đề học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 -2014

Môn: Toán.

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức: A = 6 − 2 5 + 14 − 6 5
b. Tìm x; y thỏa mãn: 2 x + y − 2 xy − 4 x + 4 = 0
Câu 2: a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 5 x 4 + y 2 − 4 x 2 y − 85 = 0
 P = ( x + 2012 ) 5 + ( 2 y − 2013) 5 + ( 3 z + 2014 ) 5
b. Cho x ; y ; z là các số nguyên và 
 S = x + 2 y + 3 z + 2013.

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.
Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:

1
x + y + z =
2

1
1 1
1
= 4.
 2+ 2+ 2+
x
y
z

xyz

1 1 1
 + + >0
x y z

(

Tính giá trị của biểu thức: P = y

2009

+ z 2009 ) ( z 2011 + x 2011 ) ( x 2013 + y 2013 )

Câu 4: a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung
trực là O, trung điểm của BC là M.
Tính giá trị biểu thức:

IO 2 + OM 2
IH 2 + HA2

·
b. Cho góc xOy
. Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N.

Biết giá trị biểu thức

1
1
+

không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.
OM ON

Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: a. Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:
1
1
1
+
+
≤ 1.
x +1 y + 2 z + 3
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + z +
x+y+z
b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.
Chứng minh rằng:

x
y
z
1
+ 2
+ 2
≥
x − yz + 2013 y − zx + 2013 z − xy + 2013 x + y + z
2

-------------------- Hết ---------------------Họ và tên thí sinh ............................................................... SBD .............................

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ

đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 1/ Cho S =

1
1.2008

1

+

2.2007

So sánh S với 2.

+ ... +

1
k.(2008 k + 1)

+ .. +

1

2008.1

2008
2009

2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:
2008a
b
c
+
+
=1
ab + 2008a + 2008 bc + b + 2008 ca + c + 1
Bài 3: Cho x = 1 3 2 + 3 4 . Tính giá trị của P = x2009 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 2009

(

2
Bài 4: Giải phơng trình: x + 2009 + x

)(

)

2009 + x x = 2009

Bài 5: Cho 00 < < 900. Chứng minh rằng: sin 2008 + cos2009 < 1
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1

( 2a + b ) ( 2a + c )

+

1

( 2b + c ) ( 2b + a )

+

1

( 2c + a ) ( 2c + b )



1
ab + bc + ca

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R
Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đ ờng tròn
nội tiếp; ra là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p a) tg

A
=
2

S
Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. M chuyển động trên nửa đờng tròn. Xác định
vị trí điểm M để MA +

3 MB đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho dãy số { a n } đợc xác định theo công thức:
a1 = 2
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các

3
2
a n = 3a n 1 + 2n 9n + 9n 3; n = 2,3,...
tổng tơng ứng a1 + a2 + ... ap 1 đều chia hết cho p

2


----------------- Hết -------------

Hớng dẫn chấm
Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 m(2x + y) + 3 x = 0
2x + y = 0
x = 3

Với mọi m thì
3 x = 0
y = 6
1

Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh:

ab

1đ
1đ

2
a+b

0,5đ
áp dụng BĐT trên đợc: S

2
2
2
2008
+
+ ..... +
= 2.
2009 2009
2009
2009

1đ

2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có:

0,5đ

2008

b
bc
bc + b + 2008
+
+
=
=1
bc + b + 2008 bc + b + 2008 bc + b + 2008 bc + b + 2008

1đ

(

)

3
Bài 3: (2 đ) Từ x = 1 3 2 + 3 4 x 1 + 2 = 3 3 x = x 3 2

x3 3x2 + 9x 9 = 0

1đ

P = x2009 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 3x2 + 9x 9) + 2009 = 2009 1đ
Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0

0,5đ

Ta có 2009

(

2009 + x x = 2009

)

2009

(

2009 + x 2 + x = 2009

)

Cộng (1) và (2) suy ra: x =

(

(

)

0,5đ

)

0,5đ

2009 + x 2 x (1)
2009 + x + x (2)

x hay x = 0 và x = 1

Bài 5: (2 đ). Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < 1 với < 900
Nên sin2008 < sin2 và cos2009 < cos2 nên sin 2008 + cos2009 < 1
Bài 6: (2 đ)

1

( 2a + b ) ( 2a + c )

=

bc
bc

( 2ac + bc ) ( 2ab + bc ) ( ab + bc + ca ) 2 (Cauchy)

0,5đ
1đ
1đ
1đ

1
ca
1
ab

Tơng tự 2b + c 2b + a
2 ;
(

)(
) ( ab + bc + ca ) ( 2c + b ) ( 2c + a ) ( ab + bc + ca ) 2

0,5đ

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c

0,5đ

Bài 7: (2 đ). Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + 1 P(x + 1) (x + 1)2 = P(x) x2
Đặt Q(x) = P(x) x2, khi đó Q(x) = Q(x + 1)

0,5đ
0,5đ

3


Cho x = 0; 1; 2; ... nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = ... = Q(n) = ...

0,5đ

Suy ra phơng trình Q(x) Q(0) = 0 có vô số nghiệm. Do đó Q(x) Q(0) 0 P(x) x2 =
Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x2 + a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán
Bài 8: (2 đ). Chứng minh đợc S = (p a)ra và ra = p tg
S = p(p a) tg

A
2

1,5 đ

A
2

0,5đ

ã
Bài 9: (2 đ). Chứng minh đợc AMB
= 900. Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2
áp dụng BĐT: ax + by
Dấu = xảy ra khi

0,5đ

(a

2

)(

)

+ b 2 x 2 + y 2 ta có MA +

3 MB 4R

0,5đ
1đ

à = 600
3 MA = MB hay M ở vị trí sao cho A

0,5đ
3
3
3
2
Bài 10: (1 đ). Theo giả thiết a n + n = 3 a n 1 + ( n 1) = 3 a n 2 + ( n 2 ) = ...
n 1
= 3 ( a1 + 1) = 3n. Vậy nên an = 3n n3 với mọi n N*.

