Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân toeplitz hankel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC và ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ PHI HÙNG

VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRỊNH TUÂN

HÀ NỘI, 2016


i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp
tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn đề nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn
học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016

Đỗ Phi Hùng


ii

Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
kết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo.

Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016

Đỗ Phi Hùng


iii

DANH MỤC KÍ HIỆU
F

Phép biến đổi Fourier.

Fs

Phép biến đổi Fourier sine.

Fs✁1

Phép biến đổi Fourier sine ngược.

Fc

Phép biến đổi Fourier cosine.

Fc✁1

Phép biến đổi Fourier cosine ngược

K

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.

K ✁1

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược.

L

Phép biến đổi Laplace.

L✁ 1

Phép biến đổi Laplace ngược.

♣f ✝ gq✠
γ
f ✝g
✁
✠
f ✝g
✁ Tγ ✠
f ✝g
T
✁

✝♣f, g, hq
γ

✝♣
f, g, hq
R 

Tích chập của hai hàm f và g.
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ.
Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi T .
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ đối với phép
biến đổi T .
Đa chập của các hàm f, g, h.
Đa chập của các hàm f, g, h với hàm trọng γ.

Là tập tx € R : x → 0✉.


iv

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

DANH MỤC KÍ HIỆU

iii

Lời mở đầu

1

1

Các kiến thức dùng cho luận văn

4

1.1

Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm . . . . .

4

1.1.1

Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . .

5

Tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

1.3
2

3

Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel

14

2.1

Bài toán 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Bài toán 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Bài toán 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel

27

3.1

27

Bài toán 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


v

3.2

Bài toán 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3

Bài toán 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4

Bài toán 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

45


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel có dạng tổng quát là
(X[7]):
f ♣xq  

 ✽
➺

rk1 ♣x   yq   k2 ♣x ✁ yq sf ♣yq dy ✏ ϕ ♣xq , x → 0

(1)

0

trong đó k1 là nhân Hankel, k2 là nhân Toeplitz, ϕ là hàm cho trước và f là
hàm phải tìm. Tuy nhiên cho đến nay để giải nghiệm đúng của phương trình
(1) với nhân k1 , k2 tổng quát thì hãy còn là bài toán mở và chỉ mới tìm được
nghiệm xấp xỉ của nó. Trong những năm gần đây đã có một số kết quả nghiên
cứu giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân
Toeplitz-Hankel bằng cách chọn các nhân k1 , k2 cụ thể, sau đó dùng công cụ
tích chập, tích chập suy rộng và đa chập để giải đóng một số lớp các bài toán
dạng này [5,6,7,8,9].
Với mong muốn được tìm hiểu về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập
và ứng dụng để giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với
nhân Toeplitz – Hankel.
Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi chọn đề tài nghiên cứu
luận văn thạc sĩ của mình là:
“Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân
với nhân Toeplitz – Hankel”.

Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các
chương sau.
Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với

các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace


2

♣Lq để giải đóng một lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt - Hankel.
Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 và
Định lý 2.3.
Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối

với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q và

Kontorovich - Lebedev ♣K q để giải đóng một lớp hệ phương trình tích phân

với nhân Toeplitz - Hankel. Các kết quả chính của chương này là các Định lý:
Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 và Định lý 3.4.
Để tiện cho quá trình theo dõi, chúng tôi còn đưa vào phần đầu các ký hiệu
dùng để trình bày cho luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về tích chập và tích chập suy rộng.
Nghiên cứu về đa chập.
Dùng công cụ tích chập và đa chập suy rộng nói trên để giải một lớp
phương trình và hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập và đa chập.

Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz –
Hankel.
Giải một lớp phương trình và hệ phương trình nói trên bằng công cụ tích
chập, tích chập suy rộng và đa chập.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập. Nghiên cứu giải một
lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel bằng
công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dùng kĩ thuật của giải tích hàm.
Dùng kĩ thuật của phương trình tích phân.
Dùng kĩ thuật của tích chập suy rộng và đa chập.


3

6. Đóng góp của đề tài
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về một số tích chập, tích chập

suy rộng, đa chập liên quan đến các phép biến đổi tích phân Fourier ♣F q,
Kontorovich-Lebedev ♣K q, Laplace ♣Lq.

