Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 15

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y =
1 x
2 2mx
2
+
++
x
với m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó
đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 là nh nhau.
Bài 2:
1) Giải phơng trình x
2
+
5
4 4x -
4
2
2
=
+
x
x
2) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của:
F = (x + y 2)
2
+ (x + ay 3)

2
theo a
Bài 3:
1) Giải bất phơng trình:
( )
6) (log - log2
x-
22
2 3 2
+
+
xx
x
> 1
2) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

ABC đều:




+=
+=
CBA
cba
2
2
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SB = x, tất cả các cạnh còn lại bằng b
(b >
3

x
)
a) Tính thể tích hình chóp theo b và x
b) Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
Bài 5: Cho Elip (E) có phơng trình:
1
4
y

9
22
=+
x
và M(1, 1)
Lập phơng trình đờng thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao
cho MA = MB.
Bài 6: Tính : I =
( )

+
+
1
0
6
4
1 x
1 dxx
hớng dẫn và biểu điểm chấm
Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT
Môn : Toán

Thời gian làm bài: 180
phút
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
1) Với m = 1, hàm số trở thành: y =
1 x
1
1 x
1 x
2 2x
2
+
++=
+
++
x
1.1- Tập xác định: D = R \
{ }
1

1.2- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Ta có: y = 1 -
( )
;
1
1
2
+
x

cho y = 0

1 -
( )

1
1
2
+
x
= 0

(x+ 1)
2
= 1




=+
=+
1- 1 x
1 1 x






=

=
2- x
0 x
Xét dấu y: + -1 +
- 2 0
Hàm số đồng biến trên khoảng (-

; -2)

(0; +

) và nghịch biến
trên khoảng (-2; -1)

(-1; 0)
b) Cực trị:
Tại x = -2 , hàm số đạt giá trị cực đại , y
CĐ
= y(-2) = -2
Tại x = 0 , hàm số đạt giá trị cực tiểu , y
CT
= y(0) = 2
c) Tính lồi lõm và điểm uốn (không xét)
d) Giới hạn:
+=
+
++
=
+
+

1 x
2 2x x
lim lim
2
x
x
y


=
+
++
=



1 x
2 2x x
lim lim
2
x
x
y

* (D1): x = -1 là tiệm cận đứng vì
1
lim

x

y
=

* (D2): y = x + 1 là tiệm cận xiên vì


lim
x
[ ]
1) (x -
+
y
=

+


1
1
lim
x
x
=
0
2 đ
0,25
0,25
0,25
-2
e) Bảng biến thiên:

x -

-2 -1 0 +

(C)
y + 0 - - 0 +
y -2 +

+

-

-

2

1.3- Đồ thị:
Gọi (C): y =
1 x
2 2x
2
+
++
x

(C)

oy = (0; 2)
(C)

ox vì phơng trình:

1 x
2 2x
2
+
++
x
= 0 vô nghiệm
* Nhận xét: Gọi I là giao của 2 tiệm cận


I(-1; 0) là tâm đối xứng của đồ thị (C)
2) y =
1 x
2 2mx
2
+
++
x
TXĐ: D = R\
{ }
1

Ta có: y =
( )( )
( )
( ) ( )
2
2

2
2
1 x
2 - 2m 2x x

1 x
2 2mx x - 1 2m 2
+
++
=
+
++++
xx
Hàm số có cực đại, cực tiểu

y =
( )
2
2
1
2 - 2m 2x
+
++
x
x
có 2 nghiệm phân
biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm

m <
2

3
(*)
* Giả sử các điểm cực đại, cực tiểu A
1
(x
1
, y
1
) và A
2
(x
2
,y
2
) có x
1
, x
2
là 2
nghiệm của: x
2
+ 2x + 2m 2 = 0 và có:
y
1
= 2x
1
+ 2m , y
2
= 2x
2

+ 2m . Khoảng cách từ A
1
và A
2
tới đờng thẳng
x + y + 2 = 0 sẽ bằng nhau.

