07 một số phương pháp giải toán nguyên hàm tích phân

MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

A. Đặt vấn đề .
I. Lời mở đầu.

Để bồi d-ỡng năng lực t- duy độc lập ,t- duy tích cực và t- duy
sáng tạo của học sinh, tr-ớc tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản
phổ thông vững chắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy, ng-ời giáo
viên phải vận dụng các ph-ơng pháp khác nhau, h-ớng các em vào một môi
tr-ờng hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục.
Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo củ a
học sinh. Ng-ời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán d-ới nhiều
góc độ khác nhau, kích thích sự liên t-ởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của
bài toán, giữa bài toán ch-a biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách
giảI, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng tr-ờng hợp riêng lẻ để đem đến cái
chung nhất mang tính chân lý. Từ đó học sinh vận dụng các ph-ơng pháp toán
học để giải quyết các bài toán đặt ra.
Với lý do đó tôi chọn đề tài MT S Ph-ơng pháp giải toán
nguyên hàm tích phân
II. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.
1) Thực trạng:

Trong ch-ơng trình Giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân
chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích
phân ch-a nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, ch-a có nhiều ph-ơng
pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một h-ớng nhất định nào đó. Do
đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân ch-a khai thác hết đ-ợc và ch-a
phát huy đ-ợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh.
Tôi nhận thấy việc khai thác các ph-ơng pháp giải các bài toán về nguyên
hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành
nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng.

Giáo viên Phan Tuấn Anh

1

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

2) Kết quả:
Khi tôi đ-ợc phân cônggiảng dạy lớp 12, tôi nhận thấy kiến thức
về giải tích của học sinh lớp tôi giảng dậy đ-ợc phân công còn hạn chế: các
bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các ph-ơng pháp
giải của học sinh còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hình ph-ơng
pháp giải.
Do vậy tôi đã dần hình thành các ph-ơng pháp giải, phát triển từ bài toán cơ
bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn. Để công việc giảng dạy đ -ợc tốt
hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, ph-ơng pháp, khai thác cấu trúc logic
của bài toán, tìm ra nhiều ph-ơng pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn
d-ới nhiều hình thức khác nhau.

B. GiảI quyết vấn đề.
I
1.

các Giải pháp thực hiện .

Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm tích phân.

1.1 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm tích phân, các tính chất cơ

bản và các ph-ơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân.
1.2 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều ph-ơng
pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một
sốtr-ờng hợp ta có thể tính các tích phân bằng một ph-ơng pháp đơn giản
hơn .
1.3 Học sinh đ-ợc phát triển về t- duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm,
tích phân theo những quy trình xác định, đ-ợc rèn luyện về tính linh ho ạt ,
khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán.
Trong ch-ơng trình môn toán tr-ờng phổ thông trung học, nội dung kiến
thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề
sau đây:
- Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các
nguyên hàm cơ bản.
- Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các ph-ơng pháp tính
tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
Giáo viên Phan Tuấn Anh

2

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

2
1.1.

Các ph-ơng pháp xác định nguyên hàm tích phân
Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:
x

e khi x 0
F ( x) 2

x x 1 khi x 0

là một nguyên hàm của hàm số:
e x khi x 0
f ( x)
trên R.
2 x 1 khi x 0

Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai tr-ờng hợp sau:
e x khi x 0
f x F / x với x 0
- Với x 0, ta có: F '( x)
2 x 1 khi x 0

- Với x = 0, ta có:
F '(0 ) lim

F ( x) F (0)
x 2 x 1 e0
lim
lim ( x 1) 1
x 0
x 0

x0
x

F '(0 ) lim

F ( x) F (0)
e x e0
lim
1
x 0
x0
x

x 0

x 0

Nhận xét rằng F(0 -) = F(0 +) = 1 F(0) = 1 mà f 0 1 f 0 F / 0 .
có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
e x khi x 0

Tóm lại : F '( x) f ( x)

2 x 1 khi

x0

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
1.2.