0,5đ

Với p = 2 thì a1 = 2 M 2

(

)

3
2
p 1
13 + 23 + ... + ( p 1)
Với p > 2 thì a1 + a2 + ... ap 1 = 3 + 3 + ... + 3


2
p 1
Do k 3 + ( p k ) Mp và 3 + 3 + ... + 3 =

3

PHềNG GIO DC V O TO

1 p
3 3 Mp nên a1 + a2 + ... ap 1 M p
2

(

)

0,5đ

K THI CHN HC SINH GII HUYN
4


KỲ ANH

LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2002 – 2003

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
x−y
x 2 y2
Bài 1 (6đ) Cho biểu thức : A = 2
y
x 2 − 2xy + y 2

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1 ; y = -1
Bài 2 (4đ)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = - x2 + x + 2
b) Giải phương trình : x 2 − 4x + 5 + 9y 2 − 6y + 1 = 1
Bài 3 (2đ) Cho các số tự nhiên : a, b, n , biết rằng : (kn – a) chia hết cho (k – b) với
mọi k nguyên dương, k ≠ b. Chứng minh : a = bn.
Bài 4 (5đ) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một đường thẳng d cố định nằm
ngoài (O) ; M là một điểm di động nằm trên đường thẳng d. Từ M kẻ các tiếp tuyến
MA, MB với đường tròn (O).(A, B là các tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc
của O trên d, dây cung AB cắt OH, OM tại I và K. Chứng minh rằng:
a) OI.OH = OK.OB = R2 ;
b) Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.
Bài 5 (3đ) Các đường cao của tam giác ba góc nhọn ABC cắt nhau tại O, trên các
· C = AC
· B = 90o . Chứng minh rằng: AB1
đoạn OB, OC lấy 2 điểm B1 và C1 sao cho AB
1
1
= AC1.
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ ANH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2003 – 2004

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
 2 x

x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷
÷: 
÷
x −3 x −9 ÷
 x +3
  x −3


Bài 1 (6đ) Cho biểu thức: A = 
a) Rút gọn A

b) Tìm x để A < −

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 2 (5đ) Giải các phương trình tìm các nghiệm nguyên x , y:
a) 2xy – x + y = 2
b) y2 = 1 + 9 − x 2 − 4x
Bài 3 (1,5đ) Số nào lớn hơn : (27112003!)2 hay 2711200327112003 ? ( n! = 1.2.3.4…n)
Bài 4 (6đ) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, d và d’ là các đường thẳng vuông
góc với AB lần lượt tại A và B. Trên d lấy một điểm M ≠ A. Đường thẳng qua O
vuông góc với MO cắt d và d’ lần lượt tại K và N.
a) Chứng minh rằng : ∆ MKN cân. b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi H là tiếp điểm của (O) và MN ; I là giao điểm của MB và AN. Chứng minh:
HI song song với BN.
Bài 5 (1,5đ) Cho tứ giác lồi ABCD. Xét hai tứ giác lồi F1 và F2 mà mỗi tứ giác mới
này có hai đỉnh đối diện là trung điểm các đường chéo và hai đỉnh kia là trung điểm
các cạnh đối của tứ giác ABCD. Biết rằng diện tích của F1 và F2 bằng nhau. Chứng
minh rằng : Một trong hai đường chéo của tứ giác ABCD chia diện tích của nó thành
hai phần bằng nhau.
5


HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ ANH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2004 – 2005

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức A =

x +1
x +1
: 2
.
x x +x+ x x − x

a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị của x để A ∈ ¢
Bài 2 : a) Tính giá trị của biểu thức A = 2 + 3 + 2 − 3

x2 +1
= x2 +1
b) Giải phương trình:
1− x
o
µ
Bài 3: Cho ∆ABC (A = 90 ) , đường cao AH, vẽ đường tròn (A ; AH). Từ B và C kẻ các

tiếp tuyến tới đường tròn với các tiếp điểm tương ứng là E, F.
a) Chứng minh : EF là tiếp tuyến của đường tròn đi qua qua A, B, C.
b) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ H xuống EF ; CE cắt BF tại K. Chứng
minh: K là trung điểm HI.
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, sao cho AB > AD và đỉnh C nằm trên đường phân giác
của góc A . Chứng minh : AB + CD > AD + CB.
Bài 5 : a) Với x > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =

x2 − x +1
x −1

b) Cho 2 số tự nhiên m và n. Biết m.n = 20032004. Hỏi m + n có chia hết cho
2004 hay không?
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ ANH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2005 – 2006

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : x2 – 1 có căn bậc hai;
A. x ≥ 1
B. x ≤ 1
C. −1 ≤ x ≤ 1
D. x ≤ 1 hoặc x ≥ 1
2

 1 
Câu 2: Giá trị của biểu thức A = 
÷ sẽ là: A. 1 +
 1− 2 

2 B. 3 2 C 1+ 3 2 D.

Khác
Câu 3: Cho ∆ ABC vuông tại A, biết: AC = 2AB; AM là đường cao. Tỉ số

MC
sẽ là:
MB

A. 2
B. 3
C.4
D.5
E. Một kết quả khác
2
Câu 4: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A = (x + x + 2004)(x2 + x + 2006) + 1
b) Giải phương trình: 3(x2 – x + 1) = (x + x − 1 )2
a2 − a

2a − a 2(a − 1)
−
+
Câu 5: Cho biểu thức: M =
a + a +1
a
a −1

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M

c) Tìm giá trị của a để P(a) =

2 a
M

∈¢

Câu 6: Cho ∆ ABC đều, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên AB và AC, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
6


a) CMR: ME + MF = AH. b) Gọi I là trung điểm AM. Tứ giác HEIF là hình gì?Vì
sao?
Câu 7: Cho ∆ ABC vuông tại A, kẻ phân giác AD. Chứng minh rằng:
a)

1

1
2
+
=
AB AC AD

1
1
1
+
≥
. HẾT
2
2
AB AC
AD 2

b)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ ANH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1 : Giá trị của biểu thức : M = ( 3 − 5 − 3 + 5 ) là :
A. 2

B. 2
C. – 2
D. – 2
Câu 2 : Kết quả rút gọn biểu thức A = (x + 2) 2 − 8x + 2 là :
A. 2x + 3
B. x
C. 4 – x
D. 4 – x và x
Câu 3 : Tam giác ABC có số đo diện tích và chu vi bằng nhau thì bán kính đường
tròn nội tiếp là : A. 1
B. 2
C. 3
D.4
1
khi đó sinx là :
2
3

Câu 4 : Góc nhọn x có tagx =
A.

