Ứng dụng phép biến đổi fourier cho phép biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN ĐIỆP

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN ĐIỆP

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN HUY LỢI

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác
giả chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi đã tận tình hướng
dẫn, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhân viên của
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở
Trung tâm GDTX và DN Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Điệp


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong
luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Điệp


Mục lục

MỞ ĐẦU

5

1 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace

7

1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1. Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo . . . . .

14

1.3.2. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa . . . . .

16

1.3.3. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy rộng

18

2 Ứng dụng

20

2.1. Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Trường hợp gốc f (x) giảm nhanh . . . . . . . . .

20

2.1.2. Trường hợp giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F (p)
giảm nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Công thức nội suy để tính tích phân Fourier . . . . . . .

24

2.2.1. Một vài chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3

2.2.2. Phép nội suy đại số của hàm f (x) . . . . . . . . .

24

2.2.3. Phép nội suy bằng hàm hữu tỷ . . . . . . . . . .

51

2.3. Công thức chính xác bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . .

63

KẾT LUẬN

71

TÀI LIỆU THAM KHẢO

72

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi
Laplace là hai trong số các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng
trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Hai phép biến
đổi này là hai phép biến đổi quan trọng thường được sử dụng trong việc
giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình

đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, . . .
Ngoài ra, hai phép biến đổi này còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh
vực số học, hình học, vật lý, quang học và nhiều lĩnh vực khác.
Hơn nữa, hai phép biến đổi này còn có mối quan hệ bổ trợ lẫn nhau
trong việc giải các bài toán, là công cụ tính toán hữu ích cho việc giải
các bài toán thực tiễn cụ thể.
Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu về mối quan hệ của hai
phép biến đổi này và ứng dụng của nó trong lý thuyết và thực tiễn, dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi tôi đã chọn đề tài "Ứng
dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược"
để nghiên cứu dựa trên tài liệu tham khảo chính [3].

2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ
bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace và phép biến đổi
Laplace ngược sau đó nêu ra ứng dụng của phép biến đổi Fourier cho
phép biến đổi Laplace ngược.
5


3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về ứng dụng của phép
biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài chủ yếu tập
trung nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi
Laplace để đưa các bài toán phức tạp trở nên đơn giản hơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
− Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6. Giả thuyết khoa học. Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi
Fourier, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược và tìm
được mối quan hệ bổ trợ giữa chúng để giải các bài toán.

6


Chương 1
Phép biến đổi Fourier và phép biến
đổi Laplace
1.1. Phép biến đổi Fourier. Xét tích phân kép
∞

1
π

∞

f (t) cos u (x − t) dt

du
0

(1.1)

−∞

và giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên trục số thực −∞ < t < ∞.
Trong tích phân t sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị của x và u, và sự
hội tụ là đều.

Giống như sự hội tụ của tích phân kép (1.1) và trị số của nó. Định lý
1.1 dưới đây là điều kiện đủ. Chú ý sau đây sẽ cho chúng ta hiểu rõ hơn
về vấn đề này.
Chú ý. Giả sử một hàm f (x) với giá trị hữu hạn trên đoạn [a, b]. Chia
đoạn [a, b] bởi hữu hạn các điểm x0 = a < x1 < ... < xn = b.
n−1

|f (xk+1 ) − f (xk )|.

Lập tổng V (x0 , x1 , ..., xn ) =
k=0

Cận trên của tổng V (x1 , x2 , ..., xn ), V ar (f ) = sup V (x0 , x1 , ..., xn )
a≤x≤b

x1 ,...,xn

được gọi là tổng biến phân toàn phần của f trên đoạn [a, b]. Nếu V ar (f )
a≤x≤b

là giá trị hữu hạn thì ta nói f là hàm biến phân bị chặn trên [a, b].
7


Định lý 1.1. Cho hàm f (t) khả tích tuyệt đối trên trục số thực −∞ <
t < ∞. Nếu trên đoạn [a, b] đã cho chứa một điểm x hàm f có biến phân
bị chặn, khi đó phương trình sau là đúng:
∞

1

1
[f (x + 0) + f (x − 0)] =
2
π

∞

du

f (t) cos u (x − t) dt.