Luận văn trình bày một vài lớp phương trình và hệ phương trình tích phân
với nhân Toeplitz – Hankel giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy
rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân nói trên.


4

Chương 1

Các kiến thức dùng cho luận văn
Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số không gian hàm,
phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các

phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq,
Kontorovich-Lebedev ♣K q dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận
văn.
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [4,5,7,8,9,10].

1.1
1.1.1

Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm
Các không gian hàm

• L1 ♣Rq là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên

♣✁✽,  ✽q sao cho

➺  ✽

✁✽

⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽,

và L1 ♣Rq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

⑥ f ⑥ L ♣ Rq ✏
1

➺  ✽

✁✽

⑤f ♣xq⑤dx.

• L1 ♣R  q là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên


5

♣0,  ✽q sao cho

 ✽
➺

⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽,

0

và L1 ♣R  q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

⑥f ⑥L ♣R q ✏

 ✽
➺

1

⑤f ♣xq⑤dx.

0

• L0,β
1 ♣R  q là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên

♣0;  ✽q sao cho

 ✽
➺

⑤f ♣xq⑤ .e✁βxdx ➔  ✽,β ➙ 0,

0

và L0,β
1 ♣R  q là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

⑥f ♣xq⑥L

0,β
1

♣R  q ✏

 ✽
➺

⑤f ♣xq⑤ e✁βxdx.

0

1.1.2

Các phép biến đổi tích phân

Phép biến đổi tích phân Fourier (F) ♣X r10sq:
Cho hàm f ♣xq

€ L1♣Rq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier (F ) đối

với hàm f được định nghĩa như sau

♣F f q♣xq ✏

➺

 ✽
1
❄
e✁ixy f ♣y qdy;
2π ✁✽

x € R.

(1.1)

x € R.

(1.2)

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược là

♣F ✁1f q♣yq ✏

➺

 ✽
1
❄
eixy f ♣xqdy;
2π ✁✽


6

Phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs) ♣X r10sq:
Cho hàm f ♣xq € L1 ♣Rq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier sine ♣Fs q
của hàm f là một hàm được xác định như sau

♣Fsf q♣xq ✏

❝

2
π

➺  ✽
0

sin xyf ♣y qdy.

(1.3)

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược ♣Fs✁1 q là

♣F ✁1f q♣xq ✏

❝

s

2
π

➺  ✽
0

sin xyf ♣y qdy,

x → 0.

(1.4)

Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) ♣X r10sq:
Cho hàm f ♣xq

€ L1♣Rq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier cosine

♣Fcq của hàm f là một hàm được xác định như sau

♣Fcf q♣xq ✏

❝

2
π

➺  ✽
0

cos xyf ♣y qdy,

x → 0.

(1.5)

Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược ♣Fc✁1 q là

♣Fc✁1f q♣xq ✏

❝

2
π

➺  ✽
0

cos xyf ♣y qdy,

x → 0.

(1.6)

Phép biến đổi Laplace (L)
Định nghĩa 1.1. (X[6]) Giả sử với mỗi hàm f ♣tq là hàm phức của biến số thực
t sao cho tích phân

➩  ✽
0

f ♣tqe✁st dt hội tụ ít nhất với một số phức s ✏ a   ib.

Khi đó ảnh của hàm f qua phép biến đổi Laplace (L) là hàm F được định
nghĩa bởi tích phân sau
F ♣s q ✏

 ✽
➺

f ♣tqe✁st dt.

(1.7)

0

Khi đó F ♣sq được gọi là phép biến đổi Laplace (L) của hàm f ♣tq.
Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược L✁1 là
L✁1 tF ♣sq✉ ✏ f ♣tq ✏

1
2πi

➺ γ  i✽
γ ✁i✽

est F ♣sqds


7

Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (K)
Định nghĩa 1.2. (X[10]) Cho f ♣xq € L1 ♣R  q. Khi đó phép biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev ♣K q của hàm f là một hàm được xác định như sau

♣Kf q♣yq ✏

➺  ✽
0

f ♣xqKix ♣y qdx,

t € R 

(1.8)

x € R  .