1
5

B.

2
5

C.

5

D.

4
5

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 5: Cho biểu thức A(x) =

x − 2 x2
1 + 2x − 3x 2

a) Tìm các giá trị của x để A(x) xác định. Rút gọn A(x).
b) Chứng minh nếu x > 1 thì A(x).A(-x) < 0.
Câu 6 :
a) Giải phương trình : 2 − x 2 = x 2 − 3x + 3
1

1

1

b) Cho ax3 = by3 = cz3 và x + y + z = 1 (x , y, z ≠ 0).
Chứng minh : 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c.
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn, kẻ đường cao BM.
Chứng minh:

AC 2.AB2

=
.
MC
BC 2

Câu 8 : Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD, CD lần lượt lấy M, N sao cho :
DM =

2
1
DA, DN = DC. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán
3
2

kính AB.
7


Câu 9 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c ≥ 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a
b
c
+
+
.
b
c
a

HẾT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THẠCH HÀ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút

 2a + 1
  1 + a3
a
−
−
a

÷

÷
Bài 1 : Cho biểu thức : P =  3
÷
÷
 a − 1 a + a + 1   1 + a

a) Rút gọn P.
b) Xét dấu của biểu thức : P. 1 − a

Bài 2 : Cho hàm số y = m.x – m + 6
a) Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Chứng minh rằng : Khi m thay đổi thì đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

c) Khi m = ( 15 + 12 ) – ( 14 + 13 ) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Bài 3 : Chứng minh rằng :

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

= 2.

Bài 4 : Cho ∆ ABC vuông tại A. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung tuyến
AI. Các tia phân giác của các góc AIB và AIC cắt d lần lượt ở D và E.
a) Chứng minh: BCED là hình thang ;
b) Chứng minh: BC2 = 4.BD.EC ;
c) Một đường thẳng x di động qua trọng tâm G của tam giác cắt AB ở M, cắt bAC ở
N. Chứng minh rằng :

1
1
9
+
≥
.
2
2
AM
AN

BC 2

Bài 5 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: xy = 3(x + y).
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAN LỘC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007

Môn Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 9 − 4 5 − 9 + 4 5

b) B = 1 − a + a(a + 1) + a.

a −1
a

Bài 2 : Giải các phương trình sau :
a) 10 − 11x = 2006
b) x − 4 1 − x − 2 x(1 − x 3 ) − 2 x(1 − x) − 1 = 0
a
2

Bài 3 : Cho hình thang ABCD có đường cao AB = a, đáy nhỏ AD = ; đáy lớn BC
=2a; AC cắt BD tại O.
a) Chứng minh : AC và BD vuông góc với nhau ;
b) Gọi M là điểm đi động trên AB. Xác định vị trí của điểm M để ∆ MCD có chu vi

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Bài 4 : Cho ∆ AOB. Điểm M thuộc cạnh AB, kẻ MP, MQ lần lượt song song với OB,
OA ( P ∈ OA, Q ∈ OB )
8


a) Chng minh:

OP OQ
+
=1
OA OB

b) Gi I l giao im ca AQ v BP. Chng minh : Din tớch t giỏc OPIQ bng din
tớch tam giỏc AIB.
Bi 5 : Cho x, y, z l cỏc s tha món : xy + yz + zx = 2006. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc: P = x4 + y4 + z4.
HT
phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011
Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Cho biểu thức: P =

15 x 11

+

3 x 2

2 x +3

x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 7 x = x 5

b) x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1
Bài 3: Cho phơng trình: x 2 2(m + 1) x + 2m + 3 = 0 (Trong đó m là tham số )
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thoả mãn ( x1 x 2 ) 2 = 4
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, hãy tìm một hệ thức giữa hai nghiệm độc
lập với tham số m.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(Cung AB không chứa C, D). Dây ID, IC cắt AB lần lợt tại M và N
a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp
b) Đờng thẳng IC và AD cắt nhau tại E ; đờng thẳng ID và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng
FE song song với AB
Bài 5: Cho x, y 0 thoả mãn: x 2 + y 2 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

2


1
1
P = x + + y +
y
x

Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
----- Hết ---- THI HC SINH GII CP HUYN
Mụn: Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt
(khụng k thi gian phỏt )
Cõu 1: (5im) Rỳt gn biu thc:
a. A = 1 +

1
1
+
vi a > 0
2
a
(a + 1) 2

b. Tớnh giỏ tr ca tng B = 1 +

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 + 2 +
2
1 2

2
3
3
4
99
100 2

2
2
Cõu 2: (4im) Cho x + x + 2005 y + y + 2005 = 2005



2
2
a. Chng minh y + y + 2005 = x x + 2005 ; (2im)



b. Tớnh S = x + y. (2im)

9


Cõu 3: (3im) Gii phng trỡnh 3 + 2x 3 = x .
Cõu 4: (3,5im) Tỡm giỏ tr nh nht ca
A=

a2
b2

vi a > 1, b > 1.
+
a 1 b 1

Cõu 5: (4,5im)
Cho ng trũn tõm O, im K nm bờn ngoi ng trũn. K cỏc tip tuyn KA, KB vi ng
trũn (A, B l cỏc tip im). K ng kớnh AOC. Tip tuyn ca ng trũn (O) ti C ct AB E.
Chng minh rng: Cỏc tam giỏc KBC v OBE ng dng.
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
Đề chính thức

đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Cõu 1: (4 im)
a. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 l s chớnh phng.
b. Tỡm cỏc s nguyờn x x3 - 2x2 +9x - 9 chia ht cho x2 + 5
Cõu 2: (4 im)
x
1
x5 4 x3 3x + 9
=
a. Tớnh giỏ tr ca biu thc A =
vi 2
4
2
x + x +1 4
x + 3 x + 11
2
2

2
b. Cho ba s thc dng a, b, c tho món: a 1 b + b 1 c + c 1 a =

2
2
2
Chng minh rng: a + b + c =

3
.
2

3
2

Cõu 3: ( 3 im)
Gii phng trỡnh:

2 x 2 + 5 x + 12 + 2 x 2 + 3 x + 2 = x + 5 .

