Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 22

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – THPT
Thời gian: 180 phút
Bài 1: ( 2 điểm) Cho hàm số:
1
1)1(
2
−
+−
=
x
x
y
(C)
a. Chứng minh giao điểm I của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
b. Viết phương trình 2 đường thẳng qua I có hệ số góc nguyên sao cho chúng cắt (C)
tai 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 2: (2 điểm)
Tính tích phân:
∫
≠
+
=
2
0
2222
)0,(
sincos
π
badx
xbxa
SinxCosx

I
Bài 3: ( 2 điểm) Cho họ parabol (P
m
) có phương trình:
y=2006x
2
+mx – 2004 m
2
+2003m -2005.
Gọi (C
m
) là đường tròn đi qua các giao điểm của (P
m
) với các trục toạ độ. Chứng minh khi
m thay đổi (C
m
) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: ( 2điểm) Giải phương trình:

xxx
−++=+
24422169
2
Bài 5 (2 điểm)
Giải hệ



=+
=

2coscos3
sin5sin
yx
xy
Bài 6: (2đi ểm)Tam giác ABC có góc A tù thoả mãn cos3A + cos3B +cos 3C=
2
3
Tính các góc của tam giác ABC
Bài 7: (2 điểm) Tìm giới hạn của dãy x
n+1
=
2
1
−
+
nn
xx
với x
1
=0, x
2
=1
Bài 8: ( 2 điểm) Cho phương trình
04)1lg(.)1(2)1(lg)1(
22222
=+++−−+−
mxxmxx
a. Giải phương trình với m=4
b. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x thoả
mãn

31
≤≤
x
Bài 9: (2 điểm). Đường thẳng 2x – 2y -3 =0 cắt parabol có tiêu điểm F(
)1;
2
3
và đường
chuẩn y = -1 tại 2 điểm A và B. Tìm trên cung AB của parabol điểm C sao cho ∆ABC có
diện tích lớn nhất
Bài 10:(2 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà các số đó chia hết cho 18
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12
MÔN TOÁN
(Thời gian: 180 phút)
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
(2điểm)
a.(0.5điểm)
- Tiệm cận đứng: x = 1
Tiệm cận xiên: y = x+1
⇒ I (1;0)
- Xét phép chuyển hệ trục
X
X
XY
yY
xX
1
)(
1

2
+
=⇒



=
+=
là hàm lẻ trên R \{0}
⇒ I (1;0) là tâm đối xứng của (C )
b.(1.5 điểm)
- Phương trình 2 đường thẳng cần tìm có dạng:
Yy= k
1
(x-1) : (d
1
) ; y=k
2
(x-1) (d
2
) (k
1
≠k
2
, k
1
,k
2
∈Z)
- Gọi A

1
, B
1
là giao điểm của (d
1
) và (C )
A
2
, B
2
là giao điểm của (d
2
) và (C )
A
1
(x
1
;y
1
), A
2
(x
2;
y
2
) thuộc nhánh nằm bên phải tiệm cận đứng của
( C)
Khi đó:






−=
−
+=
)1(
1
1
1
111
1
1
xky
k
x






−=
−
+=
)1(
1
1
1
222

2
2
xky
k
x

(k
1
,k
2
,x
1
,x
2
>1)
A
1
,A
2
,B
1
,B
2
là hình bình hành  là hình chữ nhật ⇔ IA
1
=IA
2
⇔
IA
1

2
=IA
2
2

- IA
1
2
= (x
1
-1)
2
+k
1
2
(x
1
-1)
2
- IA
2
2
= (x
2
-1)
2
+k
2
2
(x

2
-1)
2
IA
1
2
=IA
2
2

1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
−
+
=
−
+
⇔
k
k
k
k

⇔ (k
1
-1) (k
2
- 1) =2
Giả sử k
1
> k
2
>1, do k
1
,k
2
∈ Z
Nên



=
=
⇔



=−
=−
2
3
11
21

2
1
2
1
k
k
k
k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Vậy hai đường thẳng cần tìm có phương trình : y =2(x-1) và y =
3(x-1)
Bài 2
(2 điểm)
- Nếu a
2
= b
2
:
a
dx
a
xx
I
2
1cossin
2
0

==
∫
π
- Nếu a
2
≠ b
2
Đặt t = a
2
cos
2
x

+ b
2
sin
2
x ⇒ dt=2(b
2
– a
2
) sinxcosx dx
ba
t
ab
t
dt
ab
I
b

a
b
a
+
=
−
=
−
=⇒
∫
11
)(2
1
2
2
2
1
2222
Kết luận:
ba
I
+
=
1

0.5 đ
1.0 đ
0.5 đ
Bài 3
( 2 điểm)

- Dễ thấy (P
m
) cắt trục tung tại điểm T(0; t) với
t = - 2004 m
2
+2003m – 2005 <0 , cắt trục hoành tại 2 điểm
H
1
(x
1
; 0), H
2
(x
2
;0) với x
1
,x
2
là hai nghiệm trái dấu của phương
trình.
2006x
2
+mx -2004 m
2
+2003 m -2005 = 0
- Xét giao điểm thứ 2 của (C
m
) với trục tung là T’ (0; t’) thì

)