Xác định nguyên hàm bằng ph-ơng pháp phân tích.
Ph-ơng pháp tích phân thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để
biến đổi biểu thức d-ới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên
hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đ-ợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ
bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Ph-ơng pháp chung:
B-ớc 1:

Biến đổi f(x) về dạng:

Giáo viên Phan Tuấn Anh

3

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
n

f(x) =


i 1

i

f i ( x)

với fi(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số.

B-ớc 2:

Khi đó:



n

n

i 1

i 1

f ( x)dx i f i ( x)dx i f i ( x)dx

Ví dụ 2: Tính tích phân : I
Giải:

dx
1 ex

.

Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) ex.

Ta đ-ợc:

1 ex ex
d 1 ex

1
ex
ex

1
I 1
dx dx
x
1 ex
1 ex
1 ex
1 ex
1 e



= x - ln(1 + ex) + C.
1.3.

Xác định nguyên hàm bằng ph-ơng pháp đổi biến số.

- Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.

Ph-ơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý
sau:
Định lý 1:
b. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C.
c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo
hàm (t) là những hàm số liên tục, ta đ-ợc:
f(x)dx = f[(t)].(t)dt.
- Ph-ơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ
bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trong đoạn
[a,b] thì:

Giáo viên Phan Tuấn Anh

4

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
(b )

(b )

(a)

(a)

f (u )du F (u )



.

b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t)
xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i).

Tồn tại đạo hàm (t) liên tục trên đoạn [, ].

(ii).

() = a và ( ) = b.


b

(iii).

Khi đó:

f ( x)dx f (t ) ' (t )dt.
a

Tuy nhiên cái khó của ph-ơng pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x)
sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.

L-u ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu

Cách chọn và đặt

x


x


a 2 b2 x2

a


sin t ,
t
b
2
2
a
cos t , 0 t
b

t a 2 b2 x2

a

,t
, , t 0

x
sin
t
2
2



a

x
, t 0, , t
cos t
2


x2 a2

ax ax
,
ax ax

x a cos 2t

x a b x

x= a + (b a)sin2t

Hàm có mẫu số

t là mẫu số

Hàm f(x,

t=

Hàm f(x) =

f (x) )

t = xa xb

1

x a x b

Giáo viên Phan Tuấn Anh

f (x)

5

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

Hàm f(x) =

1
;n N*
2 2
a b x

x



2

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm : I
Giải:

Đổi biến

t

Đặt

dx
x x2 1

a

tan t ; t ;
b
2 2

.

x 2 1 t 2 x 2 1 tdt xdx

Ta có:
I

dx
x x2 1



xdx
x2 1

x2





tdt
dt
1 1
1
2


dt
t 1 2 t 1 t 1

t 1 t



2

1 t 1
1 x2 1 1
ln

C

ln
C


2 t 1
2 x 2 1 1



8

Ví dụ 2: Tính các tích phân: I

x
3

dx
x2 1

Giải:
t x 2 1 dt

Đặt:

x
x2 1

dx

xdx
tdt
dx
t
x

x 3 t 2; x 8 t 3

Khi đó:

dx
x x2 1



tdt
x2 x2 1

tdt
dt
1 1
1
2


dt
t 1t t 1 2 t 1 t 1
2

3

1 1
1
1
1 3
1 t 1
I

dt ln t 1 ln t 1 ln
ln .
2 2 t 1 t 1
2
2 t 1 2 2 2
2
3

3

***Sâu đây chúng

ta đi vào từng dạng cụ thể

*Trng hp I Nu hm s di du tớch phõn cú cha a 2 b2 x 2
ta cú th tỡm cỏch gii theo mt trong hai hng sau:
- Hng th nht :
a 2 b2 x2

t

x

a

sin t ; t ;
b
2 2

dx

a
cost dt ;
b

= a cost

-Hng th hai

Giáo viên Phan Tuấn Anh

t

t=

6

a 2 b2 x2

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
1

Ví dụ 3: Tính các tích phân: I x2 4 3x2 dx
0

Lời giải:
x

Đặt

2
2

sin t , t , dx
cost dt; 4 3x 2 4 4sin 2 t 2 cost
2

2
3
3



x 0 t 0; x 1 t

I

Khi đó:

4
3 3


3





3

3

2
2
4sin t.cos tdt
0

2 1


1 sin 4t
3 3 4


4

3
0

2
sin 2tdt

3 3







0

2
3 3

3

1 cos 4t dt
0

2
3


3 3 3 8

*Trng hp II:
Nu hm s di du tớch phõn cú dng f(x) =



1
;n N*
2
2 2
a b x



thỡ ta t x a tan t; t ;
2 2

b

1

Ví d 4: Tính các tích phân: I
0

dx

1 3x
2

2

Li gii:
1

tan t; t ;
3
2 2

t x =
X = 0 thỡ

t=0

;

X = 1

=

1 3
dx

2

3 0 1 tan t

; 1 + 3x2 = 1 + tan2t
thỡ


1

Ta cú: I
0

dx

1 3x
2

2



=



I

1
2 3

3

(1 cos 2t )dt
0


3

t=

1 1

t sin 2t
2 3 2



3
0



1 3
I
cos 2 tdt

30

1

3


2 3 3 4

*Trng hp III Nu hm s di du tớch phõn cú dng a.e x b
Ta cú th t t =
Giáo viên Phan Tuấn Anh

a.e x b

7

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
ln12

VÝ dụ 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n: I 



e x  3dx

ln 4

Lời giải:
Đặt :

t  e x  3  e x  t 2  3  e x dx  2tdt  dx 

x  ln 4 thì t = 1 ;

thì t = 3

2t 2
2(t 2  3)  6
dt
dt

dt  2 dt  6 2
 4  6 I1
2
2

t 3
t 3
t 3
1
1
1
1
3

ln12



Vậy I 

x  ln12

2tdt 2tdt
 2
ex
t 3

3

e x  3dx  

ln 4

3

3

3

dt
t 3
1

Tính I1  

2

  
t  3 tan u; u    ;   dt  3 1  tan 2 u du

 2 2



Đặt :



t 2  3  3 1  tan 2 u



với

t 1 u 


3

dt
2
t 3
1

I1  

; t 3u 

6


3



3 1  tan u
33
3
du

du 
u
2


3  1  tan u
3 
3
2

3

=





6


3





6

3
18

I  4

vậy

3
3

6

*Trường hợp IV
Nếu hàm số f  x  dưới dấu tích phân là hàm số chẵn thì ta có:
a

I



a

a

f  x  dx  2 f  x  dx.

(a>0)

0
a

Biến đổi I về dạng: I 



0

f  x  dx 

a



a

a

f  x  dx   f  x dx

(1)

0

0

Xét tích phân J 

 f  x dx.

Đặt :

x  t  dx   dt

a

Đổi cận x  a  t  a; x  0  t  0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn  f(-t) = f(t)
0

a

a

a

0

0

Khi đó J   f  t  dt   f  t dt   f  x dx
Thay (2) vào (1) ta được

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh

I

(2)

a

a

a

0

 f  x  dx  2 f  x  dx.
8

đpcm.
Tr-êng THPT Phï Cõ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
1

dx
1 x2
1

Ví d 6: Tính các tích phân: I
Li gii:

f x

Hm s di du tớch phõn :
1

dx
1 x2
1

Ta cú I
t :

l hm s chn

1

dx
1 x2
0

= 2


x tan t; t ; dx 1 tan 2 t dt
2 2



i cn

x 1 t


4



;x 0t 0


1

Vy

1
1 x2

I

dx
1 1 x 2



4
1 tan t
dt

2

0 dt 2t
1 tan 2 t
0

1

2

4

dx
1 x2
0

= 2

2


4



0


2

*Trng hp V
Nu hm s f x di du tớch phõn l hm s l thỡ ta cú :

a

I

f x dx 0.

