Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 8

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: toán
Thi gian 180 phút
Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x
3
-
32
2
1
2
3
mmx
+
(m là tham số)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị (cm)tại 3 điểm phân biệt A,
B, C sao cho AB = BC.
Bài 2: (2điểm)
Tính tích phân
I =
dxxx
23
1
0
1


Bài 3: (2điểm)
Cho phơng trình:
x
2

2 ( m - 1) x + 2m
2
3m + 1 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng khi phơng trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thỏa mãn
bất đẳng thức.
| x
1
+ x
2
+ x
1
x
2
|




8
9
Bài 4: (2 điểm)
Giải bất phơng trình
232

x
+
2
+
x

3
4
)2)(23(
+
xx
Bài 5: (2điểm)
Giải phơng trình
sin
3
(x +
xsin2)
4
=

Bài 6: (2điểm) Cho

ABC có:
2
1
sinsin
coscos
22
22
=
+
+
BA
BA
(cotg

2
A + cotg
2
B)
Chứng minh rằng

ABC cân
Bài 7: (2điểm)
Tính giới hạn sau:
I =
1
lim

x

1
57
2
3

+
x
xx
Bài 8: ( 2 điểm)
Giải phơng trình
x-
5
2

x

x-1-
5
2

x
4 - 12 . 2 + 8 = 0
Bài 9: (2điểm)
Cho hình chóp S . ABCD trong đó SA

(ABCD) và SA = 2; ABCD là
hình chữ nhật, AB = 1; BC = 3.
Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AC và SD
Bài 10: (2 điểm)
Giả sử x,y là 2 số dơng thỏa mãn điều kiện
6
32
=+
yx
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y.
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 12
môn: Toán
Bài 1:
a) Với m = 1 thì hàm số có dạng: y =
2
1
2
3
23
+
xx

* TXĐ: D = R
(0,25)
Chiều biến thiên
y = 3x
2
3x = 3x(x-1)
y = 0




=
=
1
0
x
x
=> Hàm số đồng biến trên (-

;
0
) và (1; +

)
Hàm số nghịch biến trên (0;1)
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , y
cđ
=
2

1
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, y
ct
= 0
Giới hạn
lim y = -

, lim y =
+

x

-

x

+


(0,25)
* Tính lồi, lõm, điểm uốn.
y = 6 x 3
y = 0

x =
2
1

Dấu của y:
x -

1/2
+

y - 0 +
Đồ thị Lồi Điểm uốn Lõm
(1/2;1/4)
* B¶ng biÕn thiªn:
x -
∞
0 1/2 1
+
∞
y’ + 0 - 0 +
y 1/2
+
∞
1/4
-
∞
0
(0,25)
§å thÞ :
Giao ®iÓm víi trôc ox: (1;0) vµ (-1/2; 0)
Giao ®iÓm víi trôc oy: (0; 1/2)



(0,25)
b) PT hoµnh ®é giao ®iÓm:

x
3
-
0
2
1
2
3
32
=+−
mxmx
(1)
§êng th¼ng y = x c¾t ®å thÞ t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A,B,C
⇔
pt (1) cã 3
nghiÖm ph©n biÖt x
A
, x
B
, x
C
. Theo Vi et ta cã : x
A
+ x
B
+x
C
=
2
3

m (2)
theo gt AB = BC
⇔
2 x
B
=x
A
+ x
C
(3)
Tõ (2) vµ (3)
⇒
x
B
=
2
m
. VËy x =
2
m
lµ mét nghiÖm cña (1).
Chia f(x) =
323
2
1
2
3
mxmxx
+−−
cho

2
m
x
−
ta ®îc:
f(x) = (x -
2
m
) (x
2
mx 1 -
2
2
m
) -
2
m
+
4
3
m
.
(0,25)
x =
2
m
là nghiệm của (1)

-
2

m
+
4
3
m
= 0

m=0, m =
2

Khi đó f(x) = (x -
2
m
) (x
2
mx 1 -
2
2
m
) có 3 nghiệm phân biệt
vì
)(x

= x
2
mx 1 -
2
2
m
có 2 nghim trái dấu

(0,25)
và có

(
2
m
) = -1 -
0
4
3
2

m
.
m

vậy: m = 0 ; m =
2

(0,25)
Bài 2: I =
dxxx .1.
2
1
0
3


Đặt x = sin t, t

2
;
2



dx = cost . dt
(0,5)
x = 0

t = 0, x=1

t =
2




ttx cossin11
22
==


I =

==

)(cos.cos).cos1(.cos.sin
2
2
0
22
2
0
3
tdttdttt

=
15
2
|)cos
3
1
cos
5
1
()(cos).cos(cos
2/
0
352
2
0
4
==

tttdtt
(0,5)
Vậy
15
2
.1.
2
1
0
3
=

dxxx
(0,5)
Bài 3:
a) x
2
2(m-1) + 2m
2
3m + 1 = 0 (1)
Ta có

= (m-1)
2
(2m
2
3m + 1) = - m
2

+ m
(0,25)
PT (1) có nghiệm




0

- m
2
+ m

0

0

m

1
(0,25)
Vậy 0

m

1 thì pt (1) có nghiệm
b) Gọi x
1
, x
2

là các nghiệm của phơng trình (1)
Theo Vi ét ta có: x
1
+ x
2
= 2(m-1)
x
1
. x
2
= 2m
2
3m + 1
(0,25)

| x
1
+ x
2
+ x
1
.x
2
| = | 2m 2 + 2m
2
3m + 1| = | 2m
2
m 1|
(0,25)
= 2 | m

2
-
2
m
-
2
1
| = 2 |(m -
4
1
)
2
-
16
9
|
(0,25)
Với 0

m

1 thì ( m -
4
1
)
2


0

| (m -
4
1
)
2


-
16
9
|


16
9
(0,25)
Vậy | x
1
+ x
2
+ x
1
. x
2
|

2.
16
9
=

8
9
(0,25)
Bài 4: Giải phơng trình
2
23

x
+
2
+
x

3
4
)2)(23(
+
xx
(1)
TXĐ: D =
{

x

R
\ x


3
2

}
Trên D thì
2
+
x
> 0, Chia 2 vế của (1) cho
2
+
x
ta đợc
2
31
2
23
+
+

x
x

4
2
23
+

x
x
(0,25)
Đặt t =
4

2
23
+

x
x
, t

0
(0,25)
BPT

2t
2
3t + 1

0

0

t

2
1
hoặc t

1
(0,25)
* Với 0

t

2
1
thì
4
2
23
+

x
x



2
1

3
2


x


47
34
(0,25)
* Với t

1 thì
4
2
23
+

x
x


1

x

2
(0,25)
Vậy tập nghiệm của BPT (1): T =






47
34
;
3
2

[ ]
+
;2
(0,25)
Bài 5: Giải phơng trình
sin
3
(x +
xsin.2)
4
=