Tổng hợp các bài oxy khó và hay

TỔNG HỢP CÁC BÀI OXY HAY VÀ KHÓ
Hoàng Trung Hiếu-facebook.com/hoangtrunghieuthaibinh
Link youtube: />
1

Đề bài

Hie

u

√
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2 2. Gọi M, N
lần lượt√là trung điểm của BC, CD. Cho biết tam giác AMN vuông tại M(0; 1), AN có phương
trình: 2 2x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các điểm A biết A có hoành độ lớn hơn 1
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng cạnh
AB là (d) : 4x + 3y − 7 = 0.Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D và đường tròn ngoại tiếp
13 −7
63 −8
tam giác ABC tại điểm E
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm
.
;
;
2 4
22 11
Tìm tọa độ điểm A biết B có hoành độ nguyên.

ng

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường

kính AC. Biết M (3; −1) là trung điểm của cạnh BD, điểm C (4; −2) , . Điểm N (−1; −3) , nằm
trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Đường thẳng AD đi qua điểm P (1; 3) . Tìm tọa
độ các đỉnh A, B, D

Tru

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD =
2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, K là điểm đối xứng của N qua
M. Biết K (3; −2) , và phương trình đường chéo AC: x − 7y + 13 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B,
C, D biết đỉnh A có hoành độ bé hơn 2

2

Ho
ang

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm M(2; −1) là trung điểm cạnh BC
31 −1
và điểm E
là hình chiếu của B lên AI. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết
;
13 13
đường thẳng AC : 3x + 2y − 13 = 0

Hướng dẫn giải

Bài
√ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
2 2. Gọi M, N lần lượt là trung
√ điểm của BC, CD. Cho biết tam giác AMN vuông tại

M(0; 1), AN có phương trình: 2 2x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các điểm A biết A có hoành
độ lớn hơn 1

Hướng dẫn

SAM N = SABCD − SABM − SADN − SCM N

√
3 2
3
= SABCD =
8
4
1


A

B

M

N

D

C

ng

Hie

u

√
√
|2 2.0 + 1.1 − 4|
2SAM N
3 2
d(M/AN) =
= 1 ⇒ AN =
=
√
d(M/AN)
2
(2 2)2 + 12
√
√
Gọi tọa độ điểm A(a; 4 − 2 2a) và N(b; 4 − 2 2b) bởi vì 2 điểm thuộc đoạn thẳng AN. Chú ý
a>1

√
√
AM .MN = 0
ab + (3 − 2 2a)(3 − 2 2b) = 0
√
⇔
Sử dụng giả thiết:
9
 AN = 3 2

(a − b)2 + 8(a − b)2 =
2
 2



√
5
7


3
a + b = √
a + b = √
a = 2
a = √
3√ 2
3 2 Chú ý a > 1 nên
1
⇔
hoặc
2 hoặc
5
√
b
=

 ab = 1



 ab =
b= 2
2
9
3
√
5 2
Vậy điểm A( 2; 0) hoặc A( √ ; )
3 2 3

Tru

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng
cạnh AB là (d) : 4x + 3y − 7 = 0.Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D và đường
13 −7
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm E
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
;
2 4
63 −8
ABD có tâm
. Tìm tọa độ điểm A biết B có hoành độ nguyên.
;
22 11

Ho
ang

A

K

B

C

D

E

Hướng dẫn
Ta sẽ chứng minh: KB ⊥ BE
2


180o − BKD
= 90o − BAD = 90o − CBE
2
7 − 4a
chú ý a ∈ Z
Gọi B a;
3
−−→ −−→
63
13
7 − 4a
8
KB.BE = 0 ⇒ a −
a−
+

+
22
2
3
11
14
a = 4 hoặc a =
(loại)
5
A = (K; KB) ∩ AB(= B)
Giải hệ tìm ra :A(1; 1)
KBD =

7 − 4a 7
+
3
4

=0

Hie

u

Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
đường kính AC. Biết M (3; −1) là trung điểm của cạnh BD, điểm C (4; −2) , . Điểm
N (−1; −3) , nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Đường thẳng AD
đi qua điểm P (1; 3) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D

D

ng

P
M

Tru

A

B

N

Ho
ang

Hướng dẫn
Giả sử D (a; b) ⇒ B (6 − a; −2 − b)
−−→
−−→
CD = (a − 4; b + 2) NB = (7 − a; 1 − b)
−−→ −−→
Ta có CD//NB ⇒ (a − 4) (1 − b) − (b + 2) (7 − a) = 0
⇔a=b+6
−−→
P D = (a − 1; b − 3)
Ta có
−−→ −−→
CD⊥P D; ⇒ (a − 4) . (a − 1) + (b + 2) . (b − 3) = 0