(a>0)

a

3

I

Ví d 7: Tính các tích phân:

x 2 sin 2 x
1 x2 dx
3

Li gii:
x 2 sin 2 x
f x
xác định trên [ - 3 ; 3 ]
1 x2

NX : h m số d-ới dấu tích phân
x 3;3

ta có :

f x

x


2

sin(2 x)

1 ( x) 2



x 2 sin 2 x
1 x2

f x

3

Vy f x l trờn [ - 3 ; 3 ] Do ú

I

x 2 sin 2 x
3 1 x2 dx = 0

*Trng hp VI :
Nu hm s di du tớch phõn f x l hàm số liên

tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì:
Giáo viên Phan Tuấn Anh

a T

T

a

0

f x dx f x
9

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN



f x dx f x dx

a

a T

0

0

a

T

CM:

Ta có



f x dx

T

f x dx

(1)

a T

T

I3

f x dx

Đặt

t x T dx dt

a T

Đổi cận: x a T t a; x T t 0
T

Khi đó : I3



a T

0

a

a

f x dx f t T dt f t dt f x dx
a

0

0

a T

T

a

0

f x dx f x

Thay (2) vào (1), ta đ-ợc :

(2)
(đpcm)

áp dụng:
200

Ví d 8: Tính các tích phân:

I



1 cos xdx

0

(đề thi học sinh giỏi toan cấp tỉnh lớp - 12 2006 -2007)
Li gii:
xét hàm số f x 1 cos x cos2

x
x
2 cos

2
2

f(x) tuần hoàn với chu kì là 2
Thật vậy : f x 2 cos
x R

x
2

có TXĐ: D = R

thì x 2 R

f x 2 2 cos

x 2
x
2 cos
2
2

Giả sử T 0 : T 2 mà f x T f x x R
2 cos

Cho x = 0 đ-ợc : cos

x T
x
2 cos .x R

2
2

T
T
T
cos 0 1. sin 0 k T 2k
2
2
2

Mà t > 0 k z T 2 điều này mâu thuẫn vói giả thiết T 2
Dođó
200

200

4
200
2
x
x
x
x
I 1 cos xdx 2 cos dx 2 cos dx cos dx ... cos dx
2
2
2
2
0

o
2
198
0
Giáo viên Phan Tuấn Anh
Tr-ờng THPT Phù Cừ
10


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
2
2


x
x
x
x
100 2 100 2 cos dx cos dx 100 2 cos dx cos dx
2
2
2
2


0
0


x

x
100 2 2sin
2sin
0
2
2


2




200 2 .


2

I tan 2 x


Ví d 9: Tính các tích phân:

2009

sin12 x

2011

0

dx


Li gii:
Ta dễ thấy hàm số : f x tan 2 x



I





sin12 x

2011



tan 2 x


tuần hoàn


nên ta cú
2

với chu kì là

4 2

2009

2009

sin12 x

2011

dx


0
4



4

tan 2 x



2009

sin12 x

2011

4

4

dx f x .



4



Do f x là hàm số lẻ trên ; nên
4 4
1.4.

4

f x dx 0



hay I = 0

4

Tính tích phân bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần:
Ph-ơng pháp tích phân từng phần đ-ợc sử dụng rất thông dụng trong

quá trình xác định nguyên hàm của hàm số. Ph-ơng pháp này cụ thể nhsau:
Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:
udv = uv - vdu.
Còn đối với tích phân xác định, ta có:
b

udv uv
a

b

b
a

vdu
a

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=f(x)dx
ta tiến hành theo các b-ớc sau:
- B-ớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

