Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.61 KB, 6 trang )
đề thi học sinh giỏi lớp 12 bảng b
Môn: Toán
Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
2
++=
xxxy
Bài 2:(2đ) Parabol:
2
2
x
y
=
chia hình tròn
8
22
+
yx
ra làm 2 phần. Tính diện
tích mỗi phần đó.
Bài 3:(2đ) Tìm m để phơng trình x
4
( 2m+3)x
2
+ m + 5 = 0 có 4 nghiệm x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
thoả mãn :
-2 < x
1
< -1 < x
2
< 0 < x
3
< 1 < x
4
< 3
Bài 4:(2đ) Giải bất phơng trình:
( )
943
22
+
xxx
Bài 5:(2đ) Giải phơng trình:
x
x
xx
sin2
1
sin
3
2
3
cos22
3
cos2
+=
+
Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ABC thoả mãn: a = x
2
+ x + 1;
b = 2x + 1;
c = x
2
1. Hỏi ABC có đặc điểm gì?
Bài 7:(2đ) Tính
x
x
x
x
Lim
2
13
53
+
Bài 8:(2đ) Giải hệ phơng trình:
=++
=++
=++
2logloglog
2logloglog
2logloglog
16164
993
442
yxz
xzy
zyx
Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian:
A
1
, A
2
....., A
n
. Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) ngời ta dựng điểm N sao
cho:
+++=
n
MAMAMAMN ...
21
. Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi.
Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:
=+++
+=+
0
22
22
dcdc
baba
Chứng minh:
( ) ( )
22
22
+
dbca
-2 O
2
x
đáp án hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng
B
Môn : Toán
Bài
Nội dung
Điểm
1
(2đ)
Đk:
+
<
++
++
+
0
0
0
0
1
0
1
0
011
01
01
22
22
2
2
x
x
x
x
x
x
xxx
x
Rxxxxxx
xxx
xx
vi
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y =
( )
x
xxxxx
xx
xxxxx
xx
xxxxx
xxx
+++
+
>
+++
++
=
+++
++
0
1.14
1212
1.14
12312
1.14
1212
2222
2
22
2
Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R
0.5
0.5
0.75
0.25
2
(2đ)
Đờng tròn có bán kính: R=
228
=
y
Diện tích hình tròn là: S =
8
2
=
R
(đvdt)
Gọi diện tích phần gạch chéo là S
1
, phần còn lại là S
2
.
A
B
Cần tính S
1
.Phơng trình đờng tròn: x
2
+ y
2
= 8
y =
2
8 x
Đờng tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ
độ là nghiệm của hệ:
( )
=
=
=+
=
=+
=
2
2
082
02
8
2
2
2
22
2
y
x
yy
yyx
yx
x
y
S
1
=
2
0
2
0
3
2
2
0
2
2
3
82
2
82
=
x
dxxdx
x
x
đặt x =
tdtdxt cos22sin22
=
cận
2
0
x
thành cận
4
0
t
0.5
0.5
0.5
( )
3
4
2
3
8
)2cos1(8
3
8
cos16
3
8
cos.22.sin182
4
0
4
0
2
4
0
2
1
+=+===
dtttdttdttS
(đvdt)
3
4
6
3
4
28
12
=
+==
SSS
( đvdt)
0.5
3
(2đ)
Txđ của phơng trình là : R
Đặt x
2
= X
0
, ta có phơng trình: f(X) = X
2
( 2m+3).X + m + 5 = 0
(*)
để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x
1
< x
2
< x
3
< x
4
thì phơng trình (*) có
hai nghiệm thoả mãn: 0 < X
1
< X
2
. Khi đó
24131221
;;; XxXxXxXx
====
Do
đó: -2<-
2
X
<-1< -
1
X
< 0 <
1
X
< 1 <
2
X
< 3
>
2
2
X
>1 >
1
X
> 0
4 > X
2
> 1 > X
1
> 0
>+
>+
<+
>
>
<
097
05
03
0)4(
0)0(
0)1(
m
m
m
af
af
af
<
>
>
7
9
5
3
m
m
m
không tồn tại m thoả mãn bài toán .