(1.9)

trong đó Kit là hàm Macdonald được xác định bởi
Kit ♣xq ✏

➺  ✽
0

e✁x cosh u cos♣tuqdu,

Định nghĩa 1.3. Cho f ♣xq € L1 ♣Rq. Khi đó phép biến đổi tích phân Kontorovich-

Lebedev (K) có phép biến đổi ngược ♣K ✁1 q đối với hàm f là một hàm được
xác định như sau

➺

2  ✽
✁
1r
♣K f q♣xq ✏ f ♣xq ✏ π2
x sinh♣πxqKit ♣tqt✁1 fr♣tqdt, x → 0 (1.10)
0
trong đó ♣Kit q là hàm Macdonald xác định bởi công thức (1.9).

1.2

Tích chập và tích chập suy rộng

Về lịch sử của tích chập, tích chập suy rộng và đa chập có nhiều tài liệu đã
trình bày [5,6,7,8], vì vậy chúng tôi không trình bày ở đây. Tuy nhiên, chúng
tôi sẽ trình bày một số khái niệm cũng như một số tích chập, tích chập suy

rộng và đa chập đã được các tác giả công bố trước đó. Các kết quả này dùng
để nghiên cứu cho các chương sau.
1.2.1

Tích chập

Định nghĩa 1.4. (X.[6]) Cho U1 ♣X1 q, U2 ♣X2 q là các không gian tuyến tính,
V ♣Y q là một đại số. Khi đó:

♣✝q : U1♣X1q ✂ U2♣X2q Ñ V ♣Y q
♣f, gq ÞÑ ♣f ✝ gq♣yq
được gọi là phép toán tích chập. Ký hiêu là ♣✝q.


8

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U ♣X q vào đại

số V ♣Y q :

K : U ♣X q

Ñ V ♣Y q. Tích chập của hai hàm f € U1♣X1q; g €
U2 ♣X2 q đối với phép biến đổi tích phân K là một hàm, ký hiệu ♣f ✝ g q thỏa

mãn đẳng thức nhân tử hóa sau đây
K ♣f ✝ g q♣y q ✏ ♣Kf q♣y q.♣Kg q♣y q.

(1.11)

Khi đó không gian U ♣X q cùng với phép toán chập ♣. ✝ .q trên xác định một
đạị số. Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phép

biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq. Các
tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tích
phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn.

€ L♣R q. Tích chập đối với phép biến đổi tích
phân Fourier cosine ♣Fc q của hai hàm f và g ký hiệu là ♣f ✝ g q♣xq được xác
F
Ví dụ 1.1. (X.[9]) Cho f, g

c

định bởi công thức

♣f F✝ gq♣xq ✏
c

❄1
2π

➺  ✽
0

f ♣y qrg ♣⑤x ✁ y ⑤q   g ♣x   y qsdy;

x → 0. (1.12)

Tích chập này thuộc không gian L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc ♣f

✝ gq♣yq ✏ ♣Fcf q♣yq♣Fcgq♣yq, ❅y → 0.

Fc

(1.13)

€ L1♣R q. Tích chập đối với phép biến đổi tích
phân Laplace (L) của hai hàm f và g ký hiệu là ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi
L

Ví dụ 1.2. (X.[9]) Cho f, g
công thức

♣f L✝ gq♣xq ✏

➺x

f ♣x ✁ y qg ♣y qdy,

x → 0.

(1.14)

0

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
L♣f

✝ gq♣yq ✏ ♣Lf q♣yq♣Lgq♣yq.

L

(1.15)


9

Ví dụ 1.3. (X.[4]) Cho f, g

€ L1♣R q. Tích chập của hai hàm f và g với hàm

trọng γ ♣y q ✏ sin y đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định
như sau
✂

f

✡

✝ g ♣xq ✏
γ

Fs

❄1
2 2π

 ✽

➺

✒

f ♣y q sign ♣x   y ✁ 1q g ♣⑤x   y ✁ 1⑤q

0

✁ g ♣x   y   1q   sign ♣x ✁ y   1q g ♣⑤x ✁ y   1⑤q
✚
✁ sign ♣x ✁ y ✁ 1q g ♣⑤x ✁ y ✁ 1⑤q dy, x → 0.

