Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 6

đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 : (4điểm) Cho f(x)=
12
6
6)1(
++
m
x
m
x
x
1. Giải bất phơng trình f(x)
0

với m=
3
2
2. Tìm m để : (x-6
x

1
)f(x)
0

với mọi x
[ ]
1;0

câu 2 : (4 điểm )

1. Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm

2
++
xaxa
2. Giải và biện luận phơng trình :

[ ]
)22(log4)2(log2
2
2
2
2
++=+
+
axx
ax
x
câu 3: (4 điểm) Cho hàm số :
y=
2
33
2
+
++
x
xx
(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có các toạ độ là các số nguyên

câu 4 : (6 điểm )
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn :
4
22
=+
yx
và điểm A(1;0)
một điểm M thay đổi trên đờng tròn. Chứng minh rằng đờng vuông góc với
AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định .
2. Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm A;
B; C thay đổi . Chứng minh rằng đờng vuông góc kẻ từ B vuông góc với đờng
chéo AC luôn đi qua một điểm cố định.
3. Cho tam giác ABC vuông ở C. tìm những điểm P trong không gian thoả
mãn :
222
CPBPAP



+
câu 5: (2 điểm )
Tìm các hàm số f(x)xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều kiện :
f(x+y)=f(x).f(y);

x,y
R

.
Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn : Toán

Thời gian làm bài : 180 phút
Đáp án
điểm
Câu 1 (4 điểm ):
1. (2điểm) Đặt t=
)0(6
>
t
x
và :
f(t)=(m-1)t-
12
2
++
m
t
1. m
3
2

; f(t)
ttt
+
10670
2
<6

10661

x

x
0,25
0,25
0,5
1,0
2. (2điểm )Với x=1, bất phơng trình thoả mãn với mọi m
Xét x
[ ]
1;0

Đặt h(x)=x-6
x

1
h(x)=1+6
)(06ln
1
xh
x
>

đồng biến trên
[ ]
1;0
và h(1)=0
[
)
1;00)(
<
xxh

vậy ta cần tìm m sao cho : f(x)
[
)
1;00

x
Với t=6
[
)
)(
2
2
6;1
2
2
tg
tt
tt
mt
x
=
+
+

Ta có : g(x)=
22
2
)2(
443
+

tt
tt
Bảng biến thiên :

t 1 2 6
g(t) - 0 +
g(t)
3
2
2
1

Từ m
)(tg

đứng với mọi t
[
)
[
)
mtg

)(min6;1
6;1
hay m
2
1

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II: (4 điệm )
1.(2đ)
Ta có :a<0 thì
xa

vô nghĩa
Vậy ta xét a
0

điều kiện x
0

i) khi a=0
02
=+
xxx
0,25
0,5
ii) khi a>0; điều kiện

10
0
0
a
x
x
ax
x
Đặt

=
2
;0;
cos


ax
ax
phơng trình
2cos1(cos1(
++

aa
(*)

a
1
42
cos

với
2



o
thì
1
42
cos
2
1










Vậy để (*) có nghiệm thì
a
1



2
1

0< a

2
Vậy phơng trình có nghiệm

0

a

2
0.5
0.25
0.25
0.25
2, (2 điểm)
Viết lại phơng trình dới dạng
2
x
2
+ 2
log
2
(x
2
+2) = 2
2
ax
+

+ 2
.
[ ]
)22(log
2
++
ax
.

Xét hàm số f(t) = 2
t
log
2
t với t

2
f
'
(t)= 2
t
log
2
t.ln2 +
2ln
2
t
t
> 0

t

2


hàm số đồng biến
Khi đó phơng trình có dạng : f(x
2
+2) = f(2
2
+
x
+2 )


x
2
+2 = 2
2
+
x
+2


x
2
= 2x +2a (1)
hoặc -x
2
= 2x +2a (2)
a,giải và biện luận (1) :

1

=1+2a
*
1

<0

a< -
2
1


(1) vô nghiệm
*
1

=0

a= -
2
1


(1) có nghiệm kép x=
2
1
*
1

>0

a> -
2
1


(1) có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=1

a21
+
b,giải và biện luận (2) :
2

=1-2a
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
*
2

< 0

a >
2
1

(2) vô nghiệm
*
2

= 0

a =
2
1

(2) có nghiệm kép x=-
2
1
*
2

>0

a <
2
1

(2) có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=-1

a21

Kết luận:

+ Với a < -
2
1
phơng trình có nghiệm : x =-1

a21

+ Với a = -
2
1
phơng trình có nghiệm : x=
2
1
; x = -1


2
+ Với-
2
1
<a <
2
1
phơng trình có nghiệm : x = 1

a21
+
+ Với a =
2
1

phơng trình có nghiệm : x= -
2
1
; x = 1


2
+ Với a >
2
1
phơng trình có nghiệm : x =1

a21
+
Câu 3 : (4 điểm )
1. (3 điểm)
y =
2
33
2
+
++
x
xx
TXĐ
{ }
2/
=
RD
y

'
=
3;10';
)2(
34
2
2
===
+
++
xxy
x
xx
ý >0: hàm số đồng biến (
3;

) và (
1

;
+
)
y<0 hàm số nghịch biến
)2;3(

và
)1;2(

Cực đại (-3;-3); cực tiểu (-1; 1)
+=

+
y
x 2
lim
;
=

y
x 2
lim
suy ra đờng thẳng x=-2 là tiệm cận
đứng
y=x+1+
2
1
+
x
; lim
0
2
1
=
+
+
x
x


x+1 là tiện cận xiên

+=
+
ĩm
lim
; lim
=

x
Bảng biến thiên :

x -3 -2 -1 +


y
+ 0 - - 0 +
y -3
+
+


0.25
0,5
0.25
0.25
0,5
0,5
0,5

-

1
Đồ thị : Giao với Oy tại (0;
2
3
) y
nhận I(-2; -1) làm tâm đối xứng

3/2
1
-3 -2 -1 x
O
-3
2. (1 điểm)
Hàm số y=
2
1
1
+
++
x
x
vì
221;
++
xxZyZx
là ớc của 1
vậy x+2=+1 hoặc x+2=-1

==
==

33
11
yx
yx
Vậy trên đồ thị hàm số có 2 điểm có toạ độ là các số nguyên là : (-1; 1) và
(-3; -3)

Câu IV: (6 điểm )
1. (2 điểm)
Đờng tròn :
4
22
=+
yx
giả sử M(2cos

sin2;
);
[ ]

2;0

)sin2;1cos2(

=

MA

do đó phơng trình đòng thẳng

vuông góc với
AM tại M có phơng trình :
(2cos
0.sin2)1
=++
Dyx

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25