Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Lý - Tin nói chung và các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý
Lý thuyết & Chất rắn nói riêng đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những
kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS. Khổng Cát Cƣơng, ngƣời đã tận
tình giúp đỡ, chỉ bảo, hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình làm khóa luận. Trong
thời gian làm việc với thầy, tôi không những tiếp thu đƣợc nhiều kiến thức bổ
ích mà còn học tập đƣợc tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu khoa học nghiêm
túc, hiệu quả, đây là những điều rất cần thiết cho tôi trong quá trình học tập và
công tác sau này.
Với vốn kiến thức còn nhiều hạn chế, chƣa có nhiều kinh nghiệm trong
lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè để khóa
luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Sau cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động
viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận.
Sơn La, tháng 5 năm 2015
Ngƣời thực hiện
Phạm Thị Trang


MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Đối tƣợng và mục đích nghiên cứu ................................................................... 2
2.1. Đối tƣợng nghiên cứu..................................................................................... 2
2.2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2
3. Giới hạn phạm vi nghiên cứu ............................................................................ 2
3.1. Giới hạn về đối tƣợng..................................................................................... 2

3.2. Giới hạn về khách thể..................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 3
5.1. Nhóm các phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết ............................................... 3
5.2. Nhóm các phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn ............................................... 3
6. Đóng góp của khóa luận .................................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG ......................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL
............................................................................................................................... 4
1.1. KHÁI NIỆM HÀM BESSEL ......................................................................... 4
1.2. CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƢƠNG TRÌNH HÀM
BESSEL................................................................................................................. 7
1.2.1. Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel. ........................................................ 7
1.2.2. Phƣơng trình và hàm Bessel: .................................................................... 11
1.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL .................................................. 12
1.4. CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL ................................ 13
1.4.1. Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Bessel .......................................... 13
1.4.2 Đa thức Legendre ....................................................................................... 14
1.4.3 Hàm cầu...................................................................................................... 18
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TRUYỀN SÓNG ................................................................................................ 23
2.1. Bài toán......................................................................................................... 23


2.2. Phƣơng pháp giải bài toán ............................................................................ 24
2.3 Các bài tập áp dụng ....................................................................................... 30
2.3.1. Bài tập 1 .................................................................................................... 30
2.3.2. Bài tập 2 .................................................................................................... 32
2.3.3. Bài tập 3 .................................................................................................... 34
2.3.4. Bài tập 4 .................................................................................................... 35

2.3.5. Bài tập 5 .................................................................................................... 40
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT .............................................................................................. 44
3.1. Bài toán......................................................................................................... 44
3.2. Phƣơng pháp giải.......................................................................................... 45
3.3. Các bài tập áp dụng ...................................................................................... 49
3.3.1. Bài tập 1 .................................................................................................... 49
3.3.2. Bài tập 2 .................................................................................................... 51
3.3.3. Bài tập 3 .................................................................................................... 52
3.3.4. Bài tập 4 .................................................................................................... 54
3.3.5. Bài tập 5 .................................................................................................... 56
3.3.6. Bài tập 6 .................................................................................................... 59
PHẦN 3. KẾT LUẬN ....................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 63


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các phƣơng pháp toán học dùng cho vật lí học hiện đại rất phong phú gồm
một khối lƣợng lớn các phần nhƣ: hàm thực, hàm biến phức, phƣơng trình vi
phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính…
Trong quá trình học môn phƣơng trình Vật lý-Toán sinh viên đã đƣợc làm
quen với một số hàm đặc biệt nhƣ: hàm Lagrang, hàm Bessel... Tuy nhiên việc
tìm hiểu sâu vào tính chất, đặc điểm của các hàm này còn nhiều hạn chế vì thời
gian tiếp thu kiến thức của sinh viên trên lớp chƣa đƣợc nhiều.Trong quá trình
giải các bài toán, bên cạnh tƣ duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên các kĩ năng giải
tích toán học, đặc biệt là việc giải các phƣơng trình vi phân do đó việc củng cố
và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng.
Quá trình giải các bài toán về quá trình truyền sóng và truyền nhiệt sinh
viên đã bƣớc đầu đƣợc làm quen với một số phƣơng pháp nhƣ: phƣơng pháp