Giáo viên Phan Tuấn Anh

11

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx.
- B-ớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx du,v.
- B-ớc 3: I = uv - vdu.
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần để
tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đ-ợc xác định một cách dễ dàng.
- Tích phân vdu đ-ợc xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
- Khi gặp các tích phân có dạng:
P(x)axdx, P(x)sinxdx, P(x)cosxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
P(x)log axdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
eaxsinbxdx, eaxcosbxbx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = e ax.
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của
ph-ơng pháp này:
Ví dụ :10 Tính nguyên hàm: I

x ln( x

x 2 1)

x2 1

Giải: Ta viết lại I d-ới dạng: I ln( x x 2 1)

x

1
u ln x x 2 1

2
x 1


.dx
du
Đặt:
x
2
x

x

1
dx
dv

x2 1

v x 2 1

dx.

x
x 1
2

dx.

dx
x2 1

Khi đó:
I



x 2 1 ln x

Giáo viên Phan Tuấn Anh





x 2 1 dx

x 2 1 ln x
12

x 2 1 x C.
Tr-ờng THPT Phù Cừ


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

***Sau đây chúng ta ®i vµo tõng d¹ng cô thÓ:
*Trường hợp I:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f  x  .g  x 
trong đó g  x  là một hàm đa thức còn f  x  là một hàm số lượng giác thì
cách giải chung là đặt

du  g /  x  dx
u  g  x 


dv  f  x  dx v  f  x  dx

2

I   x sin x cos 2 xdx

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:

0



Lời giải:

I

12
x  sin 3 x  sinx dx
2 0

dx

x

du


u 

2
2


dv   sin 3x  sin x  dx v   1 cos3x  cos x


3






x 1
1 2 1
1
5


1

I    cos 3x  cos x  2     cos 3x  cos x dx   sin 3x  sin x  2  
2 3
2
9
 0 2 0 3

 18
0

*Trường hợp II:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f  e x  .g  x 

trong

đó g  x  là một hàm đa thức thì ta có cách giải chung là
du  g /  x  dx
u  g  x 


x
x
dv  f e dx v   f e dx

đặt :

 
1

 





I   x 2  x  1 .e x dx

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:

0

Lời giải:
u  x 2  x  1  du   2 x  1 dx


x
x
 dv  e dx
v  e

Đặt :





I  x  x  1 .e
2

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh

x

1
0

1

1

   2 x  1e dx  3e  1    2 x  1e x dx  3e  1  I1
x

0

0

13

Tr-êng THPT Phï Cõ


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

1

Tính I1    2 x  1.e x dx

Đặt:

0

I1   2 x  1 .e

x

1
0

u1  2 x  1 
du1  2dx



x
x

dv1  e dx 
v1  e

1

  2e x dx  3e  1  2e x

1
0

0

 3e  1  2e  2  e  1

Vậy : I = 2e-2
*Trường hợp III:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng

g  x  ln  f  x   .

Trong đó g  x  là một hàm đa thức hoạc là một hàm số lượng giác thì ta
có cách giải chung là đặt .


f /  x
du

dx
u  ln  f  x   
f
x







dv  g  x  dx
v   g  x dx
1

I 

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:

0

ln  x  1

 x  2

2

dx .

Lời giải:
Đặt:

dx

u  ln  x  1
du 



x 1
dv  dx  

2

v   1
x

2




x2


1 1
1
dx
1
I 
ln  x  1  
 ln 2  I1
0 0  x  1 x  2  3
x2
1
1
dx
dx
dx
x 1 1
4



 ln
 ln
x  1 x  2  0  x  1 0  x  2 
x2 0
3
0 

1

Tính :
Vậy

I1  

1
4
I   ln 2  ln
3
3

*** Để củng cố cho hai phương đổi biến số và tích phân từng
phần hay được sử dụng để tính tích phân ta đi làm một số ví dụ sau.
a





VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n: I   x 2 s inx  a 2  x 2 dx

a

(a>0)

Lời giải:
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh

14

Tr-êng THPT Phï Cõ


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
a

I

x

2

a
a

I1 

Tính :

x

2

sin xdx   x 2 a 2  x 2 dx  I1  I 2

Đặt : f  x   x 2 s inx xác đinh

sin xdx

x   a; a 

a

x   a; a 

f   x     x  s in   x    x 2 s inx=-f  x 
2

thì

 f  x   x 2 s inx

 a; a 

là hàm số lẻ trên

a

x

 I1 

2

sin xdx = 0

a
a

Tính :