(1.16)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✂

✡

✝ g ♣yq ✏ sin y ♣Fsf q ♣yq ♣Fsgq ♣yq , ❅y → 0, f, g € L1 ♣R q
γ

Fs f

Fs

Ví dụ 1.4. (X.[9]) Cho f, g

(1.17)

€ L♣R q. Tích chập với hàm trọng γ1 ✏ cos y

của hai hàm số f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác
định như sau
✂

f

✡

✝ g ♣xq ✏

γ1

Fc

✂

Tích chập f

✝g

γ1

❄1
2 2π
✡

Fc

hóa

✂

Fc f
1.2.2

➺
R 

f ♣y qrg ♣x   y   1q   g ♣x   y ✁ 1q

  g♣⑤x ✁ y   1⑤q   g♣⑤x ✁ y ✁ 1⑤qsdy, x → 0,

(1.18)

thuộc không gian L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử
✡

✝ g ♣yq ✏ cos y♣Fcf q♣yq♣Fcgq♣yq, ❅y → 0.

γ1

Fc

(1.19)

Tích chập suy rộng

Trong phần này chúng tôi trình bày tốm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy

rộng và tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân
Ki , i ✏ 1, 2, 3.

Cho các toán tử tuyến tính
Kj : Uj ♣Xj q Ñ V ♣X q,

j

✏ 1, 3.


10

Trong đó Uj ♣Xj q là các không gian tuyến tính và V ♣X q là một đại số.
Fj

✏ ♣Kj fj q♣xq ✏

➺

Xj

kj ♣x, xj qfj ♣xj qdxj ;

fj

€ Uj ♣Xj q, j ✏ 1, 3

(1.20)

Định nghĩa 1.5. (X.[5]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
✁

phân K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ của hai hàm f và g là một biểu thức f ✝ g
γ

✠

sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

K1 f ✝ g
γ

✠

♣yq ✏ γ ♣yq♣K2f q♣yq♣K3gq♣yq, ❅y € Y.

(1.21)

Nhận xét 1.1. Sự khác biệt rõ rệt nhất giữa tích chập và tích chập suy rộng là
trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng (1.21) có các phép biến
đổi tích phân khác nhau K1 , K2 , K3 tham gia còn ở tích chập ở đẳng thức
nhân tử hóa (1.10) chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân K tham gia.
Khi K1

✑ K2 ✑ K3 ✏ K, γ ✏ 1 thì khi đó tích chập suy rộng với hàm

trọng trở thành tích chập trong định nghĩa (1.4).
Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập suy rộng đối với các

phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace ♣Lq.
Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình
tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn.

€ L1♣R q. Tích chập suy rộng đối
với các phép biến đổi tích phân Fourier sine ♣Fs q; Fourier cosine ♣Fc q của hai
Ví dụ 1.5. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g
hàm f và g được xác định như sau
✁

f ✝g
1

✠

♣xq ✏

❄1
2π

➺  ✽
0

f ♣uqrg ♣⑤u ✁ x⑤q ✁ g ♣u   xqsdu;

x → 0. (1.22)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

Fs f ✝ g

✠

♣yq ✏ ♣Fsf q♣yq♣Fcgq♣yq; ❅y → 0.
(1.23)
Ví dụ 1.6. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g € L♣R  q. Tích chập suy rộng với hàm
trọng γ ♣y q ✏ sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q;
Fourier sine ♣Fs q của hai hàm f và g được xác định như sau
1


11

✁

f ✝g
γ

✠

1

♣xq ✏

❄1
2 2π

➺  ✽

0

✏

f ♣uq g ♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q ✁ g ♣⑤x ✁ u   1⑤q
✘

  g♣⑤x   u ✁ 1⑤q ✁ g♣⑤x   u   1⑤q du; x → 0. (1.24)
Tích chập này thuộc không gian L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁ γ ✠
Fc f ✝ g ♣y q ✏ sin y ♣Fs f q♣y q♣Fc g q♣y q; ❅y → 0.
(1.25)
1
Ví dụ 1.7. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g € L♣R  q. Tích chập suy rộng đối với
phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q; Fourier sine ♣Fs q của hai hàm f
và g được xác định như sau
✁

f ✝g

✠

2

♣xq ✏

❄1
2π

➺  ✽

0

f ♣xqrsign♣u ✁ xqg ♣⑤u ✁ x⑤q  g ♣u   xqsdu;

x → 0.
(1.26)