tách biến, phƣơng pháp đặt biến phụ…, trong đó việc chọn hệ tọa độ và tách các
biến sẽ phụ thuộc vào hình dạng của vật, nếu vật có hình dạng trụ hoặc tròn thì
khi đó việc giải bài toán trong hệ tọa độ trụ sẽ dẫn đến phƣơng pháp giải là đơn
giản nhất, khi giải các phƣơng trình truyền sóng và truyền nhiệt có dạng hình
tròn hoặc hình trụ, bằng phƣơng pháp tách biến sẽ dẫn đến các phƣơng trình vi
phân có liên quan đến hàm Bessel.
Với một số dạng bài toán khi giải bằng phƣơng pháp tách biến Fourier,
phƣơng pháp biến đổi Laplace, thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất
phức tạp. Học phần phƣơng pháp toán-lý có những bài tập tƣơng đối khó, liên
quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phƣơng trình vi phân.
Cụ thể là bài tập phần truyền sóng và truyền nhiệt có các phƣơng pháp giải
nhƣ: phƣơng pháp tách biến Fourier, phƣơng pháp biến đổi Laplace, phƣơng
pháp hàm Green, hàm Bessel. Mỗi phƣơng pháp đều có ƣu điểm và hạn chế
riêng.
Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phƣơng pháp tách
biến Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn. Ta có thể
1


sử dụng hàm Bessel vào giải bài toán biên trong phƣơng trình truyền sóng và
truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều.
Phƣơng pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền sóng và truyền
nhiệt là một phƣơng pháp khó, tuy nhiên nó lại đƣợc áp dụng hiệu quả vào việc
giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhƣng các sách lý thuyết thƣờng ít đề cập
đến phƣơng pháp này, không đƣa ra các bài tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó
khăn trong việc áp dụng. Yêu cầu bổ sung phƣơng pháp giải hiệu quả bài toán
truyền sóng và truyền nhiệt cho học phần phƣơng pháp toán lý là rất cần thiết. Với
những lý do trên chúng tôi chọn đề tài: “Ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán
truyền sóng và truyền nhiệt”
2. Đối tƣợng và mục đích nghiên cứu

2.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Sử dụng hàm Bessel vào việc giải bài toán về quá trình truyền sóng và
truyền nhiệt.
2.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel. Sử dụng hàm Bessel vào việc
giải bài toán về quá trình truyền sóng, truyền nhiệt.
3. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
3.1. Giới hạn về đối tƣợng
- Các bài toán về quá trình truyền sóng, truyền nhiệt.
- Các cơ sở toán học về phƣơng trình Bessel và hàm Bessel.
3.2. Giới hạn về khách thể
Nghiên cứu sử dụng hàm Bessel vào việc giải bài toán về quá trình
truyền sóng và truyền nhiệt.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Để tìm nghiệm các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt.
- Tìm hiểu các tính chất của hàm Bessel.
- Đặt các bài toán tổng quát về quá trình truyền sóng và truyền nhiệt có
dạng hình tròn hoặc hình trụ.

2


- Thông qua việc áp dụng hàm Bessel giải các phƣơng trình truyền sóng và
truyền nhiệt cụ thể có hình dạng phức tạp hơn.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nhóm các phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Sử dụng các kiến thức về Vật lý-Toán, giải tích, phân tích, tổng hợp...
5.2. Nhóm các phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn
Tìm tòi, thu thập, phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan.
6. Đóng góp của khóa luận

- Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
- Góp phần nâng cao kết quả học tập phần phƣơng trình Vật lý-Toán cho
sinh viên.

3


PHẦN II. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1.
XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL
1.1. KHÁI NIỆM HÀM BESSEL

Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặc biệt sự phân bố dừng của
chúng và đƣợc mô tả bằng phƣơng trình Laplace.
Phƣơng trình sóng đồng nhất ba chiều có dạng:
2
 2u
 2u  2u 
2 u

a

 2  (2.1)
 2
2
t 2

x

y

z 


Phƣơng trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng:
2
u
 2u  2u 
2 u
 a  2  2  2  (2.2)
t
y
z 
 x

Trong trƣờng hợp khi hàm u  u  x, y, z  không phụ thuộc vào t thì
 2u
và 2  0 , ta có phƣơng trình Laplace:
t
 2u  2 u  2 u


 0 (2.3)
x 2 y 2 z 2

Hay u  0 với u  u  x, y, z 
Ta chuyển sang tọa độ trụ, bằng cách đặt:
 x  r cos 

 y  r sin 
 zz



Khi đó ta đƣợc các hàm u và toán tử Laplace cho tọa độ trụ là:
u  u  r , , z 
1   u  1  2u  2u

Và u 
r  
r r  r  r 2  2 z 2

Phƣơng trình Laplace trong tọa độ trụ có dạng:

4

u
0
t


1   u  1  2u  2u

0
r  
r r  r  r 2  2 z 2

(2.4)

Bằng phƣơng pháp tách biến, ta đặt: u  r, , z   V  r, z    
Thay vào phƣơng trình (2.4), ta đƣợc:
   V

r
r r  r

2
 2V
 V 
 2 0
 2
2
z
 r 

(2.5)

r2
Ta nhân phƣơng trình (2.5) với
, ta đƣợc:
V
r   V  r 2  2V
"

r

V r  r  V z 2


(2.6)

Ta thấy phƣơng trình (2.6) có vế trái không phụ thuộc vào  , vế phải
không phụ thuộc vào r và z, do đó hai vế phƣơng trình này phải bằng một hằng

số và đặt là v 2 , nghĩa là:
r   V  r 2  2V
"

 v2
r

2
V r  r  V z


(2.7)

Từ đây ta có hệ phƣơng trình:

 "    v 2     0

 r   V  r 2  2V
2
V r  r r   V z 2  v  0




Nhân phƣơng trình thứ hai với

V
, ta đƣợc hệ phƣơng trình:
r2


 "    v 2     0

 1   V   2V v 2
 r r  r r   z 2  r 2 V  0




(2.8)
(2.9)

Với phƣơng trình (2.8), ta có nghiệm   A cos v  B sin v .
Còn phƣơng trình (2.9), tiếp tục dùng phƣơng pháp tách biến để giải bài
toán bằng cách đặt V  r , z   R  r  Z  z  rồi thế vào phƣơng trình (2.9), ta đƣợc:
Z   R 
v2
"
r
  RZ  2 RZ  0
r r  r 
r

(2.10)

5


Nhân (2.10) với

1
, ta đƣợc:
RZ

1   R  v 2
Z"
r



  2

 2
rR r  r  r
Z

(2.11)

Cũng tƣơng tự nhƣ trên, ta đặt hằng số của vế phải và vế trái của phƣơng
trình (2.11) là  2 . Từ đây, ta có hệ phƣơng trình:

Z "   2Z  0

 1   R 
v2
2
 rR r  r r     r 2  0




Nhân phƣơng trình thứ hai với R, ta đƣợc hệ phƣơng trình:

Z "   2Z  0

 1   R   2 v 2 
 r r  r r      r 2  R  0

 



(2.12)
(2.13)

với phƣơng trình (2.12), ta có nghiệm Z  z   Cchz   Dshz  .
Còn với phƣơng trình (2.13), ta biến đổi đại lƣợng
1   R  1  dR
d 2 R  d 2 R 1 dR
v 2   2 
r

r r  r  r  dr
r  dr
r dr

thay vào phƣơng trình (2.13),

ta đƣợc phƣơng trình sau đây:
d 2 R 1 dR  2 v 2 


   2 R  0
dr 2 r dr 
r 

(2.14)

 x  r
Từ phƣơng trình (2.14), ta có thể biến đổi tiếp bằng cách đặt 
R  r   R  x 

Ta đƣợc hệ phƣơng trình:
d 2 R 1 dR  v 2 

 1   R  0
dx 2 x dx  x 2 

(2.15)

Phƣơng trình (2.15) đƣợc gọi là phƣơng trình Bessel trong tọa độ trụ. Một
cách tổng quát hơn, ta có:
Phƣơng trình Bessel: x 2 y"  xy '   x 2  v 2  y  0 trong đó v là hằng số.

6


Nghiệm của phƣơng trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm
Bessel.
Nó là một phƣơng trình vi phân thông thƣờng hạng hai có hệ số thay đổi.
Nghiệm của nó đƣợc gọi là hàm Bessel. Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc

mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên là
hàm trụ.
1.2. CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƢƠNG TRÌNH
HÀM BESSEL
1.2.1. Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel.
Hàm Bessel đƣợc biểu diễn dƣới dạng một nghiệm do đó hàm Bessel có
liên quan nhiều đến lý thuyết chuỗi nhƣ : chuỗi Fourier, chuỗi lũy thừa…
Bên cạnh đó còn có điều kiện hội tụ, tích phân suy rộng, hàm
Garma….Chúng làm cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel.
Phƣơng trình Bessel là phƣơng trình có dạng:
x 2 y"  xy '   x 2  v 2  y  0

(2.16)

Trong đó v là hằng số.
Phƣơng trình Bessel có điểm kỳ dị tại x=0. Vì thế, ta có thể tìm nghiệm
riêng của phƣơng trình dƣới dạng chuỗi:


y  x   ak x k ;  ao  0 

(2.17)

k 0

Đặt chuỗi (2.17) vào phƣơng trình (2.16) ta có:






  2  2  a0 x0     12  2  a1x  1      k 2  2  ak  ak 2 x  k  0




k 2



(2.18)
Chuỗi (2.18) chỉ bằng không khi các hệ số của x bằng không. Tức là:



2

 2  a0  0

(2.19)

   12  2  a1x  1  0 (2.20)


   k 2  2  ak  ak 2  0 (2.21)



Từ (2.19) suy ra   

7


 Nếu    thì
a1  0 ,

ak 

ak 2
;  k  2,3,4... , (*)
k  2  k 

Suy ra a2k 1  0;(k  0,1,2...).

(**)

Vậy :

 k  2  a2  

a0
;
2   11!

 k  4  a4  
 k  6  a6  

2

a2

a2
a0
 2
 4
;
4  2  4 
2   2  2!
2   1  2  2!

a4
a4
a0

 6
;
6  2  6 
2   3 3!
2   1  2   3 3!

a0  1
;
 n  2k  a2 k   2 k
2   1  2 ...  k  k !
k

Chọn a0 có dạng a0 

1

2    1

trong đó    là hàm Gamma xác định

đối với mọi giá trị dƣơng  ( cũng nhƣ xác định đối với mọi giá trị phức với


phần thực dƣơng ) có dạng      e x x 1dx .
0

Khi chọn a0 , hệ số a2k có thể viết dƣới dạng:

 1
a2 k  2 k 
2 k !  1  2 ...  k     1
k

(2.22)

Biểu thức (2.22) có thể biểu diễn qua hàm Gamma. Nếu sử dụng tính chất
của hàm Gamma    1     có thể viết:

  1  2.....  k     1    k  1


x
 1   e dx  1
Chú ý rằng 
, công thức (2.22) có dạng gọn hơn
0
   k  1  k !



8


 1
a2 k  2 k 
2 k !   k  1
k

Thay các giá trị của hệ số a2k , a2 k 1 vào chuỗi ta nhận đƣợc nghiệm riêng
của phƣơng trình (2.16):
2 k 

 x
1  
 
2
Jv  x  
k 0 k !   k  1
k

(2.23)

Nghiệm này đƣợc gọi là hàm Bessel loại  cấp  . Chuỗi (2.23) hội tụ với mọi x.
Sử dụng nghiệm thứ hai 2   có thể tìm đƣợc nghiệm thứ hai của
phƣơng trình (2.16), nó nhận đƣợc bằng cách thay  bằng  . Bởi vì phƣơng
trình (2.16) chỉ chứa  2 nên nó không thay đổi khi thay  bằng  . Ta có
2 k 

x
 1  

2
(2.24)
J   x   
k 0 k !    k  1
k

Nếu  không phải số nguyên thì nghiệm riêng J  x  , J   x  của phƣơng
trình sẽ độc lập tuyến tính, bởi vì khai triển các số hạng của (*) và (**) theo các
bậc khác nhau của x. Nếu  là số nguyên dƣơng n thì dễ dàng thấy rằng các
nghiệm J  x  , J   x  là phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, khi  nguyên,
k  0,1,2....,n  1 thì đại lƣợng    k  1 nhận các giá trị nguyên âm hay bằng

không, đối với các giá trị này     k  1  
Điều này suy từ các công thức:
  m 

  m  1
m

   0 

 1

0

   1 

  0
 
1

Nhƣ vậy n hạng thức đầu tiên trong khai triển chuyển bằng không.

9


 n 2 k

x
 1  

2
Do đó có J  n  x   
k  n   k  1    n  k  1
k

Nếu đặt k  n  1 thay vào công thức trên, ta đƣợc:
 n 2 n 2l

n 2l

l x
 x

1

1


1








 


n
2

2
J n  x   
  1 
l 0   n  l  1   l  1
l 0   n  l  1   l  1
n

l

 n 2l

 x
1  



n
2
J  n  x    1 
l 0   l  1   n  l  1
l

Suy ra J  n  x    1 J n  x  .
n

Nếu  là số nguyên dƣơng n thì nghiệm J  x  , J   x  là phụ thuộc
tuyến tính.
Để tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình với  bằng số nguyên n cần
phải tìm một số hạng khác độc lập tuyến tính với J  x  . Muốn vậy ta đƣa hàm
Y  x  về dạng:

Y  x  

J  x  cos  J   x 
sin

Chú ý rằng:
J  x  cos  J   x 
 n
sin

Yn  x   lim Y  x   lim
 n

Vì J  n  x    1 J n  x  cho nên khi lấy giới hạn biểu thức trên có dạng

n

0
,
0

áp dụng quy tắc L’Hopital thu đƣợc biểu thức tƣờng minh của Yn  x  :
n 2 k

 x
1  
 n2 k
n 1
n 1 
2
x 1  n  k  1!  x 
1
 2     k  1    n  k  1 
Yn  x   J n  x  ln  
 


 

2  k 0
k!
 k 0 k ! k  n     k  1   n  k  1 
2
k

10


 x
1  
 
2
x 2
2
Khi n=0, hàm Y0  x   J 0  x  ln  
2

2  k 0
 k !
k

2k

'  k  1
  k  1

Rõ ràng hàm Y  x  này cũng là nghiệm của phƣơng trình (2.16), bởi vì nó
là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng J  x  , J   x  của phƣơng trình này.
Y  x  đƣợc gọi là hàm Bessel loại II cấp  , là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm

cơ bản của phƣơng trình (2.16). Đó là : y  C1J  x   C2Y  x 
1.2.2. Phƣơng trình và hàm Bessel:
a) Phƣơng trình Bessel : là phƣơng trình có dạng:
x 2 y"  xy '   x 2  2  y  0

(2.25)

Trong đó  là hằng số.
Nghiệm của phƣơng trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm
Bessel.

 Hàm Bessel loại I cấp  :
2 k 

 x

1


 

2
J  x   
k 0 k !   k  1
k

(2.26)

Thay  bằng  , ta đƣợc:
2 k 

x
 1  

2

J   x   
k 0 k !    k  1
k

(2.27)

Các phép tính cho thấy: nếu  nguyên (  n ) thì nghiệm J  x  và
J   x  phụ thuộc tuyến tính: J  n  x    1 J n  x  , còn   n thì J  x  và
n

J   x  độc lập tuyến tính. Khi đó nghiệm tổng quát của (1) có thể biểu diễn

bởi:
y  C1J  x   C2 J   x 

11


 Hàm Bessel loại II cấp  :
Y  x  

J  x  cos  J   x 
sin
J  x  cos  J   x 
 n
sin

Yn  x   lim Y  x   lim
 n

Chú ý:
Vì J  n  x    1 J n  x  cho nên khi lấy giới hạn biểu thức trên có dạng
n

0
,
0

áp dụng qui tắc L’Hopital thu đƣợc biểu thức tƣờng minh của Yn  x  :
x 1 n1  n  k  1!  x 
Yn  x   J n  x  ln  
 

2  k 0
k!
2
2

 n 2 k

n2 k

 x
1  
n 1 
1
2
 
 k 0 k ! k  n 
k

 '  k  1  '  n  k  1 



   k  1   n  k  1 

Do J  x  và Y  x  là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của (1) có
thể biểu diễn dƣới dạng:
y  C1J  x   C2Y  x 

Trƣờng hợp riêng : hai hàm J 0  x  và J1  x  là hai hàm quan trọng nhất
trong vật lý, ta biểu diễn chúng dƣới dạng chuỗi nhƣ sau:
x2
x4
x6
J 0  x   1  2  2 2  2 2 2  .....;
2 2 4 2 4 6


x
x2
x4
x6
J1  x   1 



.....;


2  2  4 2  42  6 2  4 2  6 2  8


1.3. TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL
 x
Các hàm J  i  trực giao và chuẩn hóa trong đoạn: 0  x  L
 L

 Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel:
Công thức:
0,
i j

 2
 x  x
0 xJ  i L J   j L  dx   L J ' 2     L2 J 2    ,

i
 1
i

2
2
L

12

i j

với i và  j là hai nghiệm dƣơng của phƣơng trình J  x   0   1

 Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel:
Công thức:
0,
i j

 2
 x  x
0 xJ  i L J   j L  dx   L 1   2 2  22 2  J2    ,   i   j
2
 
 i j

 
L

với i và  j là hai nghiệm dƣơng của phƣơng trình

 J  x    xJ'  x   0

  1

1.4. CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL
1.4.1. Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Bessel
 x
Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J  i  với hệ số
 L


 x
khai triển là ai : f  x    ai J  i , v  1,0  x  L
 L
i 1

 Nếu i  i  1,2,3... là nghiệm của phƣơng trình J  x   0 , theo công
thức ở trên thì:
0,
ij

 2
 x  x
0 xJ  i L J   j L  dx   L J ' 2     L2 J 2    , i=j

i
 1
i

2
2
L

 x
Nhân hai vế với xJ  i  rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra đƣợc hệ số:
 L
ai 

 x
xf
x

J



 i  dx
L2 J21  i  0
 L
2

L

Ngƣời ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel.