(1.2)

−∞

0

Nhưng nếu f là hàm biến phân bị chặn trên [a, b] và liên tục trên đoạn
[a, b] thì
∞

1
f (x) =
π

∞

du
0

f (t) cos u (x − t) dt.

(1.3)

−∞

Ở đây, tích phân kép hội tụ tới f (x) đều theo x ở trong đoạn con đóng
bất kỳ của đoạn [a, b].
Các phương trình (1.2) và (1.3) được gọi là công thức Fourier.
Từ giờ chúng ta sẽ giả sử rằng f (t) có biến phân bị chặn trên mọi đoạn
hữu hạn của trục t. Khi đó (1.2) là đúng đối với tất cả giá trị hữu hạn
của x.
Bên cạnh đó, để đơn giản chúng ta sẽ thừa nhận tất cả gián đoạn của f
1
là “đều” và hệ thức f (x) = [f (x + 0) + f (x − 0)] đúng tại mọi điểm
2
x. Khi đó dưới điều kiện này thì phương trình (1.2) và (1.3) sẽ có cùng
một dạng và từ bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (1.3).
Chúng ta có thể làm cho tích phân Fourier đối xứng hơn nếu chúng ta
phức hóa và thay thế hàm lượng giác bởi biểu diễn nó dưới dạng hàm
số mũ
∞

1
π

∞

f (t) cos u (x − t) dt

du
0

−∞
∞

1
=
2π

∞

du
0

f (t) eiu(x−t) + e−iu(x−t) dt.

−∞

8


Nếu thực hiện lấy tích phân và nếu trong phần đầu của tích phân chúng
ta thay thế biến u bởi biến −u, nó có thể quy công thức Fourier (1.3)
thành dạng:

∞

∞

1
f (x) =
2π

e−ixu du
−∞

f (t)eiut dt.

(1.4)

−∞

Phương trình này được gọi là công thức Fourier phức, nó là liên thông
quan hệ nghịch đảo của cặp hàm:
∞

ϕ (u) =

f (t) eiut dt.

(1.5)

ϕ (u) e−ixu du.

(1.6)

−∞
∞

1
f (x) =
2π
−∞

Định nghĩa 1.1. Cặp hàm (1.5) và (1.6) được gọi là phép biến đổi
Fourier phức và mang hàm gốc f vào trong ảnh của hàm ϕ. Phương
trình (1.6) cho ta một quy tắc chuyển tiếp từ ảnh ϕ vào gốc f .
Bây giờ chúng ta cho hai công thức đặc biệt của công thức Fourier mà
tương đương với công thức (1.3). Nếu chúng ta quy về biểu thức cho
cosin của hai đối số khác nhau, thì (1.3) tương đương với khai triển
chuỗi Fourier của hàm
∞

f (x) =

[a (u) cos ux + b (u) sin ux] du.
0

Trong đó

∞

a (u) =

1
π

f (t) cos utdt,
−∞

∞

b (u) =

1
π

f (t) sin utdt.
−∞

9

(1.7)


∞

2
Khi f là hàm chẵn thì a (u) =
π

f (t) cos utdt, và (1.7) là công thức
−∞

Fourier cosine:
∞

2
f (x) =
π

∞

f (t) cosutdt, (0 ≤ x ≤ ∞) .

cos xudu
0

(1.8)

0

Tương tự, nếu f là hàm lẻ thì (1.7) là công thức Fourier sine:
∞

f (x) =

2
π

∞

f (t) sin utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) .

sin uxdu
0

(1.9)

0

Công thức (1.3) là tổng hợp của hai công thức (1.8) và (1.9).
Thật vậy, mọi hàm f có thể biểu diễn bằng tổng của các hàm chẵn và
lẻ:
f (x) = g (x) + h (x) .
Trong đó
1
[f (x) + f (−x)] ,
2
1
h (x) = [f (x) − f (−x)] .
2
Tích phân trong công thức (1.3) sẽ được biểu diễn qua biểu thức của g
g (x) =

và h:

∞

∞

f (t) cos u (x − t) dt = 2 cos xu
−∞

g (t) cos utdt
0
∞

+ 2 sin xu

h (t) sin utdt.
0

Từ công thức (1.3) ta có:
∞

2
f (x) = g (x) + h (x) =
π

∞

cos xudu
0
∞

+

2
π

g (t) cos utdt
0
∞

sin xudu
0

10

h (t) sin utdt.
0


Công thức Fourier cosine (1.8) là mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc :
∞

f (t) cos utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) ,

ϕc (u) =

(1.10)

0
∞

2
f (x) =
π

ϕc (u) cos xudu.