Tích chập này thuộc không gian L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

Fc f ✝ g

✠

♣yq ✏ ♣Fsf q♣yq♣Fsgq♣yq; y → 0.
(1.27)
Ví dụ 1.8. (X.[6]) Cho hai hàm số f, g € L1 ♣R  q. Tích chập suy rộng với
hàm trọng γ2 ♣y q ✏ e✁µy sin y, µ → 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổi
2

tích phân Fourier sine và Laplace, được xác định bởi công thức
✁

f

✠

✝3 g ♣xq ✏ 2π1

γ2

➺✽ ➺✽ ✧✒
0 0

 

v µ
♣v   µq   ♣x ✁ 1 ✁ uq2
2

✚

✒

v µ
v µ
✁
♣v   µq2   ♣x ✁ 1   uq2
♣✚✯
v   µq2   ♣x   1 ✁ uq2
  ♣v   µq2  v  ♣xµ  1   uq2 f ♣uqg♣vqdudv, x → 0. (1.28)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

✠

✝3 g ♣yq ✏ e✁µy sin y♣Fcf q♣yq♣Lgq♣yq, ❅y → 0
(1.29)
Ví dụ 1.9. (X.[6]) Cho hai hàm số f, g € L1 ♣R  q. Tích chập suy rộng với

hàm trọng γ2 ♣y q ✏ e✁µy sin y, µ → 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổi
Fs f

γ2

tích phân Fourier cosine (F c) và Laplace (L), được xác định bởi công thức


12

✁

f

✠

✝4 g ♣xq ✏

γ2

1
2π

➺✽ ➺✽ ✧✒
0 0

✁

v µ
♣v   µq2   ♣x ✁ 1 ✁ uq2

✚

✒

v µ
v µ
✁
♣v   µq2   ♣x ✁ 1   uq2
♣✚✯
v   µq2   ♣x   1 ✁ uq2
✁ ♣v   µq2  v  ♣xµ  1   uq2 f ♣uqg♣vqdudv, x → 0. (1.30)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

Fc f

✠

✝4 g ♣yq ✏ ✁e✁µy sin y♣Fsf q♣yq♣Lgq♣yq, ❅y → 0.

γ2

(1.31)

Nhận xét 1.2. Trong các đẳng thức nhân tử hóa 1.23 - 1.31 của các tích chập
suy rộng đều có từ hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia. Các tích
chập, tích chập suy rộng được trình bày ở các phần ví dụ đều được sử dụng
cho các chương sau của luận văn.

1.3

Đa chập

Cho các phép biến đổi tích phân
Ki : Ui ♣Xi q Ñ V ♣Y q;

i ✏ 1, n.

Ở đây Ui ♣Xi q là không gian tuyến tính, V ♣Y q là một đại số.

€ U1♣X1q; . . . ; fn € Un♣Xnq thì đa chập
với các phép biến đổi tích phân Ki ; i ✏ 1, n với hàm trọng γ được xác định

Định nghĩa 1.6. (X.[7]) Giả sử f1
bởi đẳng thức nhân tử hóa như sau
K

✁γ

✠

n
➵

✝♣f1, f2, ☎ ☎ ☎ , fnq ♣yq ✏ γ ♣yq ♣Kifi♣yqq
i✏3

(1.32)

trong đó K, Ki , i ✏ 1, n là các phép biến đổi tích phân khác nhau.
Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biến

đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Kontorovich-Lebedev

♣K q. Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân với
nhân Toeplitz-Hankel ở chương II, chương III của luận văn.


13

Ví dụ 1.10. (X.[9]) Cho các hàm f, g, h € L♣R  q thì đa chập đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f, g và h được
định nghĩa bởi

✝ ♣f, g, hq♣xq ✏ 2π1

➺✽ ➺✽

f ♣uqg ♣v qrh♣⑤x   u ✁ v ⑤q   h♣⑤x ✁ u   v ⑤q

0 0

✁ h♣⑤x ✁ u ✁ v⑤q ✁ h♣x   u   vqsdudv, x → 0.