 Nếu i  i  1,2... là nghiệm của phƣơng trình  J  x    xJ'  x   0 ,
theo công thức ở trên thì:
0,
ij

x
x


 

0 xJ  i L J   j L  dx   L2 1   2 2  22 2  J2    ,   i   j
2
 
 i j

 

L

13


 x
Nhân hai vế với xJ   j  rồi lấy tích phân từ 0 đến L suy ra đƣợc hệ số:
 L
ai 



L

2

 xf  x J  

     2
0
L2 1 
 J  i 
2 2
 i 

2

2

2

i

x
 dx
L

Ngƣời ta gọi khai triển này là khai triển Dyni – Bessel.
1.4.2 Đa thức Legendre
Phƣơng trình Legendre có dạng:
d 
2 dy 
1

x

 dx    y  0
dx 

(2.28)

hoặc
2

dy
2 d y
1

x


2
x
 y  0



dx 2
dx

2
 x 2  1 d y  2 x dy   y  0
 dx2

dx

(2.29)

Trong đó  là tham số nào đó, phƣơng trình có các điểm đặc biệt tại
x  1. Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham số  , sao cho phƣơng trình tồn tại

nghiệm không tầm thƣờng trong đoạn  1,1 .


Tìm nghiệm của phƣơng trình Legendre dƣới dạng chuỗi y   an x n
n 0

Thay y vào (2.29) ta nhận đƣợc:




 n  n  1a x   n  n  1a x
n

n2

n

n2

n

n2





 2 nan x    an x n  0
n

n2

n 0

Thay n=2 vào số hạng thứ hai ta đƣợc:
n  n  1    an   n  2  n  1 an2  0

Hay là
an2 

n  n  1  
a các hệ số a0 và a1 tùy ý.
 n  1 n  2  n

Khi a0  0, a1  0 ta có nghiệm riêng của phƣơng trình Legendre chỉ chứa
các bậc chẵn của x.
14


Khi a0  0, a1  0 ta có nghiệm riêng của phƣơng trình Legendre chỉ chứa
các bậc lẻ của x.
Khi   n  n  1 phƣơng trình có nghiệm dƣới dạng chuỗi đến bậc n. Tìm
nghiệm tƣơng ứng của phƣơng trình:
d 
2 dy 
1

x

 dx   n  n  1 y  0
dx 
d2y
dy
Hay 1  x  2  2 x  n  n  1 y  0 có dạng chuỗi bậc n.
dx
dx
2

Xét đa thức bậc 2n:

z   x 2  1

n

Phƣơng trình trên thỏa mãn phƣơng trình vi phân sau:

x

2

 1

dz
 2nxz  0
dx

Lấy đạo hàm hai vế phƣơng trình trên n lần theo x, ta nhận đƣợc:
dz  
x

1
  dx  n  n  1 z n1  0
n

2

Nếu lấy vi phân phƣơng trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm đƣợc z   thỏa
n

mãn phƣơng trình (2.88):

 x 2  1 z  n1  n  n  1 z  n1   1  x 2  z  n2  2 xz


'

 n 1

 n  n  1 z    0;

dz  
dz  
1  x  dx  2 x dx  n  n  1 zn  0
n

n

2

Nhƣ vậy phƣơng trình (2.29) có nghiệm:
y  Cz    C
n

d n  x 2  1

n

dx n

Trong đó C là hằng số. Đặt C 

1
, ta có
2 n!
n

n
2
1 d  x  1
y  Pn  x   n
, (n=0,1,2...)
2 n!
dx n
n

15

(2.30)

n


Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phƣơng trình (2.28) khi

  n  n  1 . Một vài giá trị đầu tiên của nghiệm là:
P0  x   1 ;
P1  x   x ;
P2  x  

1
3x 2  1 ;


2

P3  x  

1
5 x3  3x 

2

Chứng minh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và
chuẩn hóa với nhau trong khoảng  1; 1 .
Phƣơng trình của hai đa thức Legendre khác nhau là:
d 
2
'
  m Pm  x   0 
1

x
P
x




m


dx 

 ,(m  n)
d 
2
'
1  x  Pn  x   n Pn  x   0 
dx 

Nhân phƣơng trình thứ nhất với Pn  x  , phƣơng trình thứ hai với Pm  x  , trừ
hai phƣơng trình vừa có đƣợc với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế trong khoảng
từ  1; 1 , ta đƣợc:

 m  n   Pn  x Pm  x  dx    Pm  x 
1

1

1

1



d 
2
'
  Pn  x  d 1  x 2  Pm '  x  
1

x
P

x
dx




n


dx 
dx 


 1  x 2   Pm  x  Pn'  x   Pn  x  Pm'  x  

x 1
0
x  1

1

Nhƣ vậy  m  n   Pn  x Pm  x  dx  0
1

1

Hay là

 P  x  P  x dx  0;  m  n 
n

m

1

tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn  1; 1 .
Bây giờ chuẩn hóa đa thức Legendre
16