(1.11)

0

Đầu tiên là phép biến đổi Fourier cosine của hàm gốc f vào hàm ảnh ϕc ,
sau đó là phép biến đổi ngược lại. Công thức Fourier sine (1.9) là công
thức ngược giữa hàm f và hàm ϕc :
∞

f (t) sin utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) ,

ϕc (u) =

(1.12)

0
∞

2
f (x) =
π

ϕc (u) sin xudu.

(1.13)

0

Phương trình (1.12) gọi là biến đổi Fourier sine và phương trình (1.13)
gọi là phép biến đổi ngược của nó. Ta thấy rằng biến đổi Fourier phức
(1.5) dễ dàng rút gọn được các phép biến đổi (1.10) và (1.12). Trong
biến đổi (1.5), thế f (x) bởi các khai triển chẵn và lẻ của nó:
f (x) = g(x) + h(x)
ở đây g(x) và h(x) đã được chỉ ra ở trên:
∞

∞

f (t) eiut dt =

ϕ (u) =
−∞

[g (t) + h (t)] [cos ut + i sin ut] dt
−∞
∞

=2

∞

g (t) cos utdt + 2i
0

h (t) sin utdt
0

= 2gc (u) + 2ihs (u) .
11


Vì vậy biến đổi phức (1.5) là một tổ hợp tuyến tính của biến đổi Fourier
cosine và biến đổi Fourier sine.

1.2. Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa 1.2. Hàm gốc là tập hợp các hàm f của biến số thực t sao
cho tích phân

∞

f (t) e−st dt

F (s) =

(1.14)

0

hội tụ đối với một số phức s thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) f (t) = 0 khi t < 0;
(2) Hàm f (t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa
là hàm liên tục trừ một số điểm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm có
giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn);
(3) Khi t → ∞, hàm f (t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số α0
và số M > 0 với mọi t > 0 sao cho:
∀t ≥ 0 : |f (t)| ≤ M eα0 t .

(1.15)

Ký hiệu p = inf {α0 } với α0 thỏa mãn (1.15) thì số p được gọi là chỉ số
tăng của f (t).
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc

 1, t ≥ 0
η (t) =
 0, t < 0
Rõ ràng điều kiện (1) và (2) được thỏa mãn. Đối với điều kiện (3) ta có
thể lấy M = 2; α0 = 0 sẽ có ngay

|η (t)| ≤ 2e0t = 2.
12


Vậy η (t) là hàm gốc.
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc

 t2 , t ≥ 0
2
f (t) = t η (t) =
 0, t < 0
Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện (3) ta thấy rằng:
t2 t3
e = 1 + t + + + ...
2! 3!
2
t
nên khi t ≥ 0, rõ ràng et >
hay t2 < 2et .
2!
Từ đó suy ra với mọi t ta đều có:
t

|f (t)| = t2 η (t) < 2et
có nghĩa là điều kiện (3) được thỏa mãn, ở đây coi M = 2; α0 = 0.
Định nghĩa 1.3. Hàm ảnh của hàm gốc f (t) là hàm phức F (s) biến số
phức s = α + iβ xác định bởi tích phân Laplace (1.14).
Phép biến đổi từ hàm gốc f (t) sang hàm ảnh xác định bởi công thức
(1.14) được gọi là phép biến đổi Laplace.

Ký hiệu là: F (s) = L {f (t)} .