Cõu 4: (7 im)
T im P nm ngoi (O;R) k hai tip tuyn PA v PB vi A v B l cỏc tip im. Gi H
l chõn ng vuụng gúc h t A n ng kớnh BC ca ng trũn.
a. Chng minh rng PC ct AH ti trung im ca AH.
b. Tớnh AH theo R v PO = d.
c. ng thng a i qua P sao cho khong cỏch t O n ng thng a bng R 2 , ng
thng vuụng gúc vi PO ti O ct tia PB ti M. Xỏc nh v trớ ca im P trờn ng thng a
din tớch POM t giỏ tr nh nht.
Cõu 5: (2 im)
Cho ba s dng a, b, c tho món abc = 1. Chng minh rng:

10


1
1 + a2

+

1
1 + b2

+

1
1 + c2

≤

3
2

-HếtĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này gồm 01 trang)

 x −2
x + 2  x2 − 2 x + 1
−
Câu 1: (3 điểm) Cho A = 
÷
÷.
2
 x −1 x + 2 x +1 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x 2 − 8 x − 3 x 2 − 4 x − 8 = 18
b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2
( x + y )( x 2 − y 2 ) = 45
c) Giải hệ phương trình: 
( x − y )( x 2 + y 2 ) = 85
Câu 3 : (4 điểm)
a) Cho a + b + c = 0 , tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
P= 2 2
+ 2 2
+ 2
2
2
b +c −a
a + c − b a + b2 − c2
b) Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương.

Câu 4 : (5 điểm)
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)). Trên cung
nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và
AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị
không đổi ấy theo a và R.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần
lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác
BID.
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1  x 10 y 10  1 16
Q =  2 + 2  + ( x + y 16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2
2 y
x  4

Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4 điểm):

11


2

1 3

Chứng minh: x − x + 1 =  x − ÷ + với x > 0

2 4

1
Từ đó, cho biết biểu thức
có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Giá trị đó đạt được khi
x − x +1
x bằng bao nhiêu?
Bài 2. (3 điểm):
Một người đi bộ từ nhà đến sân ga. Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và thấy rằng
như vậy sẽ đến sân ga chậm 40 phút, vì thế trên quãng đường còn lại, người ấy đi với vận tốc 5km/h
nên đến sân ga sớm 5 phút. Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga.
Bài 3. (4 điểm):
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012.
Bài 4. (2 điểm):
Giải phương trình:

( 1+ x )

2 3

− 4 x3 = 1 − 3 x 4 .

Bài 5. (4 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ
dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm. Gọi T và E là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a) Tính độ dài TE.
b) Các đường thẳng vuông góc với TE tại T và E cắt BC theo thứ tự tại M và N. Chứng
minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác TENM.

Bài 6. (3 điểm):
µ = 1200 , AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn
Cho hình bình hành ABCD có A
góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ?
HẾT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán
Lớp: 9
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh :
a b
+ ≥2
a)
b a
1 1
1 1
1 1
b) a.  + ÷+ b.  + ÷+ c.  + ÷ ≥ 6
b c
c a
a b
Bài 2: (3,0 điểm)
 x+4
x   1+ 2 x
1 
−
:
−

Cho biểu thức A= 
÷

÷
÷  x−2 x
÷, với x > 0, x ≠ 4 .
x
−
4
2
+
x
x

 

a) Rút gọn A.

12


b) Tỡm x sao cho A < 1
Bi 3: (4,0 im)
Gii phng trỡnh.
a) x 6 x + 9 = 2
x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 x + 10 x + 12
+
+
=
+

+
17
15
13
11
9
7
n
n
+
18
n
Bi 4: (2,5 im) Tỡm s t nhiờn
v 41 l hai s chớnh phng.
Bi 5: (1,5 im) Chng minh a thc sau.
A = n3 + 3n2 + 2n chia ht cho 6, vi mi s nguyờn n
Bi 6: (6,0 im)
Cho tam giỏc ABC vuụng gúc ti nh A, ng cao AH. ng trũn ng kớnh BH ct cnh AB
ti im D v ng trũn ng kớnh CH ct cnh AC ti im E. Gi I,J theo th t l cỏc trung
im ca cỏc on thng BH, CH
b)

a,Chng minh bn im A,D,H,E nm trờn mt ng trũn . Xỏc nh hỡnh dng t giỏc ADHE.
b,Chng minh DE l mt tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn
c,Cho bit AB = 6cm, AC = 8cm. Tớnh di on thng DE?
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2010-2011
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1: ( 2,5 điểm )

1. So sánh :

2008
2009

+

2. Cho biểu thức B =

2009

và

2008
1
1

+

1
2

+

2008 + 2009
1
3

+ ... +

1
2010

. Chứng minh rằng B > 86

Câu 2: (1,0 điểm )
Chứng minh biểu thức : P = ( x 3 4 x 1) 2010 có giá trị là một số tự nhiên với

x=

3

10 + 6 3 .( 3 1)
6+2 5 5

Câu 3: ( 2,5 điểm )
1. Giải phơng trình sau: 2 x 1 + 2 = x
2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn y = x 2 + 4 x + 5
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đờng thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
1. Chứng minh :

1
1
1
+
=
2
2
AM

AK
AB 2

2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam
giác AMN.