⇔ (b + 2) . (b + 5) + b2 − b − 6 = 0
b = −1 ⇒ a = 5
⇔ b2 + 3b + 2 = 0 ⇔
b = −2 ⇒ a = 4
D (5; −1) B (1; −1)
−−→
Phương trình AD: P D = (4; −4)
1 (x − 1) + 1 (y − 3) = 0 ⇔ x + y − 4 = 0
a+4 2−a
;
A ∈ (AD) ⇒ A (a; 4 − a) ⇒ I
2
2
3

C


a−4
2
⇔ a = 2 ⇒ A (2; 2)

IA = IB ⇔

2

6−a
2

+

2

=

2

−a − 2
2

+

−4 + a
2

2

Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, K là điểm đối
xứng của N qua M. Biết K (3; −2) , và phương trình đường chéo AC: x − 7y + 13 = 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ bé hơn 2

A

M

ng

I

Hie

u

K

B

Tru

N

D

C

Ho
ang

Hướng dẫn
Ta sẽ chứng minh BK vuông góc với AC bằng cách chứng minh
Tam giác KBN bằng tam giác CAB để suy ra
BKN = BCA
BKN = ABC
ABC = BCA
Phương trình KB:(KB) : 7 (x − 3) + 1 (y + 2) = 0 ⇔ (KB) : 7x + y − 19 = 0
Gọi I là giao điểm của BK
 và AC. Tọa độ I là nghiệm hệ:

x = 12

12 11
x − 7y + 13 = 0
5
⇔
⇒I
;
11
7x + y − 19 = 0

5 5
y =
5
Ta có:

12
2 12


−3 +
xB =

−→ 2 −→
3 5
5
IB = KI ⇒
2
11
11

3


+2 +
 yB =
3 5
5
xB = 2
⇒ B (2; 5)
⇒
yB = 5
Ta có:
(3 − 2)2 + (−2 − 5)2 √
BK
√
= 10
BN = √ =
5
5
4


Hie

u

A ∈ (AC) : x − 7y + 13 = 0 ⇒ A (7a − 13; a)
√
AB = (2 − 7a + 13)2 + (5 − a)2 = 10
2
⇔ 50a
 − 220a + 240 = 0

a = 2 ⇒ A (1; 2)
19 12
12
⇔
⇒A
;
a=
5
5 5
Theo giả thiết bài toán thì A (1; 2)
Phương trình (BC):
−→
AB = (1; 3)
(BC) : 1 (x − 2) + 3 (y − 5) = 0 ⇔ (BC) : x + 3y − 17 = 0
Tọa độ C là nghiệm hệ:
x + 3y − 17 = 0
x=8
⇔
⇒ C (8; 3)
x − 7y + 13 = 0
y=3
xD = xA + xC − xB
xD = 1 + 8 − 2 = 7
Tọa độ D:
⇔
⇒ D (7; 0)
yD = yA + yC − yB
yD = 2 + 3 − 5 = 0

H

Tru

C

ng

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm M(2; −1) là trung điểm
31 −1
cạnh BC và điểm E
là hình chiếu của B lên AI. Xác định tọa độ các đỉnh
;
13 13
tam giác ABC biết đường thẳng AC : 3x + 2y − 13 = 0

M

E

Ho
ang

I

A

B

Hướng dẫn
Chứng minh: BH ⊥ AC trong đó P = ME ∩ AC

ˆ
Do tứ giác IMEB là tứ giác nội tiếp nên BME = BIE = 180o − AIB = 2(90o − C)
Suy ra ∆MHC cân tại M ⇒ MH = MC = MB ⇒ ∆BHC vuông ở H
5


x−2
y+1
=
hay 12(x − 2) = 5(y + 1) hay 12x − 5y − 29 = 0
31
−1
−2
+1
13
13
Tọa độ điểm H: là nghiệm của hệ phương trình:
12x − 5y − 17 = 0
3x + 2y − 13 = 0
41 23
;
Giải hệ ra H
13 13
Phương trình đường thẳng BH có dạng: 2x − 3y + a = 0 (do véc tơ pháp tuyến của AC là vec tơ
chỉ phương của BH). Và do BH đi qua H nên a = 1
2m − 1
13 − 3n
Gọi tọa độ điểm B(m;
) và C(n;
)