(1.33)

thì đa chập này thuộc L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fc ♣✝♣f, g, hqq♣y q ✏ ♣Fs f q♣y q♣Fs g q♣y q♣Fc hq♣y q,

❅y → 0.

(1.34)

Ví dụ 1.11. (X.[8]) Cho các hàm f ,g € L1 ♣R  q và h € L0,β
1 ♣R  q, 0 ➔ β
đa chập với hàm trọng γ

↕1

✏ sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

sine (F s) và Kontorovich-Lebedev (K) của các hàm f, g, h được định nghĩa
như sau
1
γ
✝♣
f, g, hq ✏ ❄

4 2π

➺ ✄➳
4
R3 

i ✏1

☛

θi ♣x, u, v, wq f ♣uqg ♣v qh♣wqdudvdw,

x → 0.
(1.35)

Trong đó:
θ1 ♣x, u, v, wq ✏ e✁w cosh♣x u v 1q ✁ e✁w cosh♣x u v✁1q

θ2 ♣x, u, v, wq ✏ e✁w cosh♣x✁u v✁1q ✁ e✁w cosh♣x✁u v✁1q
θ3 ♣x, u, v, wq ✏ e✁w cosh♣x u✁v✁1q ✁ e✁w cosh♣x u✁v 1q

(1.36)

θ4 ♣x, u, v, wq ✏ e✁w cosh♣x✁u✁v 1q ✁ e✁w cosh♣x✁u✁v✁1q .
thì đa chập (1.35) tồn tại trong không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức
nhân tử hóa
Fs

✁γ

✠

✝♣f, g, hq ♣yq ✏ sin y♣Fsf q♣yq♣Fsgq♣yq♣Kiy hq♣yq, ❅y → 0.

(1.37)


14

Chương 2
Phương trình tích phân với nhân

Toeplitz-Hankel
Như ở phần đặt vấn đề đã trình bày việc giải đóng phương trình tích phân
với nhân Toeplizt-Hankel k1 , k2 .
f ♣xq  

 ✽
➺

rk1 ♣x   yq   k2 ♣x ✁ yq sf ♣yq dy ✏ ϕ ♣xq , x → 0

0

còn là vấn đề mở. Trong chương này, chúng tôi trình bày việc giải đóng một
lớp phương trình có dạng trên bằng cách chọn lớp nhân Toeplizt-Hankel k1 , k2
cụ thể và sử dụng các công cụ về tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối

với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ♣Fc q, Fourier sine ♣Fs q, Laplace

♣Lq và một số kỹ thuật của giải tích hàm chẳng hạn như Định lý Wiener- Levy
cũng như việc chọn lớp không hàm cụ thể để giải các lớp phương trình dạng
này. Kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 và
Định lý 2.3.
Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là [4,6,9].


15

Nhắc lại nội dung của Định lý Wiener- Levy (X[6]): Nếu l là biến đổi

Fourier của một hàm trong L1 ♣R  q, và η là một hàm giải tích trong một lân

cận của gốc chứa miền giá trị tl♣y q, ❅y

€ R✉ và η♣0q ✏ 0, thì η♣lq cũng là
một phép biến đổi Fourier của hàm thuộc L1 ♣R  q.
Chú ý rằng định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho phép biến đổi Fourier cosine
của một hàm thuộc L1 ♣R  q. Tức là nếu l là phép biến đổi Fourier cosine

của hàm thuộc L1 ♣R  q, và η là giải tích trong một lân cận của gốc chứa trong
miền giá trị tl♣y q, ❅y

€ R✉ và η♣0q ✏ 0, thì η♣lq cũng là phép biến đổi Fourier
cosine của của hàm thuộc L1 ♣Rq.