13


3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK,
Q AK, R AI). Xác định vị trí điểm O để OP 2 + OQ 2 + OR 2 nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 a, b, c 2 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 9 .
THI HSG LP 9 CP HUYN
NM HC 2011-2012
MễN TON Thi gian lm bi 150 phỳt
Bi 1: ( 3,5 im)
Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú:
A = 7.52n + 12.6n chia ht cho 19
Bi 2: ( 2,5 im)
Tỡm s t nhiờn n sao cho: n + 24 v n 65 l hai s chớnh phng
Bi 3: ( 3,0 im)
Cho a, b > 0 v a + b = 1.
2

2

1
1

Chng minh rng : a + ữ + b + ữ 12,5
a
b

Bi 4: ( 3,0 im)
Cho x, y l hai s dng tha món : x2 + y2 = 4.
2

2


1
1
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : E = x + ữ + y + ữ
y
x


Bi 5: ( 4,0 im)
Cho tam giỏc ABC cú D l trung im cnh BC, im M nm trờn trung tuyn AD.
Gi I, K ln lt l cỏc trung im tng ng ca MB, MC v P, Q l cỏc giao im tng
ng ca cỏc tia DI, DK vi cỏc cnh AB, AC.
Chng minh: PQ // IK.
Bi 6: ( 4,0 im)
Cho tam giỏc ABC cú BC = a , CA = b , AB = c. Gi ng cao h t cỏc nh
A,B,C xung cỏc cnh BC , CA v AB tng ng l h a , hb , hc . Gi O l mt im bt k
trong tam giỏc ú v khong cỏch t O xung ba cnh BC , CA v AB tng ng l x , y v
z.
x
y

z
+ +
Tớnh M =
ha hb hc

CHNH
THC

THI CHN HC SINH GII HUYN
NM HC 2009 - 2010
MễN: TON - LP 9
Ngy thi: 08 thỏng 12 nm 2009
Thi gian lm bi 120 phỳt khụng k thi gian giao

thi cú 01 trang
Bi 1: (4,0 im)

1 2x + x 1 2x x + x x
1

+
ữ
ữ:
x 1 x
1+ x x
1 x


Cho biu thc A =

14


Vi x > 0; x

1
; x 1
4

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 17 12 2
c) So sỏnh A vi A .
Bi 2: (3,5 im) Chng minh rng:
a) 2

(

)

a b <

1
<2
b

(

)

b c Bit a; b; c l 3 s thc tha món iu kin:

a = b + 1 = c + 2 ; c >0.
b) Biu thc B = 1 + 20082 +

20082 2008
cú giỏ tr l mt s t nhiờn.
+
20092 2009

Bi 3: (3,0 im) Gii phng trỡnh
a) x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x 2 + 2x 3
b)

4x + 1 3x 2 =

x+3
.
5

Bi 4.(8,0 im)
Cho AB l ng kớnh ca ng trũn (O;R). C l mt im thay i trờn ng trũn (C
khỏc A v B), k CH vuụng gúc vi AB ti H. Gi I l trung im ca AC, OI ct tip tuyn ti A
ca ng trũn (O;R) ti M, MB ct CH ti K.
a) Chng minh 4 im C, H, O, I cựng thuc mt ng trũn.
b) Chng minh MC l tip tuyn ca (O;R).
c) Chng minh K l trung im ca CH.
d) Xỏc nh v trớ ca C chu vi tam giỏc ACB t giỏ tr ln nht? Tỡm giỏ tr ln nht ú
theo R.
Bi 5: (1,5 im) Cho M =

(

3+ 2

)

2008

+

(

3 2

)

2008

a) Chng minh rng M cú giỏ tr nguyờn.
b) Tỡm ch s tn cựng ca M.
Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh.
phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 1/ Cho S =

1
1.2008

+

So sánh S với 2.

1
2.2007

+ ... +

1
k.(2008 k + 1)

+ .. +

1
2008.1

2008
2009

2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:

15


2008a
b

c
+
+
=1
ab + 2008a + 2008 bc + b + 2008 ca + c + 1
Bài 3: Cho x = 1 3 2 + 3 4 . Tính giá trị của P = x2009 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 2009

(

2
Bài 4: Giải phơng trình: x + 2009 + x

)(

)

2009 + x x = 2009

Bài 5: Cho 00 < < 900. Chứng minh rằng: sin 2008 + cos2009 < 1
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1

+

1

1

+

( 2a + b ) ( 2a + c ) ( 2b + c ) ( 2b + a ) ( 2c + a ) ( 2c + b )



1
ab + bc + ca

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R
Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đ ờng tròn nội
tiếp; ra là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p a) tg

A
=S
2

Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. M chuyển động trên nửa đờng tròn. Xác định vị trí
điểm M để MA +

3 MB đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho dãy số { a n } đợc xác định theo công thức:
a1 = 2
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các

3
2
a n = 3a n 1 + 2n 9n + 9n 3; n = 2,3,...
tổng tơng ứng a1 + a2 + ... ap 1 đều chia hết cho p
----------------- Hết ------------đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán
Năm học 2005-2006

Thời gian làm bài 90 phút
Câu I. Tìm tập hợp số hữu tỷ x để

x 2 + 4 là số hữu tỷ ?

Câu II. x, y, z là các số thực dơng thoả mãn

1 4 9
+ + = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y
x y z

+z
Câu III. Giải phơng trình:

81x4 + 5 = 3 3 102 x 3 + 12 x

Câu IV. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vợt quá a, kí
hiệu: [ a ] . Tìm x thoả mãn:
5x + 6 15 x 7
8 =
5



16


Câu V. Cho hình vuông ABCD, trên đờng chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và
MC. Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD, đờng thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K.
Chứng minh: IB.AK = DQ.CN

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 + 2 2008 2009 2 2008

( 2008

2

Q=

)(

)

2014 . 20082 + 4016 3 .2009

2005.2007.2010.2011
10a 3b 2 + ab = 0
2a b 5b a 9
+
=
Bài 2: Biết
. Chứng minh rằng:
3a b 3a + b 5
b > a > 0
Bài 3: Chứng minh rằng với < 450, ta có sin2 = 2sin. cos.
ã
Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC

= 60 0 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc). Hình chữ
nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ
nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó
19b 3 - a 3 19c3 - b 3 19a 3 - c3
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
+
+
3(a + b + c)
ab + 5b 2 cb + 5c2 ac + 5a 2
---------------------- Hết ----------------2

đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. Tìm x, y N* sao cho:
a) xy - 3x + y = 20;

b)

x+y 3
=
x 2 + y2 5

Câu 2. Cho các số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
a) Chứng minh

1 1 1
+ + 6
a 2 b2 c2

b) Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b c
+ +
b3 c3 a 3

Câu 3. a) Tìm phần d R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x)
= x3 - x
b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết x [ 1,1] thì f (x) 1

