Đề thi HSG lớp 12 có đáp án - đề 9

đề thi học sinh giỏi 12
Đề bài:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
+
++
x
mxx
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C
1
) 2đ
b) Tìm trên 2 nhánh của (C
1
) 2 diểm A và B sao
cho AB bé nhất 2đ
2) Xác định m để hàm số có y
CĐ
, y
CT
và y
CĐ
.y
CT
> 0 1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phơng trình:
6 2
33
111

=+
xxx
2đ
b) Tìm x, y Z thoả mãn
2đ
( )
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
+++
+
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số

=

0
2
sin xdxeI
x
n
(n = 1, 2, ...)
a) CMR:
,...,n
n
e

I
n
21
2
2
=

3đ
b) Tính
n
n
Ilim


1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
có a > b
Xét M
o
(X

o
, Y
o
) E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a OM b
2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại M
O
(x
0
> 0;y
0
> 0)cắt chiều dơng OX và OY
ở A, B thì tồn tại vị trí M
O
để độ dài AB min. 2đ
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và
SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các khoảng
cách từ A, B, C lên đờng thẳng SM tìm vị trí M để P
min
.
H ớng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1
+
x
TXĐ: R - {-1) 0,5đ

b) y' = 1
( )
2
1
1
+

x
y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 dấu y'
- 2 - 1 0 x 0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2,
-1) (-1, 0)
Có x
LĐ
= -2, y
CĐ
= -3 và x
CT
= 0 y
CT
= 1 0,5đ
Tiệm cận: đứng x = -1 vì
=

+
+

1
1
1
x
xlim
x
Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
+

x
lim
x
= 0
Bảng biến thiên:
+ - - +
1
x
y'
y
-
-2 -1 0
+
+ 0 - 0 +-
- -
+

+
-3
Vẽ đồ thị (0,5d) y
x
- 3
b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái. 0,5đ
A (-1 +, -1 + +

1
) và (-1 -, -1 - -

1
) với và dơng
BA
2
= AB
2
= ( + )
2
+ ( + )
2
2
1
1

+
= ( + )
2







+

+















++

22
2
12
24
1
11
= 8

+
4
+ 8
288
+
=>
288
+=
min
AB
1điểm
tại = =
4
2
1

+++
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;A







4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;B
0,5đ
- 1
-1-2
1

0
y = x
Bài 2:
a) x = 1 không phải nghiệm phơng trình 0,5đ
chia 2 vế cho
6
2
1

x
ta có:
1
1
1
1
1
66
=
+



+
x
x
x
x
đặt
)t(
x

x
t 0
1
1
6
>

+
=
ta có:
01
1
==
t
t
t
2
- t - 1 = 0

)iạlot(t
2
51
2
51

=
+
=
0,5đ
=

+









+
=

+

1
2
51
2
51
1
1
66
x
x
x
1
2
51
2
51
1
2
51
1
6
6
6

+








+
+
=








+
+=
x
1đ
b) Nhận xét rằng: x
2

+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 2
log
2
(x
2
+ 2x + 3) 1 x R 0,75đ
điều kiện cần phải có
8+
7+3+
2
2
y
yy -
1

2
1
y 1 y Z y = 1 0,5đ
x
2
+ 2x + 3 2 x = -1 0,5đ
BPT có nghiệm



=
=
1

1
y
x
( Z) 0,25
Bài 3: Đặt


=
0
2
nxdxsin.eI
x
n

====
nxcos
n
nxdxsin,dxxedueu
xx
1
2
22
→
∫
π
π
+−=
0
0
22

21
nxdxcosxe
n
xncose
n
I
xx
n
1,0®
→
( )
∫
π
π
=+−−=
0
22
2
11
1
nxdxcosxeJ;J
n
e.)(
n
I
x
nn
n
n
=>

nn
n
n
J
nn
e
J
nn
e)(
I
21211
22
+
+
≤+
−−
=
ππ
1,0®
mÆt kh¸c cã:
∫∫∫
πππ
≤→≤=

000
222
dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ
x
n
xx

n
=
n
e
I
e
n
22
2
2
1
ππ
≤→
−
1,0®
Do
0
2
0
2
22
→→−
ππ
n
e
vµ
n
e
nªn I
n

→0 theo nguyªn lÝ kÑp (1®)
Bµi 4:
1) 2 ®iÓm: tõ M
O
∈ E →
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
OO
vµ OM
2
=
22
OO
yx
+
vµ tõ a > b ta cã: 1,0®
1=
2
2
0
2
2

0
+
b
y
a
x
≤
2
2
0
2
2
0
+
b
y
b
x
⇒
2
b
≤
2
0
2
0
+ yx
(1)
vµ 1=
2

2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
≥
2
2
0
2
2
0
+
a
y
a
x
⇒
2
a
≥
2
0
2
0

+ yx
(2)
tõ (1) vµ (2) → a
2
≥ OM
2
≥ b
2
→ a ≥ OM ≥ b 1,0®
2) §êng th¼ng AB cã d¹ng
1
=+
n
y
m
x
víi A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiÕp tuyÕn →
1
2
2
2
2
=+
n
b
m
a
=> 0,5®
vËy AB

2
= m
2
+ n
2
= (m
2
+ n
2
).1 =
=
( )
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
a
m
n
b
n
m

ba
n
b
m
a
nm
+++=






++
0,5®