1

H n   Pn2  x dx  0
1

Sử dụng công thức tƣờng minh của đa thức Legendre, tích phân trên có
dạng
1

1

Hn 

22 n  n!

2



d n  x 2  1 d n  x 2  1

n

dx 2 n

1

dx 2 n

n

dx.

Tích phân từng phần n lần và chú ý rằng sẽ xuất hiện một hạng thức bên
ngoài tích phân bằng không, ta có:
n
2
n d  x  1
1 1 2

2
 Pn  x dx  22n  n!2 1 x  1 dx2n
1
n

1

n

n
1  2n ! 1 2


dx  2 n
x

1
dx


2 
2  n! 1
n

Biết rằng:
1

x

2

 1 dx   1 .2.
n

n

1

1

Do đó

2
 Pn  x dx 

1

2.4...2n
3.5... 2n  1

2
2n  1

Nhƣ vậy, tính trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre trên đoạn

 1; 1 là:
 0,  m  n 

1 Pn  x Pm  x  dx   2 ,  m  n 
 2n  1
1

(2.31)

Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kỳ
vào chuỗi các đa thức Legendre


f  x    an Pn  x 
n 0

2n  1

Trong đó an 
f  x Pn  x  dx
2 1
1

Tóm lại:
a) Phƣơng trình Legendre:
Là phƣơng trình có dạng:
17


d 

m2 
2 dy 
y  0, -1 < x <1
 1  x      
2 
dx
dx
1

x






y  1  



 Khi m=0: nghiệm của phƣơng trình Legendre xác định đa thức Legendre
Pn  x  :
n
2
1 d  x  1
Pn  x   n
2 n!
dx n

n

 n  0,1,2,...;   n  n  1

 Khi m  0 : nghiệm của (1) sẽ xác định đa thức Legendre liên kết cấp m
 m

Pn

 x   1  x

2



m
2

d m Pn  x 

dx mn

tƣơng ứng trị riêng n  n  n  1

(m=0,1,2,...)

 n  1,2,...; m  n

b) Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre:
0,
kn


 m
 m
1 Pn  x Pk  x  dx   2  n  m !; k=n
 2n  1  n  m !

1

Pn

m

 x

2



2  n  m !
2n  1  n  m !

c) Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Legendre:


f  x    an Pn  x 
n o

2n  1
với an 
f  d
2 1
1

1.4.3 Hàm cầu
Xét phƣơng trình Laplace đƣợc viết trong hệ tọa độ cầu:
1   2 u 
1
 
 
1
 2u
u  2  r

 sin 

r r  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2

(2.32)

Trong đó u  u  r , ,  .
Dùng phƣơng pháp tách biến đặt u  r, ,   R  r  Y  , 
Thay vào (2.32) ta có:
2
Y  ,  
  2 R  r   R  r   
1  Y  , 
Y  ,   r
0

 sin 

r 
r  sin   
  sin 2 
 2

18


Chia hai vế cho R  r Y  ,  ta có:
2
Y  ,  
1   2 R  r  
1  1  
1  Y  ,  

0

r

 sin 

R  r  r 
r  Y  ,   sin   
  sin 2 
 2 

2
Y  ,  
1  1  
1  Y  ,  
1   2 R  r  

sin







r
  
Y  ,   sin   
  sin 2   2  R  r  r 
r 

Chọn:


1   2 R  r  

r

R
r

r

r






2
 1  1   sin  Y  ,    1  Y  ,    


2
2
 Y  ,   sin   


sin










Bằng cách chọn  cho các biểu thức trên ta có các phƣơng trình sau:
1   2 R  r  
r

R  r  r 
r 
2
r2 d Rr 
2r dR  r 



R  r  dr 2
R  r  dr
2
Y  ,  
1  
1  Y  , 
Và
 Y  ,   0
 sin 
 2
sin   


 2
 sin 

Hàm R thỏa mãn phƣơng trình:
r 2 R"  2rR'   R  0

Nghiệm của phƣơng trình có dạng:
R  r   An r n 

Bn
r n1

trong đó n thỏa mãn phƣơng trình   n  n  1
Xét bài toán ngoài, do n nguyên, An  0  R 