3x 2 + 12x + 16 + 4x 2 + 16x + 25 = 1 x 2 4x
à > 900) B
à =C
à = , H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc
Câu 5. Cho tam giác cân ABC ( A
với AC (D AC). Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
a) Sin2 = 2 sin .cos
Câu 4. Giải phơng trình:

17


b) O là trung điểm của HD.
Phòng gd-đt đức thọ
đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007
môn toán lớp 9

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. Rút gọn biểu thức: (

1 y y

1 y 2
+ y )(
)
1 y
1 y

Câu 2.Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y 2 5 = 17 x 2
Câu 3. Cho đa thức:
P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết:
P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25
a) Tìm P(6) ?
b) Tìm các hệ số a, b, c, d, e của đa thức P(x) ?
1
1
+
) 4 . Trong đó x > 0 và y > 0.
Câu 4. a) Chứng minh: (3x + 3y)(
x + 2 y 2x + y
a2
b2
+
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2
b + (a + b ) 2 a 2 + (a + b ) 2
Trong đó a và b là các số thực khác không.

Câu 5. Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đờng cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3
cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Chứng minh: CD 2 = AC 2 + BC 2

S GIO DC V O TO
H TNH
CHNH THC

K THI CHN HC SINH GII TNH
LP 9 THCS - NM HC 2010 - 2011

Mụn Toỏn
Thi gian lm bi : 150 phỳt
Ngy thi: 17 / 03 / 2011

Bi 1. Cho phng trỡnh: x
3

1
1
(m + 1)(x ) + m 3 = 0 .
3
x
x

a) Gii phng trỡnh khi m = 2.
b) Tỡm m phng trỡnh cú ỳng hai nghim dng phõn bit.
Bi 2. a) Cho a, b, c l nhng s nguyờn tha món iu kin:
2

1 1 1
1 1 1
+ + ữ = 2 + 2 + 2.
b c
a b c a
Chng minh rng a 3 + b3 + c3 chia ht cho 3.
b) Gii phng trỡnh: x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0 , bit rng a, b l cỏc s hu t
v 1 + 2 l mt nghim ca phng trỡnh.
18


Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: x + y = 2011 .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x + y) + y(y + x)
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R
di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON
cắt đường thẳng AB tai E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB tại
F.
a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng .
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để
tam giác MKN có chu vi lớn nhất.
Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc = 1 . Chứng minh :
2

2

a3
b3
c3
3

+
≥ .
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4

_________ Hết ________
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
LỜI GIẢI MÔN TOÁN LỚP 9
(Lời giải gồm 02 trang)
Bài

Đáp án
1
1
− (m + 1)(x − ) + m − 3 = 0 (1). Đk: x ≠ 0 .
3
x
x
1
1
1 3
1
3
Khi m = 2: (1) trở thành x − 3 − 3(x − ) − 1 = 0 ⇔ (x − ) = 1 ⇔ x − = 1
x
x
x
x

⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 5 (thoả mãn)
2
1
1
3
3
b) Đặt x − = t (2), ta có : x − 3 = t + 3t .
x
x
3
Khi đó (1) trở thành : t − (m − 2)t + m − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t − m + 3) = 0 (3)
 t = 1.
⇔
2
g(t) = t + t − m + 3 = 0 (4)
3
a) x −

Bài 1

19


Từ (2) ta được x 2 − tx − 1 = 0 , với mỗi giá trị tùy ý của t, phương trình này luôn có đúng 1 nghiệm
dương (nghiệm còn lại âm), mà (3) đã có 1 nghiệm t = 1, nên để (1) có đúng 2 nghiệm dương phân
biệt thì điều kiện cần và đủ là : Phương trình (4) hoặc có nghiệm kép t ≠ 1 hoặc có 2 nghiệm phân
biệt, trong đó có 1 nghiệm t = 1 . Điều đó tương đương với :
11
∆ = 0
4m − 11 = 0 

∆ > 0
11


m >
; 
⇔ 1
;
4 ⇔m=
; m = 5 (cả 2 giá trị thoả mãn)
 b
4
 − 2a ≠ 1 g(1) = 0
− 2 ≠ 1
 m = 5
11
Vậy cácgiá trị của m cần tìm là m = ; m = 5.
4
1 1 1 2 1 1 1
1 1 1
a) Từ giả thiết ( + + ) = 2 + 2 + 2 ⇒ 2( + + ) = 0 ⇒ a + b + c = 0
a b c
a
b c
ab bc ca
3
3
3
3
⇒ a + b = −c ⇒ a + b + 3ab(a + b) = −c ⇒ a + b 3 + c3 = 3abc (*)

Từ (*) dễ thấy khi a, b, c ∈ Z thì (a 3 + b3 + c3 )M3 , đpcm.
b) x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0 (1)
Do x = 1 + 2 là nghiệm của (1) nên: (1 + 2)3 + a(1+ 2) 2 + b(1 + 2) + 1 = 0
Biến đổi và rút gọn, ta được: (3a + b + 8) + (2a + b + 5) 2 = 0 (2)
3a + b + 8 = 0
 a = −3
⇔
Do a, b là các số hữu tỷ nên (2) chỉ xảy ra khi và chỉ khi 
 2a + b + 5 = 0
b = 1
Thay các giá trị của a, b vào (1), ta có: x 3 - 3x 2 + x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 −2x − 1) = 0 .

Bài 3

⇔ x = 1; x = 1 ± 2 . Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm là: x = 1; x =1 ± 2
Có thể giả sử: x > y, suy ra: 1006 ≤ x ≤ 2010 (1). Đặt 2011 = a.
Khi đó: P = (x 3 + y3 ) + 2xy = (x + y)3 − 3xy(x + y) + 2xy = a 3 − 3x(a − x)a + 2x(a − x)
1 2 1 2
2
3
3
P = (3a − 2)x 2 − (3a 2 − 2a)x + a 3 (3a − 2)(x − ax) + a = (3a − 2)[(x − a) − a ] + a
2
4
1 2
1
3
2
P = (3a − 2)(x − a) + [a − a (3a − 2)] (2)
2