2.1

Bài toán 2.1

Xét phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel
f ♣xq  

➺✽
0

rk1♣x   yq   k2♣x ✁ yqsf ♣yqdy ✏ g♣xq, x → 0,

(2.1)

Trong đó: g là hàm cho trước thuộc L♣R  q, f là ẩn hàm phải tìm.
Để giải phương trình tích phân (2.1) chúng tôi chọn lớp nhân Toeplitz-Hankel

k1 , k2 như sau:
k1 ♣tq ✏

❄1

2 2π

sign♣t✁1qh1 ♣⑤t✁1⑤q✁

k2 ♣tq ✏

❄1

sign♣t✁1qh1 ♣⑤t✁1⑤q✁

2 2π

❄1

1
sign♣t 1qh1 ♣⑤t 1⑤q✁ ❄ h2 ♣tq,
2 2π
2π
(2.2)

❄1

1
sign♣t 1qh1 ♣⑤t 1⑤q✁ ❄ h2 ♣⑤t⑤q.
2 2π

2π
(2.3)

Ở đó: h1 ♣xq ✏ ♣ϕ1 ✝ ϕ2 q♣xq và ϕ1 , ϕ2 , h2 là các hàm cho trước thuộc L1 ♣R  q.
1

Để giải phương trình tích phân (2.1) ngoài việc chọn nhân Toeplitz-Hankel
k1 , k2 như trên. Chúng tôi còn sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đối với

các phép biến đổi Fourier cosine ♣Fc q và Fourier sine ♣Fs q để giải.Các tích


16

✠ ✂

✁

chập suy rộng: . ✝ . , .
1

✡

✝.
γ

Fs

được xác định trong (1.22), (1.16) và đẳng

thức nhân tử hóa tương ứng với các tích chập suy rộng này được xác định ở
(1.23), (1.17).

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn trên không gian L1 ♣R  q cũng như công thức
nghiệm của phương trình tích phân (2.1).
Định lý 2.1 (X.[4]). Giả sử điều kiện sau thỏa mãn
1   ♣sin y ♣Fs h1 q♣y q   ♣Fc h2 q♣y qq ✘ 0,

❅y → 0.

(2.4)

Khi đó phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel (2.1) có nghiệm duy

nhất trong L1 ♣R  q và có dạng như sau

f ♣xq ✏ g ♣xq   ♣g ✝ lq♣xq, x → 0,
1

(2.5)

Trong đó l là hàm thuộc L1 ♣R  q và được xác định:

✁

♣Fcrϕ1 ✝1 ϕ2s♣yq   ♣Fch2q♣yq
♣Fclq♣yq ✏ 1   ♣F rϕ ✝ ϕ s♣yq   ♣F h q♣yq ,
c 1
2
c 2

1

✠

. ✝ . được xác định ở (1.22), ϕ1 , ϕ2 , h2 là các hàm cho trước thuộc L1 ♣R  q.
1

Chứng minh. Thay nhân Toeplitz-Hankel k1 , k2 đã chọn vào phương trình
tích phân (2.1) ta được
f ♣xq 

➺  ✽

f ♣uq

✧✒

❄1 ♣sign♣x   u ✁ 1qh1♣⑤x   u ✁ 1⑤q✁ h1♣x   u   1qq

2 ✚2π ✒
✁ ❄1 h2♣x   uq   ❄1 ♣sign♣x ✁ u   1qh1♣⑤x ✁ u   1⑤q
2π
2 2π
✚✯
1
✁ sign♣x ✁ u ✁ 1qh1♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q   ❄ h2♣⑤x ✁ u⑤q du ✏ g♣xq, x → 0.
2π
(2.6)
0

Hay tương đương với
1
f ♣xq   ❄
2 2π

➺  ✽
0

✏

f ♣uq sign♣x   u ✁ 1qh1 ♣⑤x   u ✁ 1⑤q ✁ h1 ♣x   u   1q


17

✘

  sign♣x ✁ u   1qh1♣⑤x ✁ u   1⑤q ✁ sign♣x ✁ u ✁ 1qh1♣⑤x ✁ u ✁ 1⑤q
➺  ✽
✏
✘
1
 ❄
f ♣uq h2 ♣⑤x ✁ u⑤q ✁ h2 ♣x   uq d♣uq ✏ g ♣xq. (2.7)
2π

0

✂

.