 1, t ≥ 0
Ví dụ 1.3. Xét hàm số đơn vị: η (t) =
 0, t < 0
Biến đổi Laplace của η là:
∞
−pt

F (p) =

e

1
dt = − e−pt
p

0

∞

=
0

1
với Rep > 0.
p

Ví dụ 1.4. Xét hàm mũ f (t) = eαt .
Biến đổi Laplace của f là:

∞

∞
αt −pt

F (p) =

e e
0

(α−p)t

dt =

e

1 (α−p)t
dt =
e
α−p

0

13

∞

=
0

1
−1
=
.
α−p p−α


1.3. Phép biến đổi Laplace ngược
Định nghĩa 1.4. Phép biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) là hàm
f (t) liên tục trên [0; +∞) và thỏa mãn L {f (t)} = F (s) .
Ký hiệu: f (t) = L−1 {F (s)} .
Ví dụ 1.5. Ta có: L t3 =

3!
⇒ L−1
4
s

6
s4

= t3 .

1.3.1. Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo
a. Khai triển hàm gốc trong chuỗi số hạng của hàm mũ
Cho một lớp quan trọng của hàm ảnh F (p), chúng ta có thể thu được
một chuỗi khai triển của hàm gốc có các số hạng tương ứng với các điểm
kì dị của hàm ảnh. Như vậy, định lí dưới đây luôn đúng:
Định lý 1.2. Giả sử
(1) Hàm F(p) là một hàm chỉnh hình;

(2) Hàm F(p) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > α;
(3) Tồn tại hệ đường tròn: Cn : |p| = Rn , R1 < R2 < ... (Rn → ∞) trong
đó F(p) tiến đến 0 với đối số p;
c+i∞

(4) Với mọi c > α thì tích phân

F (p) dp hội tụ tuyệt đối.
c−i∞

Khi đó, với hàm gốc F(p) ta có:
res F (p) ept .

f (t) =
pk

pk

(1.16)

Trong đó phần dư được tính bằng tất cả các cực của hàm số F(p) và tổng
này là nhóm các cực nằm trên phạm vi hình tròn Cn kế bên.

14


Như đã biết, F (p) là hàm ảnh của:
c+i∞

1

f (t) =
2πi

ept F (p) dp.

(1.17)

c−i∞

Kí hiệu C n là một phần của đường tròn C n nằm bên trái đường thẳng
Re p = c, với c ± ibn , giao điểm của đường thẳng này với đường tròn
C n và Γn , chu tuyến đóng được tạo ra bởi phần và cung C n theo ngược
chiều kim đồng hồ. Từ bồ để Lemma, với t > 0 ta có:
lim

n→∞
Cn

ept F (p)dp = 0.

Tích phân trong (1.17) có thể được thay bằng tích phân sau đây:
1
n→∞ 2πi

ept F (p)dp = 0

f (t) = lim

(1.18)

Γn

sử dụng định lí phần dư Cauchy, ta có
res F (p)ept

f (t) = lim

n→∞

Γn

pk

ở đây phần dư được tính ở tất cả các điểm kì dị của F (p) nằm trong I n .
Phương trình mà ta thu được chứng minh cho định lí.
b. Những trường hợp đặc biệt trong khai triển hàm gốc trong chuỗi số
hạng của các hàm mũ
Xét trường hợp F (p) là một hàm phân thức hữu tỉ, chúng ta có:
A (p)
làm một hàm phân thức hữu tỉ và
Định lý 1.3. Nếu hàm F (p) =
B (p)
bậc của đa thức A nhỏ hơn bậc của đa thức B thì hàm gốc của nó là:
n

f (t) =
k=1

1
dnk −1

lim nk −1 F (p)(p − pk )nk ept
(nk − 1)! p→pk dp

(1.19)

tại đó, pk là các cực của F (p), và nk là bội số, tổng sẽ được tính bằng
tất cả các cực.
15


Chứng minh. Trước tiên cần lưu ý rằng F (p) là một hàm ảnh. Điều này
suy ra từ định lí về khai triển phân thức đơn giản của một hàm phân
thức hữu tỉ, từ sự tuyến tính của phép biến đổi Laplace và từ tính khả
dụng của công thức:
tn ep0 t =

n!
(p − p0 )n+1

tại đó hàm ảnh nằm ở phía bên phải, hàm gốc nằm ở phía bên trái. Do
đó:

c+i∞

1
f (t) =
2πi

ept F (p) dp

(1.20)

c−i∞

tại đó, c > max Re pk là các cực của F (p).
Từ định lí trên suy ra, tích phân (1.20) có thể được thay bằng tích phân
(1.18) vì bổ đề Jordan có thể áp dụng dựa trên cơ sở là F (p) → 0 khi
p → ∞. Áp dụng định lí phần dư đối với tích phân (1.18) và công thức
1
dn−1
resf (a) =
lim n−1 [(z − a)n f (z)]
(n − 1)! z→a dz
để tính phần dư tại các cực, ta suy ra công thức (1.19). Đặc biệt, nếu
tất cả đều là các cực điểm đơn thì (1.19) có thể được rút gọn thành:
n

f (t) =
k=1

A (pk ) pk t
e .
B (pk )