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Giải bất phơng trình : (x-3)
4
2
+
x
9
2
x
Txđ :R
Bpt :
( )
(
)
0343
2
+
xxx
>
+++
>+
+
+++
++
++
6
5
3
3
3
3
6
5
3
964
03
3
03
3
964
3
34
03
34
03
22
22
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
[
)
+
<
;3
6
5
;
6
5
3
3
3
x
x
x
x
Đây là tập nghiệm của bấtt phơng trình.
0.5
1.0
0.5
5
(2đ)
Đk:
.,2
2
2
0sin
0cos
zkkxk
x
x
+<
>
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF =
3
32
sin2
1
sin
3
2
+
x
x
áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta đợc:
VT
( )
3
32
3
cos22
3
cos2
11
22
=
++
xx
.
để phơng trình có nghiệm thì VT=VF =
3
32
( )
zkkx
x
x
xx
x
x
+=
=
=
=
=
2
3
2
1
cos
2
3
sin
3
cos22
3
cos2
sin2
1
sin
3
2
đây là họ nghiệm của phơng
trình.
0.5
0.5
0.5
0.5
6
Để a, b, c là 3 cạnh của ABC: a = x
2
+ x + 1; b= 2x+1; c = x
2
1 thì điều kiện cần
là:
( )
>+
>
>
>
>
>
++>++
+>+++
>++++
1;1
1
2
1
;
1
1
012
33
1)12()1(
12)1()1(
1)12()1(
2
22
22
22
x
x
x
x
x
xx
x
xxxx
xxxx
xxxx
Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy:
a
2
= b
2
+ c
2
+bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA => cosA=
2
1
mà 0 < A <
=> A =
3
2
. Vậy ABC có góc A =
3
2
0.5
1.0
0.5
7
(2đ)
Ta có
xx
xx
x
22
13
6
1
13
53
+=
+
đặt
13
61
=
xt
thì 6t = 3x-1
3
16
+
=
t
x
Khi x thì t
Khi đó
+
+=
+=
+
+
3
2
4
3
2
42
1
1
1
1lim
1
1lim
13
53
lim
tttx
x
t
t
t
t
x
x
= e
4
vì
=
+=
+
1
1
1lim;
1
lim
3
2
t
e
t
t
t
t
t
0.5
0.5
0.5
0.5
8
Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phơng trình tơng đơng với:
M
1
M
1
1/2 1
(2đ)
=
=
=
=++
=++
=++
2)(log
2)(log
2)(log
2log
2
1
log
2
1
log
2log
2
1
log
2
1
log
2log
2
1
log
2
1
log
4
3
2
444
333
222
xyz
xzy
yzx
yxz
xzy
zyx
=
=
=
=
=
=
)3(16
)2(9
)1(4
16
9
4
22
22
22
xyz
xzy
yzx
xyz
zxy
yzx
Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta đợc x
2
y
2
z
2
= 4.9.16 x.y.z=24
3
32
24
16
;
8
27
24
9
;
3
2
24
4
2
2
22
====== zyx
0.5
0.5
0.5
0.5
9
(2đ)
+++=++++++=
+++=
nn
n
OAOAMOnOAMOOAMOOAMO
MAMAMAMN
.......
)1(...
121
21
Gọi tổng:
=+++
OKOAOAOA
n
...
21
( Điểm K hoàn toàn đợc xác định tuỳ thuộc vào
cách cho hệ điểm A
1
, A
2
, A
3
,......, A
n
)
Khi đó: (1)
==+=+
MOnKNMOnOKONOKMOnONMO ).1().1(.
)2().1().1(
==
nRnMOnKN
Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R
0.5
0.5
0.5
0.5
10
(2đ)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y
M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có:
=+++
=+
2
1
)
2
1
()
2
1
(
2
1
)
2
1
()
2
1
(
22
22
dc
ba
M nằm trên đờng tròn tâm I
)
2
1
,
2
1
(
bán --1 x
kính R=
2
2
, và N nằm trên đờng tròn tâm
K
)
2
1
,
2
1
(
, bán kính R=
2
2
. Nối IK cắt 2 đờng
0.5
0.5
0.5
1/2 1/2
-1
1
1
N
1
-1
N
1/2
1
11
O
-1/2
1/2
K