Áp dụng công thức tích chập

✡

✝.
γ

Fs

✠

✁

(1.16) và tích chập suy rộng . ✝ .
1

(1.22) thì phương trình tích phân (2.7) được viết về phương trình dạng chập
✂

f ♣xq   f

✡

✝ h1 ♣xq  
γ

✁

Fs

f ✝ h2

✠

1

♣xq ✏ g♣xq

(2.8)

Tác động phép biến đổi Fourier sine (Fs ) vào hai vế của phương trình (2.8) ta
được

♣Fsf q ♣yq   Fs

✂

f

✡

✝ h1 ♣yq   Fs
γ

Fs

✁

f ✝ h2
1

✠

♣yq ✏ ♣Fsgq♣yq
✂

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.17) đối với tích chập .
✁

✠

với tích chập suy rộng . ✝ . ta được

✡

✝.
γ

Fs

(2.9)

và (1.23) đối

1

♣Fsf q♣yq   sin y♣Fsf q♣yq♣Fsh1q♣yq   ♣Fsf q♣yq♣Fch2q♣yq ✏ ♣Fsgq♣yq.
♣Fsf q♣yq♣1   sin y♣Fsh1q♣yq   ♣Fch2q♣yqq ✏ ♣Fsgq ♣yq

Theo giả thiết h1 ♣xq ✏ ♣ϕ1 ✝ ϕ2 q♣xq và theo điều kiện (2.4) ta có
1
✒
✚
♣
sin y ♣Fs h1 q♣y q   ♣Fc h2 q♣y qq
♣Fsf q♣yq ✏ ♣Fsgq♣yq 1 ✁ 1   ♣sin y♣F h q♣yq   ♣F h q♣yqq
s 1
c 2
✒
✚
♣
sin y ♣Fs ϕ1 q♣y q♣Fc ϕ2 q♣y q   ♣Fc h2 q♣y qq
✏ ♣Fsgq♣yq 1 ✁ 1   ♣sin y♣F ϕ q♣yq♣F ϕ q♣yq   ♣F h q♣yq
s 1
c 2
c 2
✓
✛
♣Fcrϕ1 ✝1 ϕ2s♣yq   ♣Fch2q♣yqq
✏ ♣Fsgq♣yq 1 ✁ 1   ♣F rϕ ✝ ϕ s♣yq   ♣F h q♣yqq .
c 1
2
c 2
1
Với điều kiện (2.4), ở đây chúng tôi áp dụng Định lý Wiener-Levy cho hàm

✘ 0 và z ✏ Fc♣rϕ1 ✝1 ϕ2sq♣yq   ♣Fch2q♣yq,
như vậy khi đó sẽ tồn tại hàm: l € L1 ♣R  q thỏa mãn
♣Fcrϕ1 ✝1 ϕ2s♣yq   ♣Fch2q♣yqq

♣Fclq♣yq ✏ 1   ♣F rϕ ✝ ϕ s♣yq   ♣F h q♣yqq
c 1
2
c 2
1

η ♣z q có dạng η ♣z q

✏

z
1 z ,

1 z


18

Suy ra

♣Fsf q♣yq ✏ ♣Fsgq♣yqr1 ✁ ♣Fclq♣yqs, ❅y → 0
✠

✁

Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.23) cho tích chập suy rộng . ✝ . ta được
1

♣Fsf q♣yq ✏ ♣Fsgq♣yq ✁ Fs♣g ✝1 lq♣yq
✏ Fsrg ✁ g ✝1 ls♣yq, ❅y → 0

Do đó

f ♣xq ✏ g ♣xq ✁ ♣g ✝ lq♣xq
1

♣h.k.nq.

Mặt khác theo giả thiết g, l € L1 ♣R  q và tích chập
Nên nghiệm của phương trình: f

€ L1♣R q.

✁

✠

. ✝ . € L♣R  q
1

Như vậy ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân với nhân ToeplitzHankel (2.1), trong đó nhân Hankel k1 và nhân Toeplitz k2 xác định bởi (2.2)
và (2.3).
Định lý được chứng minh xong.

✆

Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm f chứa trong dấu tích phân và nằm
✁

✠

trong tích chập . ✝ . .
2

2.2

Bài toán 2.2

Xét phương trình tích phân sau
f ♣xq  

➺✽

♣ϕ ✝2 f q♣uq rk1 ♣x, uq   k2 ♣x, uqs du ✏ g♣xq,

(2.10)

0

Trong đó: ϕ, g là các hàm cho trước thuộc L1 ♣R  q, f là ẩn hàm phải tìm,
✁

✠

. ✝ . được xác định ở (1.26) .
2