(1.21)

1.3.2. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa
Giả sử hàm ảnh F (p) là một hàm giải tích tại một điểm ở vô cực. Như
ta đã biết, từ phép tính toán tử F (∞) = 0. Khai triển hàm F (p) trong
chuỗi Laurent về điểm tại vô cực và chỉ ra rằng có thể tìm ra hàm gốc

bằng cách tính tổng các phần tử gốc của các số hạng trong phép khai
tn−1
1
triển này. Cho biết hàm
là hàm gốc của n , ta có định lí sau:
(n − 1)!
p

16


Định lý 1.4. Nếu F (p) là giải tích tại điểm vô cực và trên miền lân cận
có một phép khai triển Laurent:
∞

ck
pk

(1.22)

ck
tk−1
(k − 1)!

(1.23)

F (p) =
k=1

thì hàm gốc của F (p) là:

∞

f (p) =
k=1

đây là một hàm nguyên.
Chứng minh. Theo giả thiết của định lí, hàm F (p) là một hàm giải tích
1
1
trên đường tròn |p| ≥ R. Cho p = và F (p) = F
= Φ (q). Hàm
q
q
∞
1
Φ (q) =
ck q k sẽ là hàm giải tích trên đường tròn |q| ≤ và dựa trên
R
k=1

cơ sở của bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức dưới đây sẽ đúng với
các hệ số của nó:
|ck | ≤ M Rk , (k = 1, 2, ...) .
Từ bất đẳng thức vừa thu được, với mọi t ta có:
∞

f (t) ≤
k=1

|t|k−1

|ck |
≤ MR
(k − 1)!

∞

k=0

(R |t|)k
= M ReR|t| .
k!

(1.24)

Từ đó ta thấy rõ, chuỗi (1.23) hội tụ trên toàn mặt phẳng t, có nghĩa là
f (t) là một hàm nguyên của biến t. Từ bất đẳng thức (1.24), ta có thể
suy ra trực tiếp rằng với t > 0 thì:
|f (t)| ≤ CeRt .
Mở rộng chuỗi (1.23) với e−pt , ta có chuỗi cùng hội tụ với mọi giá trị t,
nghĩa là nó có thể thu được tích phân theo t chạy từ 0 đến vô cùng. Khi
đó
17


∞

∞ ∞

e−pt f (t)dt =
0

=
∞

Ta có: F (p) =
k=1

tk−1 −pt
e dt =
ck
(k − 1)!

0 k=1
∞
ck
.
pk
k=1

∞

∞

ck
k=1

tk−1 −pt
e dt
(k − 1)!

0

ck
đã được chứng minh.
pk

1.3.3. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy
rộng
Định lý 1.5. Cho F (p) → 0 khi p → ∞, Rep < c (c là một số dương),
và trên mặt phẳng p hữu hạn không có điểm kì dị nào trừ gốc tọa độ
p = 0, hay chính là điểm nhánh của kiểu lũy thừa. Khi đó, từ việc khai
triển F (p) thành một chuỗi lũy thừa suy rộng có dạng:
∞

