Một số phương pháp giải toán lớp 6

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ
thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy
học môn Toán. Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát
huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn
có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh. Trong quá trình giảng dạy ở trường
THCS, bản thân tôi cũng dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã tham gia trực
tiếp dạy đại trà, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi song tôi nhận thấy rằng việc phát
huy trí lực cho học sinh còn có nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kỳ thi
khảo sát chất lượng, kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt các bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập không đến nỗi khó lắm. Thế nhưng nhiều học sinh vẫn không
làm được mặc dầu học sinh đã được làm quen tiếp cận các dạng toán, qua bài
giảng của giáo viên, qua sách vở, tài liệu.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu của học sinh.
Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc nội dung kiến thức, phải đi
từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát triển tư duy Toán học. Trong quá trình giảng dạy chương trình
lớp 6, tôi nhận thấy phép chia hết là một dạng toán hay và phát huy được tư duy
của học sinh. Chính vì thế tôi chọn đề tài là: “Một số phương pháp giải toán chia
hết lớp 6”
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
B. NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Dạng toán chia hết các em đã được làm quen ở chương trình Tiểu học, tính
chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,
9. Ngoài ra còn là một kiến thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên
quan đến vấn đề chia hết.
Do vậy học sinh phải nắm vững kiến thức, phân loại được các dạng toán,…

qua đó học sinh có thể phát triển được tư duy, sáng tạo, chủ động trong việc
giải toán.Trong chương trình toán THCS có rất nhiều dạng bài tập khi giải
vận dụng vào tính chất chia hết để giải quyết, đặc biệt được mở rộng trong
tập hợp số nguyên. Vì vậy để tránh gặp khó khăn cho sau này các em phải
nắm chắc tính chất, dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự nhiên.
Qua thực tiễn và tham khảo tài liệu tôi đã hệ thống lại kiến thức từ lý
thuyết đến bài tập, từ đơn giản đến phức tạp của phần chia hết trong số học
6, ngoài ra tôi còn mở rộng thêm các bài tập nâng cao khác nhau có sử dụng
tính chất chia hết, mỗi dạng đều có bài tập minh hoạ, và các bài toán cùng
dạng.
Trong quá trình viết sẽ có nhiều sai sót mong được sự góp ý bổ sung của
đồng nghiệp, bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
II. THỰC TRẠNG CỦA TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
Từ tiểu học chuyển lên THCS, học sinh còn rất bỡ ngỡ với cách học mới,
cách học đòi hỏi học sinh chủ động, tư duy sáng tạo…trong lúc các em đang
quen với tính toán các số tự nhiên đơn giản, và các dấu hiệu cụ thể. Do vậy
học sinh áp dụng lý thuyết thuần tuý vào việc giải bài tập là một điều khó
khăn, lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào.Chỉ
có thể học sinh khá, giỏi mới có thể biết hướng làm, và giải quyết được vấn
đề của bài toán. Tính chất chia hết là phần kiến thức quan trọng trong số học
6 nói riêng và THCS nói chung. Nhưng nhiều khi HS nắm chắc lý thuyết
vẫn chưa biết cách vận dụng vào làm bài tập, các em chưa có khả năng tư
duy sáng tạo, tư duy tổng hợp.
Do vậy để giải quyết đươc vấn đề trên giáo viên cần có phương pháp để làm
cho Hs vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo và ngược lại,
phải tạo cho Hs hứng thú trong giải bài tập, và yêu thích môn học.
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
III. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. §Þnh nghÜa:
Cho hai số tự nhiên a và b(b ≠ 0).Ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a
M
b)
nếu tìm được số tự nhiên q sao cho a = bq.Khi đó,a là bội của b và b là
ước của a
2. Các dấu hiệu chia hết:
2.1. Dấu hiệu cơ bản
a. Dấu hiệu chia hết cho 2
a
M
2
⇔
a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8
b. Dấu hiệu chia hết cho 5
a
M
5
⇔
a có chữ số tận cùng bằng 0; 5
c. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
a
M
3 (hoặc 9)
⇔
a có tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9)
Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3(hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
2.2. Dấu hiệu nâng cao
a. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)

a
M
4 (hoặc 25)
⇔
hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết
cho 4 (hoặc 25)
b. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
a
M
8 (hoặc 125)
⇔
ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết
cho 8 (hoặc 125)
c. Dấu hiệu chia hết cho 11
a
M
11
⇔
tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc
ngược lại) chia hết cho 11
3. Các tính chất chia hết
3.1. Tính chất cơ bản:
a. Tính chất chung :
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
- Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thí a chia hết cho c (tính chất
bắc cầu)
- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

- Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
b. Các tính chất cơ bản khác:
- a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
(hay a
M
a với mọi a
∈
N
*
)
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
(hay: a
M
b và b
M
a
⇒
a = b)
- Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chia hết
cho m ( hay: a
M
m, b
M
m
⇒
a + b
M
m, a – b
M
m)

- Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a + b không chia hết cho m, a – b không chia hết cho m
(hay: a
M
m, b
M
m
⇒
a + b
M
m, a – b
M
m )
- Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b;c)=1 thì a chia hết cho b.c
(hay: a
M
b và a
M
c mà (b;c) = 1
⇒
a
M
b.c)
- Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c
(hay: a.b
M
c và (b;c) = 1 thì a
M
c)
- Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên

(hay a
M
m
⇒
k.a
M
m, với
k N
∀ ∈
)
- Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
(hay: a
M
m, b
M
n
⇒
a.b
M
m.n)
- Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m
(hay: a.b
M
m và m là số nguyên tố
⇒
a
M
m hoặc b
M

m)
- Nếu a chia hết cho m thì a
n
chia hết cho m với mọi n là số tự nhiên
(hay: a
M
m
⇒
a
n
M
m, với
n N
∀ ∈
)
- Nếu a chia hết cho b thì a
n
chia hết cho b
n
với mọi n là số tự nhiên
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
(hay: a
M
b
⇒
a
n
M

b
n
, với
n N
∀ ∈
)
3.2 Tính chất nâng cao
a. a
1
M
m, a
2
M
m, a
3
M
m, …….,a
n
M
m
⇒
(a
1
+a
2
+a
3
+......+a
n
)

M
m
a
1
M
m, a
2
M
m, a
3
M
m, …….,a
n
M
m
⇒
(a
1
+a
2
+a
3
+......+a
n
)
M
m
c. a
M
m, b

M
m
⇒
k
1
a + k
2
b
M
m
d. a
M
m, b
M
m; a + b + c
M
m
⇒
c
M
m
a
M
m, b
M
m; a + b + c
M
m
⇒
c

M
m
IV. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1.Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b(b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một
tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b(hoặc chia hết cho b)
Bài tập 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:
a. 39.2011 chia hết cho 13
b. 2009.2010 chia hết cho 3
c. 1411. 2002 chia hết cho 17
Giải:
a. Ta có: 39.2011 = 13.3.2011
M
13 (vì: 13
M
13, theo định nghĩa)
b. Ta có: 2009.2010 = 3.670.2009
M
3 ( vì: 3
M
3, theo định nghĩa)
c. Ta có: 1411.2002 = 17.83.2002
M
17 ( vì: 17
M
17, theo định nghĩa)
Bài tập 2: Chứng minh rằng (7n)
1992
chia hết cho 49
n N

∀ ∈
Gi¶i: Ta có (7n)
1992
= 7
1992
. n
1992
= 7
2
.7
996
.n
1992
= 49.7
996
.n
1992
.
Vì: 49
M
49 nên 49.7
996
.n
1992
chia hết cho 49.
⇒
(7n)
1992
chia hết cho 49
n N

∀ ∈
Bài tập 3: Chứng minh rằng :
a. S
1
= 5 + 5
2
+ 5
3
+ .....+ 5
99
+ 5
100
chia hết cho 6.
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
5
2010
39
1411
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
b. S
2
= 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ .....+ 2
99
+ 2

100
chia hết cho 31
Giải :
a. S
1
= 5 + 5
2
+ 5
3
+ .....+ 5
99
+ 5
100

= 5.(1 +5) + 5
3
.(1 + 5) + ...+ 5
99
.(1 +5)
= 6.(5 + 5
3
+ 5
5
+ .....+ 5
99
)
Vì: 6
M
6 nên S
1

= 5 + 5
2
+ 5
3
+ .....+ 5
99
+ 5
100
chia hết cho 6.(t/ định nghĩa)
* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:
Chúng ta vận dụng các tính chất, quy tắc, các phép biến đổi phân tích
một số, hoặc một tổng, hiệu xuất hiện thừa số chia hết cho số cần
chia.Tức là vận dụng định nghĩa để chứng minh.
(Cụ thể: a
M
b, nếu a = b.q, với a, b
N
∈
, b ≠ 0, hoặc A
M
b, nếu A = b.t, b ≠ 0)
• Các bài tập cùng dạng:
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:
a. 1674.2012 chia hết cho 18
b. 204.1997 chia hết cho 51
c. 1002.444 chia hết cho 37
Bài 2: Chứng minh rằng:
a.
aaa
chia hết cho a

b.
abab
chia hết cho
ab
c.
abcabc
chia hết cho
abc
Bài 3: Chứng minh rằng:
a. A = 1 + 3 + 3
2
+ …..+ 3
11
chia hết cho 40
b. B = 16
5
+ 2
15
chia hết cho 33
c. C = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ ….+ 5
8
chia hết cho 30
d. D = 2
2000

+ 2
2002

chia hết cho 5120
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
6
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
Bài 4: Chứng minh rằng
a.
abcabc
chia hết cho 7, 11 và 13
b.
abcdeg
chia hết cho 23 và 29, biết
2.degabc =
Bài 5: a.Tìm chữ số a biết rằng
20 20 20a a a
chia hết cho 7
b.Tím số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau sô 1999 thì
ta được một số chia hết cho 37
• Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a. 1674.2012 = 18.93.2012
M
18
b. 204.1997 = 51.4.1997
M
51
c. 1002.444 = 37.12.1002
M

37
Bài 2:
a.
aaa
= a.111
M
a
b.
abab
= 101.
ab
M
ab
c.
abcabc
= 1001.
abc
M
abc
Bài 3:
a. A = 1 + 3 + 3
2
+ …..+ 3
11
= .......= 40.(1 + 3
4
+ 3
8
)
M

40
(Ta nhóm 4 hạng tử lại với nhau)
b. B = 16
5
+ 2
15
= (2
4
)
5
+ 2
15
= 2
20
+ 2
15
= 2
15
.(2
5
+ 1)
= 2
15
.33
M
33
c. C = 5 + 5
2
+ 5
3

+ 5
4
+ ….+ 5
8
= …..= 30.(1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
)
M
30
(Ta nhóm 2 hạng tử lại với nhau)
Bài 4:
a. Ta có:
abcabc
= 1000.
abc
+
abc
= 1001.
abc
chia hết 7, 11, 13
b. Ta có:
abcdeg
= 1000.
abc
+
deg

= 2001.
deg
chia hết cho 23, 29
Bài 5:
a. Đặt n =
20 20 20a a a
=
20 20 .1000a a
+
20a
= (
20 .1000a
+
20a
).1000 +
20a
= 1001.
20a
.1000 +
20a
, Theo bài ra n
M
7, mà 1001
M
7, nên
20a
M
7
Giáo viên: Nguyễn Sỹ Chung
7