Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 13

đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
y=x
3
-(m+1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+

) .
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phơng trình sau :
x
2
- 2mx + 2
mx

+5 < 0. Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phơng trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:

ax
x
a
LogLogLogLogLog
xaaax
.4
2

.
22
2
=+
(1)
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và
CD.Hai điểm R,S lần lợt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho
k
BS
BD
AR
AC
==

(k > 0).
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =90
0
và chân đờng vuông góc hạ từ D xuống
mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)
2


6(AD
2
+BD
2
+CD

2
).
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
2y

x
2
; y

-2x
2
+ 3x .
Chứng minh rằng : x
2
+ y
2


2.
Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:.......

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm.
Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x
0
;y
0
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m.

0.5đ



=
=






=
=+
=

=++
+++
0
2
02
023
02
.,0)2()23()2(2
.),12(2)232()1(
0
0
00
2
0

3
0
0
2
0
0
00
2
0
3
00
2
0
2
0
0
22
0
3
0
y
x
yxxx
xx
x
myxxxmxxmx
mmmxmmxmx

0.5đ

0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua
m


0.5đ
b.(2điểm) Ta có:
)232()1(23)(
22,
++==
mmxmxxgy
0.5đ


=7m
2
7m +7 = 7(m
2
-m+1) > 0 ,
m


0.5đ
y
,


0,
);2(
+

x





<


02
2
0)2(
S
g
0.5đ

23
05
062
2




<
+

m
m
mm

0.5đ
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phơng trình đã cho tơng đơng với :
(*)052)(
22
<++
mmxmx
0.5đ
đặt: t =
mx

điều kiện : t
,


0
0.5đ
(*)trở thành




<++
0
)1(052
22
t
mtt
0.5đ
Hệ có nghiệm

>

0
0
2
'
t
(t
2
là nghiệm lớn) 0.5đ

0.5d 5
0.5d
041
04
2
2






+
>

m
m
m

b.(3điểm)
Đ/k : x>0 , x
1

, a>0 , a
1


0.5đ
(1)

x
x
x
x
a
aaa
a
log
logloglog
log
1
.2
22
1
.

1
2
=+
x
xx
x
a
a
aaa
a
log
log
logloglog
log
22
2.
2
=+

0.5đ
Đặt : t =
x
a
log
, b=
2
log
a
.Ta đợc phơng trình:
)2(022

22
2
=+=+
btbt
t
b
tbt
t
0.5đ
-Nếu
bt

thì
)3(042)2(
2
=+
btt
(3) có nghiệm
4
1
0'

b

Lúc đó (3) có hai nghiệm
btbt 411;411
21
++=+=
Rõ ràng t
1

<-1 < b nên bị loại.

200)2(141
2
++
bbbbbbt

Vậy
20 b
2220
2
log

a
a
Vì a>0 nên a

2

0.5đ
-Nếu t< b thì (2)
02
2
=
tt
Vì t
)1(0

x
nên t=2

Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2
212122
2
log
<<<<>
aa
a
0.5đ
Kết hợp hai trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm khi a > 1
Khi 1<a<
2
thì nghiệm là x = a
2
Khi a
2

thì nghiệm là x = a
1241
log
+
a

0.5đ
Bài 3.(4điểm)
[ ]
[ ]
,,
22
0.5d )0BPAP (vi )(
2

0.5d )(
2
0.5d )(
2
1
0.5d )0BPAP (vi )(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )(
2
1
PSPRPQtovecbaPS
k
PR
k
PQ
PSPR
k
PSBPPRAP
k
BSARk
BDAC
BPAPBDAC
BPBDAPAC

PDPCPQ
+=
=++=
+++=
+=
=++=
++=
+=
+=

Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng.
0.5đ
Bài 4.(4điểm)
Trớc hết ta chứng minh CDA =90
0
Thật vậy:
Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E
Do :AB
DH

và AB
CE

nên AB
)(DEC

Suy ra : AB
DC

(1)

1đ
Mặt khác :theo giả thiết BDC =90
0

BDDC

(2)
Từ (1)và (2)

DADCABDDC )(
CDA =90
0
0.5đ
Hoàn toàn tơng tự :
ADB =90
0
0.5đ
Từ đó ta có :
AB
2
+ BC
2
+ CA
2
=2(AD
2
+BD
2
+CD
2

) (1)
0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)
2
= AB
2
+BC
2
+CA
2
+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB


(AB
2
+BC
2
+CA
2
) (2)
Kết hợp (1),(2) ta đợc : (AB+BC+CA)
2

6(AD
2
+BD
2
+CD
2

)
1đ
Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA.
0.5đ
Bài 5.(2điểm)
Từ giả thiết suy ra :

xxy
x
32
2
2
2
+
(1)
0.5đ
(Các điểm thoả mãn (1)là phần hình
phẳng
đợc tô đậm ở hình bên).
Hoành độ giao điểm của hai
Parabol:
0
4
3

5
6
y
1
=

2
2
x
và y
2
=-2x
2
+3x
là nghiệm phơng trình:
5
6
,032
2
2
2
==+=
xxxx
x

Với điều kiện (1) ,ta có :
x
2
+y
2
222
)32( xxx
++
=
232
10124 xxx

+
với
5
6
0

x
0.5đ
Ta xét hàm số :
f(x)=4x
4
12x
3
+10x
2
trên






5
6
;0
f(x)=16x
3
-36x
2
+20x

=4x(4x
2
-9x+5)
f(x)=0

x=0 , x=1, x=
4
5

0.5đ
Bảng biến thiên
x 0 1 6\5
f(x) + 0 -
2
f(x)