F (p) = p

α

ck pkβ

(1.25)

k=0

mà tại đó β là một số dương, ta suy ra hàm gốc của F (p) là chuỗi:
f (t) =

1
tα+1

∞

k=0

ck
1
kβ
Γ (−α − kβ) t

(1.26)

ngoại trừ tất cả các số hạng của tích phân là những số không âm α + kβ.
∗
Chứng minh. Xét chu tuyến kín CR,r
được tạo ra từ đoạn [c − ib, c + ib]

và cung C R của đường tròn |p| = R, Rep < c, Imp < c, cung C R của
cùng đường tròn đã xác định bởi bất đẳng thức Rep < c và Imp < c,
mặt cắt hai phần dọc theo trục thực −R < Rep < −r và đường tròn
Cr : |p| = r. Khi đó hàm ept F (p) là một hàm giải tích trong chu tuyến
∗
∗
CR,r
, thì tích phân của hàm này theo chu tuyến CR,r
bằng 0, do đó, tích

phân trên đoạn [c − ib, c + ib] có thể được thay thế bằng một tích phân
trên đoạn cũ của chu tuyến. Đồng thời, dựa vào bổ đề Jordan, với t > 0
18

thì tích phân của ept F (p) trong C R và C R với t > 0 sẽ tiến đến 0 khi
R → ∞, vì lí do này, công thức nghịch đảo có thể được viết như sau:
1
R→∞ 2πi

F (p) ept dp =

f (t) = lim

1
2πi

∗
CR

F (p) ept dp.

(1.27)

Cr∗

Mà tại đó, CR∗ là chu tuyến được tạo thành từ mặt cắt hai phần −∞ <
Rep < −r và đường tròn |p| = r với điểm p = −r đã bị loại bỏ.
Thay biểu thức (1.25) cho F (p) vào công thức (1.27) và phân tích từng
số hạng, ta có:
∞

f (t) =
k=0





 1
ck 
2πi


pα+kβ ept dp.

(1.28)

Cr∗

Đặt z = pt với t > 0, ta có:
∞

f (t) =

ck
k=0

1
1
α+kβ+1
2πi t

z α+kβ ez dz.

(1.29)

∗
Crt

Như ta đã biết từ định lý về biến phức, tích phân của hàm

1
được
Γ (x)

biểu diễn dưới dạng:
1
1
=
Γ (x) 2πi

ez z −x dz
C∗

∗
với C ∗ là chu tuyến của Crt
, và hàm số bị triệt tiêu tại x = 0, −1, −2, ...

Vậy ta có thể viết công thức (1.30) như sau:
∞

f (t) =
k=0

1

1
1
= α+1
ck α+kβ+1
t
Γ (−α − kβ) t

∞

k=0

ck
1
Γ (−α − kβ) tkβ

ở đây, loại bỏ các số không âm α + kβ. Đến đây ta đã hoàn thành chứng
minh định lý.

19


Chương 2
Ứng dụng
2.1. Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép
biến đổi Fourier. Chúng ta tìm hiểu phép biến đổi Laplace ngược
trong trường hợp suy biến, các bài toán đơn giản phép biến đổi tích
phân Fourier có thể thay thế bởi chuổi Fourier. Có thể thực hiện trong

hai trường hợp: hoặc là khi hàm f (x) giảm nhanh giá trị tuyệt đối khi
x tiến đến vô cùng hoặc khi ảnh của hàm F (c + iτ ) dưới dấu tích phân
∞

1
e−cx f (x) =
2πi

F (c + iτ ) eixτ dτ

(2.1)

−∞

tiến nhanh đến 0 khi |τ | tăng.

2.1.1. Trường hợp gốc f (x) giảm nhanh. Để đơn giản,
chúng ta giả sử
f (x) e−cx = g (x) , F (c + iτ ) = G (τ ) .
∞

f (t) e−(c+iτ )t dt và phép

Khi đó phép biến đổi Laplace: F (c + iτ ) =
0

biến đổi ngược của nó có thể được viết lại:
∞

g (t) e−iτ t dt,

G (τ ) =
0

20


∞

1
g (x) =
2π

G (τ ) eixτ dτ .

(2.2)

−∞

Giả sử f (t) là hàm gốc, do đó hàm g(t) bị triệt tiêu hoặc có giá trị nhỏ
không đáng kể trên đoạn [0, T ]. Khai triển g(t) trong chuỗi Fourier trên
[0, T ] và viết khai triển dưới dạng phức:
∞

g (t) =

ck eikωt .

(2.3)

g (t) e−ikωt dt.