3
2
2m − 1 13 − 3n
Do M(2; −1) là trung điểm của BC nên : m + n = 4 và
+
= −2
3
2
Kết quả: B(−1; −1) và C(5; −1)
Phương trình đường thẳng BE là: 3(x + 1) = 11(y + 1)
Phương trình đường thẳng AI là 11x + 3y − 16 = 0
A = AI ∩ AC nên A(1; 5)

Ho
ang

Tru

ng

Hie

u

Phương trình đường thẳng ME:

6


TỔNG HỢP CÁC BÀI OXY HAY VÀ KHÓ

Hoàng Trung Hiếu-facebook.com/hoangtrunghieuthaibinh
Link youtube: />Video trước: />
Đề bài

u

1

Hie

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), phương trình đường
trung tuyến AM là: (d) : x − 2y − 4 = 0. Đường tròn có tâm thuộc đoạn AC đi qua 2 điểm A và
5
M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H 4;
(H không thuộc AC). Xác định tọa độ
2
25
.
các đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng
4

ng

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, M(5; 7) là một điểm thuộc cạnh BC. Đường
tròn đường kính AM cắt đường chéo BD tại N(6; 2); điểm C thuộc đường thẳng (d) : 2x−y−7 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nguyên và hoành độ điểm C
bé hơn 2.

Tru

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm CD và BN có
phương trình 13x − 10y + 13 = 0 và điểm M(−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC = 4AM.
Gọi H là điểm đói xứng của N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết
3AC = 2AB và H ∈ ∆ : 2x − 3y = 0
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thằng vuông
góc với AC tại H. GỌi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH,BH và AD.Cho
17 29
17 9
E
,F
và G(1; 5). Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
;
;
5 5
5 5

2

Ho
ang

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn. Điếm A(−2; −1).
Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD, CD Đường
tròn (C) : x2 + y 2 + x + 4y + 3 = 0 ngoại tiếp tam giác HKE. Tìm tọa độ B, C, D biết H có hoành
đọ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng x − y − 3 = 0

Hướng dẫn giải

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), phương trình
đường trung tuyến AM là: (d) : x − 2y − 4 = 0. Đường tròn có tâm thuộc đoạn AC đi

5
qua 2 điểm A và M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H 4;
(H không
2
thuộc AC). Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng
25
.
4
1


B

M

C

u

A

Hie

H

Ho
ang

Tru

ng

BA là tiếp tuyến của dường tròn ngoại tiếp tam giác AHM nên BAM = HAM (góc tiếp tuyến
bằng góc nội tiếp)
Chú ý hai tam giác cân BAM và HAM có chung cạnh AM và một góc bằng nhau nên chúng
bằng nhau nên AH = AB
Suy ra AM ⊥ BH
Gọi I là giao điểm của BH và AM
Phương trình đường thẳng BH (đi qua H và vuông góc với AM) là: 4x + 2y − 21 = 0
1
−3
Tọa độ điểm I(5; ) ; suy ra tọa độ điểm B(6;
)
2
2
√
5 5
2.SABM
=
BM = AM =
BI
4
√
5
5
3
Gọi tọa độ điểm M(2a + 4; a) thì BM = (2a − 2)2 + (a + )2 =
2
4
5

−1
5
2
⇔ 4a − 4a − = 0 ⇔ a = hoặc a =
4
4
4
13 5
5
Nếu M( ; ) thì C(7; 4) suy ra A(4; 0) hoặc A(9; )
2 4
2
−3
7 −1
) thì C(1; 1) suy ra A(6; 1) hoặc A(1;
)
Nếu M( ;
2 4
2
Bài 7:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, M(5; 7) là một điểm thuộc cạnh
BC. Đường tròn đường kính AM cắt đường chéo BD tại N(6; 2); điểm C thuộc đường
thẳng (d) : 2x − y − 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết hoành độ
điểm A nguyên và hoành độ điểm C bé hơn 2.

Hướng dẫn
Gọi O là tâm hình vuông,I là trung điểm AM
Do NMA = NBA = 45o nên tam giác AMN và MIN vuông cân
Phương trình trung trực MN:x − 5y + 17 = 0 Gọi tọa độ điêm I(5b − 17, b) và sử dụng IM =
√
MN

√ = 13
2
b = 4 ⇒ I(3, 4) ⇒ A(1, 1)
⇒ (5b − 22)2 + (b − 7)2 = 13 ⇔
b = 5 ⇒ I(8, 5) ⇒ A(11, 3)(loi)
2