Bn
r n1

Phƣơng trình Y có dạng:
 ,

1  
Y 
1  2Y
 Y 
 Y  0
 sin 

sin   
  sin 2   2

19


Hàm Y thỏa mãn điều kiện:

 Y  ,   Y  ,  2 


 Y  ,   , Y  ,   

Nghiệm phƣơng trình Laplace có dạng:
u  r , ,  

Yn  , 
R n1

Ngƣời ta định nghĩa hàm cầu là nghiệm của phƣơng trình:
1  
Yn 
1  2Yn
sin


 n  n  1 Yn  0


sin   
  sin 2   2

(2.33)


 Y  ,   Y  ,  2 


 Y  ,   , Y  ,   

Phƣơng trình trên còn đƣợc gọi là phƣơng trình xác định hàm cầu. Để giải
phƣơng trình hàm cầu, chọn
Y  ,        và thay vào (2.33) ta có:



d 
dP 
P d 2
 n  n  1 P  0
 sin 

sin  d 
d  sin 2  d 2



d 
dP 
1 d 2

 n  n  1  0

 sin 

Psin  d 
d  sin 2  d 2
1 d 2
 m2 , hàm  thỏa mãn phƣơng trình:
Chọn
2
 d

  "  m2  0



   2     

Và

1 d 
dP  
m2 
sin


n
n

1

P0

 


sin  d 
d  
sin 2  

Đặt x  cos  dx   sin d
Phƣơng trình (2.34) đƣợc đổi sang biến mới:
1 d 
dP  
m2 
sin


n
n

1

P0
 


sin  d 
d  
sin 2  

20

(2.34)



d 
m2 
2 dP 
 1  x     n  n  1  2  P  0
dx 
dx  
sin  

Đây là phƣơng trình xác định đa thức Legendre liên kết, nghiệm của phƣơng
trình là:
P  Pn

m

m

 x   1  x 2  2
 m

Hay P  Pn

d m Pn
,
dx m

 cos    sin  

m

m  n
d m Pn  cos 
d  cos 

m

Với mỗi n có n+1 nghiệm riêng của phƣơng trình đó là: Pn , Pn  , Pn  ,…, Pn  .
1

2

n

Với mỗi cặp nghiệm
cos m
tƣơng ứng với n+1 nghiệm, ta có 2n+1 nghiệm của hàm cầu
sin
m



m    

tuyến tính là:
1
 2


 Pn  cos  cos  
 Pn  cos  cos 2
Pn ,  1
,   2
,.....,
P
cos

sin

P
cos

sin
2





 n
 n


 m
n


 Pn  cos  cos m
 Pn  cos  cos n

,...,   n 
  m
P
cos

sin
m



 n
 Pn  cos  sin n



Trong đó m=1,2,…,n ;n=0,1,2…
Theo công thức trên, ta quy ƣớc 2n+1 hàm cầu là:
Yn0  cos   Pn  cos  ;

Yn 1  cos   Pn1  cos  cos
 1
1
 Yn  cos   Pn  cos  sin 
............................................
Yn  m   cos   Pn m   cos  cos m
  m
m
 Yn  cos   Pn  cos  sin m
............................................

21


Yn  n   cos   Pn n   cos  cos n
 n
n
 Yn  cos   Pn  cos  sin n
............................................

Vậy nghiệm phƣơng trình (2.33) có dạng:
n

Yn  ,     Amn cos m  C sin m Pn
m 0

m

 cos    CmnYn m  , 

 A  m  0
Trong đó Cmn   mn,
 Amn,  m  0 

Hàm Yn

0

   Pn  cos 

không phụ thuộc vào  đƣợc gọi là hàm đới, tức là

hình cầu chia thành n+1 miền vĩ tuyến, tại đó dấu của hàm đới đƣợc bảo toàn.
k 

Xét hàm Yn

 dk

 sin k
 sin   k Pn  t  
trên hàm cầu bởi vì sin 

cos
k

dt

 t cos 
k

 sin k
chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm 
chuyển bằng không tại các
cos
k



đƣờng kinh tuyến 2k.
Với 2n+1 hàm cầu trực giao và chuẩn hóa có thể khai triển hàm f  ,  bất kỳ

vào chuỗi các hàm cầu




n

f  ,   Yn  ,     Amn cos m  Bmn sin m Pn
n 0

n 0 m 0

22

m

 cos 