(2.4)

k=−∞

Ở đây
T

ω=

1
2π
; ck =
T
T
0

Từ đó g(t) bị triệt tiêu bên ngoài đoạn [0, T ], chúng ta giả sử rằng:
∞

1
ck ≈
T

1
G (kω) .
T

g (t) e−ikωt dt =

(2.5)

0

Sai số của phương trình này là:
∞

1
1
G (kω) − ck =
T
T

g (t) e−ikωt dt
T

và có thể đánh giá bằng bất đẳng thức sau:
∞

1
1
G (kω) − ck ≤
T
T

|g (t)| dt.

(2.6)

T

Ở phương trình (2.3) nếu thay thế ck chúng ta thu được giá trị xấp xỉ
ở phương trình (2.5), chúng ta thu được biểu thức sau của g(t) với các
giá trị của ảnh F tại các điểm cách đều c + ikω với k = 0, ±1, ±2, ....
−ct

f (t) e

ω
= g (t) ≈
2π

∞

F (c + ikω) eikωt .
k=−∞

21

(2.7)


Chú ý rằng hàm F (c + ikω) tách ra đủ nhanh như giá trị tuyệt đối của
k tăng ở ngoài biên. Trường hợp này có thể đạt được thông qua ảnh của
F (p) và sự tăng nhanh của xấp xỉ F (p) đến 0 khi p → ∞.

2.1.2. Trường hợp giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F (p)
giảm nhanh. Hàm G (τ ) = F (c + iτ ) khả tích tuyệt đối trên trục
−∞ < τ < ∞ và nhỏ không đáng kể ngoài đoạn hữu hạn [−T ≤ τ ≤ T ].

Như cách làm trên đoạn [−T, T ], chúng ta thấy rằng G (τ ) là một hàm
giải tích đều với giá trị bằng 0 nhận được chính xác tại điểm cuối của
đoạn. Để mở rộng trong chuỗi Fourier, chúng ta viết dưới dạng phức như
sau:

∞

ck e−ikΩt ; Ω =

G (τ ) =
k=−∞

π
,
T

(2.8)

T

1
cm =
2T

G (t) eimΩt dt.

(2.9)

−T

Khi đó bên ngoài đoạn [−T, T ], hàm G (τ ) được coi như nhỏ không đáng
kể, khi đó phương trình sau luôn đúng:
T

1
g (x) ≈
2π

G (τ ) eixτ dτ , (−T ≤ x ≤ T ) .

(2.10)

−T

Sai số được tính bằng việc thêm bất đẳng thức:
−T

T

1
g(x) −
2π

G(τ )eixτ dτ

1
=
2π

G(τ )eixτ dτ +

−∞
∞

−T

≤

∞

1
2π

G(τ )eixτ dτ
T

[|G(τ ) + G(−τ )|] dτ.
T

Trong tích phân (2.10) chúng ta đưa ra khai triển (2.8) thay thế của
G (τ ) và thực hiện tính toán tích phân. Nếu chúng ta đưa vào phương
trình:
22


T

ei(x−kΩ)τ dτ =

1
ei(xT −kπ) − e−i(xT −kπ)

i (x − kΩ)

−T

= (−1)k 2T

sin xT
, x = kΩ.
xT − kπ

(2.11)

rồi thực hiện với hàm gốc f (x) chúng ta nhận được biểu thức xấp xỉ:
−cx

f (x) e

T
= g (x) ≈
π

∞

ck (−1)k
k=−∞

sin xT
xT − kπ

(2.12)

π
x = k , −T < x < T.
T
π
= mΩ, theo các phương trình (2.9) và (2.10) chúng ta nhận
T
được giá trị của hàm f (x) như sau:

Khi x = m

f (mΩ) e−cmΩ ≈

T
cm .
π

(2.13)

Áp dụng phương trình (2.12) để tính toán hàm gốc bằng cách tính hệ
số Fourier trong phương trình (2.9) của hàm F (c + iτ ).

2.2. Công thức nội suy để tính tích phân Fourier
2.2.1. Một vài chú ý. Để thực hiện phép biến đổi Fourier, ta tính
các tích phân

∞

ϕc (u) =

f (t) cos utdt,

(2.14)

f (t) sin utdt,

(2.15)

0
∞

ϕs (u) =
0

∞

f (t) eiut dt.

ϕ (u) =

(2.16)

−∞

Có thể sử dụng nhiều quy tắc cổ điển của tích phân như hình thang,

23