C

D

N
M

O

Hie

u

I

B

A

c+1
, c − 3), AC ⊥ NO, ⇒ AC.NO = 0
2

ng

Gọi tọa độ C(c, 2c − 7) ,(c nguyên)⇒ O(

(c − 1)(c − 11)
+ (2c − 8)(c − 5) = 0
2
⇒ c = 7 ⇒ C(7, 7), O(4, 4)
Phương trình BD : x + y − 8 = 0, ptBC : x − 7 = 0
Tọa độ B(7, 1) ⇒ D(1, 7)

Tru

⇒

D

Ho
ang

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm CD và
BN có phương trình 13x − 10y + 13 = 0 và điểm M(−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC sao cho
AC = 4AM. Gọi H là điểm đói xứng của N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình
hành ABCD biết 3AC = 2AB và H ∈ ∆ : 2x − 3y = 0

C

N

H

G

M

B

A

3


u

AC
.
Gọi G = BN ∩ AC thì G là trọng tâm tam giác BCD suy ra GC =
3
4
5
Mà AC = 4AM nên MG = AC, suy ra CG = MG
12
5
4
Theo định lí Thales: d(C/BN) = d(M/BN)
5
Lại có: HN = 2CN nên :
8
d(H/BN) = 2d(C/BN) = d(M/BN)

5
−45
20
và điểm H(3t, 2t). Nên ta sẽ tìm được t = 1; t =
Mà d(M/BN) = √
19
269
Do M và H nằm khác phái với BN nên ta chỉ ra được H(3; 2)
Mặt khác 3AC = 2AB = 2CD = 2NH suy ra 2MC = NH suy ra ∆MNH vuông tại M và tìm
được N(−1; 0)
−5 7
7 13
Từ đó tìm được C(1; 1); D(−3; −1); A
;B
;
;
3 3
3 3

Hie

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thằng
vuông góc với AC tại H. GỌi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH,BH
17 29
17 9
và AD.Cho E
,F
và G(1; 5). Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
;
;

5 5
5 5
ABE

A

ng

Ho
ang

D

Tru

G

B

F

H
E
C

1
1
EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF = BC = AD = AG
2
2


17
17

1 − xA =
−
−→ −→
5
5
⇒ AG = F E ⇔
⇔ A(1, 1)
29 9

 5 − yA =
−
5
5
−→
EF (0, −4) là vecto pháp tuyến của AB mà AB đi qua A(1, 1) nên (AB) : y − 1 = 0
−→ 12 24
17 9
nên (BH) : 3x + 6y − 21 = 0
,
AE( , ) là vecto pháp tuyến của BH mà BH đi qua F
5 5
5 5
Do AB cắt BH tại B nên tọa độ B là nghiệm của hệ pt:
(AB) : y = 1
⇔ B(5, 1)
(BH) : 3x + 6y − 21 = 0

Gọi I(a, b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
⇒ IA2 = IB 2 = IE 2
4





(1 − a)2 + (1 − b)2 = (5 − a)2 + (5 − b)2
2
⇔
17
29
2
2
(5 − a) + (5 − b) =
−a +
−b
5
5
33 − 4b
.
Trừ theo vế 2 pt trên ta được: a =
7
Khi đó thay lại vào hệ pt trên ta được a = b = 3.
Vậy I(3, 3).

2

A

I

H

Tru

B

ng

K

Hie

u

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn. Điếm
A(−2; −1). Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
BC, BD, CD Đường tròn (C) : x2 + y 2 + x + 4y + 3 = 0 ngoại tiếp tam giác HKE. Tìm tọa
độ B, C, D biết H có hoành đọ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng
x−y−3= 0
D

E
C

Ho
ang

Gọi I = AC ⊥ BD ta sẽ chứng minh I ∈ (C) bằng cách chỉ ra HKIE là tứ giác nội tiếp. Thật
vậy, AHCE nội tiếp đường tròn tâm I nên HIE = 2HAE
Do các tứ giác ABHK, AKED nội tiếp nên:
HKE = 180o − HKB − EKD = (90o − HAB) + (90o − EAD) = 2HAE = HIE
nên tứ giác HKIE nội tiếp
c−2 c−4
Mặt khác I là trung điểm AC và C(c; c − 3) ∈ d nên I
;
2
2
Do I ∈ (C) suy ra c = 2 và I(0; −1); C(2; −1)
Gọi (C ′ ) là đường tròn đường kính AC: (C ′ ) : x2 + (y + 1)2 = 4
−8 −11
E, H = (C) ∩ (C ′ ) ta sẽ tìm được
, E(0; −3)
;
5
5
Suy ra B(−4; −3); C(2; −1); D(4; 1)

5