4
1
1
Vì 3a - 2 >0, x − a > 0 (do (1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2, X = x − a ) đồng biến
2
2
khi X > 0, suy ra P là hàm số đồng biến
Suy ra: Giá trị lớn nhất của P đạt được tại x = 2010 (y =1) và max P = 8 120 605 021.
Giá trị nhỏ nhất của P đạt được tại x = 1006 (y = 1005) và min P = 2 035 205 401.
a)
Từ giả thiết suy ra:
M
·
·
(đồng vị)
MEO
= NOF
·
·
(đồng vị)
MOE
= NFO
nên ∆EMO ~ ∆ONF
N
K
ME OM
=
⇒ ME.NF=OM.ON
ON
NF

E
A
F
B
O
ME MN
=
⇒ ME.NF=MN 2 ⇒
(1)
NM NF
0
·
·
Ta có EMN
= 120 (cùng bù với MNO
= 60o do ME//ON)
·
·
·
Tương tự FNM
(2)
= 1200 nên EMN
= FNM
Từ (1), (2) ta được ∆MNE ~ ∆NFM
b)
⇒

20

Ta cú :
ã
ã
ã
ã
ã
MKN
= MEK
+ EMK
= KMN
+ EMK
ã
= EMN
= 1200 . nờn K thuc cung cha gúc
0
120 dng trờn on MN.
Trờn tia MK, ly im I sao cho
KI = KN thỡ tam giỏc IKN l tam giỏc u
nờn MK + KN = MI.

I

K

Bi 4

0

120
M

Bi 5

N

Do I thuc cung cha gúc 600 ca ng trũn i qua 3 im M, N, I nờn MI ln nht
(tc chu vi tam giỏc MKN ln nht, vỡ cnh MN = R khụng i) khi v ch khi MI l
ã
ã
ng kớnh, khi ú K l trung im ca cung MN nờn MNK
= 300 MEN
= 300 E A
MN / /AB ú l v trớ cn xỏc nh ca dõy MN.
3
Gi v trỏi ca bt ng thc cn chng minh l P, ta cn chng minh P
(1)
4
p dng bt ng thc Cụ si cho 3 s dng, ta cú:
a3
1+ b 1+ c 3
a3
1+ b 1+ c
a 3 (1 + b)(1 + c)

+
+
a (2)
+
+
33

(1 + b)(1 + c)
8
8
4
(1 + b)(1 + c)
8
8
64(1 + b)(1 + c)
b3
1+ c 1+ a 3
c3
1+ a 1+ b 3
+
+
b (3) ,
+
+
c (4)
(1 + c)(1 + a)
8
8
4
(1 + a)(1 + b)
8
8
4
Ly (2) + (3) + (4) theo tng v ri rỳt gn v ỏp dng tip bt ng thc Cụ si, ta c:
3 1
1
3

3
P + (a + b + c) .3 3 abc = P , pcm. (Du = xy ra a = b = c = 1 )
4 2
2
2
4
Tng t, ta cú:

____________ Ht ___________

sở giáo dục và đào tạo
hà tĩnh

kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 thcs năm học 2011-2012
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

đề thi chính thức

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 29 12 5
3
2

= 7 20 3
b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn
a+b 3 ab 3

Bài 2:

a) Giải phơng trình: x 2 x + 12 1 x = 36
( x + 1) ( y + 1) = 10

b) Giải hệ phơng trình:
xy 1 = 3
x + y

(

)(

)

Bài 3: Cho 3 số m, n, p thỏa mãn điều kiện:
21


m2 m2
p 2 p 2 + n2 n 2
m + n = 2 + 2 = 2 và 2 +
+ 2 =4
n
p
n
m2
p
2
3

Tính giá trị của biểu thức Q = m + n + p 4
2

2

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, trên cung nhỏ AC của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, lấy điểm D khác A, C. Gọi K, H lần lợt là hình chiếu của D trên các
đờng thẳng BC, AB. I là giao điểm của KH và AC
a) Chứng minh DI AC và HK < AC
b) Lấy điểm E là trung điểm AB. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE cắt
IK tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của IK
2
2
Bài 5: Cho hai số thực x, y 0 thỏa mãn ( x + y + 1) xy = x + y
1 1
Tìm GTLN của biểu thức A = 3 + 3
x y

--------------------------- Hết -----------------------S GIO DC V O TO
H TNH

K THI CHN HC SINH GII TNH
LP 9 THCS NM HC 2012 -2013
Mụn: TON
Thi gian lm bi : 150 phỳt

CHNH THC

( cú 01 trang)

Bi 1. a) Tớnh giỏ tr biu thc:

M = ( x y ) + 3( x y ) ( xy + 1) , bit
3

x = 3 3 + 2 2 3 3 2 2 , y = 3 17 + 12 2 3 17 12 2 .

b) Gii phng trỡnh:
2x
x
5
2
= .
x x +1 x + x +1 3
2

Bi 2. a) Gii h phng trỡnh:
x 2 + y 2 + 3 = 4 x
.
3
x + 12 x + y 3 = 6 x 2 + 9

b) Tỡm cỏc s t nhiờn a, b, c phõn bit sao cho biu thc sau nhn giỏ tr nguyờn
P=

( ab 1) ( bc 1) ( ca 1)
abc

.

Bi 3. Tam giỏc ABC cú chu vi bng 1, cỏc cnh a, b, c tho món ng thc:
a
b
c
3
+
+
= .
1 a 1 b 1 c 2

Chng minh tam giỏc ABC u.

22


Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M
bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N
xuống đường thẳng PD.
a) Chứng minh AH vuông góc với BH.
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng
minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F=

(

x4
y4

z4
+
+
.
x 2 + y 2 ( x + y)
y 2 + z 2 ( y + z ) z 2 + x 2 ( z + x)

)

(

)

(

)

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................................................ Số báo danh: ............................

