bài tập lớn toán vật lý

Giảibàitập
ut = a2uxx (1)
Điều kiện biên: ux(0,t) = ux(l,t) = 0
Điều kiện ban đầu: u(x,0) =0
U(x,t) = X(x).T(t)

X(x)
T(x) 0

Thay vào (1) : T’(t) = X”(x)a2
b

Suy ra T’(t) ba2.T(t) (2)
X”(x)=+b.X(x)
Từ (2) có nghiệm : T(t) = C.
Vì tạitiết diện của thanh nhiệt độ t không thể tiến đến . Khi nhiệt độ t nên –λ2
Suy ra T(t) = C(λ).
Đặt b = -λ2x thì (3) có nghiệm là: X(x) = C1. + C2.
X’(t)= -C1 +C2
Từ điều kiện biên ta có : u(0,t) = X’(0).T(t) = 0
X’(0) = 0 C2 = 0
X’(l) = 0 C1 = 0
= ,k = 1,2,...
Đặt b = 2 =
Từ (2) trở thành: T’(t) (.T(t) 0


Nghiệm: T(t) = C.
u(x,t) .
Với điều kiện ban đầu: u(x,0) U
U

C=d
Vậy nghiệm của phương trình (1) là :
U(x,t) = .d.}.