Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 10

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Bảng B
Bài I
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y = x
3
-3x +2 (C)
2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến
với (C) tại A,B,C tơng ứng cắt lại (C) tại A',B',C'. Chứng minh rằng A',B',C'
thẳng hàng.
( Đề ôn luyện số 4 Toán học tuổi trẻ tháng 5/2005)
Bài II.
1. Giải hệ phơng trình
1-23 -
=++
yxyx

yx +
+ x y = 0
(Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002)
2. Giải bất phơng trình:
ln
2
1
+
x
- ln(x
2
-x +1) > 0
(Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002)
Bài III:

1. Gọi F(x) =

53
xx
dx
+
Bằng phơng pháp thêm bớt vào tử số hãy tính nguyên hàm F(x) trên.
(Đề thi Đại học Y khoa năm 1997)
2. Tính I =
dxxax

1
1
22
)ln(

++
(đk a # 0)
( Đề ôn luyện số 3 Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005)
Bài IV:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB =AC
=a. SA=a. Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh SB, N
nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM.
Tìm tỉ số MS/MB.
(Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002)
Bài V:
Xét các tam giác ABC. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = 5cotg
2
A +16cotg

2
B + 27 cotg
2
C.
( Đề ôn luyện số 3 Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005)
Hớng dẫn chấm
Bài (6
đ
)
CâuI (3
đ
)
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a. y = 3x
2
-3 = 3(x
2
-1) => x =-1 hoặc x = 1
(0.25
đ
)
y>0 trên khoảng (-; -1) và (1; +)
y<0 với x (-1;1)
(0.5đ)
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=-1; y
CĐ
= y(-1) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; y

CĐ
= y(1) = 0
(0.5đ)
c. Giới hạn:

=


y
x
lim

+

)2/x 3/x-(1x
323
lim
x
= - ;

=
+
lim

y
x
=
+
+

)2/x 3/x-(1x
323
lim
x
= +
(0.5đ)
d. Tính lồi lõm và điểm uốn
y = 6
x
; y= 0 <=>
x
= 0
x
- 0 +
y - 0 +
đồ thị lồi U(0;2) lõm
(0.5đ)
e. Bảng biến thiên:
x
- -1 0 1 +
y + 0 - - 0 +
y
4 2 +
- 0
(0.25đ)
3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ)
Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng

CâuII:(3
đ

)
Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng thuộc đờng thẳng d có phơng trình
y=ax+b
Gọi x
1,
, x
2
, x
3
lần lợt là hoành độ các điểm A,B,C thuộc (d). Tiếp tuyến với
đồ thị (C) của hàm số tại A có phơng trình y=(3x
1
2
-3
,
)(x- x
1,
) + x
1,
3
-3x
1,
+ 2
(d
1
) (0.5
đ
)
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d
1

) và (C) là:
x
3
-3x +2 = (3x
1
2
-3
,
)(x- x
1,
) + x
1,
3
-3x
1,
+ 2.
<=> (x- x
1,
)
2
(x+2x
1
) = 0
(0.5
đ
)
=> d
1
cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x
1

' = -2 x
1
.
Tơng tự B',C' lần lợt có hoành độ x
2
' = -2 x
2
, x
3
' = -2 x
3

(0.5
đ
)
Vì A,B,C có hoành độ x
i
thoã mãn phơng trình
ax
i
+ b = x
i
3
-3 x
i
+ 2 (i = 1,2,3)
mà x
i
= - x
i

'/2 =>a(- x
i
'/2) + b = (- x
i
'/2)
3
-3(- x
i
'/2) + 2
(0.5đ)
=> -4a x
i
' + 8b = -x
i
3
-12 x
i
+16
<=> x
i
'
3
-3 x
i
'
+ 2 = (4a + 9) x
i
' + 18 - 8b
hay ba điểm A',B',C' nằm trên đờng thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b
Bài II (4

đ
)
Câu I: điều kiện x+y 0
3x +2y 0
Đặt u =
yx
+
0

=> x y = 2v
2
-5u
2
(0.5đ)
v =
yx 23
+
0

Ta có hệ phơng trình đã cho u v = -1
(0.5đ)


u + 2v
2
-5u
2
= 0

u = 2
(0.5đ)


v = 3

Vậy x + y = 4 x = 1

3x + 2y = 9  y = 3
(0.5®)

Thâa m·n ®iÒu kiÖn


C©u II ®iÒu kiÖn x # -1
Ta cã bÊt ph¬ng tr×nh <=>ln
2
1
+
x
> ln(x
2
-x +1)
(0.5®)
<=>
1
+
x
> 2(x
2

-x +1) (1)
(0.5®)
* NÕu x+1 > 0 <=> x>-1 th× (1) <=> x+1 >2(x
2
-x +1)
<=>2x
2
-3x +1<0 <=> 1/2 < x < 1 ( tho· m·n x>-1)
(0.5®)
* NÕu x + 1 <0 <=> x<-1 th× (1) <=> -x-1 >2(x
2
-x +1)
<=>2x
2
-x +3 < 0 ( bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm)
Tãm l¹i bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 1/2 < x < 1
(0.5®)
Bµi III (5
®
)
C©uI: (2.5
®
) Ta cã
)1(
1
)1(
11
23
22
2353

xx
xx
xxxx
+
−+
=
+
=
+
(0.5®)
=
−=
+
−
323
1
)1(
11
xxxx
=
+
−+
)1(
1
2
22
xx
xx
3
1

x
-
2
1
1
x
x
x
+
+
(1®)
=> F(x) =
∫ ∫∫
+++−−=
+
+
+−
−
Cxx
xx
xd
x
dx
dxx )1ln(
2
1
ln
1
1
)1(

2
1
2
22
2
2
3
(1®)
C©uII (2.5
®
)
§Æt t= - x => I =
∫
−
−+
1
1
22
)ln( dttat

(0.5®)
∫∫∫
−−−
++−==
++
=
1
1
22
1

1
2
1
1
22
2
)ln(lnln dttatdtadt
tat
a

(1®)
I = 2lna
2
– I => I = lna
2
(1®)
Bµi IV:
S
N
A C
M

B
Cho hệ toạ độ Axyz với A(0,0,0) B(a,0,0) C(0,a,0) S(0,0,a)
Giả sử M(x,0,a-x) (0 x a)
Do tam giác SAC vuông cân tại A và MS/MB = NS/NC => N(0,x,a-x)
(1đ)
Vậy
AN = (0,x,a-x)

CM = (x,-a,a-x)
Do AN vuông góc với CM <=>AN. CM = 0
(1đ)
=> -ax + (a-x)
2
= 0 <=> x
2
- 3ax + a
2
= 0
x =
2
53

=>
2
15

=

=
xa
x
MB
MS
(1đ)
Bài V:(2đ)
F = 5cotg
2
A + 16cotg

2
B + 27 cotg
2
C
= (3+2)cotg
2
A +(12+4) cotg
2
B +(9+18) cotg
2
C
= (3 cotg
2
A +12 cotg
2
B) + (4 cotg
2
B+9 cotg
2
C) +(18 cotg
2
C + 2
cotg
2
A) (1đ)
12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12
Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3
(1đ)