2006
1
;0('
2006
1.
'
'..'..
21
2121
T
t
xx
t
ttxxOTOTOHOH
⇒==⇔
=⇔=
Vậy (C
m
) luôn đi qua điểm cố định (0;
2006
1
)
0.5 đ
1.0 đ
0.5 đ
Bài 4
(2 điểm)
Điều kiện -2 ≤ x ≤ 2
Bình phương 2 vế thu được :
- 9x

2

- 8x +32 +8
2
832 x
−
=0
Đặt t=
2
832 x
−
(t ≥ 0) được t
2
- 8t -x
2
- 8x = 0
⇔ t = x hoặc t = - x - 8 (loại)
Với t = x thì
2
832 x
−
=x
3
24
9
32
0
2
=⇔






=
≥
⇔
x
x
x
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất x=
3
24
0.5 đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 5
(2điểm)
Từ hệ phương trình ta có:
sin
2
y+cos
2
y=25sin
2
x+4 - 12 cosx + 9 cos
2
x
⇔ 16 cos

2
x + 12 cosx -28 =0
⇔ cosx = 1 hoặc cos x = -
4
7
(loại)
1.0 đ
Với cos x =1 thay vào hệ ban đầu được
1cos
1cos
0sin
−=⇔



−=
=
y
y
y
Vậy hệ có nghiệm



+=
=
π
π
)12(
2

my
kx
(k,m ∈Z)
0.5 đ
0.5 đ
Bài 6
(2 điểm)
Từ giả thiết ta có:







=−
±=
⇔







=
−
=
−
+

⇔
=
−
+
−
+⇔
=−−
−+
3
2
2
1
2
3
sin
0
2
33
sin
0
2
33
cos
2
3
sin2
0)
2
33
(sin)

2
33
cos
2
3
sin2(
01
2
3
sin2)
2
33
cos().
2
33
cos(2
22
2
π
k
BA
C
BA
BAC
BABAC
CBABA
Do A là góc tù nên B, C là góc nhọn
Do đó C=
9
π

và A- B =
3
2
π
Vậy A = 140
0
, B=C= 20
0
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5 đ
Bài 7
(2 điểm)
Bằng quy nạp chứng minh được x
k
-x
k-1
= (- 1)
k-2
.
2
12
2
−
−
k
xx
Với k≥2
Bằng phép cộng liên tiếp ta có:

x
n
-x
1
=(x
2
-x
1
) .(
2
2
2
2
)1(
...
2
1
2
1
1
−
−
−
+−+−
n
n
)
=
2
12

2
12
2.3
.)1()(
3
2
−
−
−
−−−
n
n
xx
xx
−
−
=⇒
3
2
12
xx
x
n
2
12
2
2.3
.)1(
−
−

−
−
n
n
xx
1.0 đ
0.5 đ
0.5 đ
Vậy
3
2
3
2
lim
12
=
−
=
∞→
xx
x
n
n
Bài 8:
(2 điểm)
a. (0.5 điểm)
Với m = 4 phương trình có dạng:
08)1lg(.)1(24)1(lg)1(
22222
=++−−+−

xxxx
(1)
- Điều kiện
1
≥
x
- Đặt
)0()1lg(.)1(2
22
≥+−=
txxt
Thì (1) trở thành
084
2
2
=+−
t
t
⇔ t
2
– 8t +16 = 0 ⇔ t = 4
- Khi t = 4 thì
81222
10)1(8)1lg(.1
2
=+⇔=+−
−
x
xxx

812
)28(]2)1[(
2
+=+−⇔
−
x
x
⇔ x
2
– 1 = 8 ⇔ x = ±3
b.( 1.5 điểm)
Đặt u =
x
thì t(u) =
)1lg(.)1(2
22
+−
uu
đồng biến trên
[1;3] và với mỗi u
∈
[1;3] có đúng 2 giá trị của x:
1 ≤
x
≤ 3
Khi đó t(u) ∈ [0 ;4]. Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x
thoả mãn: 1 ≤
x
≤ 3 thì phương trình:
(1) : t

2
– 2mt +2m +8 = 0 có đúng 1 nghiệm ∈ [0 ; 4]
Đưa (1) về dạng: t
2
+8 = 2m (t – 1) ⇔
m
t
t
2
1
8
2
=
−
+
và lập bảng
biến thiên của hàm
f(t)=
1
8
2
−
+
t
t
trên [0;4]\ {1}
⇒ Các giá trị cần tìm của m là :
4
≥
m

0.5 đ
0.5 đ
1.0 đ
Bài 9:
(2điểm)
- M (x; y) ∈ (P) thì d(M,∆) = MF (∆ là đường chuẩn)
⇒ phương trình của parabol :

16
9
4
3
4
1
2
+−=
xxy

- Toạ độ A, B là nghiệm của hệ

)4;
2
11
();0;
2
3
(
16
9
4

3
4
1
0322
2
BA
xxy
yx
⇒





+−=
=−−
-
Diện tích ∆ ABC lớn nhất khi khoảng cách từ C đến đường
thẳng AB lớn nhất ⇒C là tiếp điểm của tiếp tuyến song song
với đường thẳng AB của (P)
- Tiếp tuyến của (P) song song với AB có dạng
y=x+m ⇒ m =
2
5
−
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