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Bài
Đáp án
2

Bài 1 a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y).
5,0 điểm
Áp dụng ( a − b ) 3 = a 3 − b 3 − 3ab( a − b ) ta có:
3

3
3
3
x 3 =  3 + 2 2 − 3 − 2 2  = 4 2 − 3 x ⇒ x + 3 x = 4 2



Điểm
0.5
0,75

3

y 3 =  3 17 + 12 2 − 3 17 − 12 2  = 24 2 − 3 y ⇒ y 3 + 3 y = 24 2



Vậy M = − 20 2 .
b) 2,5 điểm
Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình.
2
1
5
−
=

Với x ≠ 0 , ta có pt đã cho ⇔ x + 1 − 1 x + 1 + 1 3 (1)
x
x
1
2
1
5
t +3 5
−
= ⇔ 2
=
Đặt x + = t thì t ≥ 2 . Pt (1) trở thành
x
t −1 t +1 3
t −1 3
t = 2
2
⇔ 5t − 3t − 14 = 0 ⇔ (t − 2)( 5t + 7 ) = 0 ⇔ 
t = − 7 .
5

1
Chỉ có t = 2 thoả mãn, khi đó x + = 2 ⇔ x = 1 (t/m). Vậy pt có một nghiệm là
x

0,75
0.5
0.5

1.0

1.0

23


x = 1.
Bài 2 a) 2.5 điểm
5,0 điểm

2
2
( x − 2 ) 2 + y 2 = 1
a + y = 1
⇔
a
=
x
−
2
Hệ pt
. Đặt
, hệ trở thành  3 3 .

a + y = 1
( x − 2) 3 + y 2 = 1
− 1 ≤ a , y ≤ 1
− 1 ≤ a, y ≤ 1 (1)
⇒ 2
⇔ 2
.

2
3
3
2
a + y = a + y
a (1 − a ) + y (1 − y ) = 0 ( 2)
Từ (1), suy ra (2) có vế trái ≥ 0 , dấu bằng xảy ra ⇔ a2(1-a) = y2(1- y) = 0.
a = 0
a = 1
x = 2
Kết hợp a 2 + y 2 = 1 ta có 
hoặc 
. Thay vào ta có nghiệm 
;
y = 1
y = 0
y = 1
x = 3
.

y = 0

0.5
1.0

1.0

b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c ≠ 0 .
1
a

1
b

1
c

Ta có P = abc − a − b − c + + + −

1
1 1 1
1
, nên P nguyên ⇔ S = + + −
abc
a b c abc

0.5

nguyên.
Không mất tính tổng quát, giả sử 1 ≤ a < b < c ⇒

1 1 1
1
+ + −
< 3 hay S < 3.
a b c abc

1 1 1 1
1
⇒ S > 0. Do đó S = 1 hoặc S = 2.

Hơn nữa ta có + + > >
a b c a abc
1 1 1
1
1 1 1
3
3
+) S = 1. Ta có 1 = + + −
< + + < ⇒ >1 ⇒ a =1 hoặc a = 2.
a b c abc a b c
a
a
1 1 1
1 1 1
⇒ + Với a = 1 ⇒ 1 = 1 + + = 0 không xảy ra.
b c bc
b c bc
1 1 1 1
1 1 1
1
2 1
⇔ + Với a = 2 ⇒ 1 = + + = . Suy ra > ⇒ b < 4.
2 b c 2bc
b c 2bc
2
b 2
⇒
2
<
b

<
4
Từ đó
b = 3. Thay vào được c = 5. Vậy a = 2, b = 3 , c = 5.
1 1 1
1
1 1 1
3
3
+) S = 2. Ta có 2 = + + −
< + + < ⇒ a < ⇒ a =1.
a b c abc a b c
a
2
1 1 1
2
Thay vào được + - = 1 ⇒ >1 ⇒ b =1 loại vì không thỏa mãn b > a.
b c bc
b

0,5

0,5

0,5

0,5

Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:
(2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3).

Bài 3
2,5 điểm

b + c = x
y+z−x
x+z− y
x+ y−z

,b =
,c =
.
Đặt c + a = y thì x, y, z dương và a =
2
2
2
a + b = z

a

b

c

a

b

c

Ta có: 1 − a + 1 − b + 1 − c = b + c + c + a + a + b =

y+z−x x+z− y x+ y−z
+
+
2x
2y
2z

0,5
0,5

1 y x 1 z x 1 z y 3
3 3
 +  +  +  +  +  − ≥ 1 + 1 + 1 − = .
2 z y 2 x z 2 y z  2
2 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z .

1,0

Với x = y = z thì a = b = c hay tam giác ABC đều.

0,5

=

24


Bài 4

5,0điểm

a) 2.5 điểm

C

Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD tại E.
Ta có BE = PC = BN.
Do ∠NBE = ∠NHE = 90 0 nên B, H cùng thuộc
đường tròn đường kính NE. Suy ra
∠NHB = ∠NEB = 45 0 (1).
Tương tự hai điểm A, H cùng thuộc đường tròn
đường kính PN, suy ra ∠AHN = ∠APN = 45 0 (2).
Từ (1) và (2) suy ra ∠AHB = 90 0 hay ta có
AH ⊥ BH .

x

H
P

E

D
M

N

A

B

I

b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy ra ∠AIB = 90 0 nên I là điểm chính giữa của cung
AIB của đường tròn đường kính AB.
Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của ∠AHB và ∠AHB là
góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải đi
qua I.
Do đó 3 điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5
2,5 điểm

(
)

)

2x 4
x4 + y4 + x4 − y4
x4 + y4
=
=
+x− y
Ta có 2 2
x + y ( x + y)
x 2 + y 2 ( x + y)
x 2 + y 2 ( x + y)
1 2
x + y2

1
5
3
2
≥
+ x − y ≥ ( x + y) + x − y = x − y .
x+ y
4
4
4
4
4
2y
5
3
2z
5
3
≥ y− z, 2
≥ z− x.
Tương tự 2 2
2
4
4
y + z ( y + z) 4
z + x ( z + x) 4
5
3
x+ y+z 1
1

= ⇒ F ≥ . Dấu bằng xảy ra khi
Vậy 2F ≥ ( x + y + z ) − ( x + y + z ) =
4
4
2
2
4
1
1
x = y = z = . Vậy giá trị nhỏ nhất của F là .
3
4

(

)

(

(

(

)

)

(

(

)

0,5

1,0

1,0

1,0
1,5

1,0

1,0

)

0,5

_____________ Hết ___________
Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THẠCH HÀ

ĐỀ CHÍNH
THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 9

NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 23 / 11 / 2012

3
Bài 1. a) Rút gọn biểu thức: A = 1 + 3 + 3 + 10 + 6 3

2

25