2 2m 3x 2 2m 3x 2 y x 2 y
212211
++=++++=++
x

3(x
1
+ x
2
) = - (4m + 4)

3(-2) = - (4m + 4)

m =
2
1
(thoả mãn (*))
Vậy m =
2
1
0,75
0,5
0,25

0,25
( )
1 23 2
6) (log - log2
x-
22
>+
+
xx
x
-2
-2
1
y
x
x= -1
Bài 2
1) Phơng trình: x
2
+
5
4 4x -
4
2
2
=
+
x
x
x

2
+
5
2) -(x
4
2
2
=
x
x
2
+ 2x
2 -
2
x
x
+
5
2 -x
4x
-
2 -
2
2
2
=

x
x

5
2 -x
4x
-
2 -x
2x

2
2
=






+
x

0 5 -
2 -
x
4 -
2 -
2

2
2
=








xx
x

Đặt t =
2 -
2
x
x
, phơng trình trở thành:
t
2
4t 5 = 0



=
=
5 t
1- t

* Với t = -1



=
=
=+=
2 - x
1 x
0 2 - x x 1-
2 -
2
2
x
x

* Với t = 5
0 10 x 5- x 5
2 -
2
2
=+=
x
x
(phơng trình vô nghiệm)
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x = - 2
2) F = (x + y 2)
2
+ (x + ay 3)

2
* Nhận xét: (x+ y 2)
2
0 ; (x + ay 3)
2
0 F 0
Xét hệ:



=+
=+
03
02
ayx
yx




=+
=+
03
2
ayx
yx
(I)

TH1: Hệ (I) có nghiệm D =
a1

11
= a 1

0 a

1
Thì

(x,y) để F = 0

Min F = 0
TH2: Hệ (I) vô nghiệm D = 0 a 1 = 0 a = 1
(hệ số không tỷ lệ)
Với a = 1

F (x + y 2)
2
+ (x + y 3)
2
Đặt t = x + y 3 ; t

R

F = (t + 1)
2
+ t
2
= 2t
2
+ 2t + 1 = 2(t

2
+ 2t
2
1
+
2
1
)
4
1
+

= 2(t +
2
1
)
2
+
2
1

2
1
,

t.

Min F =
2
1

Đạt đợc t = -
2
1
x + y 3 = -
2
1
x + y -
2
5
= 0
1) Bất phơng trình:
4 đ
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,75
Bµi 3:
Bµi 4:

( )
12.32
)6(
2
2
loglog2

〉+
+
−
−
x
x
xx
(1)
* §iÒu kiÖn x > 0
NhËn xÐt: 2
x
+ 3
.
2
-x
> 1 v×



〈 −
〉
)..(2
3
loaix
x

(1) ⇔ 2log
x
x – log
2

(x + 6) > 0
⇔ 2log
2
x > log
2
(x + 6) ⇔ log
2
x
2
> log
2
(x + 6)
⇔ x
2
> x + 6 ⇔ x
2
– x – 6 > 0 ⇔



<
>
(loai) 2 -
3
x
x
VËy T = (3; +
∞
)
2)




+=
+=
)2..(2
)1...(2
CBA
cba

Theo ®Þnh lý Sin, ta cã:
2R
===
SinC
c
SinB
b
SinA
a
Thay vµo (1) : 2SinA = SinB + SinC ⇔ 2SinA =
2
C - B
Cos
2
C
2
⋅
+
B
Sin

Thay (2) : B + C = 2A , ta ®îc :
SinA =
1
2
C - B
Cos
=⋅
SinA
(v× SinA
≠
0)
⇔
C B 0
2
C -
=⇔=
B
V× A + B + C = 180
0
, kÕt hîp víi (2)
→
3A = 180
0

⇔
A = 60
0
∆
ABC c©n t¹i A vµ A = 60
0

→

∆
ABC ®Òu

a) Gäi O lµ t©m cña h×nh thoi ABCD
XÐt 2
∆
SAC vµ
∆
ADC
Cã AC chung, SA = SC = DA = DC = b
→
∆
SAC =
∆
ADC
→
SO = OD = OB
→
∆
ABC vu«ng t¹i S
Ta ®îc : BD =
b x SD
2222
+=+
SB
∆
ODC vu«ng t¹i O

Cã DC = b; OD =
22
b
2
1
+
x
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
4 ®’
0,5
A
D
CB
H
O b
x b b
S