Đề thi HSG tỉnh Q.Ninh

Lớp 11.
Năm học 2002 2003.
Bảng B.
Bài 1.
a) CMR:
0 0 0 0 0 0
2sin 2 4sin 4 6sin 6 ... 178sin178 180sin180 90cot g1+ + + + + =
b) Cho

ABC có:
3
sin A sin B cos C
2
+ =
. Hãy tính các góc của tam giác.
Bài 2.
Cho dãy số thực :
1 2 3
u c , u c c , u c c c= = + = + +
, . . . với c là hằng số dơng cho trớc.
a) CMR:
n
u 1 c , n 1, 2,3,...< + =
b) Chứng minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy.
Bài 3.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Trên tia Ax
(ABCD)
tại A, lấy M tùy ý. Gọi B, D lần lợt là
chân đờng vuông góc hạ từ A tới MB, MD. Đặt MA = m.
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD) theo a và m.
b) Gọi O là điểm đối xứng với O qua AB. CMR khi điểm M di động trên tia Ax, đờng thẳng

OBluôn tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AC.
Bài 4.
Xét số thực x thỏa mãn :
x (0;1)
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = x
29
(1 - x)
3
.
Lớp 11.
Năm học 2003 2004.
Bảng B.
Bài 1.
a) CMR:
3 0 2 0
8sin 18 8sin 18 1+ =
b) Giải hệ phơng trình:
sin 2x sin y 1
4
sin 2ysin x 1
4


+ =
ữ

=
ữ



Bài 2.
Dãy số (u
n
) đợc cho nh sau :
n
30sin n 3cosn
u
n 2004
+
=
+
với n = 1, 2, 3, . . .
CMR dãy số đã cho có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 3.
Trong (P) cố định, cho nửa đờng tròn đờng kính AB, trên nửa đờng tròn lấy điểm C tùy ý (C

A,B).
Kẻ CH

AB (H

AB). Gọi I là trung điểm CH. Trên nửa đờng thẳng It

(P) tại I lấy điểm S sao cho

AS

SB.
a) Tính
( )
ã
(SAB),(P) ?
=
b) CMR khi C chạy trên nửa đờng tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABI chạy trên
một đờng thẳng cố định.
Bài 4.
CMR:
( )
3
3
(1 x)(1 y)(1 z) 1 xyz , x, y, z 0
+ + + + >
. Khi nào xảy ra dấu bằng ?
Lớp 12.
Năm học 2004 2005.
Bảng A.
Bài 1
Giải PT: x(x
8
+x
2
+16) = 6(4 x
2
)
Bài 2.

Cho dãy số(x
n
) xác định bởi :
3 3
1 2 n 1 n 1 n
x e ; x e ; x .x x
+
= = =
với
n , n 2 Ơ
a) CMR :
n
cos
6
n
x e

=
với
n , n 1 Ơ
b) Lập dãy số (y
n
) nh sau :y
1
= x
1
;
n
n 1 2 n
y x .x ....x=

với
n , n 2 Ơ
Tính
n
n
lim y

Bài 3.
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, các cạnh còn lại đều bằng c. Gọi E, F lần lợt là trung điểm các
cạnh AB, CD. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để mặt cầu đờng kính EF tiếp xúc với tất cả các
cạnh của tứ diện ABCD.
Bài 4.
Cho đa thức P(x) =
3 2
x x 4x 1+ +
.
a) CMR: P(x) có 3 nghiệm phân biệt.
b) Gọi
1 2 3
x , x , x
là 3 nghiệm của P(x). Tính tổng:
3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1
S
x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1
= + +
+ + +
Lớp 12.
Năm học 2004 2005.

Bảng b.
Bài 1
Giải PT: x(x
8
+x
2
+16) = 6(4 x
2
)
Bài 2.
Tính giới hạn :
x
sin x
lim
x

Bài 3.
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, các cạnh còn lại đều bằng c. Gọi E, F lần lợt là trung điểm các
cạnh AB, CD.
a) CMR: EF là đờng vuông góc chung của AB và CD. Tính độ dài EF theo a, b, c.
b) Giả sử a + b = 2c. CMR: mặt cầu đờng kính EF tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.
Bài 4
Cho 2 số a, b với a > 0 thỏa mãn: đa thức P(x) =
3 2 2
x ax a x b+ +
có 3 nghiệm phân biệt.
CMR:
3 3
27b 11a 16a+ <
Lớp 12

Năm học 2003 2004.
Bảng A.
Bài 1.
a = ? để BĐT :
6 5 4 3 2
x 6x 12x ax 12x 6x 1 0 + + + +
đúng
x Ă
.
Bài 2.
Cho dãy (x
n
) xác định bởi :
2 *
n
x n a n 1 , n , a= + + Ơ Ă
. CMR dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn khi
và chỉ khi a = -1.
Bài 3.
Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = c. Các
điểm M và N lần lợt di động trên các cạnh OB và OC thỏa mãn OM + ON = OA.
a) CMR (AMN) luôn tiếp xúc với 1 mặt cầu cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN.
Bài 4.
Tìm hàm f(n), xác định với mọi số nguyên dơng n, chỉ nhận giá trị dơng và thỏa mãn đồng thời điều
kiện sau:
a) f(4) = 4.
b)

*
1 1 1 f (n)
... , n
f (1).f (2) f (2).f (3) f (n).f (n 1) f (n 1)
+ + + =
+ +
Ơ
a = ? để BĐT :
6 5 4 3 2
x 6x 12x ax 12x 6x 1 0 + + + +
đúng
x Ă
.
Cách 1.
Xét x = 0 thì BĐT đúng.
Xét
x 0

chia cả 2 vế cho x
3
và đặt
1
t x , t 2
x
= +
ta đợc :
3 2
t 6t 9t a 12 0, t 2 + + +
Đặt :
3 2

f (t) t 6t 9t a 12 0, t 2= + + +
Nhận thấy f(t) là hàm số lẻ nên f(t) không thể không âm với
t 2
Vậy không tồn tại giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2.
Làm tơng tự nh trên ta có :
3 2 3
f (t) t 6t 9t a 12 (t 3) a 39 0, t 2= + + + = + +
Với
t 2
thì
f (t) a 38 0 a 38 +
vì
3
(t 3) 1 , t 2
Với
t 2
mà
3
(t 3) 1 , t 2
nên không thể có
f (t) 0 , t 2
Vậy với
t 2
thì không có giá
trị của a thỏa mãn.
KL: Vậy không tồn tại giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.