I2 

x

a 2  x 2 dx

2

Đặt: g  x   x2 a 2  x2 với

x   a; a  thì

a

g x  x
a

 I2 

x

a

2

a 2    x   x 2 a 2  x 2  g  x   g  x  là hàm số chẵn trên  a; a 
2

đặt x = a sint  dt  a cos xdx t    ;  
 2 2

a

2

a  x dx  2 x 2 a 2  x 2 dx
2

2

0

§æi cËn: x  0  t  0; x  a  t 
a

 I 2  2   a s int 



2




2

a 2 1  sin 2 t a cos tdt 

0





4 2

4 2

a
2

 sin

2

2tdt 

0



a4  1
 a2

  t  s in4t  2 
4  4
8
0

Vậy:
e

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n: I   (
1

I

a
4

 1  cos4t dt
0

 a2
8

ln x
 ln 2 x)dx.
x 1  ln x

Lời giải:
e

Ta có
e

Ta tính

I1

=

x
1

Đặt: t = 1  ln x

e

ln x
I 
dx   ln 2 xdx  I1  I 2
x
1

ln
x
1
1

ln x
dx
1  ln x

bằng phương pháp đổi biến số

 t2 = 1 + lnx  2tdt =

dx

x

§æi cËn: x = 1 thì t = 1 ; x = e thì t =
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh

15

dt =

dx
dx

2 xt 2 x 1  ln x

2
Tr-êng THPT Phï Cõ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
2

Vy I1


1

t33 2 2
t 2 1
2tdt 2
t
2 2
t
3
3
1



e

Tớnh

I2 =

ln

2

t :

xdx

1



2

u ln 2 x du ln xdx

x

dv dx
v x

e

e
I 2 x ln x 2 ln xdx e 2 x ln x x e 2
1
1
1
2

1.5.

e

vy

I





2
1 2 e
3

Xác định nguyên hàm bằng ph-ơng pháp dùng nguyên hàm phụ.
Ph-ơng pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật
dùng hàm phụ xuất phát từ ý t-ởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao
cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra
nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số
f(x) theo ph-ơng pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các b-ớc sau:
-

B-ớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x).

-

B-ớc 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức

là

F ( x) G( x) A( x) C

F ( x) G ( x) B ( x) C '

-

B-ớc 3: Từ hệ trên ta nhận đ-ợc: F(x) =

1
2

[A(x) + B(x)] + C.

Đối với ph-ơng pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) nh- thế
nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
Ví dụ :

Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =

Giải:

Chọn hàm số phụ: g(x) =

sin x
.
sin x cos x

cos x
.
sin x cos x

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x),
g(x). Ta có: f(x) + g(x) =
Suy ra:

F ( x) G ( x)

sin x cos x
sin x cos x

sin x cos x
d (sin x cos x)
dx
ln sin x cos x C
sin x cos x
sin x cos x

sin x cos x
1 F ( x) G ( x) dx x c /
sin x cos x
Giáo viên Phan Tuấn Anh
Tr-ờng THPT Phù Cừ
16
f ( x) g ( x)


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
F ( x) G( x) ln sin x cos x C
1


F ( x) ln sin x cos x x C
2

F ( x) G ( x) x C '

1.6.

Xác định tích phân của các hàm số l-ợng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số l-ợng giác, ta th-ờng sử dụng
các ph-ơng pháp sau:
a) Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm l-ợng giác.
c) Sử dụng các phép biến đổi l-ợng giác đ-a về các nguyên hàm cơ bản.
d) Ph-ơng pháp đổi biến.
Đối với các dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi
biến lựa chọn một trong các h-ớng sau:
-

H-ớng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép
đổi biến t = cosx.

