cơ bản và khảo sát hàm số chứng minh vô nghiệm:
Đặt x   *  . Khi đó  1  2 x 2  11x  15  3 3 4 x  4  2

  x  3  2 x  5  
x  3

 2x  5 



12  x  3 
3

 4x  4 

2

 4x  4 

2



 2 3 4x  4  4

12
3



3

 2 4x  4  4

2

Ta có  2    4 x  10   3  4 x  4   2 3 4 x  4  4   24  3 
2



Do

3

 4x  4 

2





 2 3 4x  4  4  1  3 4x  4

  3  0  4x  10  0  x  25 .
2

Đặt t  3 4 x  4  1, x   VT  3  thành  t 3  6  t 2  2t  4   24  f  t  .
5
2

Xét hàm số f  t    t 3  6  t 2  2t  4   24 với t   1;   có



 



f '  t   3t 2 t 2  2t  4  t 3  6  2t  2   5t 4  8t 3  12t 2  12t  12

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


 5t 4  5

Với t  1  8t 3  8  5t 4  8t 3  12t 2  12t  13  12t  12
 2
12t  12t
 f '  t   0 , t   1;   .

Kết hợp với f  t  liên tục trên  1;    f  t  đồng biến trên  1;   . Do

đó trên  1;   phương trình f  t   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. Mặt khác
2   1;  
 t  2 là nghiệm duy nhất của f  t   0  3 4 x  4  2  x  3.

 f  2   0

Vậy nghiệm của phương trình là x  3.
Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM:


Điều kiện: x   *  . Ta có VT 1  2  x 


2

11  47
 0  3 3 4 x  4  0  4 x  4  0  x  1.
 
4
8

Lại có 2 x2  11x  21  2  x  3   x  3  x  3 , x  .  2  .
2

Với x  1 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 4x  4   8  8  3 3  4x  4  .8.8  12 3 4x  4 .

Kết hợp với  2   2 x 2  11x  21  3 3 4 x  4 . Dấu bằng xảy ra  x  3. Thử lại đã thỏa mãn. Vậy
nghiệm của phương trình là x  3.
Bài 43: Giải phương trình: x 2  2 x  2 x  1  3 x 2  4 x  1  1
(Trích đề Thi Thử THPT Nguyễn Trãi 2015 Lần 3)
Điều kiện xác định : x 
(1) 

x

2

1
2



 2 x  2 x  1  x 2  1 

x

2







 2 x  2 x  1  x 2  2 x   2 x  1

u  x 2  2 x
 u;v  0  . Thay vào pt trên ta được :
v  2 x  1

Đặt: 

u  v
3 5

u  v

u.v  u  v   2


3 5 u 2 v
2
v
u  3uv  v  0
u 
2


Do đó: x2  2 x 





3 5
1 5
2 x  1  2 x 2  2 1  5 x  3  5  0  x 

2
2

Vậy nghiệm của pt(1) là : x 

1 5
2





Bài 44: Giải phương trình: x 2  2 15  x 2  x  15  3 15x  x 3  4 x
(Trích đề Thi Thử THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam 2015)
Điều kiện 0  x  15
Biến đổi phương trình tương đương:
Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương


15  x   3
2

x. 15  x 2  4 x  2





15  x 2  x  0

Đặt u  15  x2 , v  x (u,v  0) , khi đó phương trình trở thành:





u2  3uv  4v  2 u  v 2  0
 u2   3v  2  u  2 v 2  4 v  0





 u   3v  2   4 2 v 2  4 v  v 2  4 v  4   v  2 
2

Khi đó u 

2

3v  2  v  2
3v  2  v  2
 2 v hoặc u 
 v2
2
2

Với u  2v , khi đó 15  x 2  2 x  15  x 2  4 x  x 2  4 x  15  0
 x  2  19

 x  2  19  L 

Với u  v  2 , khi đó 15  x2  x  2 * 
Với điều kiện: 0  x  15  x  2 

15  2 

16  2  0 nên phương trình *  vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm: x  2  19

Bài 45: Giải bất phương trình: x 2  x  x  2  3  x 2  2 x  2 
(Trích Đề Thi THPT Quốc Gia 2015 – Đề Minh Họa)
Điều kiện: x  1  3 .
Với điều kiện đó, kí hiệu  2  là bất phương trình đã cho, ta có:

 2  x2  2x  2  2 x x  1 x  2  3  x2  2x  2 
 x  x  2  x  1  x  x  2   2  x  1
  x  x  2   2 x  1   x  x  2   x  1   0  3  .




Do với mọi x thỏa mãn 1 , ta có x  x  2   x  1  0 nên

 3  x  x  2  2 x  1  x2  6x  4  0  3  13  x  3  13 .  4 
Từ  1 và  4  , tập nghiệm của bất phương trình: S  1  3 ; 3 
Bài

 x  2

46:

Giải



bất

phương

13  .


trình:

2 x  3  2 x  1  2 x 2  5x  3  1 .

Group Tài Liệu Ôn Thi

FB: />
Admin: Chương Dương