-

H-ớng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi
biến t = sinx.

-

H-ớng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi
biến t = tgx.

-

H-ớng 4: Mọi tr-ờng hợp đều có thể đ-a về tích phân các hàm hữu
x
2

tỉ bằng phép đổi biến t = tg .
e) Ph-ơng pháp tích phân từng phần.
f) Sử dụng nguyên hàm phụ.
0

Ví dụ :

Tính: I



Giải:

sin 2 x

2 sin x

2

dx.

2

Ta có nhận xét rằng:
R(sin x, cos x)

sin 2 x

2 sin x

2



2 sin x cos x

2 sin x

2



2 sin x( cos x)

2 sin x 2

R(sin x, cos x)

Từ nhận xét đó giúp ta định h-ớng đ-ợc phép biến đổi.
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Giáo viên Phan Tuấn Anh

17

Tr-ờng THPT Phù Cừ

MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

t = 0; x =

Đổi cận: x = 0

0
2 t 2

1
2
I 2
2
dt 2

d 2 t
2
2
2 t 2 t 2
1 2 t
1 2 t
1


0

Khi ú:

t = -1.
2

0

tdt

0

2

2 ln 2 t
2ln 2 2.
2 t 1


1.7.

Tích phân của các hàm số hữu tỉ
Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một
trong các ph-ơng pháp cơ bản sau:
1. Ph-ơng pháp tam thức bậc hai.
2. Ph-ơng pháp phân tích.
3. Ph-ơng pháp đổi biến.
4. Ph-ơng pháp tích phân từng phần.
5. Sử dụng các ph-ơng pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công
thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân
từng phần.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng ph-ơng pháp nào cần phải căn cứ vào
dạng của từng bài toán cụ thể.

1

Ví dụ :

Tính tích phân: I
0

Giải:

dx
.
x 4x 2 3
4

Biến đổi:
1
1
1 1
1





x 4 4x 2 3 x 2 1 x 2 3 2 x 2 1 x 2 3

Khi đó:
1
1
1 dx
dx


I 2
2
2 0 x 1 0 x 3

.

1

+) Ta đi xác định tích phân

Giáo viên Phan Tuấn Anh

dx
.
1 x2
0

I1

18

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN





1 tg 2t dt
dx
dx 1 tg t dt & 2

dt
x 1
1 tg 2t



Đặt x = tgt, t ;
2 2

2





Đổi cận: x = 0 t = 0; x 1 t

4

Vy I1 = dt t

4

I2
0



0

dx
.
x 3

Đặt x = 3 tgt,

2




4

t ;
2
2



dx
3 1 tg 2 t dt
1
dx 3 1 tg t dt & 2


dt .
2
x 3
3(1 tg t )
3



Suy ra:

2



Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x = 1 t =


Khi đó:

4

0

1

+) Ta đi xác định tích phân



I2

1
3

6

dt
0



1
3

6

t

0




.
6

. Từ đó ta có

6 3

I=

1


.
2 4 6 3

Nhận xét: Nh- vậy, ta đã kết hợp nhiều ph-ơng pháp lại với nhau để giải
ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai ph-ơng pháp là
ph-ơng pháp phân tích và ph-ơng pháp đổi biến.

1.8.

Tích phân của các hàm số vô tỉ.
Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn

một trong các ph-ơng pháp sau:
- Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
- Ph-ơng pháp đổi biến
- Ph-ơng pháp tích phân từng phần.
- Sử dụng các phép biến đổi.
- Kết hợp các ph-ơng pháp khác nhau.

Ví dụ :

Giải:

Tính nguyên hàm: I

xdx
1 x
2

I

Biến đổi I về dạng:

Thực hiện phép đổi biến:
Giáo viên Phan Tuấn Anh

1 x

.

2 3

xdx
1 x . 1 1 x
2

.
2

Đặt: t 1 x 2 t 2 x 2 1.
19

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

Suy ra:



1 x2 . 1 1 x2

I

Khi đó:
1.9.

xdx

tdt = xdx và

dt
1 t

tdt
t 1 t



dt
1 t

2 1 t C 2 1 1 x 2 C.

Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
b

Để tính tích phân : I f ( x, m) dx ta thực hiện theo các b-ớc sau:
a

-B-ớc 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đó phân đoạn [a, b]
thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] [c1, c2] [ck, b].
- B-ớc 2: Khi đó ta có:
c1

c2

b

a

c1

ck

I f ( x, m) dx f ( x, m) dx ... f ( x, m) dx
1

Ví dụ :

Tính tích phân: I x x a dx (a > 0).
0

Giải:

Ta xét các tr-ờng hợp sau:

Tr-ờng hợp 1: Nếu a 1, khi đó ta có:
x 3 ax 2
I x( x a)dx

3
2
0
1

1


0

a 1
.
2 3

Tr-ờng hợp 2:
Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
a

1

x 3 ax 2 x 3 ax 2
I x( x a )dx x( x a )dx



3
2
2 a

0 3
0
a
a



1

a3 a3 1 a a3 a3 a3 a 1

.
3 2 3 2 3 2
3 2 3

Giáo viên Phan Tuấn Anh

20

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

Tính các tích phân sau:

II, các bài tập tự luyện:

6

1.ĐH KA-08:: I
0



1

4 cos3 x
dx
1 sin x

0

tan x
dx
cos 2 x

2

2.ĐH KA-04:: I

2

4

x
1 x 1

5.CĐGTVT07:: I

2

dx

6.ĐH KA-05:: I

sin 2 x sin x

0

3.ĐH KB-04:

e

I
1

2

1

2

sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0

7.ĐH KB-05:: I

ln x
dx
x3

5

8.CD Y tế HN07:: I x3 x 2 1dx
1

2008

I

1 cos2 xdx

1

1

I

1
dx
2sin x 1

1

7

I cos x s inx dx
0



dx

1 x

3

I

8

0

tan 3 x
I
dx 10
cos2 x
0
6

10

I

1



9





b I ln x 1 x 2 dx

0

6

dx



1 3 ln x .ln x
dx
x

4.ĐH KD-08:: I
5a

1 3 cos x

1 x2

x2 1
dx
x 1

III.Các biện pháp để tổ chức thực hiện
1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự h-ớng dẫn của Thầy giáo.
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính
khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đ-a ra các ph-ơng pháp giải và
hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có đ-ợc của bài toán. Sau đó cho
học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi d-ỡng đối với những học sinh khá
hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.

2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự h-ớng dẫn của thầy giáo.
Hình thức này cũng cần đ-ợc thực hiện liên tục trong quá trìnhhọc tậpcủa học
sinh, làm cho khả năng t- duy, sáng tạo của học sinh ngày càng đ-ợc tăng lên.
Giáo viên Phan Tuấn Anh

21

Tr-ờng THPT Phù Cừ


MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

C. Kết LUậN
1. Kết quả nghiên cứu.
Sau khi tôI thực hiện dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi d-ỡng và cho
tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh. Kết quả đạt đ-ợc
là có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu.
2. Kiến nghị, đề xuất.
- Cần tăng c-ờng hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách
dạy và đ-a ra các tài liệu tham khảo.
- õy l mt dng toỏn hay c ra trong cỏc thi. Trong chuyờn ny
tụi ó c gng chn lc , tuy nhiờn thi gian cũn hn ch cng nh s trau
di chuyờn mụn cha cao.Vỡ vy, khụng trỏnh khi nhng thiu sút nht
nh.
- Rt mong c s tham gia gúp ý kin ,giỳp ca cỏc ng nghiờp
ti ny c ỏp dng tt hn trong ging dy
Tụi xin chõn thnh cm n !
PhựCc ngy 19 / 05 / 2009
Ngi vit

PhanTtun Anh

Giáo viên Phan Tuấn Anh

22

Tr-ờng THPT Phù Cừ